高一数学复习讲义2(指数函数)
第2课时 指数函数及其图象、性质(二) 高一数学
答案:(-∞,0] (0,+∞)
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误
的打“×”.
(1)若函数g(x)=af(x)(a>0,且a≠1),则g(x)与f(x)的定义域与值域
相同.( × )
(2)函数y=4-|x|的单调递增区间是(0,+∞),单调递减区间是(-∞,0).
-
=
+3x=f(x),所以 f(x)是偶函数.
(2)由 4x-1≠0 得 x≠0,即函数的定义域为{x|x≠0},∀x∈{x|x≠0},
- +
都有-x∈{x|x≠0},且 f(-x)=
所以函数 f(x)是奇函数.
- -
=
+
-
+
=- - =-f(x),
√
;
(2)f(x)=9x+3x+1.
解:(1)要使函数有意义,应满足 x≥0,故函数的定义域为[0,+∞).
当 x≥0 时,√≥0,所以 0<
√
≤1,故函数的值域为(0,1].
(2)由题意可知函数的定义域为 R.
令 3 =t(t>0),则
x
y=t2+3t=
+
因为 t>0,所以 y= +
(1)当a>1时,y=af(x)的单调区间与y1=f(x)的单调区间完全相同;
(2)当0<a<1时,y=af(x)的单调区间与y1=f(x)的单调区间完全相
反.
高一数学指数函数ppt课件
与对数式的转换、对数运算的性质等。
拓展延伸：挑战更高难度题目
复杂指数函数的性质研究
引入更复杂的指数函数形式，如复合指数函 数、分段指数函数等，探讨它们的性质和应 用。
指数函数在实际问题中的应 用
结合实际问题，如复利计算、人口增长等，展示指 数函数的应用价值，并引导学生运用所学知识解决 实际问题。
指数函数与其他数学知识 的综合应用
指数函数图像特征
当a>1时，图像在x轴上方，且随着x 的增大，y值迅速增大；当0<a<1时， 图像在x轴上方，但随着
当a>1时，指数函数在R上是增函数；当0<a<1时，指数函数在R 上是减函数。
指数函数的值域
指数函数的值域为(0, +∞)。
在解题时，要注意判断题目所给 条件是否满足对称性，以便更好
地应用这一性质。
05 复杂问题解决方 法与策略
分段讨论法在处理复杂问题时应用
分段讨论法概念
将复杂问题按照一定条件分成若 干段，每一段内问题相对简单，
易于解决。
分段讨论法应用
在处理指数函数问题时，当自变量 在不同区间内取值时，函数性质可 能发生变化，此时可以采用分段讨 论法。
数形结合思想概念
将数学中的“数”与“形”结合起来，通过图形 直观展示数量关系，帮助理解问题本质。
数形结合思想应用
在处理指数函数问题时，可以通过绘制函数图像 来观察函数性质，如单调性、周期性等。
数形结合思想优势
通过数形结合可以更加直观地理解问题，提高解 题准确性。
06 总结回顾与拓展 延伸
关键知识点总结回顾
幂的乘方规则
$(a^m)^n = a^{m times n}$，幂的乘方，底 数不变，指数相乘。
高一数学指数函数知识点
高一数学指数函数知识点在高中数学课程中，指数函数是一个重要的内容。
它涉及到许多基本概念和重要技巧，对于学生的数学能力和思维发展起着至关重要的作用。
本文将对高一数学中的指数函数知识点进行深入探讨和分析，帮助学生更好地理解和掌握这一内容。
一、指数与幂指数函数是建立在指数与幂的基础上的。
在学习指数函数之前，我们首先需要了解指数与幂的概念。
指数是幂运算的一种表示方式，表示重复相乘的次数。
例如，3的2次方表示3乘以自身2次，即3的2次方等于9。
幂是由底数和指数组成，底数表示要进行连乘的数，指数表示连乘的次数。
指数函数可以表示为y=a^x，其中a为正数且不等于1，x为指数，y为函数值。
这里的a被称为底数，它可以是任意正数，但通常在数学中我们使用的是自然常数e或者是底数为10的对数函数。
指数函数是一种以指数为自变量的函数，它呈现出自变量指数不断变化而函数值迅速增长或快速衰减的特点。
指数函数的图像一般呈现出两种特点：当底数大于1时，随着自变量的增大，函数值呈指数增长；当底数小于1但大于0时，随着自变量的增大，函数值呈指数衰减。
这是因为指数函数的增长幅度与自变量指数呈指数关系。
指数函数还具有以下重要性质：1. 基本性质：指数函数具有连续性、互为反函数关系、图像经过第一象限、有界性等基本特点。
2. 单调性：指数函数在定义域内单调递增或单调递减，与指数的大小有关。
底数大于1时，指数函数单调递增；底数小于1时，指数函数单调递减。
3. 极限性质：指数函数的极限与底数的大小关系密切相关。
当底数a大于1时，指数函数在正无穷大时趋于正无穷大；当底数a小于1且大于0时，在正无穷大时趋于0。
指数函数具有一系列重要的运算性质，这些性质的掌握对于解题非常有帮助：1. 指数和的性质：a^m * a^n = a^(m+n)，即相同底数的指数相加等于底数不变的指数。
2. 指数差的性质：a^m / a^n = a^(m-n)，即相同底数的指数相减等于底数不变的指数。
高一数学指数函数课件
高一数学指数函数课件一、引言指数函数是数学中一个重要的函数类型，它在自然科学、社会科学、经济学等领域都有广泛的应用。
对于高中生来说，掌握指数函数的概念、性质和应用，对于提高数学素养和解题能力具有重要意义。
本文将以高一数学指数函数为主要内容，通过详细的讲解和丰富的实例，帮助同学们更好地理解和掌握指数函数。
二、指数函数的定义和性质1.指数函数的定义指数函数是一种以自然数e为底的幂函数，可以表示为f(x)=e^x，其中e是一个常数，约等于2.71828。
指数函数的定义域为实数集R，值域为正实数集R+。
2.指数函数的性质（1）单调性：指数函数在其定义域内是单调递增的，即对于任意的x1<x2，有e^x1<e^x2。
（2）奇偶性：指数函数不是奇函数也不是偶函数，即f(-x)≠f(x)且f(-x)≠-f(x)。
（3）可导性：指数函数在其定义域内是可导的，且其导数等于自身，即f'(x)=e^x。
（4）极限性质：当x趋向于无穷大时，指数函数的值趋向于无穷大；当x趋向于负无穷大时，指数函数的值趋向于0。
三、指数函数的应用1.指数增长和指数衰减指数函数在描述生物种群增长、放射性物质衰变等过程中具有重要作用。
当生物种群的增长率或放射性物质的衰变率为常数时，它们的变化规律可以用指数函数来描述。
2.利息计算在金融领域，指数函数常用于计算复利。
复利是指利息不仅计算在本金上，还计算在之前累积的利息上。
复利的计算公式为A=P(1+r/n)^(nt)，其中A表示最终金额，P表示本金，r表示年利率，n表示每年计息次数，t表示时间（年）。
3.指数函数在物理学中的应用指数函数在物理学中也有广泛的应用，如描述放射性物质的衰变、电磁波的传播等。
四、指数函数的图像和解析式1.指数函数的图像指数函数的图像是一条经过(0,1)点，且随着x的增大而逐渐上升的曲线。
当x为负数时，指数函数的值在0和1之间变化。
2.指数函数的解析式指数函数的解析式为f(x)=e^x，其中e是一个常数，约等于2.71828。
数学高一指数函数知识点
数学高一指数函数知识点在高中数学中，指数函数是一个非常重要且常见的函数类型。
它以指数为变量并与常数底数相乘，具有许多特殊的性质和应用。
本文将围绕高一学生学习指数函数的知识点展开讨论。
1. 基本概念指数函数的定义如下：y = a^x，其中a是底数，x是指数。
指数函数的定义域为实数集，值域为正实数集。
底数a可以是任何正数，但在学习指数函数的初期，常见的底数为2和10。
对于底数为2的指数函数，其函数图像呈现出逐渐增长的特征。
当指数为正偶数时，函数值呈现出平滑增长的趋势；当指数为负偶数时，函数值呈现出平滑下降的趋势。
对于底数为10的指数函数，其函数图像更为陡峭，当指数增大时，函数值也呈现出更大的变化。
2. 指数函数的性质2.1 指数函数的奇偶性对于指数函数y = a^x，当底数a为正时，指数函数是奇函数；当底数a为负时，指数函数是偶函数。
这是因为负底数的指数函数存在奇数个负数解，而正底数的指数函数则不存在负数解。
2.2 指数函数的单调性当底数a大于1时，指数函数为递增函数；当底数a在0和1之间时，指数函数为递减函数。
这是因为当底数大于1时，指数函数的值随着指数的增大而增大；当底数在0和1之间时，指数函数的值随着指数的增大而减小。
2.3 指数函数的极限对于正底数a和实数x，当x趋近于无穷大时，指数函数的极限为正无穷；当x趋近于负无穷大时，指数函数的极限为零。
