凌河区民族中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

凌河区民族中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________
姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知点M （﹣6，5）在双曲线C ：﹣
=1（a ＞0，b ＞0）上，双曲线C 的焦距为12，则它的渐近线方程
为（ ）A ．y=±
x B ．y=±
x C ．y=±x
D ．y=±x 2． 设,,a b c R ∈，且a b >，则（ ）A ．ac bc > B ．
11
a b
< C ．22
a b >
D ．33
a b
>3． 函数f （x ）=2x ﹣的零点个数为（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
4． 设0＜a ＜1，实数x ，y 满足，则y 关于x 的函数的图象形状大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5． 己知y=f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ＜0时，f （x ）=x+2，那么不等式2f （x ）﹣1＜0的解集是（ ）
A ．
B ．或
C ．
D ．
或
6． △的内角，，所对的边分别为，，，已知
，则
ABC A B C a =b =6
A π
∠=
（ ）111]
B ∠=A ．
B ．
或
C ．
或
D ．
4
π
4π
34
π
3π
23
π
3
π
7． 已知函数，若存在常数使得方程有两个不等的实根21
1,[0,22
()13,[,1]
2
x x f x x x ⎧+∈⎪⎪=⎨⎪∈⎪⎩()f x t =12
,x x （），那么的取值范围为（ ）
12x x <12()x f x ∙
A ．
B ．
C ．
D ．3[,1)4
1[831
[
,)162
3[,3)
8
8． 设i 是虚数单位，是复数z 的共轭复数，若z =2（+i ），则z=（
）
A ．﹣1﹣i
B ．1+i
C ．﹣1+i
D ．1﹣i
9． 某几何体的三视图如下（其中三视图中两条虚线互相垂直）则该几何体的体积为（
）
A. B ．483C.D ．16
320310．已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面
积不可能是（ ）
A ．1
B ．
C ．
D ．
11．某大学的名同学准备拼车去旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名，分乘甲、乙两辆汽8车，每车限坐名同学（乘同一辆车的名同学不考虑位置），其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘44坐甲车的名同学中恰有名同学是来自同一年级的乘坐方式共有（ ）种.
42A ．
B ．
C ．
D ．24184836
【命题意图】本题考查排列与组合的基础知识，考查学生分类讨论，运算能力以及逻辑推理能力．
12．若定义在R 上的函数f （x ）满足f （0）=﹣1，其导函数f ′（x ）满足f ′（x ）＞k ＞1，则下列结论中一定错误的是（ ）A ．B ．
C ．
D ．
二、填空题
13．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若△ABC 不是直角三角形，则下列命题正确的是
（写出所有正确命题的编号）
①tanA •tanB •tanC=tanA+tanB+tanC ②tanA+tanB+tanC 的最小值为3
③tanA ，tanB ，tanC 中存在两个数互为倒数④若tanA ：tanB ：tanC=1：2：3，则A=45°⑤当tanB ﹣1=
时，则sin 2C ≥sinA •sinB ．
14．已知实数，满足，目标函数的最大值为4，则______．
x y 2330220y x y x y ≤⎧⎪
--≤⎨⎪+-≥⎩
3z x y a =++a =【命题意图】本题考查线性规划问题，意在考查作图与识图能力、逻辑思维能力、运算求解能力．15．已知直线5x+12y+m=0与圆x 2﹣2x+y 2=0相切，则m= ．16．命题：“∀x ∈R ，都有x 3≥1”的否定形式为 ．　
17．设满足条件，若有最小值，则的取值范围为
．
,x y ,
1,
x y a x y +≥⎧⎨
-≤-⎩z ax y =-a 18．已知圆C 1：（x ﹣2）2+（y ﹣3）2=1，圆C 2：（x ﹣3）2+（y ﹣4）2=9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值 ．　
三、解答题
19．求下列函数的定义域，并用区间表示其结果．（1）y=
+
；
（2）y=
．
20．【南师附中2017届高三模拟二】如下图扇形是一个观光区的平面示意图，其中为
，半AOB AOB ∠23
π
径为，为了便于游客观光休闲，拟在观光区内铺设一条从入口到出口的观光道路，道路由圆弧
OA 1km A B 、线段及线段组成．其中在线段上，且，设．
AC CD BD D OB //CD AO AOC θ∠=
（1）用表示的长度，并写出的取值范围；θCD θ（2）当为何值时，观光道路最长？
θ21．（本题满分15分）
如图是圆的直径，是弧上一点，垂直圆所在平面，，分别为，的中点.AB O C AB VC O D E VA VC （1）求证：平面；
DE ⊥VBC （2）若，圆的半径为，求与平面所成角的正弦值.
