2019年数学高考一模试题含答案

2019年数学高考一模试题含答案
一、选择题
1．若43i z =+，则z z =（ ） A ．1
B ．1-
C ．4355i +
D ．4355i - 2．若3tan 4α=
，则2cos 2sin 2αα+=（ ） A ．6425 B ．4825 C ．1 D ．1625
3．()22
x x
e e
f x x x --=+-的部分图象大致是（ ） A ． B ．
C ．
D ．
4．设01p <<，随机变量ξ的分布列如图，则当p 在()0,1内增大时，（ ） ξ
0 1 2 P 12p - 12 2p
A ．()D ξ减小
B ．()D ξ增大
C ．()
D ξ先减小后增大 D ．()D ξ先增大后减小
5．如图，12,F F 是双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的左、右焦点，过2F 的直线与双曲线C 交于,A B 两点．若11::3:4:5AB BF AF =，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A ．23y x =±
B ．22y x =±
C ．3y x =±
D ．2y x =±
6．在ABC ∆中，60A =︒，45B =︒，32BC =，则AC =（ ）
A ．32
B ．3
C ．23
D ．43
7．已知全集{1,3,5,7}U =，集合{1,3}A =，{3,5}B =，则如图所示阴影区域表示的集合为（ ）
A ．{3}
B ．{7}
C ．{3,7}
D ．{1,3,5}
8．若()34i x yi i +=+,,x y R ∈,则复数x yi +的模是 （ ） A ．2 B ．3
C ．4
D ．5 9．函数2||()x x f x e -=的图象是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别是a b c 、、，若2B A =，1a =，3b =c =( )
A ．3
B ．2
C 2
D ．1 11．522x x ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭的展开式中4x 的系数为 A ．10 B ．20 C ．40 D ．80
12．在△ABC 中，AB=2，AC=3，1AB BC ⋅=则BC=______
A ．3
B ．7
C ．2
D ．23
二、填空题
13．函数()23s 34f x in x cosx =+-（0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
）的最大值是__________． 14．()sin 5013tan10+=________________.
15．已知点()0,1A ，抛物线()2:0C y ax a =>的焦点为F ，连接FA ，与抛物线C 相交
于点M ，延长FA ，与抛物线C 的准线相交于点N ，若:1:3FM MN =，则实数a 的值为__________．
16．设复数1(z i i =--虚数单位),z 的共轭复数为z ，则()1z z -⋅=________.
17．能说明“若f （x ）>f （0）对任意的x ∈（0，2］都成立，则f （x ）在［0，2］上是增函数”为假命题的一个函数是__________．
18．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若
cos 1cos2cos 1cos2b C C c B B +=+，C 是锐角，且27a =，1cos 3
A =，则ABC △的面积为______． 19．已知1OA =，3O
B =，0OA OB •=，点
C 在AOB ∠内，且AOC 30∠=，设OC mOA nOB =+，(,)m n R ∈，则
m n =__________． 20．三个数成等差数列，其比为3:4:5，又最小数加上1后，三个数成等比数列，那么原三
个数是 三、解答题
21．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c ，且a c >，已知2BA BC ⋅=，
1cos 3
B =，3b =，求： （1）a 和c 的值；
（2）cos()B C -的值.
22．我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行调查，通过抽样，获得某年100为居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照
分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.
（1）求直方图的的值；
（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由；
（3）估计居民月用水量的中位数.
23．如图，已知四棱锥P ABCD -的底面为等腰梯形，//AB CD ,AC BD ⊥,垂足为H ，PH 是四棱锥的高．
（Ⅰ）证明：平面PAC ⊥平面PBD ;
（Ⅱ）若AB 6=APB ADB ∠=∠=60°
,求四棱锥P ABCD -的体积． 24．红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A 、B 、C 进行围棋比赛，甲对A ，乙对B ，丙对C 各一盘，已知甲胜A ，乙胜B ，丙胜C 的概率分别为0.6，0.5，0.5，假设各盘比赛结果相互独立．
（I ）求红队至少两名队员获胜的概率；
（II ）用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望E ξ．
25．已知0,0a b >>.
(1)2
11ab a b
≥+ ； (2)若a b >，且2ab =，求证：22
4a b a b
+≥-．
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一、选择题
1．D
解析：D
【解析】
【详解】
由题意可得 ：22435z =+=，且：43z i =-，
据此有：4343555
z i i z -==-. 本题选择D 选项.