这是因为指数函数随着指数的增大，其函数值也呈现出更大的变化。
3. 指数函数的应用指数函数在实际生活中有着广泛的应用，下面介绍两个常见的应用场景。
3.1 货币利率计算指数函数可以用于计算货币的复利增长。
当我们将存款存入银行，并以固定的利率计算复利时，我们可以使用指数函数来计算未来的金额。
复利计算公式可以表示为：A = P(1+r/n)^(nt)，其中A是最终金额，P是本金，r是利率，n是复利次数，t是时间。
可以看出，指数函数在其中起到了关键的作用。
3.2 爆炸与核衰变指数函数在描述爆炸和核衰变等过程中也具有重要的作用。
高一指数函数知识点归纳总结
高一指数函数知识点归纳总结高一是学习数学的关键时期，其中涉及到很多重要概念和知识点，其中之一就是指数函数。
指数函数是数学中一个非常重要的概念，它包含了很多基本概念和公式，今天我将对高一指数函数的知识点进行归纳总结。
一、指数函数的定义与性质指数函数是以常数e（自然对数的底数）为底的幂函数，通常写作f(x) = a^x。
其中，a称为底数，x称为指数。
指数函数具有以下性质：1.当a>1时，指数函数是递增函数；当0<a<1时，指数函数是递减函数。
2.指数函数的图像都经过点(0,1)。
3.当x为无穷大时，指数函数无界。
当x为负无穷大时，指数函数趋近于0。
4.指数函数在x轴上没有零点，但可以接近于零。
二、指数函数的图像与性质指数函数的图像特点非常明显，它表现出一种特殊的形态，具有以下特点：1.当底数a大于1时，指数函数的图像呈现逐渐上升的曲线。
2.当底数0<a<1时，指数函数的图像呈现逐渐下降的曲线。
3.指数函数的图像随着底数的变化而发生形态的改变，当底数为1时，指数函数的图像变为y=1，成为一条水平直线。
4.指数函数的图像在过点(0,1)处的切线斜率恒为底数a。
三、指数函数的基本性质和运算规律指数函数有一些基本性质和运算规律，这些规律对于解题非常有帮助：1.指数函数的幂运算性质：a^m * a^n = a^(m+n)，a^m / a^n = a^(m-n)。
2.指数函数的幂函数运算性质：(a^m)^n = a^(m*n)。
3.指数函数的乘方的运算性质：(a*b)^n = a^n * b^n。
4.指数函数的除法的运算性质：(a/b)^n = a^n / b^n。
5.指数函数的负指数幂的运算性质：a^(-n) = 1 / a^n。
6.指数函数与自然对数函数的关系：a^x = e^(x * ln(a))。
7.指数函数的对数函数：ln(a^x) = x * ln(a)，其中ln表示以e为底的对数。
高一数学指数函数的概念、图象与性质(解析版)
专题32 指数函数的概念、图象与性质1．指数函数的定义一般地，函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R. 温馨提示：指数函数解析式的3个特征： (1)底数a 为大于0且不等于1的常数． (2)自变量x 的位置在指数上，且x 的系数是1. (3)a x 的系数是1.2．指数函数的图象和性质a 的范围a ＞10＜a ＜1图象性质定义域 R 值域(0，＋∞)过定点 (0,1)，即当x ＝0时，y ＝1单调性 在R 上是增函数在R 上是减函数奇偶性 非奇非偶函数对称性函数y ＝a x 与y ＝a －x 的图象关于y 轴对称(1)底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是a >1，还是0<a <1，在第一象限内底数越大，函数图象越靠近y 轴．当a >b >1时，①若x >0，则a x >b x >1；②若x <0，则1>b x >a x >0. 当1>a >b >0时，①若x >0，则1>a x >b x >0；②若x <0，则b x >a x >1. (2)指数函数的图象都经过点(0,1)，且图象都在x 轴上方．(3)当a >1时，x →－∞，y →0；当0<a <1时，x →＋∞，y →0.(其中“x →＋∞”的意义是“x 趋近于正无穷大”)题型一 指数函数的概念1．下列各函数中，是指数函数的是( )A ．y ＝(－3)xB ．y ＝－3xC ． y ＝3x －1 D ．y ＝⎝⎛⎭⎫13x [解析]由指数函数的定义知a >0且a ≠1，故选D. 2．下列函数一定是指数函数的是( )A ．y ＝2x ＋1 B ．y ＝x 3 C ．y ＝3·2xD ．y ＝3－x[解析]由指数函数的定义可知D 正确． 3．下列函数中，指数函数的个数为( )①y ＝⎝⎛⎭⎫12x －1；②y ＝a x (a >0，且a ≠1)；③y ＝1x；④y ＝⎝⎛⎭⎫122x －1. A ．0个 B ．1个 C ．3个D ．4个[解析]由指数函数的定义可判定，只有②正确．[答案] B 4．下列函数：①y ＝2·3x ；②y ＝3x ＋1；③y ＝3x ；④y ＝x 3. 其中，指数函数的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3[解析]形如“y ＝a x (a >0，且a ≠1)”的函数为指数函数，只有③符合，选B. 5．下列函数中，是指数函数的个数是( )①y ＝(－8)x；②y ＝2x 2－1；③y ＝a x ；④y ＝2·3x .A ．1B ．2C ．3D ．0[解析] (1)①中底数－8<0，所以不是指数函数；②中指数不是自变量x ，而是x 的函数，所以不是指数函数； ③中底数a ，只有规定a >0且a ≠1时，才是指数函数； ④中3x 前的系数是2，而不是1，所以不是指数函数，故选D. 6．指出下列哪些是指数函数．(1)y ＝4x ；(2)y ＝x 4；(3)y ＝－4x ；(4)y ＝(－4)x ；(5)y ＝πx ；(6)y ＝4x 2；(7)y ＝x x ；(8)y ＝(2a －1)x ⎝⎛⎭⎫a ＞12，且a ≠1. [解析] (2)是四次函数；(3)是－1与4x 的乘积；(4)中底数－4＜0；(6)是二次函数；(7)中底数x 不是常数． 它们都不符合指数函数的定义，故不是指数函数．综上可知，(1)(5)(8)是指数函数． 7．已知函数f (x )＝(2a －1)x 是指数函数，则实数a 的取值范围是________．[解析]由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧2a －1>0，2a －1≠1，解得a >12，且a ≠1，所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，1∪(1，＋∞)． 8．函数y ＝(a －2)2a x 是指数函数，则( )A ．a ＝1或a ＝3B ．a ＝1C ．a ＝3D ．a >0且a ≠1[解析]由指数函数的概念可知，⎩⎪⎨⎪⎧(a －2)2＝1，a >0，a ≠1，得a ＝3.9．函数f (x )＝(m 2－m ＋1)a x (a >0，且a ≠1)是指数函数，则m ＝________. [解析]∵函数f (x )＝(m 2－m ＋1)a x 是指数函数，∴m 2－m ＋1＝1，解得m ＝0或1. 10．若函数y ＝(a 2－4a ＋4)a x 是指数函数，则a 的值是( )A ．4B ．1或3C ．3D ．1[解析]由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a ≠1，a 2－4a ＋4＝1，解得a ＝3，故选C.11．若函数f (x )＝(a 2－2a ＋2)(a ＋1)x 是指数函数，则a ＝________. [解析]由指数函数的定义得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a ＋2＝1，a ＋1>0，a ＋1≠1，解得a ＝1.12．指数函数f (x )＝a x 的图象经过点(2,4)，则f (－3)的值是________． [解析]由题意知4＝a 2，所以a ＝2，因此f (x )＝2x ，故f (－3)＝2－3＝18.13．已知函数f (x )＝a x ＋b (a >0，且a ≠1)，经过点(－1,5)，(0,4)，则f (－2)的值为________．[解析]由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝5，a 0＋b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝3，所以f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x＋3，所以f (－2)＝⎝⎛⎭⎫12－2＋3＝4＋3＝7. 