高三上学期数学期中考试题(含答案)

高三上学期数学期中考试题（含答案）
时间：120分钟 总分：150分
一、单选题：（本大题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合 题目要求的）
1.已知全集{}1,2,3,4,5,6U =，集合{}2,3,5A =，集合{}1,3,4,6B =，则集合(
)U
A B =（ ）
A.{}3
B.{}2,5
C.{}1,4,6
D.{}2,3,5
2.已知i 为虚数单位，则12i
2i
++在复平面上对应的点在（ ） A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
3.在等差数列{}n a 中，若24681080a a a a a ++++=，则781
2
a a -的值为（ ） A.4
B.6
C.8
D.10
4.已知向量()1,2a =，()2,b x =，若a b ⊥，则2a b +=（ ）
A. B.4
C.5
D.5.某种兼职工作虽然以计件的方式计算工资，但是对于同一个人的工资与其工作时间还是存在一定的相关关系，已知小孙的工作时间x （单位：小时）与工资y （单位：元）之间的关系如下表：
A.75元
B.76元
C.77元
D.78元
6.若1
sin cos 5
αα+=
，0απ<<，则sin2cos2αα+=（ ） A.1725 B.1725- C.3125 D.3125- 7.如图，平面ABCD ⊥平面ABEF ，四边形ABCD 是正方形，四边形ABEF 是矩形，G 是EF 的中点，1AF =，2AB =，则三棱锥C ABG -外接球的表面积是（ ）
A.6π
C.8π B.10π
D.12π
8.已知函数2ln y a x =-，1e e x ⎛⎫
≤≤
⎪⎝⎭
的图象上存在点M ，函数21y x =+的图象上存在点N ，且M ，N 关于x 轴对称，则a 的取值范围是（ ）
A.2
1e ,2⎡⎤--⎣⎦
B.213,e ⎡
⎤
--
+∞⎢⎥⎣
⎦
C.213,2e ⎡
⎤---⎢⎥⎣
⎦
D.2
211e ,3e ⎡
⎤---
⎢⎥⎣
⎦
二、多选题（本题共4小题，每题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9.以下关于函数()sin2f x x x =的命题，正确的是（ ）
A.函数()y f x =的最小正周期为π
B.点,012π⎛⎫
⎪⎝⎭
是函数()y f x =图象的一个对称中心 C.直线3
x π
=
是函数()y f x =图象的一条对称轴
D.将函数()y f x =的图象向右平移
6
π
个单位后得到的函数的图象关于原点对称. 10.已知抛物线2
:4C y x =的焦点为F ，点()00,M x y 在抛物线C 上，若4MF =，则（ ）
A.03x =
B.0y =
C.OM =
D.F 的坐标为()0,1
11.已知函数()sin cos f x x x =-，若()g x 是()f x 的导函数，则下列结论中正确的是（ ） A.函数()f x 的值域与()g x 的值域相同
B.若0x 是函数()f x 的极大值点，则0x 是函数()g x 的极小值点
C.把函数()f x 的图象向右平移
2π
个单位，就可以得到函数()g x 的图象 D.函数()f x 和()g x 在区间,
44ππ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
上都是增函数
12.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，O 为正方形1111A B C D 的中心，则下列结论正确的是（ ）
A.BO AC ⊥
B.BO ∥平面1ACD
C.点B 到平面1ACD
D.直线BO 与直线1AD 的夹角为
3
π 三、填空题（每题5分，共20分） 13.()7
1x +展开式中3x 的系数为______.
14.如图，直线l 是曲线()y f x =在5x =处的切线，则()()55f f +'=______.
15.已知(),P a b 为圆2
2
:2440C x y x y +--+=上任意一点，则
1
1
b a -+的最大值为______.
16.已知椭圆()222210x y a b a b
+=>>与抛物线()2
40y px p =>有相同的焦点F ，点A 是两曲线的一个公共
点，且AF x ⊥轴，则椭圆的离心率是______.
四、解答题（本大题共6小题，共70分，解题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本小题10分）已知数列{}n a 满足12a =，1
122n n n a a ++=+.
（1）证明数列2n n a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
为等差数列； （2）设2
n n n
a
b =，证明：122311111n n b b b b b b +++⋅⋅⋅+<. 18.（本小题12分）已知ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，
c ，且sin cos 6b C c B π⎛
⎫
=- ⎪⎝
⎭
. （1）求角B ；
（2）若4b =，求ABC △周长的最大值.