2．A
解析：A
【解析】 试题分析：由3tan 4α=，得34sin ,cos 55αα==或34sin ,cos 55
αα=-=-，所以2161264cos 2sin 24252525
αα+=+⨯=，故选A ． 【考点】同角三角函数间的基本关系，倍角公式．
【方法点拨】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系．
3．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据函数的奇偶性，排除D ；根据函数解析式可知定义域为{}
1x x ≠±,所以y 轴右侧虚线部分为x=1，利用特殊值x=0.01和x=1.001代入即可排除错误选项．
【详解】 由函数解析式()22x x e e f x x x --=+-，易知()22
x x
e e
f x x x ---=+-=() f x - 所以函数()22
x x
e e
f x x x --=+-为奇函数，排除D 选项 根据解析式分母不为0可知,定义域为{}
1x x ≠±,所以y 轴右侧虚线部分为x=1， 当x=0.01时，代入()f x 可得()0f x <，排除C 选项
当x=1.001时，代入()f x 可得()0f x >，排除B 选项
所以选A
【点睛】
本题考查了根据函数解析式判断函数的图象，依据主要是奇偶性、单调性、特殊值等，注意图中坐标的位置及特殊直线，属于中档题． 4．D
解析：D
【解析】
【分析】
先求数学期望，再求方差，最后根据方差函数确定单调性.
【详解】
111()0122222p p E p ξ-=⨯
+⨯+⨯=+， 2222111111()(0)(1)(2)2222224
p p D p p p p p ξ-∴=--+--+--=-++， 1(0,1)2
∈，∴()D ξ先增后减，因此选D. 【点睛】
2
22111(),()(())().n n n
i i i i i i i i i E x p D x E p x p E ξξξξ=====-=-∑∑∑ 5．A
解析：A
【解析】 【分析】 设1123,4,5,AB BF AF AF x ====，利用双曲线的定义求出3x =和a 的值，再利用勾股定理求c ，由b y x a =±
得到双曲线的渐近线方程. 【详解】 设1123,4,5,AB BF AF AF x ====，
由双曲线的定义得：345x x +-=-，解得：3x =，
所以12||F F ==c ⇒=
因为2521a x a =-=⇒=，所以b =
所以双曲线的渐近线方程为b y x a =±
=±. 【点睛】
本题考查双曲线的定义、渐近线方程，解题时要注意如果题干出现焦半径，一般会用到双曲线的定义，考查运算求解能力.
6．C
解析：C
【解析】
【分析】
在三角形中，利用正弦定理可得结果.
【详解】
解：在ABC ∆中，
可得sin sin BC AC A B
=,
60sin 45
AC
，即22
，
解得AC =
故选C.
【点睛】
本题考查了利用正弦定理解三角形的问题，解题的关键是熟练运用正弦定理公式.
7．B
解析：B
【解析】
【分析】
先求出A B ⋃，阴影区域表示的集合为()U A B ⋃，由此能求出结果．
【详解】
全集{1,U =3，5，7}，集合{}1,3A =，{}3,5B =， {1,A B ∴⋃=3，5}，
∴如图所示阴影区域表示的集合为：
(){}7U A B ⋃=．
故选B ．
【点睛】
本题考查集合的求法，考查并集、补集、维恩图等基础知识，考查运算求解能力，考查集合思想，是中等题．
8．D
解析：D
【解析】
试题分析：根据题意可知34xi y i -=+，所以有3{
4y x =-=，故所给的复数的模该为5，故
选D.
考点：复数相等，复数的模. 9．A
解析：A
【解析】
【分析】
通过(0)1f =，和函数f(x)>0恒成立排除法易得答案A ．
【详解】
2||()x x f x e -=，可得f(0)=1,排除选项C,D;
由指数函数图像的性质可得函数f(x)>0恒成立，排除选项B ，
故选A
【点睛】
图像判断题一般通过特殊点和无穷远处极限进行判断，属于较易题目．
10．B
解析：B
【解析】
1sin A ===cos A =,
所以222122
c c =+-，整理得2320,c c -+=求得1c =或 2.c 若1c =，则三角形为等腰三角形，0030,60A C B ===不满足内角和定理，排除.
【考点定位】本题考查正弦定理和余弦定理的应用，考查运算能力和分类讨论思想.
