创新设计浙江专用高中数学第一章三角函数1.2.1任意角的三角函数一课件新人教版必修411040278

②x叫做α的_余__弦_(，yú记xi作án)__c_o_s_α，即_c_o_s_α_＝__x；
③ y叫做α的_正__切__，记作__ta_n_α_，即tan α＝ (yx≠
x
x
0).对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的.故正弦、余弦
(yúxián)、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标
(1)cos253π＋tan－154π； (2)sin 810°＋tan 765°－cos 360°. 解 (1)原式＝cos8π＋π3 ＋tan－4π＋π4 ＝cosπ3 ＋tanπ4 ＝12＋1＝32. (2)原式＝sin(90°＋2×360°)＋tan(45°＋2×360°)－ cos 360°＝sin 90°＋tan 45°－1＝1＋1－1＝1.
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2.若角 α 的终边上有一点是 A(2，0)，则 tan α的值是( )
A.－2 B.2 C.1
D.0
解析 因为角α的终边上有一点(yī diǎn)是A(2，0)，所以α的
终边落在x轴的非负半轴上，从而tan α＝0.
答案(dáàn) D
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3.sin 136π的值是(
(3)若 sin α·cos α>0，则 α 是第一象限角.( × ) (4)已知 P(3a，4a)是角 α 终边上一点，故 sin α＝45.( × )
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提示 (1)由三角函数定义可知，一个角的三角函数值，仅 与终边位置有关.
π (2)sin 2 ＝1>0，故错.
(3)α 是第三象限角时，sin α·cos α>0，故错. (4)当 α<0 时，sin α＝－45.
α α<0，则角 α 是(
)
Байду номын сангаас
A.第一象限角
B.第二象限角
C.第三象限角
D.第四象限角
解析
由 sin
αtan
α<0
可知
α
应在二、三象限，由cos tan
α α
<0 可知 α 应在三、四象限，故 α 应在第三象限.
答案(dáàn) C
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类型三 诱导公式(gōngshì)一的应用 【例3】 计算下列各式的值：
的比值为函数值的函数，统称为三角函数.
(2)设角 α 终边上任意一点的坐标为(x，y)，它与原点的距离
y
x
y
为 r，则 sin α＝__r_cos α＝__r_，tan α＝__x_.
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3.正弦、余弦、正切函数值在各象限(xiàngxiàn)的符号
4.诱导(yòudǎo)公式一
终边相同的角的同一三角函数(sān相jiǎ等hánshù)的值
α＝
－m3m＝－3.
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【训练 1】 已知角 θ 的终边上有一点 P(－ 3，m)，且 sin θ
＝ 42m，求 cos θ与 tan θ的值.
解 由已知有 42m＝ 3＋m m2， 得 m＝0，或 m＝± 5，
(1)当 m＝0 时，cos θ＝－1，tan θ＝0； (2)当 m＝ 5时，cos θ＝－ 46，tan θ＝－ 315； (3)当 m＝－ 5时，cos θ＝－ 46，tna θ＝ 315.
值等于( )
1 A.2
B.－12
C.－
3 2
3 D. 2
解析 2sin 30°＝1，－2cos 30°＝－ 3，
∴r＝2，∴cos α＝12.
答案(dáàn) A
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3.tan 405°－sin 450°＋cos 750°＝_______.
解析 tan 405°－sin 450°＋cos 750°＝tan(360°＋45°)
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规律方法 利用诱导公式一可把负角的三角函数化为 0 到 2π 间的三角函数，也可把大于 2π的角的三角函数化为 0 到 2π 间的三角函数，即实现了“负化正，大化小”.同时要熟记特 殊角的三角函数值.
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【训练 3】 (1)sin(－1 380°)的值为( )
自主预习
在直角坐标(zhíjiǎo zuò biāo)系中，我们称以原点O为圆心， 以单位长度为半径的圆为单位圆.
任意角三角函数(sānjiǎhánshù)的定义
(1)在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边
与单位圆交于点P(x，y)，那么：
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①y叫做α的_正__弦_，(zh记èn作gx_iá_sni_n)_，α 即__s_in__α_＝_；y
－sin(360°＋90°)＋cos(720°＋30°)＝tan 45°－sin 90°
＋cos 30°＝1－1＋ 23＝ 23.
答案
3 2
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4.已知角α的终边过点P(m，－3m)(m≠0)，求α的正弦(zhèngxián)、 余弦、正切值.
解 由题意知 x＝m，y＝－3m，r＝ m2＋（－3m）2＝ 10
[课堂小结] 1.三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点P(x， y)在终边上的位置无关，只由角α的终边位置确定.即三角函数值 的大小只与角有关. 2.要善于利用三角函数的定义及三角函数值的符号规律解题，并 且(bìngqiě)注意掌握解题时必要的分类讨论及三角函数值符号的 正确选取. 3.诱导公式一可以把大角或负角的三角函数求值化为(0，2π)之 间的角的求值，另外要牢记一些特殊角的正弦、余弦、正切值.