14．已知函数f (x )为指数函数，且f ⎝⎛⎭⎫－32＝39，则f (－2)＝________. [解析]设f (x )＝a x (a >0且a ≠1)，由f ⎝⎛⎭⎫－32＝39得a －32＝39，所以a ＝3，又f (－2)＝a －2， 所以f (－2)＝3－2＝19.15．若函数f (x )是指数函数，且f (2)＝9，则f (－2)＝________，f (1)＝________. [解析]设f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)，∵f (2)＝9，∴a 2＝9，a ＝3，即f (x )＝3x . ∴f (－2)＝3－2＝19，f (1)＝3.16．若点(a,27)在函数y ＝(3)x 的图象上，则a 的值为( )A. 6 B ．1 C ．2 2D ．0[解析]选A 点(a,27)在函数y ＝(3)x 的图象上，∴27＝(3)a ， 即33＝3a 2，∴a2＝3，解得a ＝6，∴a ＝ 6.故选A.17．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12ax ，a 为常数，且函数的图象过点(－1,2)，则a ＝________，若g (x )＝4－x－2， 且g (x )＝f (x )，则x ＝________.[解析]因为函数的图象过点(－1,2)，所以⎝⎛⎭⎫12－a＝2，所以a ＝1，所以f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ， g (x )＝f (x )可变形为4－x －2－x －2＝0，解得2－x ＝2，所以x ＝－1. 18．已知f (x )＝2x ＋12x ，若f (a )＝5，则f (2a )＝________.[解析]因为f (x )＝2x ＋12x ，f (a )＝5，则f (a )＝2a ＋12a ＝5.所以f (2a )＝22a ＋122a ＝(2a )2＋⎝⎛⎭⎫12a 2＝⎝⎛⎭⎫2a ＋12a 2－2＝23. 19．若f (x )满足对任意的实数a ，b 都有f (a ＋b )＝f (a )·f (b )且f (1)＝2，则f (2)f (1)＋f (4)f (3)＋f (6)f (5)＋…＋f (2020)f (2019)＝( )A ．1010B ．2020C ．2019D ．1009[解析]不妨设f (x )＝2x ，则f (2)f (1)＝f (4)f (3)＝…＝f (2020)f (2019)＝2，所以原式＝1010×2＝2020.题型二 指数函数的图象及其应用1．y ＝⎝⎛⎭⎫34x的图象可能是( )[解析]0<34<1且过点(0,1)，故选C.2．函数y ＝3－x 的图象是( )A B C D[解析]∵y ＝3－x＝⎝⎛⎭⎫13x，∴B 选项正确．3．函数y ＝2－|x |的大致图象是( )[解析]y ＝2－|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≥0.2x ，x <0，画出图象，可知选C. 4．函数y ＝a －|x |(0<a <1)的图象是( )A B C D[解析]y ＝a－|x |＝⎝⎛⎭⎫1a |x|，易知函数为偶函数，∵0<a <1，∴1a>1，故当x >0时，函数为增函数，当x <0时，函数为减函数，当x ＝0时，函数有最小值，最小值为1，且指数函数为凹函数，故选A. 5．函数y ＝－2－x 的图象一定过第________象限．[解析]y ＝－2－x ＝－⎝⎛⎭⎫12x 与y ＝⎝⎛⎭⎫12x 关于x 轴对称，一定过第三、四象限． 6．函数f (x )＝a x－b 的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )A ．a >1，b <0B ．a >1，b >0C ．0<a <1，b >0D ．0<a <1，b <0[解析]从曲线的变化趋势，可以得到函数f (x )为减函数，从而有0<a <1；从曲线位置看， 是由函数y ＝a x (0<a <1)的图象向左平移|－b |个单位长度得到，所以－b >0，即b <0. 7．已知0<m <n <1，则指数函数①y ＝m x ，②y ＝n x 的图象为( )[解析]由于0<m <n <1，所以y ＝m x 与y ＝n x 都是减函数，故排除A 、B ，作直线x ＝1与两个曲线相交， 交点在下面的是函数y ＝m x 的图象，故选C.8．若a >1，－1<b <0，则函数y ＝a x ＋b 的图象一定在( )A ．第一、二、三象限B ．第一、三、四象限C ．第二、三、四象限D ．第一、二、四象限[解析]A,∵a >1，且－1<b <0，故其图象如图所示．]9．若函数y ＝a x ＋b －1(a >0，且a ≠1)的图象经过第二、三、四象限，则一定有( )A ．0<a <1，且b >0B ．a >1，且b >0C ．0<a <1，且b <0D ．a >1，且b <0[解析]函数y ＝a x ＋b －1(a >0，且a ≠1)的图象是由函数y ＝a x 的图象经过向上或向下平移而得到的，因其图象不经过第一象限，所以a ∈(0,1)．若经过第二、三、四象限，则需将函数y ＝a x (0<a <1)的图象向下平移至少大于1个单位长度，即b －1<－1⇒b <0.故选C.10．若函数y ＝a x ＋m －1(a ＞0)的图象经过第一、第三和第四象限，则( )A ．a ＞1B ．a ＞1，且m ＜0C ．0＜a ＜1，且m ＞0D ．0＜a ＜1[解析]选B,y ＝a x (a ＞0)的图象在第一、二象限内，欲使y ＝a x ＋m －1的图象经过第一、三、四象限，必须将y ＝a x 向下移动．当0＜a ＜1时，图象向下移动，只能经过第一、二、四象限或第二、三、四象限，故只有当a ＞1时，图象向下移动才可能经过第一、三、四象限．当a ＞1时，图象向下移动不超过一个单位时，图象经过第一、二、三象限，向下移动一个单位时，图象恰好经过原点和第一、三象限，欲使图象经过第一、三、四象限，则必须向下平移超过一个单位，故m －1＜－1，所以m ＜0，故选B. 11．函数f (x )＝a x 与g (x )＝－x ＋a 的图象大致是( )[解析]当a >1时，函数f (x )＝a x 单调递增，当x ＝0时，g (0)＝a >1，此时两函数的图象大致为选项A. 12．二次函数y ＝ax 2＋bx 与指数函数y ＝⎝⎛⎭⎫b a x的图象可能是( )[解析]二次函数y ＝a ⎝⎛⎭⎫x ＋b 2a 2－b 24a ，其图象的顶点坐标为⎝⎛⎭⎫－b 2a ，－b 24a ，由指数函数的图象知0<ba<1， 所以－12<－b 2a <0，再观察四个选项，只有A 中的抛物线的顶点的横坐标在－12和0之间．13．已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a>b)的图象如图所示，则函数g(x)＝a x＋b的图象是()[解析]由函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a>b)的图象可知0<a<1，b<－1，所以函数g(x)＝a x＋b是减函数，排除选项C、D；又因为函数图象过点(0,1＋b)(1＋b<0)，故选A.14．如图是指数函数①y＝a x，②y＝b x，③y＝c x，④y＝d x的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为()A．a<b<1<c<d B．b<a<1<d<c C．1<a<b<c<d D．a<b<1<d<c[解析](1)解法一：由图象可知③④的底数必大于1，①②的底数必小于1.作直线x＝1，在第一象限内直线x＝1与各曲线的交点的纵坐标即各指数函数的底数，则1<d<c，b<a<1，从而可知a，b，c，d与1的大小关系为b<a<1<d<c.解法二：根据图象可以先分两类：③④的底数大于1，①②的底数小于1，再由③④比较c，d的大小，由①②比较a，b的大小．当指数函数的底数大于1时，图象上升，且底数越大时图象向上越靠近y轴；当底数大于0小于1时，图象下降，底数越小，图象向右越靠近x轴．15．方程|2x－1|＝a有唯一实数解，则a的取值范围是________．