2020年(河南)中考数学压轴题全揭秘精品专题12 击破类比、探究类综合题利器之全等知识

中考数学 专题12 击破类比、探究类综合题利器之全等知识
模型一、A 字形（手拉手）及其旋转
模型二、K 字型及其旋转
【例1】（2019·济源一模）在菱形 ABCD 中，∠ABC =60°，点P 是射线BD 上一动点，以AP 为边向右侧作等边∠APE ，点 E 的位置随着点 P 的位置变化而变化．
（1）探索发现
如图1，当点E 在菱形ABCD 内部或边上时，连接CE ．填空：BP 与CE 的数量关系是 ，CE 与 AD 的位置关系是
．
（2）归纳证明
当点E 在菱形 ABCD 外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由．（选择图2，图3中的一种情况予以证明或说理）
（3）拓展应用
如图4，当点P 在线段 BD 的延长线上时，连接BE ，若AB
=，BE
=请直接写出四边形 ADPE 的面积．
D
图1 图2
图3 图4【答案】（1）BP=CE，CE∠AD；（2）（3）见解析.
【解析】解：（1）连接AC，延长CE至AD，
∠四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∠∠BAD=120°，
∠∠BAC=60°，∠CAD=60°，
∠∠ABC是等边三角形，
∠AB=AC，
∠∠APE是等边三角形，
∠AP=AE，∠P AE=60°，
∠∠BAP=∠CAE，
∠∠BAP∠∠CAE，
∠BP=CE，
∠∠ABC=60°，
∠∠ABP=30°，
∠∠BAP∠∠CAE，
∠∠ABP=∠ACE=30°，
∠∠CAD=60°，
∠∠ACE+∠CAD=90°，
即CD∠AD.
（2）结论仍然成立，理由如下：（以图2为例）
连接AC，设CE与AD交于点H，
∠四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∠∠ABC和∠ACD是等边三角形，∠ABD=∠CBD=30°，∠AB=AC，∠BAC=60°，
∠∠APE是等边三角形，
∠AP=AE，∠P AE=60°，
∠∠BAP=∠CAE，
∠∠BAP∠∠CAE，
∠BP=CE，∠ACE=∠ABP=30°，
∠∠CAH=60°，
∠∠AHC=90°，即CE∠AD；
（3）连接AC交BD于O，连接CE，
由（2）知，CE∠BC，
∠AB=BE=
在Rt∠BCF中，由勾股定理得：CE=8，
由∠BAP∠∠CAE，得：BP=CE，BD=6，∠DP=BP－BD=2，AO
在Rt∠AOP中，由勾股定理得：AP
=
∠S=S∠ADP+S∠APE
=(2
1
2
2
⨯
【变式1-1】（2019·周口二模）在△ABC中，∠ABC为锐角，点M为射线AB上一动点，连接CM，以点C为直角顶点，以CM为直角边在CM右侧作等腰直角三角形CMN，连接NB．
（1）如图1，图2，若∠ABC为等腰直角三角形，
问题初现：∠当点M为线段AB上不与点A重合的一个动点，则线段BN，AM之间的位置关系是_____________，数量关系是______________；
深入探究:∠当点M在线段AB的延长线上时，判断线段BN，AM之间的位置关系和数量关系，并说明理由；
类比拓展:（2）如图3，∠ACB≠90°，若当点M为线段AB上不与点A重合的一个动点，MP∠CM交线段BN于点P，且∠CBA=45°，BC
=，当BM=_________时，BP的最大值为__________．
图1图2图3
【答案】（1）BN∠AM，BN=AM；（2）见解析，（3）2， 1.
【解析】解：（1）由AC=BC，∠ACM=∠BCN，CM=CN，可证∠ACM∠∠BCN，
∠BN=AM，∠A=∠CBN=45°，
∠∠ABN=90°，即BN∠AM.
图1
C
B
M
N
A B
C
图2图3
C
B
A M
N
P
（2）BN ∠AM ，BN =AM ；理由如下：
∠∠ABC 是等腰直角三角形，
∠AC =BC ，∠A =∠ABC =45°，∠ACB =90°， 同理，∠NCM =90°，NC =MC , ∠∠ACM =∠BCN ， ∠∠ACM ∠∠BCN ，
∠BN =AM ，∠A =∠CBN =45°， ∠∠ABN =90°，即BN ∠AM .