当求出cos A =0030,60A B ==，便于三角形的初步定型，也为排除1c =提供了依据.如果选择支中同时给出了1或2，会增大出错率.
11．C
解析：C
【解析】
分析：写出103152r r r r T C x -+=，然后可得结果
详解：由题可得()5210315522r
r r r r r r T C x C x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭ 令103r 4-=,则r 2=
所以22552240r r C C =⨯=
故选C.
点睛：本题主要考查二项式定理，属于基础题。

12．A
解析：A
【解析】
【分析】
【详解】
2222149||||cos ()122
BC AB BC AB BC B AB BC AC +-⋅=-⋅=-+-=-=
|BC ∴
故选：A
【点评】
本题考查平面向量的数量积运算、余弦定理等知识.考查运算能力，考查数形结合思想、等价转化思想等数学思想方法.
二、填空题
13．1【解析】【详解】化简三角函数的解析式可得由可得当时函数取得最大值1
解析：1
【解析】
【详解】
化简三角函数的解析式，
可得()22311cos cos 44
f x x x x x =--=-++=
2(cos 12
x --+， 由[0,]2x π∈，可得cos [0,1]x ∈，
当cos x =时，函数()f x 取得最大值1． 14．【解析】【分析】利用弦化切的运算技巧得出然后利用辅助角二倍角正弦以及诱导公式可计算出结果【详解】原式故答案为：【点睛】本题考查利用三角恒等变换思想求非特殊角的三角函数值在计算时要结合角之间的关系选择 解析：1
【解析】
【分析】 利用弦化切的运算技巧得出()cos103sin10sin 500
sin 5013t an10++=⋅，然后利用辅助角、二倍角正弦以及诱导公式可计算出结果.
【详解】
原式()2sin 1030sin50cos103sin102sin 40cos 40sin50cos10cos10cos10
++=⋅==()sin 9010sin80cos101cos10cos10cos10
-====. 故答案为：1.
【点睛】
本题考查利用三角恒等变换思想求非特殊角的三角函数值，在计算时要结合角之间的关系选择合适的公式化简计算，考查计算能力，属于中等题.
15．【解析】依题意可得焦点的坐标为设在抛物线的准线上的射影为连接由抛物线的定义可知又解得点睛：本题主要考查的知识点是抛物线的定义以及几何性质的应用考查了学生数形结合思想和转化与化归思想设出点在抛物线的准
【解析】
依题意可得焦点F 的坐标为04a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
， 设M 在抛物线的准线上的射影为K ，连接MK 由抛物线的定义可知MF MK = 13FM MN =∶∶
KN KM ∴=∶
又01404
FN K a a
--==-，
FN KN K KM =
=-4
a
-∴=-a =点睛：本题主要考查的知识点是抛物线的定义以及几何性质的应用，考查了学生数形结合思想和转化与化归思想，设出点M 在抛物线的准线上的射影为K ，由抛物线的定义可知
MF MK =，再根据题设得到KN KM =∶，然后利用斜率得到关于a 的方程，进而求解实数a 的值
16．【解析】分析：由可得代入利用复数乘法运算法则整理后直接利用求模公式求解即可详解：因为所以故答案为点睛：本题主要考查的是共轭复数的概念与运算以及复数的乘法的运算属于中档题解题时一定要注意和
【解析】
分析：由1i z =--，可得1i z =-+，代入()1z z -⋅，利用复数乘法运算法则整理后，直接利用求模公式求解即可.
详解：因为1i z =--，所以1i z =-+，()()()()()111121z z i i i i ∴-⋅=++⋅-+=+⋅-+
3i =-+==.
点睛：本题主要考查的是共轭复数的概念与运算以及复数的乘法的运算，属于中档题．解题时一定要注意21i =-和()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++
17．y=sinx （答案不唯一）【解析】分析：举的反例要否定增函数可以取一个分段函数使得f （x ）>f （0）且（02］上是减函数详解：令则f （x ）>f （0）对任意的x∈（02］都成立但f （x ）在［02］上不
解析：y =sin x （答案不唯一）
【解析】
分析：举的反例要否定增函数，可以取一个分段函数，使得f （x ）>f （0）且（0，2］上是减函数.