[解析]作出y＝|2x－1|的图象，如图，要使直线y＝a与图象的交点只有一个，∴a≥1或a＝0.16．函数y＝a x－3＋3(a>0，且a≠1)的图象过定点________．[解析]因为指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)的图象过定点(0,1)，所以在函数y＝a x－3＋3中，令x－3＝0，得x＝3，此时y＝1＋3＝4，即函数y＝a x－3＋3的图象过定点(3,4)．17．函数y＝2a x＋3＋2(a>0，且a≠1)的图象过定点________．[解析]令x＋3＝0得x＝－3，此时y＝2a0＋2＝2＋2＝4.即函数y＝2a x＋3＋2(a>0，且a≠1)的图象过定点(－3,4)．18．当a>0，且a≠1时，函数f(x)＝a x＋1－1的图象一定过点()A．(0,1) B．(0，－1)C ．(－1,0)D ．(1,0)[解析] 当x ＝－1时，显然f (x )＝0，因此图象必过点(－1,0)．19．已知函数y ＝2a x －1＋1(a >0且a ≠1)恒过定点A (m ，n )，则m ＋n ＝( )A ．1B ．3C ．4D ．2[解析]选C,由题意知，当x ＝1时，y ＝3，故A (1,3)，m ＋n ＝4. 20．函数y ＝a 2x ＋1＋1(a >0，且a ≠1)的图象过定点________． [解析]令2x ＋1＝0得x ＝－12，y ＝2，所以函数图象恒过点⎝⎛⎭⎫－12，2. 21．若函数y ＝2－|x |－m 的图象与x 轴有交点，则( )A ．－1≤m ＜0B ．0≤m ≤1C ．0＜m ≤1D ．m ≥0[解析]易知y ＝2－|x |－m ＝⎝⎛⎭⎫12|x |－m .若函数y ＝2－|x |－m 的图象与x 轴有交点，则方程⎝⎛⎭⎫12|x |－m ＝0有解， 即m ＝⎝⎛⎭⎫12|x |有解．∵0＜⎝⎛⎭⎫12|x |≤1，∴0＜m ≤1. 22．已知f (x )＝2x 的图象，指出下列函数的图象是由y ＝f (x )的图象通过怎样的变化得到：(1)y ＝2x ＋1；(2)y ＝2x －1；(3)y ＝2x ＋1；(4)y ＝2－x ；(5)y ＝2|x |. [解析] (1)y ＝2x ＋1的图象是由y ＝2x 的图象向左平移1个单位得到．(2)y ＝2x－1的图象是由y ＝2x 的图象向右平移1个单位得到．(3)y ＝2x ＋1的图象是由y ＝2x 的图象向上平移1个单位得到．(4)∵y ＝2－x 与y ＝2x 的图象关于y 轴对称，∴作y ＝2x 的图象关于y 轴的对称图形便可得到y ＝2－x的图象．(5)∵y ＝2|x |为偶函数，故其图象关于y 轴对称，故先作出当x ≥0时，y ＝2x 的图象，再作关于y 轴的对称图形，即可得到y ＝2|x |的图象．23．已知函数f (x )＝a x ＋b (a ＞0，且a ≠1)．(1)若f (x )的图象如图①所示，求a ，b 的值； (2)若f (x )的图象如图②所示，求a ，b 的取值范围；(3)在(1)中，若|f (x )|＝m 有且仅有一个实数根，求m 的取值范围．[解析] (1)f (x )的图象过点(2,0)，(0，－2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b ＝0，a 0＋b ＝－2，又因为a ＞0，且a ≠1，所以a ＝3，b ＝－3.(2)f (x )单调递减，所以0＜a ＜1，又f (0)＜0.即a 0＋b ＜0，所以b ＜－1. 故a 的取值范围为(0,1)，b 的取值范围为(－∞，－1)．(3)画出|f (x )|＝|(3)x －3|的图象如图所示，要使|f (x )|＝m 有且仅有一个实数根， 则m ＝0或m ≥3.故m 的取值范围为[3，＋∞)∪{0}．题型三 指数函数的定义域与值域1．求下列函数的定义域和值域：(1)y ＝1－3x ；(2)y ＝21x －4 ; (3)y ＝⎝⎛⎭⎫23－|x | ; (4)y ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－2x －3；(5)y ＝4x ＋2x ＋1＋2. [解析] (1)要使函数式有意义，则1－3x ≥0，即3x ≤1＝30，因为函数y ＝3x 在R 上是增函数，所以x ≤0， 故函数y ＝1－3x 的定义域为(－∞，0]．因为x ≤0，所以0<3x ≤1，所以0≤1－3x <1， 所以1－3x ∈[0,1)，即函数y ＝1－3x 的值域为[0,1)． (2)要使函数式有意义，则x －4≠0，解得x ≠4. 所以函数y ＝21x －4的定义域为{x |x ≠4}．因为1x －4≠0，所以21x －4 ≠1，即函数y ＝21x －4 的值域为{y |y >0，且y ≠1}．(3)要使函数式有意义，则－|x |≥0，解得x ＝0.所以函数y ＝⎝⎛⎭⎫23－|x |的定义域为{x |x ＝0}．因为x ＝0，所以⎝⎛⎭⎫23－|x | ＝⎝⎛⎭⎫230＝1，即函数y ＝⎝⎛⎭⎫23－|x |的值域为{y |y ＝1}． (4)定义域为R.∵x 2－2x －3＝(x －1)2－4≥－4，∴⎝⎛⎭⎫12x 2－2x －3≤⎝⎛⎭⎫12－4＝16. 又∵⎝⎛⎭⎫12x 2－2x －3>0，∴函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－2x －3的值域为(0,16]． (5)因为对于任意的x ∈R ，函数y ＝4x ＋2x ＋1＋2都有意义，所以函数y ＝4x ＋2x ＋1＋2的定义域为R. 因为2x >0，所以4x ＋2x ＋1＋2＝(2x )2＋2×2x ＋2＝(2x ＋1)2＋1>1＋1＝2， 即函数y ＝4x ＋2x ＋1＋2的值域为(2，＋∞)． 2．(1)求函数y ＝⎝⎛⎭⎫132x -的定义域与值域；(2)求函数y ＝⎝⎛⎭⎫14x －1－4·⎝⎛⎭⎫12x ＋2，x ∈[0,2]的最大值和最小值及相应的x 的值． [解析] (1)由x －2≥0，得x ≥2，所以定义域为{x |x ≥2}．当x ≥2时，x －2≥0， 又因为0＜13＜1，所以y ＝⎝⎛⎭⎫13x －2的值域为{y |0＜y ≤1}．(2)∵y ＝⎝⎛⎭⎫14x －1－4·⎝⎛⎭⎫12x ＋2，∴y ＝4·⎝⎛⎭⎫14x －4·⎝⎛⎭⎫12x ＋2.令m ＝⎝⎛⎭⎫12x ，则⎝⎛⎭⎫14x ＝m 2. 由0≤x ≤2，知14≤m ≤1.∴f (m )＝4m 2－4m ＋2＝4⎝⎛⎭⎫m －122＋1. ∴当m ＝12，即当x ＝1时，f (m )有最小值1；当m ＝1，即x ＝0时，f (m )有最大值2.故函数的最大值是2，此时x ＝0，函数的最小值为1，此时x ＝1. 3．函数y ＝2x －1的定义域是( )A ．(－∞，0)B ．(－∞，0]C ．[0，＋∞)D ．(0，＋∞)[解析]由2x －1≥0，得2x ≥20，∴x ≥0.[答案] C 4．函数y ＝1－⎝⎛⎭⎫12x的定义域是________．[解析]由1－⎝⎛⎭⎫12x≥0得⎝⎛⎭⎫12x ≤1＝⎝⎛⎭⎫120，∴x ≥0，∴函数y ＝1－⎝⎛⎭⎫12x的定义域为[0，＋∞)．5．若函数y ＝a x －1的定义域是(－∞，0]，则a 的取值范围为( )A ．a >0B ．a <1C ．0<a <1D ．a ≠1[解析]由a x －1≥0，得a x ≥a 0.∵函数的定义域为(－∞，0]，∴0<a <1.6．若函数f (x )＝a x －a 的定义域是[1，＋∞)，则a 的取值范围是( ) A ．[0,1)∪(1，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．(0,1)D ．(2，＋∞)[解析]∵a x －a ≥0，∴a x ≥a ，∴当a ＞1时，x ≥1.故函数定义域为[1，＋∞)时，a ＞1. 7．y ＝2x ，x ∈[1，＋∞)的值域是( )A ．[1，＋∞)B ．[2，＋∞)C ．[0，＋∞)D ．(0，＋∞)[解析]y ＝2x 在R 上是增函数，且21＝2，故选B. 8．函数y ＝16－4x 的值域是( )A ．[0，＋∞)B ．[0,4]C ．[0,4)D ．(0,4)[解析]要使函数有意义，须满足16－4x ≥0.又因为4x ＞0，所以0≤16－4x ＜16， 即函数y ＝16－4x 的值域为[0,4)．9．函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x(x ≥8)的值域是( )A ．