(3)过C 作CG ∠BC 交BA 的延长线于G ，过C 作CH ∠AB 于H ，如图所示，
易证∠GCM ∠∠BCN ， 由（2）知，BN ∠AB ， ∠∠CHM ∠∠MBP ，
∠
CH HM
BM BP =
, 即44BM BM BP
-=, 设BM =x ， 则BP =
()2
1214
x -+， A
G
∠当BM=2时，BP取最小值，最小值为1.
【例2】（2018·洛阳三模）在正方形ABCD中，动点E、F分别从D、C两点出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动.
（1）如图1，当点E在边CD上自D向C移动，同时点F在边CB上自C向B移动时，连接AE和DF交于点P，请你写出AE与DF的数量关系和位置关系，并说明理由；
（2）如图2，当E，F分别在边CD，BC的延长线上移动时，连接AE，DF，（1）中的结论还成立吗？（请你直接回答“是”或“否”，不需证明）；连接AC，请你直接写出∠ACE为等腰三角形时CE：CD的值；
（3）如图3，当E，F分别在直线DC，CB上移动时，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，请你画出点P运动路径的草图．若AD=2，试求出线段CP的最大值．
【答案】见解析.
【解析】解：
（1）AE=DF，AE∠DF，理由如下：
∠四边形ABCD是正方形，
∠AD=DC，∠ADE=∠DCF=90°，
由题意知：DE=CF，
∠∠ADE∠∠DCF，
∠AE=DF，∠DAE=∠FDC，
∠∠ADE=90°，
∠∠ADP+∠CDF=90°，
∠∠ADP+∠DAE=90°，
∠∠APD=180°﹣90°=90°，
∠AE∠DF；
（2）（1）中的结论还成立，CE：CD或2，理由如下：
∠如图，当AC=CE时，
设正方形ABCD的边长为a，由勾股定理得：AC=CE=2a，
则CE：CD=2a：a=2；
∠如图，当AE=AC时，
设正方形ABCD的边长为a，由勾股定理得：AC=AE2a，
∠四边形ABCD是正方形，
∠∠ADC=90°，即AD∠CE，
∠DE=CD=a，
∠CE：CD=2a：a=2；
故，CE：CD2或2；
（3）∠点P在运动中∠APD=90°，
∠点P的路径是以AD为直径的圆，
如图，设AD的中点为Q，连接CQ并延长交圆Q于点P，此时CP的长度最大，
在Rt∠QDC中，由勾股定理得：QC5，
∠CP=QC+QP5，
即线段CP5．
【变式2-1】（2019·西华县一模）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，AB上的点，且CE=BF．连接DE，过点E作EG∠DE，使EG=DE，连接FG，FC．
（1）请判断：FG与CE的数量关系是，位置关系是；
（2）如图2，若点E，F分别是边CB，BA延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请作出判断并给予证明；
（3）如图3，若点E，F分别是边BC，AB延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请直接写出你的判断．
图1 图2 图3
【答案】（1）FG=CE，FG∠CE；（2）（3）见解析．
【解析】解：（1）FG=CE，FG∠CE；
∠BF=CE，BC=CD，∠FBC=∠DCE=90°，
∠∠BCF∠∠CDE，
∠∠DEC=∠CFB，
∠∠CFB+∠FCB=90°，
∠∠DEC +∠FCB=90°，
即CF∠DE，
∠DE∠EG，
∠EG∠CF，
∠EG=DE=CF，
∠四边形FCEG是平行四边形，
∠FG=CE，FG∠CE；
（2）∠BF=CE，BC=CD，∠FBC=∠DCE=90°，∠∠BCF∠∠CDE，
∠∠DEC=∠CFB，CF=DE，
∠∠CFB+∠FCB=90°，
∠∠DEC +∠FCB=90°，
即CF∠DE，
∠DE∠EG，
∠EG∠CF，
∠EG=DE=CF，
∠四边形FCEG是平行四边形，
∠FG=CE，FG∠CE；
（3）成立．
由上可证：∠CBF∠∠DCE，
得：∠BCF=∠CDE，CF=DE，
∠EG=DE，
∠CF=EG，
∠DE∠EG
∠∠DEC+∠CEG=90°
∠∠CDE+∠DEC=90°
∠∠CDE=∠CEG，
∠∠BCF=∠CEG，
∠CF∠EG，
∠四边形CEGF平行四边形，
∠FG∠CE，FG=CE．
1.（2019·河南南阳一模）我们定义：如图1，在∠ABC中，把AB绕点A顺时针旋转α（0°<α<180°）得到AB’，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC’，连接B’C’，当α+β=180°时，我们称∠AB’C’是∠ABC的“旋补三角形”，∠AB’C’边B’C’上的中线AD是∠ABC的旋补中线，点A叫旋补中心.