6VC CA ==O 5BE BCD
【命题意图】本题考查空间点、线、面位置关系，线面等基础知识，意在考查空间想象能力和运算求解能力．
22．(本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程．
在直角坐标系中，曲线C 1：（α为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐
{x ＝1＋3cos α
y ＝2＋3sin α
)
标系，C 2的极坐标方程为ρ＝
.
2
sin （θ＋π
4
）
（1）求C 1，C 2的普通方程；
（2）若直线C 3的极坐标方程为θ＝（ρ∈R ），设C 3与C 1交于点M ，N ，P 是C 2上一点，求△PMN 的面
3π4
积．
23．双曲线C ：x 2﹣y 2=2右支上的弦AB 过右焦点F ．（1）求弦AB 的中点M 的轨迹方程
（2）是否存在以AB 为直径的圆过原点O ？若存在，求出直线AB 的斜率K 的值．若不存在，则说明理由．
24．如图，已知AC ，BD 为圆O 的任意两条直径，直线AE ，CF 是圆O 所在平面的两条垂线，且线段AE=CF=，AC=2．（Ⅰ）证明AD ⊥BE ；
（Ⅱ）求多面体EF ﹣ABCD 体积的最大值．
凌河区民族中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）一、选择题
1．【答案】A
【解析】解：∵点M（﹣6，5）在双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）上，
∴，①
又∵双曲线C的焦距为12，
∴12=2，即a2+b2=36，②
联立①、②，可得a2=16，b2=20，
∴渐近线方程为：y=±x=±x，
故选：A．
【点评】本题考查求双曲线的渐近线，注意解题方法的积累，属于基础题．
2．【答案】D
【解析】
考点：不等式的恒等变换.
3．【答案】C
【解析】解：易知函数的定义域为{x|x≠1}，
∵＞0，
∴函数在（﹣∞，1）和（1，+∞）上都是增函数，
又＜0，f（0）=1﹣（﹣2）=3＞0，
故函数在区间（﹣4，0）上有一零点；
又f（2）=4﹣4=0，
∴函数在（1，+∞）上有一零点0，
综上可得函数有两个零点．
故选：C．
【点评】本题考查函数零点的判断．解题关键是掌握函数零点的判断方法．利用函数单调性确定在相应区间的零点的唯一性．属于中档题．
4．【答案】A
【解析】解：0＜a＜1，实数x，y 满足，即y=，故函数y为偶函数，它的图象关于y
轴对称，
在（0，+∞）上单调递增，且函数的图象经过点（0，1），
故选：A．
【点评】本题主要指数式与对数式的互化，函数的奇偶性、单调性以及特殊点，属于中档题．
5．【答案】B
【解析】解：因为y=f（x）为奇函数，所以当x＞0时，﹣x＜0，
根据题意得：f（﹣x）=﹣f（x）=﹣x+2，即f（x）=x﹣2，
当x＜0时，f（x）=x+2，
代入所求不等式得：2（x+2）﹣1＜0，即2x＜﹣3，
解得x＜﹣，则原不等式的解集为x＜﹣；
当x≥0时，f（x）=x﹣2，
代入所求的不等式得：2（x﹣2）﹣1＜0，即2x＜5，
解得x ＜，则原不等式的解集为0≤x ＜，
综上，所求不等式的解集为{x|x＜﹣或0≤x ＜}．
故选B
6．【答案】B
【解析】
试题分析：由正弦定理可得
或，故选B.