R B.⎝⎛⎦⎤0，1256 C.⎝⎛⎦⎤－∞，1256 D.⎣⎡⎭⎫1256，＋∞[解析]因为y ＝⎝⎛⎭⎫12x 在[8，＋∞)上单调递减，所以0<⎝⎛⎭⎫12x≤⎝⎛⎭⎫128＝1256. 10．函数y ＝1－2x ，x ∈[0,1]的值域是( )A ．[0,1]B ．[－1,0] C.⎣⎡⎦⎤0，12 D.⎣⎡⎦⎤－12，0 [解析]∵0≤x ≤1，∴1≤2x ≤2，∴－1≤1－2x ≤0，选B.11．已知函数y ＝⎝⎛⎭⎫13x 在[－2，－1]上的最小值是m ，最大值是n ，则m ＋n 的值为________．[解析]∵y ＝⎝⎛⎭⎫13x 在R 上为减函数，∴m ＝⎝⎛⎭⎫13－1＝3，n ＝⎝⎛⎭⎫13－2＝9，故m ＋n ＝12. 12．函数y ＝⎝⎛⎭⎫1222x x －＋的值域是________． [解析]设t ＝－x 2＋2x ＝－(x 2－2x )＝－(x －1)2＋1≤1，∴t ≤1.∵⎝⎛⎭⎫12t ≥⎝⎛⎭⎫121＝12，∴函数值域为⎣⎡⎭⎫12，＋∞. 13．函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－1的值域是________．[解析]∵x 2－1≥－1，∴y ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－1≤⎝⎛⎭⎫12－1＝2，又y >0，∴函数值域为(0,2]．14．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x <0，－2－x ，x >0，则函数f (x )的值域是________． [解析]由x <0，得0<2x <1；由x >0，∴－x <0,0<2－x <1，∴－1<－2－x <0，∴函数f (x )的值域为(－1,0)∪(0,1)．15．已知函数f (x )＝a x －1(x ≥0)的图象经过点⎝⎛⎭⎫2，12，其中a >0且a ≠1. (1)求a 的值；(2)求函数y ＝f (x )(x ≥0)的值域．[解析](1)∵f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫2，12，∴a 2－1＝12，则a ＝12. (2)由(1)知，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －1，x ≥0.由x ≥0，得x －1≥－1，于是0<⎝⎛⎭⎫12x －1≤⎝⎛⎭⎫12－1＝2， 所以函数y ＝f (x )(x ≥0)的值域为(0,2]．16．若定义运算a ⊙b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a <b ，b ，a ≥b ，则函数f (x )＝3x ⊙3－x 的值域是________． [解析]当x >0时，3x >3－x, f (x )＝3－x ，f (x )∈(0,1)；当x ＝0时，f (x )＝3x ＝3－x ＝1； 当x <0时，3x <3－x ，f (x )＝3x ，f (x )∈(0,1)．综上， f (x )的值域是(0,1]．17．函数f (x )＝3x 3x ＋1的值域是________．[解析]数y ＝f (x )＝3x 3x ＋1，即有3x ＝－y y －1，由于3x ＞0，则－y y －1＞0，解得0＜y ＜1，值域为(0,1)． 18．若函数f (x )＝a x －1(a ＞0，且a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，求实数a 的值．[解析]当0＜a ＜1时，函数f (x )＝a x －1(a ＞0，且a ≠1)为减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 0－1＝2，a 2－1＝0无解． 当a ＞1时，函数f (x )＝a x －1(a ＞0，且a ≠1)为增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 0－1＝0，a 2－1＝2，解得a ＝ 3. 综上，a 的值为 3.19．已知f (x )＝9x －2×3x ＋4，x ∈[－1,2]．(1)设t ＝3x ，x ∈[－1,2]，求t 的最大值与最小值；(2)求f (x )的最大值与最小值．[解析](1)设t ＝3x ，∵x ∈[－1,2]，函数t ＝3x 在[－1,2]上是增函数，故有13≤t ≤9， 故t 的最大值为9，t 的最小值为13. (2)由f (x )＝9x －2×3x ＋4＝t 2－2t ＋4＝(t －1)2＋3，可得此二次函数的对称轴为t ＝1，且13≤t ≤9， 故当t ＝1时，函数f (x )有最小值为3，当t ＝9时，函数f (x )有最大值为67.。
高一数学：指数函数及其性质
目录
• 引言 • 指数函数的基本性质 • 指数函数的运算性质 • 指数函数的应用举例 • 指数函数的深入探究 • 复习与总结
01
引言
Chapter
指数函数的概念
指数函数是一种特殊的函数形式，形如$y=a^x$（ $a>0$，$a≠1$）的函数叫做指数函数。
指数函数中的自变量$x$位于指数位置，而底数$a$是一 个大于0且不等于1的常数。
指数函数与对数函数的关系
01
互为反函数
指数函数和对数函数是一对互为反函数的函数，它们的图像关于直线
y=x对称。这意味着对于任意的x和y，如果y是指数函数的结果，那么x
就是对数函数的结果；反之亦然。
02
转换关系
通过指数函数和对数函数之间的转换关系，可以将一些复杂的问题简化
。例如，在解决与复利、放射性衰变等相关的问题时，可以利用对数性
02
掌握运算法则
熟练掌握指数运算法 则，并能够灵活运用 。
03
多做练习题
通过多做练习题来加 深对知识点的理解和 记忆，提高解题能力 。
04
及时复习总结
学习完一个知识点后 要及时复习总结，形 成自己的知识体系。
THANKS
感谢观看
，即(am)n=am×n。
幂的开方
对于指数函数的开方运算，一般需 先计算出指数函数的值再进行开方 运算，但也可通过换元法或其他技 巧进行简化计算。
复合幂运算
对于复杂的幂运算，如幂的乘方再 开方等，需根据运算优先级和结合 律进行计算，也可通过换元法或其 他技巧进行简化计算。
04
指数函数的应用举例
Chapter
指数函数的除法运算
指数函数讲解及联系 高一数学
【 指数函数 基础知识】一、指数1、有理数指数幂的运算性质： （1）ra ·s r ra a+=),,0(R s r a ∈>；（2）rs s r a a =)(),,0(R s r a ∈>；（3）s r r a a ab =)(),,0(R s r a ∈> 2、根式的概念：一般地，若a x n=，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *．当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数。
此时，a 的n 次方根用符号n a 表示。
注意：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n 。
当n 是奇数时，a a nn =，当n 是偶数时，⎩⎨⎧<≥-==)0()0(||a a a a a a n n式子n a 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数。
3、分数指数幂 正数的分数指数幂的)1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m nm，)1,,,0(11*>∈>==-n N n m a a aanmnm nm0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义4、无理数指数幂一般的，无理数指数幂a a （a>0,a 是无理数）是一个确定的实数。
有理数指数幂的运算性质同样使用于无理数指数幂。