特例感知：
（1）在图2，图3中，∠AB’C’是∠ABC的“旋补三角形”，∠AB’C’边B’C’上的中线AD是∠ABC的旋补中线，
∠如图2，当∠ABC是等边三角形时，AD与BC的数量关系是
∠如图3，当∠BAC=90°，BC=8时，则AD的长为
猜想论证：
（2）如图1，当∠ABC是任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明.
【分析】（1）∠由∠ABC是等边三角形，得AB=BC=AC=AB’=AC’，∠BAC=60°，∠BAC+∠B’AC’=180°，得∠B’=∠C’=30°，即BC=2AD；∠可利用“直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半”，证得：BC=2AD，AD=4；（2）BC=2AD，利用倍长中线构造全等三角形，延长AD至M使DM=AD，连接B’M，C’M，证得∠ABC∠∠B’AM，得BC=AM，BC=2AD.
【解析】解：（1）∠∠∠ABC是等边三角形，
∠AB=BC=AC=AB’=AC’，∠BAC=60°，
∠DB’=DC’，
∠AD∠B’C’，
∠BAC+∠B’AC’=180°，
∠∠B’AC’=120°，
∠∠B’=∠C’=30°，
∠BC=2AD，
即：答案为BC=2AD.
∠∠∠BAC=90°，BAC+∠B’AC’=180°，
∠∠B’AC’=∠BAC=90°
∠AB=AB’，AC=AC’，
∠∠BAC∠∠B’AC’，
∠BC=B’C’，
∠B’D=DC’，
∠BC=2AD，
∠BC=8，
∠AD=4；
（2）结论：BC=2AD，理由如下：
如图，延长长AD至M使DM=AD，连接B’M，C’M，
∠AD=DM，B’D=DC’，
∠四边形AC’MB’是平行四边形，
∠AC’=B’M=AC，
∠∠BAC+∠B’AC’=180°，∠AB’M+∠B’AC’=180°，
∠∠BAC=∠AB’M，
∠AB=AB’，
∠∠BAC∠∠AB’M，
∠BC=AM，
即BC=2AD.
2.（2019·郑州外国语测试）已知如图1所示，在∠ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D在AB上，DE∠AB 交BC于E，点F是AE的中点，
（1）写出线段FD与线段FC的关系并证明；
（2）如图2所示，将∠BDE绕点B逆时针旋转α（0°＜α<90°），其它条件不变，线段FD与线段FC的关系是否变化，写出结论并证明；
（3）将∠BDE绕点B逆时针旋转一周，如果BC=4，BE，直接写出线段BF的范围.
【答案】见解析.
【解析】解：（1）FD=FC，FD∠FC，理由如下：
由题意知：∠ADE=∠ACE=90°，AF=EF，
∠DF=AF=EF=CF，
∠∠F AD=∠FDA，∠F AC=∠FCA，
∠∠DFE=∠FDA+∠F AD=2∠F AD，∠EFC=2∠F AC，
∠CA=CB，∠ACB=90°，
∠∠BAC=∠B=45°，
∠∠DFC=∠EFD+∠EFC=2（∠F AD+∠F AC）=90°，
∠FD=FC，FD∠FC.
（2）结论不变，理由如下：
延长AC至M使得CM=AC，延长ED至N，使DN=DE，连接BN、BM、EM、AN，延长ME交AN于H，交AB于O，如图所示，
∠BC∠AM，AC=CM，
∠AB=BM，同理得：BE=BN，
∠∠ABM=∠EBN，∠NBA=∠EBM，
∠∠ABN∠∠MBE，
∠AN=EM，∠BAN=∠BME，∠AF=FE，AC=CM，
∠CF=1
2
EM，CF∠EM，
同理，FD=1
2
AN，FD∠AN，
∠FD=FC，
∠∠BME+∠BOM=90°，∠BOM=∠AOH，
∠∠BAN+∠AOH=90°，
∠∠AHO=90°，
即AN∠MH，
∠FD∠FC.