19.（本小题12分）2022年8月7日是中国传统二十四节气“立秋”，该日，“秋天的第一杯奶茶”再度出圈，据此，学校社会实践小组随机调查了该地区100位奶茶爱好者的年龄，得到如下样本数据频率分布直方图.
（1）估计奶茶爱好者的平均年龄；（同一组数据用该区间的中点值作代表） （2）估计奶茶爱好者年龄位于区间[)20,60的概率；
（3）以频率替代概率进行计算，若从该地区所有奶茶爱好者中任选3人，求3人中年龄在30岁以下的人数
X 的分布列和期望.
20.（本小题12分）如图，四棱雉P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，1PD DC ==
，PC BC ==M
为BC 上的点，且AM ⊥平面PDB ；
（1）求证：PD ⊥平面ABCD ； （2）求二面角A PM B --的正弦值.
21.（本小题12分）已知双曲线22
22:1(0,0x y C a b a b
-=>>）的右焦点()4,0F 到渐近线的距离为
（1）求双曲线C 的方程.
（2）过点F 的直线与双曲线C 的右支交于A ，B 两点，在x 轴上是否存在点P ，使得点F 到直线PA ，PB 的距离相等?若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.
22.（本小题12分）已知函数()()2
ln 24f x a x x x a R =+-∈.
（1）若2x =是()f x 的极值点，求()f x 的单调区间； （2）求()()g x f x ax =-在区间[]
1,e 上的最小值()h a .
参考答案及解析
时间：120分钟 总分：150分
一、单选题（每题5分，共40分） 1.【答案】B
【分析】根据补集以及交集的定义求解即可. 【解答】解：{}2,5U
B =，(
){}2,5U
A
B =，故选B.
2.【答案】A 【解析】
【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题. 利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数所对应点的坐标得答案. 【解答】解：
()()()()12i 2i 12i 43i 2i 2i 2i 55
+-+===+++-， ∴
12i 2i ++在复平面上对应的点的坐标为43,55⎛⎫
⎪⎝⎭
，位于第一象限.故选：A. 3.【答案】C 【解析】【分析】
本题主要考查了等差数列的性质，属于基础题.
先根据题意，运用等差数列的性质得到616a =，再通过等差数列的性质化简所求，代入计算，即可得到答案. 【解答】解：由2468106580a a a a a a ++++==，∴616a =， ∴()()787868861111
282222
a a a a a a a a -
=-=+-==，故选C. 4.【答案】C 【解析】
【分析】本题考查向量的模的求法，考查向理垂直、向量坐标运算法则等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题.
利用向量垂直的性质得1x =-，再由平面向量坐标运算法则求出2a b +，由此能求出2a b +. 【解答】
解：∵向量()1,2a =，()2,b x =，a b ⊥，∴220a b x ⋅=+=，解得1x =-，
∴()24,3a b +=，∴21695a b +=+=.故选：C. 5.【答案】B 【解析】
【分析】本题考查回归直线方程及其应用，属于基础题. 先求出a ，再求预测值即可. 【解答】解：由题意，得2456855x ++++=
=，3040506070
505
y ++++==，
将样本中心点()5,50代入 6.5ˆy
x a =+， 则50 6.5517.5a a =⨯+⇒=，
故性回归方程为 6.5175ˆ.y
x =+， 当9x =时，ˆ76y
=元，故选B. 6.【答案】D 【解析】
【分析】本题考查同角三角函数的基本关系和二倍角公式的应用，是中档题.
利用同角三角函数的基本关系求得sin2α、sin α和cos α的值，再利用二倍角公式求值即可. 【解答】解：因为1
sin cos 5
αα+=，0απ<<， ∴两边平方得112sin cos 25
αα+=， ∴24
2sin cos sin225
ααα==-
，∴α为针角，
所以7
sin cos 5
αα-==，
∴4sin 5α=，3cos 5α=-，则27
cos22cos 125
αα=-=-，
则24731
sin2cos2252525
αα⎛⎫+=-
+-=- ⎪⎝⎭.故本题选D. 7.【答案】B
解：因为平面ABCD ⊥平面ABEF ，四边形ABCD 是正方形，四边形ABEF 是矩形，所以BC ⊥平面ABG ，
因为1AF FG ==，AG BG ==
2AB =，所以ABG △为直角三角形，
所以球心O 在过AB 的中点且与BC 平行的直线上， 又因为OA OB OC ==，
所以点O 为AC 的中点，所以R OB ==
所以外接球的表面积是2
48ππ=.故选B.