例1、化简（式子中的字母都是正数）（1）（x 2y 3）6（2）4x 21·3x21-(- y 3)·y33-例2 求下列各式的值（1） 33)2(-= （2） 44)2(-=例3 把下列各式中的a 写成分数指数幂的形式（a ＞0）；① a 5=256 ② a 4-=28 ③ a 7-=56 ④ a n 3-=3m 5(m ，n ∈N *)题型一、根式的性质 1、求值322aa a ∙（a ＞0）. 2、计算625625++-题型二、分数指数幂及运算性质 1. 计算问题：例3 计算：313373329a a a a--÷【提高练习】 1、化简（1）32132b aba∙-÷3211---⎪⎪⎭⎫⎝⎛a b b a （2）313315383327----÷÷a a a a a a2、已知a 21+ a 21-= 3，求下列各式的值：⑴ a + a 1- ⑵ a 2+ a 2- 二、指数函数的性质及其特点1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ．注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1． 2、指数函数的图象和性质例1 指出下列函数哪些是指数函数⑴ y = 4x ；⑵ y = x 4；⑶ y = - 4x ；⑷ y = (-4)x ；⑸ y = x π；⑹ y = 4x 2；⑺ y = x x ；⑻ y = (2a - 1)x (a ＞21，且a ≠ 1)例2 比较下列各题中两个值的大小。
完整word版,人教高一数学指数函数讲义
第四节、指数函数一、初中根式的概念；如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根，如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根；（一）指数与指数幂的运算1．根式的概念一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *． 当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数．此时，a 的n 次方根用符号n a 表示。
． 式子n a 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数。
当n 是偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数．此时，正数a 的正的n 次方根用符号n a 表示，负的n 次方根用符号－n a 表示．正的n 次方根与负的n 次方根可以合并成±n a （a >0）。
由此可得：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n 。
思考：n n a =a 一定成立吗？结论：当n 是奇数时，a a n n =当n 是偶数时，⎩⎨⎧<≥-==)0()0(||a a a a a a n n例1、（1）=-+125.0833-41633（2）7722)(2y x y xy x -++-=2．分数指数幂正数的分数指数幂的意义 规定：)1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m)1,,,0(11*>∈>==-n N n m a a a a n m n mn m0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂．3．有理指数幂的运算性质（1）r a ·s r r a a +=),,0(Q s r a ∈>； （2）rs s r a a =)( ),,0(Q s r a ∈>；（3）s r r a a ab =)( ),0,0(Q r b a ∈>>．无理指数幂：一般地，无理数指数幂),0(是无理数αα>a a 是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．对于根式的运算，简单的问题可以根据根式的意义直接计算，一般要将根式化为分数指数幂，利用分数指数幂的运算性质来进行计算。
高一指数函数知识点归纳总结
高一指数函数知识点归纳总结指数函数是高中数学中重要的一部分内容，它在数学中具有广泛的应用和重要的理论基础。
对于高中一年级学生而言，理解和掌握指数函数的基本概念、性质和运算规律是非常重要和必要的。
本文将对高一指数函数相关的知识点进行归纳总结。
一、指数函数的基本概念指数函数是一个以底数为常数、指数为自变量的函数。
一般形式为f(x) = a^x，其中a为底数，x为指数。
在指数函数中，底数a必须是正数且不等于1。
指数函数具有以下特点：1. 当0 < a < 1时，指数函数呈递减趋势；2. 当a > 1时，指数函数呈递增趋势；3. 当a = 1时，指数函数为常函数，即f(x) = 1；4. 当x = 0时，指数函数的函数值始终为1。
二、指数函数的性质1. 指数函数的定义域为全体实数集R，值域为正实数集(0, +∞)；2. 指数函数与指数运算有以下运算规律：a) a^m · a^n = a^(m+n)；b) (a^m)^n = a^(mn)；c) (ab)^n = a^n · b^n；d) (a/b)^n = a^n / b^n；3. 指数函数的导数为其本身的常数倍，即(f(x))' = k · f(x)，其中k为常数。
三、指数函数的图像特点1. 当a > 1时，指数函数图像在原点上方，且逐渐随着x的增大而增长；2. 当0 < a < 1时，指数函数图像在原点下方，且逐渐随着x的增大而递减；3. 指数函数图像在x轴上有一个特殊点(0, 1)，这是因为当x = 0时，指数函数的函数值始终为1。
四、指数函数的应用指数函数在实际问题中有广泛的应用，特别是在与增长、衰减和复利相关的情境中。
1. 增长问题：指数函数可以描述一种以固定速率增长的情况，如人口增长、细胞分裂等；2. 衰减问题：指数函数可以描述一种以固定速率衰减的情况，如放射性物质的衰减、药物在人体内的代谢等；3. 复利问题：指数函数可以描述一种连续的复利增长情况，如利息的复利计算、投资的回报率等。
高一在指数函数方面的知识点
高一在指数函数方面的知识点指数函数是高中数学中的一种基本函数类型，它在现实生活和科学研究中具有广泛的应用。
学习高一的学生在指数函数方面的知识点上需要有深入了解和掌握。
本文将介绍指数函数的性质、图像和应用，并对指数函数的解题方法进行讨论。
一、指数函数的性质指数函数的形式一般为f(x) = a^x，其中a为正实数且不等于1。
指数函数的重要性质有以下几点：1. 函数值正负性：当a大于1时，函数值逐渐增大；当0小于a小于1时，函数值逐渐减小。
这表明指数函数有一个基准点（通常为x 轴）作为对称轴，图像呈现增长或衰减趋势。
2. 单调性：当a大于1时，指数函数在整个定义域上是递增的；当0小于a小于1时，指数函数是递减的。
3. 零点和正值点：指数函数不存在零点，但对于任意正数b，总存在一个解x，使得a^x = b，其中b为正数。
这个解x称为对数函数的反函数。
二、指数函数的图像指数函数的图像形态与底数a的取值相关。
假设a大于1，那么指数函数图像在x轴正半轴逐渐上升，并逼近y轴，同时在x轴负半轴逐渐接近x轴。
当0小于a小于1时，指数函数图像在x轴正半轴逐渐下降，逼近x轴，同时在x轴负半轴逐渐接近y轴。
指数函数的图像还具有如下特征：1. 对称轴：对于a大于1的指数函数，对称轴是y轴；对于0小于a小于1的指数函数，对称轴是x轴。
2. 切线和渐近线：对于a大于1的指数函数，图像在x轴负半轴有一条水平渐近线；对于0小于a小于1的指数函数，图像在y轴有一条水平渐近线。
三、指数函数的应用指数函数在现实生活中有广泛的应用，其中一些应用包括：1. 经济学：指数函数可以用来描述人口增长、物价指数、质量衰减等经济指标的变化趋势。
2. 物理学：指数函数可以用来描述放射性物质的衰变、声音的传播、电磁波的衰减等物理现象。
3. 生物学：指数函数可以用来描述生物种群的增长与衰减、酶的催化作用等生物学现象。
四、解题方法在解题中，我们需要熟练掌握指数函数的运算性质和相关公式。
4.2.2指数函数的图像和性质2(指数型函数)课件高一上学期数学人教A版【02】
二、指数型复合函数
例3：求下列函数的奇偶性 非奇非偶函数可以尝试特殊值举反例。
所以是非奇非偶函数。
所以是偶函数。 函数。
定义域不关于原点对称，所以是非奇非偶
二、指数型复合函数
练3：求下列函数的奇偶性
二、指数型复合函数
例4：求下列函数的单调性和单调区间
任意的
二、指数型复合函数
(4)单调性： 减函数 (5)奇偶性：非奇非偶 (6)当x>o时,0<y<1,
当x<0时，y>1.