()
sin0,,
4
B B B
π
π
=∴=∈∴=
3
4
π
考点：1、正弦定理的应用；2、特殊角的三角函数. 7．【答案】C
【解析】
试题分析：由图可知存在常数，使得方程有两上不等的实根，则
，由，可得()f x t =314t <<13
24
x +=
，由，可得，即，则
14x =213x =x =12111,422x x ≤<≤≤2
21143
x ≤≤.故本题答案选C.
()212123133,162x f x x x ⎡⎫
=⋅∈⎪⎢⎣⎭
考点：数形结合．
【规律点睛】本题主要考查函数的图象与性质,及数形结合的数学思想方法.方程解的个数问题一般转化为两个常见的函数图象的交点个数问题来解决.要能熟练掌握几种基本函数图象,如二次函数,反比例函数,指数函数,对数函数,幂函数等.掌握平移变换,伸缩变换,对称变换,翻折变换,周期变换等常用的方法技巧来快速处理图象.
8． 【答案】B
【解析】解：设z=a+bi （a ，b ∈R ），则=a ﹣bi ，由z
=2（+i ），得（a+bi ）（a ﹣bi ）=2[a+（b ﹣1）i]，
整理得a 2+b 2=2a+2（b ﹣1）i ．则
，解得
．
所以z=1+i ．故选B ．
【点评】本题考查了复数代数形式的混合运算，考查了复数相等的条件，两个复数相等，当且仅当实部等于实部，虚部等于虚部，是基础题．　
9． 【答案】
【解析】选D.根据三视图可知，该几何体是一个棱长为2的正方体挖去一个以正方体的中心为顶点，上底面为底面的正四棱锥后剩下的几何体如图，其体积V ＝23－×2×2×1＝，故选D.
13203
10．【答案】C
【解析】解：水平放置的正方体，当正视图为正方形时，其面积最小为1；当正视图为对角面时，其面积最大为
．
因此满足棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积的范围为
．
因此可知：A ，B ，D 皆有可能，而＜1，故C 不可能．
故选C ．
【点评】正确求出满足条件的该正方体的正视图的面积的范围为是解题的关键．
11．【答案】A
【解析】分类讨论，有2种情形.孪生姐妹乘坐甲车，则有种. 孪生姐妹不乘坐甲车，则有
12121223=C C C 种. 共有24种. 选A.
12121213=C C C 12．【答案】C
【解析】解；∵f ′（x ）=f ′（x ）＞k ＞1，∴＞k ＞1，
即＞k ＞1，
当x=时，f （）+1＞×k=
，
即f （）﹣1=
故f （）＞，
所以f （）＜
，一定出错，故选：C ．　
二、填空题
13．【答案】　①④⑤　
【解析】解：由题意知：A ≠
，B ≠
，C ≠
，且A+B+C=π
∴tan （A+B ）=tan （π﹣C ）=﹣tanC ，
又∵tan （A+B ）=
，
∴tanA+tanB=tan （A+B ）（1﹣tanAtanB ）=﹣tanC （1﹣tanAtanB ）=﹣tanC+tanAtanBtanC ，
即tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC ，故①正确；
当A=
，B=C=时，tanA+tanB+tanC=＜3，故②错误；若tanA ，tanB ，tanC 中存在两个数互为倒数，则对应的两个内角互余，则第三个内角为直角，这与已知矛盾，故③错误；
由①，若tanA ：tanB ：tanC=1：2：3，则6tan 3A=6tanA ，则tanA=1，故A=45°，故④正确；当tanB ﹣1=时， tanA •tanB=tanA+tanB+tanC ，即tanC=，C=60°，此时sin 2C=，
sinA •sinB=sinA •sin （120°﹣A ）=sinA •（cosA+
sinA ）=sinAcosA+sin 2A=sin2A+﹣
cos2A=sin （2A ﹣30°）≤
，则sin 2C ≥sinA •sinB ．故⑤正确；
故答案为：①④⑤
【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了和角的正切公式，反证法，诱导公式等知识点，难度中档．　