（3）由题意知，当点E落在线段AB上时，BF的长最大，如图所示，
此时BF，
当点E落在AB的延长线上时，BF的长最小，如图所示，
此时，BF，
BF.
3.（2019·偃师一模）特殊：（1）如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°．作CM平分∠ACB 交AB于点M，点D为射线CM上一点，以点C为旋转中心将线段CD逆时针旋转90°得到线段CE，连接DE交射线CB于点F，连接BD，BE．
填空：
①线段BD，BE的数量关系为；②线段BC，DE的位置关系为．
一般：（2）如图2，在等腰三角形ABC中，∠ACB=α，作CM平分∠ACB交AB于点M，点D为△ABC外部射线CM上一点，以点C为旋转中心将线段CD逆时针旋转α度得到线段CE，连接DE，BD，BE．请判断（1）中的结论是否成立，请说明理由．
特殊：（3）如图3，在等边三角形ABC中，作BM平分∠ABC交AC于点M，点D为射线BM 上一点，以点B为旋转中心将线段BD逆时针旋转60°得到线段BE，连接DE交射线BA于点F，连接AD，AE．若AB=4，当△ADM与△AFD全等时，请直接写出DE的值．
图1 图2 图3
【答案】（1）BD=BE，BC∠DE；（2）（3）见解析.
【解析】解：（1）由题意知：∠ACM=∠BCM=45°，
由旋转知，∠DCE=90°，CD=CE，
∠∠ECB=∠DCB=45°，
∠BC=BC，
∠∠BCD∠∠BCE，
∠BD=BE，
∠CD=CE，
∠BC是线段DE的垂直平分线，
∠BC ∠DE ，
（2）成立，理由如下，
∠CM 平分∠ACB ，∠ACB =α，
∠∠ACM =∠BCM =2α
，
由旋转知，∠DCE =α，CD =CE ，
∠∠BCD =∠BCE =2α
又∠BC =BC ，
∠∠BCD ∠∠BCE ，
∠BD =BE ，
∠CD =CE ，
∠BC 是线段DE 的垂直平分线，
∠BC ∠DE .
（3）∠如图3，可证得：∠ABE =∠ABD =30°，AB ∠DE ，
由∠ADM ∠∠ADF ，得：∠F AD =∠MAD =30°，
∠AF =BF =2，
∠DE =2DF ，
在Rt ∠ADF 中，DF =AF ·tan ∠DAF
即DE
∠如下图所示，
同理，得∠FBD =30°，AB =AD =4，
B
∠DE=2DF
综上所述，DE.
4.（2019·省实验一模）观察猜想
（1）如图∠，在Rt∠ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝3，点D与点A重合，点E在边BC上，连接DE，将线段DE绕点D顺时针旋转90°得到线段DF，连接BF，BE与BF的位置关系是，BE+BF ＝；
探究证明
（2）在（1）中，如果将点D沿AB方向移动，使AD＝1，其余条件不变，如图∠，判断BE与BF的位置关系，并求BE+BF的值，请写出你的理由或计算过程；
拓展延伸
（3）如图∠，在∠ABC中，AB＝AC，∠BAC＝a，点D在边BA的延长线上，BD＝n，连接DE，将线段DE绕着点D顺时针旋转，旋转角∠EDF＝a，连接BF，则BE+BF的值是多少？请用含有n，a的式子直接写出结论．
图1 图2图3
【答案】（1）BF∠BE；BC；（2）（3）见解析.