一、定点问题
(0,1) (2,1) (2,4)
a0 1
二、指数型复合函数
例1：求下列函数的定义域
二、指数型复合函数
练1：求下列函数的定义域
二、指数型复合函数
例2：求下列函数的值域
二、指数型复合函数
复合函数单调性
减函数 减函数
复合函数
（2）
单调区间
（-∞，0） （0，+∞）
内函数单调性
减函数 增函数
外函数单调性
增函数 增函数
复合函数单调性
减函数 增函间
（-∞，1）
内函数单调性
减函数
外函数单调性
减函数
复合函数单调性
增函数
复合函数
（4）
单调区间
[0，+∞）
内函数单调性
增函数
练习：1、求函数
的定义域、 值域及单调增区间
2、求函数
的定义域、 值域及单调增区间
解： x2 2 x 0, x2 2 x 0, 0 x 2
令u x2 2x (x 1)2 1, 在[0，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减， y 2u 单调递增, y 2 x2 2x 在[0，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减，
指数函数知识点高一上册
指数函数知识点高一上册指数函数是高中数学中的一个重要知识点，也是数学与实际问题结合的一个典型例子。
本文将围绕指数函数的定义、性质以及常见应用展开论述。
通过学习本文，读者可以对指数函数有一个全面而深入的理解。
一、指数函数的定义指数函数是以自然常数e为底的幂函数，记作y = a^x，其中a > 0且a≠1。
在指数函数中，a被称为底数，x被称为指数。
二、指数函数的性质1. 基本性质：指数函数的定义域为全体实数，值域为正实数。
2. 底数大于1时，指数函数是递增函数；底数介于0和1之间时，指数函数是递减函数。
3. 指数函数的图像在x轴上有一个水平渐近线y=0。
三、指数函数的图像特征指数函数的图像特征与底数的大小相关：1. 当底数a > 1时，指数函数的图像经过点（0,1），且随着x 的不断增大，图像逐渐趋近于x轴正半轴；2. 当0 < a < 1时，指数函数的图像经过点（0,1），且随着x的不断增大，图像逐渐趋近于x轴负半轴。
四、指数函数的常见应用1. 复利计算：指数函数常用于计算复利问题。
例如，一笔本金为P元，年利率为r，连续复利，n年后可得到的本利和为P(1+r)^n。
2. 自然增长和自然衰减：一些自然现象如细菌数量的增长和放射性物质的衰减，都可以用指数函数进行描述和分析。
3. 投资与财富增长：指数函数可用于描述投资增长的规律和财富的积累过程。
4. 电路中的电压和电流变化：指数函数可以用来描述电路中电压和电流随时间变化的规律。
五、指数函数的拓展应用除了上述常见应用外，指数函数还可以应用于更多领域：1. 生物学：描述生物种群的增长与衰减；2. 经济学：描述经济增长或衰退的模型；3. 物理学：描述衰变过程、弦的振动以及光强衰减等。
六、总结通过对指数函数的学习，我们了解了指数函数的定义、性质以及常见应用。
指数函数是数学与实际问题相结合的典型例子，在现实生活中有着广泛而重要的应用。
通过进一步深入研究指数函数，我们可以丰富数学知识，提高问题解决的能力。
必修一指数函数讲义
6
3
6
1 3
2 6
6
1 6
∴6 ＜2 ＜3
1 6
1 2
1 3
选B
2
3 2 2 变式练习： 设 a ＝ ( ) 5 ， b ＝ ( ) 5 ， c ＝ ( ) 5 ，则 a ， b ， c 三个数的大小关系是 5 5 5
_____________。 【解析】 ：a ＞c ＞b
2
3
2
四、指数函数概念：函数 y＝ a x ( a ＞0， a ≠1)叫做指数函数，其中 x 是自变量，
3 3
（2）(2 a b )×(－6 a b )÷(－3 a b ) 【解析】 ： （1）－12 y
2 3 3
1 6
5 6
； （2）4 a
1
变式练习 2：化简下列各式
（1） 4 ( 4)
4
（2） (3 8a ) 3 （3） 8a ＋ a
4
1 a2 （4） 2a b
b3 a
a b3
【解析】 ： （1） 4 ( 4) ＝4－
例 1：化简下列各式（1） a × a ； （2） ( x
2
3 2
2
3
2
2
y 3)
12
6
【解析】 ： （1） a × a ＝ a × a 3 ＝ a 3 ， （2） x
2
2
8
y
18
＝x
2 3
y3
2
变式练习 1：化简下列各式
1
（1）4 x
2
2 3
×3 x
1 2
1 2
×(－ y
1 2 1 3
3
)× y
高一数学讲义4-必修1第二章2.1指数函数
第二章 基本初等函数（Ⅰ）2.1指数函数一、指数与指数幂的运算 课型A例1．求下列各式的值：（1）312a -⎛÷ ⎝ (1a )（2）()()22222a a a a ---+÷- 2211a a ⎛⎫- ⎪+⎝⎭（3）1211133442436x x y x y ---⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ (132xy )例2. 已知13x x-+=，求1122x x -+；3322x x -+的值。
例3. 已知31x a -+=，求2362a ax x ---+的值。
（1）例4．已知11223x x-+=，求22332223x x x x --+-+-的值 解：∵11223x x -+=，∴11222()9x x -+=，∴129x x -++=，∴17x x -+=， ∴12()49x x -+=，∴2247x x -+=， 又∵331112222()(1)3(71)18x xx x x x ---+=+⋅-+=⋅-=， ∴223322247231833x x x x --+--==-+-二、指数函数及其性质 课型A例1． 判断下列函数哪些是指数函数：（1）4x y = （2）4y x = （3）4xy =-（4）(4)x y =- (5) x y π= (6)24y x = (7) x y x = (8) 1(21),(1)2x y a a a =->≠且 其中（1），（5），（8）是指数函数。
例2． 若2(4)x y a =-是一个指数函数，求a 的取值范围。
例3．设5.1344.029.01)21(,8,4-===y y y ，则（ D ） A ．y 3＞y 1＞y 2 B ．y 2＞y 1＞y 3C ．y 1＞y 2＞y 3D ．y 1＞y 3＞y 2 例4．当x ∈［－2，2)时，y =3－x －1的值域是（ A ） A ．（－98，8］ B ．［－98，8］ C ．(91，9) D ．［91，9］ 例5．函数()2()1x f x a =-在R 上是减函数，则a 的取值范围是 （ D ）A ．1>aB ． 2<aC ．2a <D ．12a <<例6．函数||x a y =的图象是(01)a << ( D )A B C D 例7．下列说法中，正确的是（ B ）①任取x R ∈都有3x ＞2x②当a ＞1时，任取x R ∈都有a x ＞a －x ③y =(3)－x 是增函数 ④y =2|x |的最小值为1⑤在同一坐标系中，y =2x 与y =2－x 的图象对称于y 轴A ．①②④B ．④⑤C ．②③④D ．①⑤例8．求函数2233x x y -++=的定义域、值域和单调区间．解：定义域：x R ∈值域：(0,81]y ∈单调区间：y 在(,1)-∞上单调增，在(1,)+∞上单调减。