14．【答案】3
-【解析】作出可行域如图所示：作直线：，再作一组平行于的直线：，当直线
0l 30x y +=0l l 3x y z a +=-经过点时，取得最大值，∴，所以，故l 5(,2)3M 3z a x y -=+max 5()3273
z a -=⨯+=max 74z a =+=．
3a =-
15．【答案】8或﹣18
【解析】【分析】根据直线与圆相切的性质可知圆心直线的距离为半径，先把圆的方程整理的标准方程求得圆心和半径，在利用点到直线的距离求得圆心到直线的距离为半径，求得答案．
【解答】解：整理圆的方程为（x ﹣1）2++y 2=1
故圆的圆心为（1，0），半径为1
直线与圆相切
∴圆心到直线的距离为半径即=1，求得m=8或﹣18
故答案为：8或﹣18
16．【答案】　∃x 0∈R ，都有x 03＜1　．
【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题．所以，命题：“∀x ∈R ，都有x 3≥1”的否定形式为：命题：“∃x 0∈R ，都有x 03＜1”．
故答案为：∃x 0∈R ，都有x 03＜1．
【点评】本题考查全称命题与特称命题的否定关系，基本知识的考查．
17．【答案】[1,)
+∞【解析】解析：不等式表示的平面区域如图所示，由得，当,1,x y a x y +≥⎧⎨-≤-⎩
z ax y =-y ax z =-01a ≤<时，平移直线可知，既没有最大值，也没有最小值；当时，平移直线可知，在点A 处取得最小1l z 1a ≥2l z 值；当时，平移直线可知，既没有最大值，也没有最小值；当时，平移直线可知，
10a -<<3l z 1a ≤-4l
．
1a ≥18．【答案】　5
﹣4　．
【解析】解：如图，圆C 1关于x 轴的对称圆的圆心坐标A （2，﹣3），半径为1，圆C 2的圆心坐标（3，4），半径为3，|PM|+|PN|的最小值为圆A 与圆C 2的圆心距减去两个圆的半径和，
即：
﹣4=5﹣4．
故答案为：5﹣4．
【点评】本题考查圆的对称圆的方程的求法，考查两个圆的位置关系，两点距离公式的应用，考查转化思想与计算能力，考查数形结合的数学思想，属于中档题．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）∵y=+，
∴，解得x ≥﹣2且x ≠﹣2且x ≠3，
∴函数y 的定义域是（﹣2，3）∪（3，+∞）；
（2）∵y=
，
∴，解得x ≤4且x ≠1且x ≠3，
∴函数y 的定义域是（﹣∞，1）∪（1，3）∪（3，4]．
20．【答案】（1）;（2）设当时，取得最大值，即当cos ,0,3CD πθθθ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭∴6πθ=()L θ6πθ=时，观光道路最长.【解析】试题分析：（1）在中，由正弦定理得：
OCD ∆sin sin sin CD OD CO COD DCO CDO
==∠∠∠
，2cos 3CD πθθθ⎛⎫∴=-=+ ⎪⎝⎭OD θ=
1sin 03
OD OB πθθθ<<∴<<<
cos ,0,3CD πθθθ⎛⎫∴=+∈ ⎪⎝⎭
（2）设观光道路长度为，
()L θ则()L BD CD AC θ=++弧的长
= = ，1cos θθθθ++cos 1θθθ++0,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
∴()sin 1L θθθ=-+'
由得：，又()0L θ'=sin 6πθ⎛⎫+
= ⎪⎝⎭0,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
6πθ∴=列表：θ
0,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭6π,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭()
L θ'+0-()L θ↗极大值↘
当时，取得最大值，即当时，观光道路最长.