【解析】解：（1）∠∠EAF＝∠BAC＝90°，
∠∠EAF－∠BAE＝∠BAC－∠BAE,
∠∠BAF＝∠CAE，
∠AF＝AE，AB＝AC，
∠∠BAF∠∠CAE，
∠∠ABF＝∠C，BF＝CE，
∠AB＝AC，∠BAC＝90°，
∠∠FBE＝∠ABF+∠ABC＝90°，BC＝BE+EC＝BE+BF，
故答案为: BF∠BE，BC．
（2）过D作DH∠AC交BC于H，
∠DH∠AC，
∠∠BDH＝∠A＝90°，∠DBH是等腰直角三角形，
由（1）可证得：BF∠BE，BF+BE＝BH，
∠AB＝AC＝3，AD＝1，
∠BD＝DH＝2，
∠BH＝，
∠BF+BE＝BH＝；
（3）过D作DH∠AC交BC的延长线于H，作DM∠BC于M．
∠AC∠DH，
∠∠ACH＝∠H，∠BDH＝∠BAC＝α，
∠AB＝AC，
∠∠ABC＝∠ACB
∠∠DBH＝∠H，
∠DB＝DH，
∠∠EDF＝∠BDH＝α，
∠∠BDF＝∠HDE，
∠DF＝DE，DB＝DH，
∠BF ＝EH ，
∠BF +BE ＝EH +BE ＝BH ，
∠DB ＝DH ，DM ∠BH ，
∠BM ＝MH ，∠BDM ＝∠HDM ，
∠BM ＝MH ＝BD •sin 2α
．
∠BF +BE ＝BH ＝2n •sin 2α
．
5.（2019·濮阳二模）在∠ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝α，点D 为直线BC 上一动点，过点D 作DF ∠AC 交AB 于点F ，将AD 绕点D 顺时针旋转α得到ED ，连接BE ．
（1）特例猜想
如图1，当α＝90°时，试猜想：
∠AF 与BE 的数量关系是 ；∠∠ABE ＝ ；
（2）拓展探究
如图（2），当0°＜α＜90°时，请判断AF 与BE 的数量关系及∠ABE 的度数，并说明理由．
（3）解决问题
如图（3），在∠ABC 中，AC ＝BC ，AB ＝8，∠ACB ＝α，点D 在射线BC 上，将AD 绕点D 顺时针旋转α得到ED ，连接BE ，当BD ＝3CD 时，请直接写出BE 的长度．
图1 图2 图3
【答案】（1）AF ＝BF ，90°；（2）（3）见解析.
【解析】解：（1）设AB 交DE 于O ．
∠∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，
∠DF∠AC，
∠∠FDB＝∠C＝90°，
∠∠DFB＝∠DBF＝45°，
∠DF＝DB，
∠∠ADE＝∠FDB＝90°，
∠∠ADF＝∠EDB，
∠DA＝DE，
∠∠ADF∠∠EDB，
∠AF＝BE，
∠∠DAF＝∠E，
∠∠AOD＝∠EOB，
∠∠ABE＝∠ADO＝90°，
所以答案为AF＝BF，90°．
（2）结论：AF＝BE，∠ABE＝α．理由如下：
∠DF‖AC
∠∠ACB＝∠FDB＝α，∠CAB＝∠DFB，
∠AC＝BC，
∠∠ABC＝∠CAB，
∠∠ABC＝∠DFB，
∠DB＝DF，
∠∠ADF＝∠ADE﹣∠FDE，∠EDB＝∠FDB﹣∠FDE，即∠ADF＝∠EDB，
∠AD＝DE，
∠∠ADF∠∠EDB，
∠AF＝BE，∠AFD＝∠EBD
∠∠AFD＝∠ABC+∠FDB，∠DBE＝∠ABD+∠ABE，∠∠ABE＝∠FDB＝α．
（3）分两种情况讨论：
∠当点D在线段BC上时，
由（2）可知：BE＝AF，∠DF∠AC，
∠
1
4 AF CD
BA BC
==，
∠AB＝8，
∠AF＝2，
∠BE＝AF＝2，
∠当点D在BC的延长线上时，
∠AC∠DF，
∠
1
2 AF CD
BA BC
==，
∠AB＝8，
∠AF＝4，即BE=4，
综上所述，BE的长度为2或4．
6.（2019·开封二模）问题发现
如图1，∠ABC是等边三角形，点D是边AD上的一点，过点D作DE∠AC交AC于E，则线段BD与CE有何数量关系？
拓展探究
如图2，将∠ADE绕点A逆时针旋转角α（0°＜α＜360°），上面的结论是否仍然成立？如果成立，请就图中给出的情况加以证明．
问题解决
如果∠ABC的边长等于AD＝2，直接写出当∠ADE旋转到DE与AC所在的直线垂直时BD的长．
图1 图2 备用图
【答案】见解析．
【解析】解：（1）如图1，BD＝CE，理由是：
∠∠ABC是等边三角形，
∠AB＝AC，
∠DE∠BC，
∠∠ADE是等边三角形，即AD=AE，
∠BD＝CE；
（2）结论仍然成立，
由图1得：AD＝AE，
由旋转性质得：∠BAD＝∠CAE，
∠AB=AC，
∠∠BAD∠∠CAE，
∠BD＝CE；
（3）分两种情况讨论，
∠如图所示，过D作DG∠AB，垂足为G，
∠AF∠DE，AD=AE，
∠∠DAF＝∠EAF＝30°，