详解：令0,0
()4,(0,2]
x f x x x =⎧=⎨
-∈⎩，则f （x ）>f （0）对任意的x ∈（0，2］都成立，但f
（x ）在［0，2］上不是增函数.
又如，令f （x ）=sin x ，则f （0）=0，f （x ）>f （0）对任意的x ∈（0，2］都成立，但f （x ）在［0，2］上不是增函数.
点睛：要判定一个全称命题是假命题，只要举出集合M 中的一个特殊值0x ，使0()p x 不成立即可.通常举分段函数.
18．【解析】【分析】由及三角变换可得故于是得到或再根据可得从而然后根据余弦定理可求出于是可得所求三角形的面积【详解】由得∵∴∴又为三角形的内角∴或又∴于是由余弦定理得即解得故∴故答案为【点睛】正余弦定理
解析：【解析】 【分析】 由
cos 1cos2cos 1cos2b C C c B B +=+及三角变换可得sin cos sin cos B C
C B
=，故sin2sin2B C =，于是得到
B C =或2
B C π
+=
，再根据1
cos 3
A =
可得B C =，从而b c =，然后根据余弦定理可求
出b c ==
【详解】
由cos 1cos2cos 1cos2b C C c B B +=+，得22
sin cos 2cos sin cos 2cos B C C
C B B =， ∵cos 0,cos 0C B ≠≠，
∴
sin cos sin cos B C
C B
=， ∴sin2sin2B C =， 又,B C 为三角形的内角， ∴B C =或2
B C π
+=，
又1cos 3
A =
， ∴B C =，于是b c =．
由余弦定理得2
2
2
2cos ,a b c b A =+-
即(2
2222
3
b b b =+-，
解得21b =，故21c =．
∴1122sin 212172223
ABC S bc A ∆=
=⨯⨯⨯=. 故答案为72． 【点睛】
正余弦定理常与三角变换结合在一起考查，此类问题一般以三角形为载体，解题时要注意合理利用相关公式和三角形三角的关系进行求解，考查综合运用知识解决问题的能力，属于中档题．
19．3【解析】因为所以从而有因为所以化简可得整理可得因为点在内所以所以则
解析：3 【解析】
因为30AOC ∠=，所以3
cos cos302
OC OA AOC OC OA
⋅∠=
==
⋅，从而有22222||3
2||2m OA nOA OB
m OA n OB mn OA OB OA
+⋅=
++⋅⋅⋅．因为
1,3,0OA OB OA OB ==⋅=，所以22323m
m n
=+，化简可得2223
34m m n =+，整理可得229m n =．因为点C 在AOB ∠内，所以0,0m n >>，所以3m n =，则
3m
n
= 20．2025【解析】设这三个数：（）则成等比数列则或（舍）则原三个数：152025
解析：20 25 【解析】 设这三个数：
、
、
（），则
、
、
成等比数列，则
或
（舍），则原三个数：15、20、25
三、解答题
21．（1）3,2a c ==；（2）2327
【解析】
试题分析：（1）由2BA BC ⋅=和1
cos 3
B =
，得ac=6.由余弦定理，得2213a c +=. 解
，即可求出a ，c ；（2） 在ABC ∆中，利用同角基本关系得
22
sin .3
B =
由正弦定理，得42
sin sin 9
c C B b =
=
，又因为a b c =>，所以C 为锐角，因此27
cos 1sin 9
C C =-=
，利用cos()cos cos sin sin B C B C B C -=+，即可求出结果. （1）由2BA BC ⋅=得，
，又1
cos 3
B =
，所以ac=6. 由余弦定理，得2222cos a c b ac B +=+. 又b=3，所以2292213a c +=+⨯=. 解
，得a=2，c=3或a=3，c=2.
因为a>c,∴ a=3，c=2.
（2）在ABC ∆中，22122
sin 1cos 1().3B B =-=-= 由正弦定理，得22242
sin sin 339
c C B b =
=⋅=
，又因为a b c =>，所以C 为锐角，因此22427cos 1sin 1(
)99
C C =-=-=.
于是cos()cos cos sin sin B C B C B C -=+=17224223
393927
⋅+⋅=
. 考点：1.解三角形；2.三角恒等变换. 22．(1) ； (2)36000；（3）
.