∴6π
θ=()L θ6π
θ=考点：本题考查了三角函数的实际运用
点评：对三角函数的考试问题通常有：其一是考查三角函数的性质及图象变换，尤其是三角函数的最大值与最小值、周期。

多数题型为选择题或填空题；其次是三角函数式的恒等变形。

如运用三角公式进行化简、求值解决简单的综合题等。

除在填空题和选择题出现外，解答题的中档题也经常出现这方面内容。

另外，还要注意利用三角函数解决一些应用问题
21．【答案】（1）详见解析；（2.【解析】（1）∵，分别为，的中点，∴，…………2分D E VA VC //DE AC ∵为圆的直径，∴，…………4分
AB O AC BC ⊥又∵圆，∴，…………6分
VC ⊥O VC AC ⊥∴，，又∵，∴；…………7分
DE BC ⊥DE VC ⊥VC BC C = DE VBC ⊥面
（2）设点平面的距离为，由得，解得E BCD d D BCE E BCD V V --=1
133
BCE BCD DE S d S ∆∆⨯⨯=⨯⨯
，…………12分 设与平面所成角为，∵，d =BE BCD θ8BC ==
，则.…………15分
BE ==sin d BE θ==22．【答案】
【解析】解：（1）由C 1：（α为参数）{x ＝1＋3cos αy ＝2＋3sin α)
得（x －1）2＋（y －2）2＝9（cos 2α＋sin 2α）＝9.
即C 1的普通方程为（x －1）2＋（y －2）2＝9，
由C 2：ρ＝得2sin （θ＋π4）ρ（sin θ＋cos θ）＝2，
即x ＋y －2＝0，
即C 2的普通方程为x ＋y －2＝0.
（2）由C 1：（x －1）2＋（y －2）2＝9得
x 2＋y 2－2x －4y －4＝0，
其极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ－4＝0，
将θ＝代入上式得3π4ρ2－ρ－4＝0，
2ρ1＋ρ2＝，ρ1ρ2＝－4，
2∴|MN |＝|ρ1－ρ2|＝＝3.
（ρ1＋ρ2）2－4ρ1ρ22C 3：θ＝π（ρ∈R ）的直角坐标方程为x ＋y ＝0，34
∴C 2与C 3是两平行直线，其距离d ＝＝.22
2∴△PMN 的面积为S ＝|MN |×d ＝×3×＝3.121222即△PMN 的面积为3.
23．【答案】
【解析】解：（1）设M （x ，y ），A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），则x 12﹣y 12=2，x 22﹣y 22=2，
两式相减可得（x 1+x 2）（x 1﹣x 2）﹣（y 1+y 2）（y 1﹣y 2）=0，
∴2x （x 1﹣x 2）﹣2y （y 1﹣y 2）=0，
∴=，
∵双曲线C：x2﹣y2=2右支上的弦AB过右焦点F（2，0），
∴，
化简可得x2﹣2x﹣y2=0，（x≥2）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（2）假设存在，设A（x1，y1），B（x2，y2），l AB：y=k（x﹣2）由已知OA⊥OB得：x1x2+y1y2=0，
∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣①
，
所以（k2≠1）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②
联立①②得：k2+1=0无解
所以这样的圆不存在．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
24．【答案】
【解析】（Ⅰ）证明：∵BD为圆O的直径，∴AB⊥AD，
∵直线AE是圆O所在平面的垂线，
∴AD⊥AE，
∵AB∩AE=A，
∴AD⊥平面ABE，
∴AD⊥BE；
（Ⅱ）解：多面体EF﹣ABCD体积V=V B﹣AEFC+V D﹣AEFC=2V B﹣AEFC．∵直线AE，CF是圆O所在平面的两条垂线，
∴AE∥CF，∥AE⊥AC，AF⊥AC．
∵AE=CF=，∴AEFC为矩形，
∵AC=2，
∴S AEFC=2，
作BM⊥AC交AC于点M，则BM⊥平面AEFC，
∴V=2V B﹣AEFC=2×≤=．
∴多面体EF﹣ABCD体积的最大值为．
【点评】本题考查线面垂直，线线垂直，考查体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，难度中等．　。