∠∠BAD＝30°，
由AD＝2，得：DG＝1，AG，
由AB＝，得：BG
由勾股定理得：BD＝2．
∠如图，
由（2）中证明可知：∠BAD∠∠CAE，∠BD＝CE，
∠AD＝AE，DE∠AC，∠ADE＝60°
∠∠EAF＝∠F AD＝30°，
∠EF＝FD＝1
2
AD＝1，
∠AF
∠CF＝AC+CF＝
在Rt∠EFC中，由勾股定理得：EC＝，
∠BD＝EC＝，
综上所述，BD的长为2或．
7.（2019·安阳二模）（1）问题发现：如图1，在四边形ABCD中，AB∠DC，E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，则AB，AD，DC之间的数量关系为．
（2）问题探究：如图2，在四边形ABCD中，AB∠DC，E是BC的中点，点F是DC的延长线上一点，
若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的数量关系，并证明你的结论
（3）问题解决：如图3，AB∠CD，点E在线段BC上，且BE：EC＝3：4．点F在线段AE上，且∠EFD ＝∠EAB，直接写出AB，DF，CD之间的数量关系．
图1 图2 图3
【答案】（1）AD＝AB+CD；（2）（3）见解析．
【解析】解：（1）结论：AD＝AB+CD．
理由：
∠AB∠CF，
∠∠CFE＝∠EAB，
∠CE＝EB，∠CEF＝∠AEB，
∠∠CEF∠∠BEA，
∠AB＝CF．
∠AF平分∠DAB，
∠∠DAF＝∠EAB，
∠∠EAB＝∠CFE，
∠∠DAF＝∠DF A，
∠AD＝DF，
∠DF＝DC+CF＝CD+AB，
∠AD＝AB+CD．
（2）结论：AB＝AF+CF．
理由：延长AE、DC交于G，
∠AB∠DG，
∠∠G＝∠EAB，
∠CE＝EB，∠CEG＝∠BEA，∠∠CEG∠∠BEA，
∠AB＝CG，∠G＝∠EAB，∠AE平分∠F AB，
∠∠F AG＝∠EAB，
∠∠G＝∠EAB，
∠∠F AG＝∠G，
∠F A＝FG，
∠CG＝CF+FG＝CF+AF，
∠AB＝AF+CF．
（3）结论：AB＝3
4
（CD+DF）．
延长AE、CD交于G．
∠CG∠AB，
∠
3
4
BE AB
CE CG
==，∠G＝∠A，
∠AB＝3
4 CG，
∠∠DFE＝∠A，
∠∠DFG＝∠G，
∠DF＝DG，
∠CD+DF＝CD+DG＝CG，
∠AB＝3
4
（CD+DF）．
8.（2019·中原名校大联考）如图1，在Rt∠ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC 上，AD＝AE，连接DC，BE，点P为DC的中点，
（1）【观察猜想】图1中，线段AP与BE的数量关系是，位置关系是．
（2）【探究证明】把∠ADE绕点A逆时针旋转到图2的位置，（1）中的猜想是否仍然成立？若成立请证明，否请说明理由；
（3）【拓展延伸】把∠ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出线段AP长度的最大值和最小值．
图1 图2
【答案】（1）AP＝1
2
BE，P A∠BE；（2）（3）见解析．
【解析】解：（1）设P A交BE于点O．
∠AD＝AE，AC＝AB，∠DAC＝∠EAB，∠∠DAC∠∠EAB，
∠BE＝CD，∠ACD＝∠ABE，
∠∠DAC＝90°，DP＝PC，
∠P A＝1
2
CD＝PC＝PD，
∠P A＝1
2
BE，∠C＝∠P AE，
∠∠CAP+∠BAO＝90°，∠∠ABO+∠BAO＝90°，∠∠AOB＝90°，
∠P A∠BE，
（2）结论成立．
理由：延长AP至M，使PM＝P A，连接MC，延长P A交BE于O．
∠P A＝PM，PD＝PC，∠APD＝∠CPM，
∠∠APD∠∠MPC，
∠AD＝CM，∠ADP＝∠MCP，
∠AD∠CM，
∠∠DAC+∠ACM＝180°，
∠∠BAC＝∠EAD＝90°，
∠∠EAB＝∠ACM，
∠AB＝AC，AE＝CM，
∠∠EAB∠∠MCA，
∠BE＝BM，∠CAM＝∠ABE，
∠P A＝1
2
AM，P A＝
1
2
BE，
∠∠CAM+∠BAO＝90°，
∠∠ABE+∠BAO＝90°，
∠∠AOB＝90°，
∠P A∠BE．
（3）∠AC＝10，CM＝4，
∠10﹣4≤AM≤10+4，
∠6≤AM≤14，
∠AM＝2AP，
∠3≤P A≤7．
∠P A的最大值为7，最小值为3．
9.（2018·新乡一模）如图1，在∠ABC与∠ADE中，AB=AC，AD=AE，∠A是公共角.（1）BD与CE的数量关系是：；
（2）把图1的∠ABC 绕点A 旋转一定的角度，得到如图2所示的图形.