【解析】 【分析】
本题主要考查频率分布直方图、频率、频数的计算等基础知识，考查学生的分析问题、解决问题的能力. 第（Ⅰ）问，由高×组距=频率，计算每组的频率，根据所有频率之和为1，计算出a 的值；第（Ⅱ）问，利用高×组距=频率，先计算出每人月均用水量不低于3吨的频率，再利用频率×样本容量=频数，计算所求人数；第（Ⅲ）问，将前5组的频率之和与前4组的频率之和进行比较，得出2≤x<2.5，再估计月均用水量的中位数. 【详解】
（Ⅰ）由频率分布直方图，可知：月均用水量在[0,0.5）的频率为0.08×
0.5=0.04. 同理，在[0.5,1），[1.5,2），[2,2.5），[3,3.5），[3.5,4），[4,4.5）等组的频率分别为0.08，0.21，0.25，0.06，0.04，0.02.
由1–（0.04+0.08+0.21+0.25+0.06+0.04+0.02）=0.5×a+0.5×a ， 解得a=0.30.
（Ⅱ）由（Ⅰ）100位居民月均用水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12.
由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300 000×0.12=36000. （Ⅲ）设中位数为x 吨.
因为前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21+0.25=0.73＞0.5， 而前4组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21=0.48<0.5 所以2≤x<2.5.
由0.50×（x –2）=0.5–0.48，解得x=2.04. 故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨. 【考点】 频率分布直方图 【名师点睛】
本题主要考查频率分布直方图、频率、频数的计算公式等基础知识，考查学生的分析问题、解决问题的能力.在频率分布直方图中，第n 个小矩形的面积就是相应组的频率，所有小矩形的面积之和为1，这是解题的关键，也是识图的基础．
23．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ. 【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：（Ⅰ）因为PH 是四棱锥P-ABCD 的高．
所以AC ⊥PH,又AC ⊥BD,PH,BD 都在平面PHD 内,且PH BD=H. 所以AC ⊥平面PBD. 故平面PAC ⊥平面PBD.
（Ⅱ）因为ABCD 为等腰梯形，AB CD,AC ⊥.
所以 因为∠APB=∠ADR=600
所以,HD=HC=1.
可得
等腰梯形ABCD 的面积为S=1
2
所以四棱锥的体积为V=
13x （ 考点：本题主要考查立体几何中的垂直关系，体积的计算．
点评：中档题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、体积的计算．在计算问题中，有“几何法”和“向量法”．利用几何法，要遵循“一作、二证、三计算”的步骤，利用向量则能简化证明过程．本题（I ）较为简单，（II ）则体现了“一作、二证、三计算”的解题步骤． 24．（Ⅰ）0.55；（Ⅱ）详见解析
【解析】 【分析】 【详解】
解：（I ）设甲胜A 的事件为D ，乙胜B 的事件为E ，丙胜C 的事件为F ， 则,,D E F 分别表示甲不胜A 、乙不胜B ，丙不胜C 的事件．
因为()0.6,()0.5,()0.5===P D P E P F ，()0.4,()0.5,()0.5∴===P D P E P F ． 红队至少两人获胜的事件有：,,,DEF DEF DEF DEF ，
由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率
()()()()
0.60.50.50.60.50.50.40.50.50.60.50.50.55
P P DEF P DEF P DEF P DEF =+++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=
（II ）由题意知ξ可能的取值为0，1，2，3．
又由（I ）知,,DEF DEF DEF 是两两互斥事件，且各盘比赛的结果相互独立， 因此(0)()0.40.50.50.1P P DEF ξ===⨯⨯=，
(1)()()()ξ==++P P DEF P DEF P DEF
(1)0.40.50.50.40.50.50.60.50.50.35ξ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=P (3)()0.60.50.50.15P P DEF ξ===⨯⨯=，
由对立事件的概率公式得(2)1[(0)(1)(3)]0.4.P P P P ξξξξ==-=+=+== 所以ξ的分布列为：
因此25．（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】
(1) 已知0,0a b >>直接对
11
a b
+使用均值不等式； (2)不等式分母为-a b ，通过降次构造-a b ，再使用均值不等式． 【详解】
证明：(1)2 “”11a b a b ≤===+时取； (2)()()()2
2
22
244 4a b ab a b a b a b a b a b a b a b
-+-++===-+≥=----，当
且仅当11a b ==-+或11a b ==-- 【点睛】
“一正二定三相等”，不能直接使用均值不等式的化简变形再用均值不等式．。