空间向量的运算(第一课时)导学案 高二上学期数学北师大版(2019)选择性必修第一册

高 二 年级 数学 学科导学案
命题 班级 学号 姓名 得分 课题：空间向量的运算(第一课时)
【学习目标】1．通过空间向量的概念的学习，培养数学抽象素养．
2．借助空间向量的加法、减法的学习，提升数学运算与直观想象素养．
【重点难点】1．了解向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量的概念．(重点)
2．掌握空间向量的加法、减法运算．(重点、难点)
【学习流程】
◎基础感知
◎探究未知
一、知识点梳理
1．空间向量
(1)定义：在空间中，把具有大小和方向的量叫作空间向量．
(2)长度：向量的大小叫作向量的长度或模．
(3)表示法
用有向线段AB →表示，A 叫作向量AB →的起点，B 叫作向量AB →的终点，
也可记作a ，其模记为⎪⎪⎪⎪AB →或|a |．
(4共线向量：当表示向量的两条有向线段所在的直线平行或重合时，称这两个向量互为共线向量或平行向量．
规定：零向量与任意向量平行．
问题1：向量AB →与向量BA →的长度和方向之间有什么关系？
2．共面向量
(1)共面向量的概念
平行于同一个平面的向量，叫作共面向量．
(2)三个向量共面的充要条件
如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x ，y )，使p ＝x a ＋y b ．
3．空间向量的加减法与运算律
空间
向量
的运
算
加法 OB →＝OA →＋AB →＝a ＋b 减法 CA →＝OA →－OC →＝a －b 空间向量的加法的运算律 (1)交换律：a ＋b ＝b ＋a ；
(2)结合律：
(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )
问题2：空间向量的减法是否也有交换律与结合律？
例1．空间两个向量a ，b 互为相反向量，已知|b |＝2，则下列结论不正确的是( )
A ．b ＝－a
B ．|a |＝2
C ．a 与b 方向相反
D ．a ＋b ＝0
例2．在空间四边形OABC 中，OA →＋AB →－CB →等于( )
A ．OA →
B ．AB →
C ．OC →
D ．AC → 跟踪训练：如图所示，在以长、宽、高分别为AB ＝3，AD ＝2，AA 1＝1的长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中，求：
(1)单位向量共有多少个？ (2)模为5的所有向量．
二、空间向量的有关概念
方法技巧：特殊向量的特性
(1)零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的．
(2)单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1．
(3)两个向量模相等，不一定是相等向量；反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同．若两个向量模相等，方向相反，则它们互为相反向量．
例3 如图所示，在正六棱柱ABCDEF -A ′B ′C ′D ′E ′F ′中，
(1)与AB →相等的向量有哪些？(2)BD →与E ′A ′→是相反向量吗？
(3)与AD →平行的向量有多少个？
跟踪训练：给出下列命题：
①零向量没有确定的方向；
②在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AA 1→＝－C 1C →；
③若向量a 与向量b 的模相等，则a ，b 的方向相同或相反；
④在四边形ABCD 中，必有AB →＋AD →＝AC →．
其中正确命题的序号是________．
三、空间向量的加减运算
方法技巧：1．向量加法的三角形法则：“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则：“起点重合，指向被减向量”．
2．灵活应用相反向量可使向量的减法转化为加法．
例4.如图所示，已知长方体ABCD -A ′B ′C ′D ′．化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果．
(1)AA ′→－CB →； (2)AA ′→＋AB →＋B ′C ′→．
变式训练：1．在例4的条件下，下列各式运算结果为BD ′→的是( )
①A ′D ′→－A ′A →－AB →；②BC →＋BB ′→－D ′C ′→；③AD →－AB →－DD ′→；④B ′D ′→－A ′A →＋DD ′→．
A ．①②
B ．②③
C ．③④
D ．①④
2．在例4的条件下，用向量AA ′→，AB →，AD →表示向量AC ′→．
四、空间向量加、减运算的应用
方法技巧：求解这类问题，一定要灵活应用向量加法、减法的运算法则，并注意向量的起点和终点.
1当向量首尾相连求和时，用三角形法则，当两向量起点相同求和时，用平行四边形法则.
2求两向量的差时，常考虑：
①通过相反向量，把向量减法转化为加法；②通过平移向量，使两向量起点相同，再使用减法的三角形法则.
例5. 在四棱锥O ­ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，求证：OA →＋OC →＝
OB →＋OD →．
变式训练：例5的逆命题是否成立？若成立，给出证明，若不成立，举出反例．
◎达标检测
1．若空间向量a 与b 不相等，则a 与b 一定( )
A ．有不同的方向
B ．有不相等的模
C ．不可能是平行向量
D ．不可能都是零向量
2．在空间中，把单位向量的始点放置于同一点，则终点构成的图形是( )
A ．点
B ．直线
C ．圆
D ．球面
3．在空间四边形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，BC →＝c ，则DC →等
于( )
A ．a －b ＋c
B ．b －(a ＋c )
C ．a ＋b ＋c
D ．b －a ＋c
4．化简(AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝________．
5．如图所示，已知平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点，化简下列向量表达式．
(1)AA 1→＋A 1B 1→；
(2)AA 1→＋A 1M →－MB 1→；
(3)AA 1→＋A 1B 1→＋A 1D 1→；
(4)AB →＋BC →＋CC 1→＋C 1A 1→＋A 1A →．
【总结反思】
1．空间向量的概念和平面向量类似，向量的模、零向量、单位向量、相等向量等都可以结合平面向量理解．
2．向量可以平移，任意两个向量都是共面向量．因此空间两个向量的加减法运算和平面向量完全相同，可以利用平行四边形法则和三角形法则来进行运算．。