∠求证：BD ＝CE ；
∠BD 与CE 所在直线的夹角与∠DAE 的数量关系是什么？说明理由.
（3）若AD =10，AB =6，把图1中的∠ABC 绕点A 顺时针旋转α度(0°<α≤360)直接写出BD 长度的取值范围.
图1 图2
【答案】（1）=；（2）（3）见解析.
【解析】解：∠AD =AE ，AB =BC ，
∠AD －AB =AE －AC ，
即BD =CE ；
（2）∠∠∠DAE =∠BAC ，
∠∠DAE +∠BAE =∠BAC +∠BAE .
即∠BAD =∠CAE .
在∠ABD 和∠ACE 中，AB AC
BAD CAE AD AE
=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∠∠ABD ∠∠ACE （SAS ）
∠BD=CE.
∠BD 与CE 所在直线的夹角与∠DAE 的度数相等.
延长DB 交CE 于点F .
E
C
∠∠ABD∠∠ACE，
∠∠ADB=∠AEC
∠∠AOD=∠EOF，
∠180°-∠ADB-∠AOD =180°-∠AEC-∠EOF，
即∠DAE=∠DFE
∠当B在线段AD上时，BD最小，最小值为10－6=4；当B在线段DA延长线上时，BD最大，最大值为10+6=16，
即4≤BD≤16.
10.（2019·河南模拟）【问题探索】（1）如图1，在Rt∠ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D，E分别在AC、BC边上，DC=CE，连接DE、AE、BD，点M、N、P分别是AE、BD、AB的中点，连接PM、PN、MN. 探索BE与MN的数量关系. 聪明的小华推理发现PM、PN的关系为，最后推理得到BE与MN的数量关系为.
【深入探究】（2）将∠DEC绕点C逆时针旋转到如图2的位置，判断（1）中的结论是否仍然成立，如果成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；
【答案】见解析.
【解析】解：（1）PM=PN，PM∠PM；BE；
∠AM=ME，AP=PB，
∠PM∠BE，PM=1
2 BE，
同理：PN∠AD，PN=1
2 AD，
∠AC=BC，CD=CE，∠AD=BE，
∠PM=PN，
∠∠ACB=90°，
∠AC∠BC，
∠∠PM∠BC，PN∠AC，
∠PM∠PN，
∠∠PMN的等腰直角三角形，
∠MN PM，
∠MN×1
2 BE，
∠BE MN.
（2）结论仍然成立．
连接AD、延长BE交AD于点H．
∠∠ABC和∠CDE是等腰直角三角形，
∠CD=CE，CA=CB，∠ACB=∠DCE=90°，∠∠ACD=∠ECB，
∠∠ECB∠∠DCA，
∠BE=AD，∠DAC=∠EBC，
∠AHB=180°-（∠HAB+∠ABH）
=180°-（45°+∠HAC+∠ABH）
=∠180°-（45°+∠HBC+∠ABH）
=90°，
∠BH∠AD，
∠M、N、P分别为AE、BD、AB的中点，
∠PM∠BE，PM=1
2
BE，PN∠AD，PN=
1
2
AD，
∠PM=PN，∠MPN=90°，
∠BE=2PM MN．。