8.【答案】：A
解：因为函数2
1y x =+与函数2
1y x =--的图象关于x 轴对称， 根据已知得函数2ln y a x =-，1e e x ⎛⎫
≤≤
⎪⎝⎭
的图象与函数21y x =--的图象有交点，
即方程22ln 1a x x -=--在1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
上有解，
即22ln 1a x x =--在1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
上有解.
令()2
2ln 1g x x x =--，1,e e
x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，
则()()
2
2212222x
x g x x x x x --=
'=-=， 可知()g x 在1,1e ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递增，在[]1,e 上单调递减，
故当1x =时，()()max 12g x g ==-， 由于2113e e g ⎛⎫
=--
⎪⎝⎭
，()2e 1e g =-，且2
2131e e
-->-，所以21e 2a -≤≤-. 二、多选题（每题5分，共20分） 9.【答案】AD 【解析】
【分析】本题考查三角函数的图象的对称性，单调性以及图象变换，是基本知识的考查，属于基础题. 根据周期性可得A 正确；根据对称中心和对称轴的性质，可判断B 、C 错误；利用诱导公式和平移法则可得D 正确.
【解答】解：因为函数()sin22sin 23f x x x x π⎛
⎫
==+
⎪⎝
⎭
的最小正周期为π，故A 正确； 2sin 22sin 20121232f ππππ⎛⎫⎛
⎫=⨯+==≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，故B 错；
当3
x π
=
时，()2sin 22sin 023
3f x π
ππ⎛
⎫
=⨯
+
==≠± ⎪⎝
⎭
， 所以3
x π
=
不是函数()f x 的图象的对称轴方程，故C 错；
将函数()y f x =的图象向右平移
6π
个单位后得到的函数2sin 22sin263y x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦，满足()2sin 22sin2x x -=-，故函数的图象关于原点对称，故D 正确.故答案为：AD.
10.【答案】AC 【解析】
【分析】本题考查抛物线的概念及标准方程、抛物线的性质及几何意义，属于基础题. 根据题意对各选项逐项判定，即可求出结果. 【解答】解：抛物线2
:4C y x =，所以2p =， 所以抛物线的焦点坐标为()1,0F ，所以D 不正确； 点()00,M x y 在抛物线C 上， 所以00142
p
x x +
=+=，所以03x =，所以A 正确；
将03x =代入抛物线方程，可得0y =±B 不正确；
OM ==，所以C 正确.故选AC.
11.【答案】AD
解：()sin cos 4f x x x x π⎛
⎫=-=
- ⎪⎝
⎭，
()()
sin cos 4g x f x x x x π⎛
⎫'==+=+ ⎪⎝
⎭.
A.()f x 与()g x 的值域均为⎡⎣，故A 正确；
B.若0x 是函数()f x 的极大值点，则()00f x '=，即()00g x =， 即0x 是函数()g x 的零点，故B 错误；
C.函数()f x 的图象向右平移
2π
个单位，得 ()3
,2244f x x x g x ππππ⎛⎫⎛
⎫⎛
⎫
-=--=-
≠ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭
故C 错误； D.当,44x ππ⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭
时，,042x ππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，()f x 单调递增；
当,44x ππ⎛⎫
∈-
⎪⎝⎭
时，0,42x ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，()g x 单调递增，
故D 正确.故选AD. 12.【答案】ABC
解：如图，连接11AC ，11B D ，则11
11AC B D O =，
连接BD ，交AC 于G ，连接1D G ，则1BG OD ∥，且则1BG OD =， 可得四边形1BOD G 为平行四边形，则1BO D G ∥，
∵11AD CD =，G 为AC 的中点，∴1D G AC ⊥，可得BO AC ⊥，故A 正确； 由上可知，1BO D G ∥，1D G ⊂平面1ACD ，BO ⊄平面1ACD ， ∴BO ∥平面1ACD ，故B 正确；
∵DG BG =，∴点B 、D 到平面1ACD 的距离相等，
1111
111326
D ADC V -=⨯⨯⨯⨯=，112AD C S ==，
设D 到平面1ACD 的距离为h ，则1136=，得h =C 正确； 直线BO 与直线1AD 的夹角等于16
AD G π
∠=
，故D 错误.故选：ABC.