答案(dáàn) ②③
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类型一 三角函数(sānjiǎhánshù)定义的应用(互动探究)
【例 1】 已知 θ 终边上一点 P(x，3)(x≠0)，且 cos θ＝ 1100x， 求 sin θ，tan θ.
[思路探究] 探究点一 利用三角函数定义结合已知条件能求出 x 吗？
提示 由余弦定义可知 cos θ＝ x2x＋3，故可建立关于 x 的方程.
)
A.－12
1 B.2
C.－
3 2
3 D. 2
解析 sin 136π＝sin2π＋π6 ＝sin π6 ＝12.
答案(dáàn) B
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4.已知①sin 1，②cos 2，③tan 3，其中(qízhōng)函数值为负的是 ______(填序号).
解析 ∵1 是第一象限角，∴sin 1>0；∵2 是第二象限角， ∴cos 2<0；∵3 是第二象限角，∴tan 3<0.
____，即： sin α
cos α
sin(α＋k·2π)＝_t_a_n_α_，cos(α＋k·2π)＝____，
tan(α＋k·2π)＝_____，其中k∈Z.
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即时自测
1.思考判断(pànduàn)(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)三角函数值是一个比值，只与角的终边位置有关.( √ ) (2)只有第一、二象限角的正弦是正的.( × )
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1.已知角 α 的终边经过点(－4，3)，则 cos α等于( )
4
3
A.5
B.5
C.－35 D.－45
解析 因为角 α 的终边经过点(－4，3)，所以 x＝－4，y
＝3，r＝5，
所以 cos α＝xr＝－45.
答案(dáàn) D
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2.如果角 α 的终边过点 P(2sin 30°，－2cos 30°)，则 cos α的
(2)∵θ 是第二象限角，∴－1<cos θ<0， ∴sin(cos θ)<0.
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规律方法 三角函数值的符号仅仅由角的终边所在位置确 定，口诀：“一全正、二正弦、三正切、四余弦”，应透 彻(tòuchè)理解，熟练应用.
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【训练 2】若 sin
αtan
α<0，且ctaons
|m|，当 m>0 时，r＝ 10m，由三角函数的定义得 cos α
＝
m＝ 10m
1100，sin
α＝ －130mm＝－3 1010，tan
α＝－m3m＝
－3.当 m<0 时，r＝－ 10m，由三角函数的定义得 cos α
＝－
m ＝－ 10m
1100，sin
α＝－－31m0m ＝3 1010，tan
A.－12
1 B.2
C.－
3 2
(2)cos－233π＋tan174π＝________.
3 D. 2
解析
(1)原式＝sin(－360°×4＋60°)＝sin
60°＝
3 2.
(2)原式＝cos－243π＋π3 ＋tan4π＋π4 ＝cosπ3 ＋tanπ4 ＝32.
答案 (1)D (2)32
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类型二 三角函数值符号的判断(pànduàn) 【例2】 判断(pànduàn)下列三角函数值的符号：
(1)sin 3，cos 4，tan 5； (2)sin(cos θ)(θ为第二(dìèr)象限角 ).解 (1)∵π2 <3<π<4<3π 2 <5<2π， ∴3，4，5 分别为第二、三、四象限角， ∴sin 3>0，cos 4<0，tan 5<0.
1.2 任意(rènyì)角的三角函数 1.2.1 任意(rènyì)角的三角函数
(一)
目标定位(dìngwèi) 1.理解任意角三角函数(正弦、余弦、 正切)的定义；2.能判断各象限角的正弦、余弦、正切函数 值的符号；3.理解终边相同的角的同一三角函数的值相等.
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1.单位(dānwèi)圆
探究点二 角的终边所在象限唯一确定吗？如何求其余两个函数 值. 提示 不确定，求其余两个函数值应分类讨论.
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解 由题意知 r＝|OP|＝ x2＋9，
由三角函数定义得 cos θ＝xr＝
x x2＋9.
又∵cos θ＝ 1100x，∴ x2x＋9＝ 1100x.∵x≠0，∴x＝±1.
当 x＝1 时，P(1，3)，此时 sin θ＝ 123＋32＝31010，tan θ＝31
＝3.当 x＝－1 时，P(－1，3)，此时 sin θ＝ （－13）2＋32＝
31010，tan θ＝－31＝－3.
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规律方法 在解决有关角的终边在直线上的问题时，应注意到 角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射线上异于原点
的任意一点坐标(a，b)，则对应角的正弦值为 sin α＝ a2b＋b2， cos α＝ a2a＋b2，tan α＝ba.