三、填空题（每题5分，共20分） 13.【答案】35 【解析】
【分析】本题考查了二项式定理的应用，属于基础题.
利用二项式定理得出()7
1x +的通项，令3r =得3x 的系数，由此即可解题，本题搞清楚展开式中3x 项的来历是解题关键.
【解答】解：因为二项式()7
1x +的通项为17r r
r T C x +=， 令3r =，则3x 的系数为3
735C =，故答案为35.
14.【答案】7 【解析】
【分析】本题考查了导数的几何意义，属于基础题.
根据导数的几何意义，()5f '是曲线在()5,5处的切线斜率，结合()55f =，即可得解. 【解答】解：由题意，()()
555250
f ---'==，()55f =，所以()()557f f +'=；
故答案为7. 15.【答案】43
【解析】
【分析】本题考查直线的斜率，考查直线与圆的位置关系，涉及点到直线的位置关系，属于中档题.
11b a -+代表圆上的点(),P a b 与点()1,1A -连线的斜率，画出图形结合图象可知当直线PA 与圆相切时，1
1
b a -+取得最值，求解即可.
【解答】解：圆2
2
:2440C x y x y +--+=的圆心坐标为()1,2C ，半径1r =，
1
1
b a -+代表圆上的点(),P a b 与点()1,1A -连线的斜率k ， 如图：结合图象可知当直线PA 与圆相切时，1
1
b a -+取得最值，此时直线PA 斜率存在，
设直线():11PA y k x -=+，即10kx y k -++=，
1r ==，解得0k =或4
3
.
结合图象可知：k 的最大值为43，即11b a -+有最大值是43.故答案为43
. 16.
1 【解析】
【分析】本题考查椭圆离心率的求法，考查椭圆的焦点与抛物线的焦点，属于一般题.
【解答】依题意，抛物线()2
40y px p =>的焦点(),0F p 也是椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的焦点，所以
222a b p =+ .因为点A 是两曲线的一个公共点，且AF x ⊥轴，所以点A 的横坐标为p ，代入抛物线方程得
(),2A p p 或(),2A p p -，将其代入椭圆方程得222241p p a b
+=，又222
a b p =+，所以22222
41p p a a p +=-.又椭圆的离心率p e a
=，222p e a =，所以2
2222222222222
444111p p p p e a e p a a p a e a
+=+=+=---，
解得23e =±因为椭圆离心率的取值范围为()0,1
，所以)
2
2
31e =-=
，即1e =.
四、解答题（共70分，请写出必要的文字说明和解答步骤）
17.【答案】证明：（1）根据题意，12a =，1
122n n n a a ++=+
在等式左右两边同时除以1
2n +得，
1111112222n n n n
n n n n
a a a a ++++=+⇒-=， 由此可得，数列2n n
a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
是首项为112a =，公差为1的等差数列. （2）由（1）可得，()112n n n
a
b n n ==+-=.
∴()11111
11
n n b b n n n n +==-++ ∴
12231111111111111112233411n n b b b b b b n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+=-+-+-+⋅⋅⋅+-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
从而得证. 【解析】（1）根据递推关系式，使用构造法结合等差数列的定义，进行验证； （2）使用裂项相消法求解前n 项和，然后判定最后结果.
本题考查等差数列的性质和证明，以及裂项相消法在数列求和中的使用，属于基础题.
18.【答案】解：（1
）由题意，1sin cos sin 62b C c B c B B π⎫⎛⎫=-=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，
由正弦定理，1sin sin sin sin 2B C C B B ⎫=+⎪⎪⎝⎭
，由()0,C π∈，即sin 0C ≠，
所以1
sin sin 2
B B B =+，
从而
1sin 2B B =，解得tan B =()0,B π∈，所以3
B π=； （2）由余弦定理222
1cos 22a c b B ac
+-==，从而2216a c ac +-=，
即()()22
3163164
a c ac a c +=+≤++，且4a c <+，
解得48a c <+≤，当且仅当4a c ==时取最大值， 此时ABC △周长取最大值12a b c ++=.
【解析】本题考查余弦两角差公式，正弦定理，余弦定理，基本不等式，属于中档题. （1）通过余弦两角差公式和正弦定理化简等式sin cos 6b C c B π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
，可以求出B 的大小； （2）利用余弦定理表示出a ，c 之间的关系，利用基本不等式求出a c +的最大值，进而得到周长的最大值. 19.【答案】
解：（1）估计奶茶爱好者的平均年龄
()50.016150.036250.028350.010450.008550.0021021.4x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=（岁）
（2）由题图，得奶茶爱好者年龄位于区间[
)20,60的频率为
()100.028100.010100.008100.0020.48⨯+⨯+⨯+⨯=，用频率估计概率， 故奶茶爱好者年龄位于区间[)20,60的概率为0.48.
（3）年龄在30岁以下的概率为
4
5
X 的取值为0，1，2，3 ()3
1105125P x ⎛⎫=== ⎪⎝⎭ ()1
2
134112155125P x C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭ ()2
1
23
4148255125P x C ⎛⎫⎛⎫===
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()3
46435125
P x ⎛⎫
=== ⎪⎝⎭ X 的分布列为
()355
E X =⨯
= 【解析】本题考查频率直方图的应用，考查条件概率求法，属基础题. （1）根据频率分布直方图计算平均数即可；
（2）根据频率分布直方图计算奶茶爱好者年龄位于区间[)20,60的频率即可求解. 20.【答案】
解：（题目做了调整，第（2）问只给中间数据和答案）（5） 平面PMB 的一个法向量为()0,1,1n =，
所以3cos ,147m n m n m n ⋅===
⨯
， 所以二面角A PM B --= 21.【答案】解：（1）由题可知2
216a b
+=，
又0bx ay +=是双曲线C 的一条渐近线，
=b =2a ==，
所以双曲线C 的标准方程为22
1412
x y -=. （2）假设存在(),0P n ，设()11,A x y ，()22,B x y ，
设直线():40AB x my m =+≠，则224,1,412
x my x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得()223124360m y my -++=， 则()()
222122122310,24436310243136
31m m m m y y m y y m ⎧-≠⎪∆=-⨯->⎪⎪⎪⎨+=-⎪-⎪⎪=⎪-⎩ 因为使得点F 到直线PA ，PB 的距离相等，所以PF 是APB ∠的角平分线，则0PA PB k k +=，
即12120y y x n x n
+=--，()()1221440y my n y my n +-++-=， ()()1212240my y n y y +-+=，
()2242436203131
n m m m m -⨯⋅-=--，即()340m m n --=，因为0m ≠，所以1n =， 故存在()1,0P .
【解析】本题考查双曲线的概念和标准方程、直线和双曲线的概念和标准方程
（1）由题可知2216a b +=，再结合双曲线的渐近线方程求出a ，b ，即可求解；
（2）假设存在(),0P n ，设()11,A x y ，()22,B x y ，设直线():40AB x my m =+≠，结合点F 到直线PA ，PB 的距离相等，所以PF 是APB ∠的角平分线，则0PA PB k k +=，进行求解即可；
22.【答案】
解：（1）()f x 的定义域为()0,+∞，
()24444a x x a f x x x x
-+'=+-=. 因为2x =是()f x 的极值点，
所以()168202
a f -+'==，解得8a =-， 所以()()()2421448x x x x f x x x
-+--=='， 当2x >时，()0f x '>；当02x <<时，()0f x '<，
所以()f x 的单调递减区间为()0,2，单调递增区间为()2,+∞.
（2）()2
ln 24g x a x x ax x =+--， 则()()()4144x a x a g x x a x x
--=
+--='， 令()0g x '=，得4
a x =或1x =. （1）当14
a ≤，即4a ≤时，()g x 在[]1,e 上为增函数，()()12h a g a ==--； （2）当14a e <<，即44a e <<时，()g x 在1,4a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在,4a e ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增， 所以()21ln 448a a h a g a a a ⎛⎫==--
⎪⎝⎭； （3）当4
a e ≥，即4a e ≥时，()g x 在[]1,e 上为减函数， 所以()()()2124h a g e e a e e ==-+-.
综上所述，()()222,41ln ,44.48124,4a a a h a a a a a e e a e e a e --≤⎧⎪⎪=--<<⎨⎪-+-≥⎪⎩
【解析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、极值与最值问题，考查分类讨论思想，是一道中档题.
（1）由于2x =是函数()f x 的一个极值点，可得()20f '=，解出a 并验证即可求解单调区间；
（2）求出函数()g x 的导数，通过讨论a 的范围，得到函数()g x 的单调性，求出()h a 的解析式即可.。