高一数学+指数函数+课件
在金融、经济、科学计算等领域中，指数函数被广泛应用于描述增长和衰减现象。例如， 复利计算、人口增长、放射性物质的衰变等。
对数函数的应用
在科学、工程和统计学等领域中，对数函数被广泛应用于处理和转换数据。例如，声学中 的分贝计算、测量技术中的对数刻度、以及在信号处理中的频谱分析等。
指数函数与对数函数的相互转换
当底数不同时，不能直接进行加法运 算，需要先统一底数。
举例
$(2^3)^2 = 2^{3 times 2} = 2^6$ ，$2^3 times 3^3 = 2^{3+3} = 2^6$。
指数函数的减法运算
指数函数的减法运算规则
$a^m - a^n = a^m times (1 - a^{n-m})$。
举例
$2^3 - 2^1 = 2^3 times (1 - 2^{-2}) = 8 times (1 - frac{1}{4}) = 8 times frac{3}{4} = 6$。
注意
当底数不同时，不能直接进行减法运算，需要先统一底数。
指数函数的乘法运算
指数函数的乘法运算规则
01
$a^m times a^n = a^{m+n}$。
在实际应用中，我们经常需要将指数函数转换为对数函数，或者将对数函数转换为指数函 数。这可以通过使用反函数的性质来实现，即通过将指数函数的自变量和因变量互换，将 对数函数的自变量和因变量互换，可以得到相应的反函数。
05
指数函数在实际生活中的应用
在金融领域中的应用
复利计算
在储蓄和投资中，复利是一种常见的计算方式，其实质就是指数函 数的应用。通过计算复利，可以评估投资收益和未来财富增长情况 。
02
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第四讲 指数函数
一、知识要点
1、正数的正分数指数幂的意义：n
m
n
m a
a =
(a ＞0,m ,n ∈N*,且n ＞1)
2、规定：(1) n
m
n
m a
a
1
=
- (a ＞0,m ,n ∈N*,且n ＞1)
(2)0的正分数指数幂等于0. (3)0的负分数指数幂无意义.
3、有理指数幂的运算性质(板书)
(1)a r 〃a s =a r +s (a ＞0,r ,s ∈Q) (2)(a r )s =a r 〃s (a ＞0,r ,s ∈Q) (3)(a 〃b )r =a r 〃b r (a ＞0,b ＞0,r ∈Q)
4、一般地，函数y =a x (a ＞0且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，函数定义域是R.
5、指数函数的图象和性质
二、学法指导
1、在指数运算时，要遵守运算法则，防止“跟着感觉走”。
、
2、合理运用指数函数图像解决单调性、方程、不等式的问题。
3、复合函数的单调性判断方法：同则增、异则减。
例1、21
02
3
2
1
3
(2)(9.6)(3)
(1.5)
48
-
----+
例2、已知a =
，0.32b =，0.20.3c =，判定c b a ,,三者的大小关系。
例3、求函数y =33
22
++-x x 的定义域、值域和单调区间．
例4、设a 是实数，2()()
21
x
f x a x R =-
∈+
（1） 如果f(x)是奇函数，求a 的值； （2） 判断f(x)的单调性，并加以证明。
例5、设0≤x ≤2，求函数y =12
242
2
1++
⋅--
a
a x
x 的最大值和最小值。
例6、设01a <<，解关于x 的不等式2
2
232
223
x x x x a a
-++->。
三、能力拓展 例1、设a R ∈，22
()()21
x
x
a a f x x R ⋅+-=∈+，试确定a 的值，使()f x 为奇函
数。
例2、已知函数2
25
13x x y ++⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，求其单调区间及值域。
例3、已知函数1()(1)1
x
x a f x a a -=
>+,
(1)判断函数的奇偶性； (2)求该函数的值域； (3)证明()f x 是R 上的增函数。
四、巩固练习
一、选择题：
1．化简［32
)5(-］43
的结果为
（ ）
A ．5
B ．5
C ．－5
D ．－5 2．化简4
63
94
36
9
)(
)(
a a ⋅的结果为
（ ）
A ．a
16
B ．a
8
C ．a
4
D ．a 2
3．设函数的取值范围是
则若0021,1)(,.
0,,
0,12)(x x f x x x x f x >⎪⎩⎪
⎨⎧>≤-=-
（ ）
A ．(－1，1)
B ．(－1，＋∞)
C ．),0()2,(+∞⋃--∞
D ．),1()1,(+∞⋃--∞
4．设5
.1344
.029
.01)2
1(,8
,4-===y y y ，则
（ ）
A ．y 3＞y 1＞y 2
B ．y 2＞y 1＞y 3
C ．y 1＞y 2＞y 3
D ．y 1＞y 3＞y 2 5．当x ∈［－2，2)时，y =3－x
－1的值域是
（ ）
A ．［－
9
8，8］ B ．［－
9
8，8］ C ．(9
1，9)
D ．［9
1，9］
6．在下列图象中，二次函数y =ax 2＋bx ＋c 与函数y =(a
b )x 的图象可能是
（ ）
7．已知函数f (x )的定义域是(0，1)，那么f (2x )的定义域是
（ ）
A ．(0，1)
B ．(2
1，1) C ．(－∞，0)
D ．(0，＋∞)
8．若122-=x
a
，则
x
x
x x a
a a
a
--++33等于 （ ）
A ．22－1
B ．2－22
C ．22＋1
D ． 2＋1
9．设f (x )满足f (x )＝f (4－x )，且当x ＞2 时f (x )是增函数，则a ＝f (1.10.9)，b = f (0.91.1)，
c ＝)4(log
2
1f 的大小关系是
（ ）
A ．a ＞b ＞c
B ．b ＞a ＞c
C ．a ＞c ＞b
D ．c ＞b ＞a 10．若集合}1|{},2|{-=
===x y y P y y M x ，则M ∩P=
（ ）
A ．}1|{>y y
B ．}1|{≥y y
C ．}0|{>y y
D ．}0|{≥y y 11．若集合S ＝{y |y ＝3x ，x ∈R}，T ＝{y |y ＝x 2－1，x ∈R}，则S ∩T 是 （ ）
A ．S
B ．T
C ．
D ．有限集 12．下列说法中，正确的是
（ ）
①任取x ∈R 都有3x ＞2x
②当a ＞1时，任取x ∈R 都有a x ＞a －x ③y =(3)－x 是增函数 ④y =2|x |
的最小值为1
⑤在同一坐标系中，y =2x 与y =2－x
的图象对称于y 轴 A ．①②④ B ．④⑤ C ．②③④ D ．①⑤
二、填空题： 13．计算：2
10
3
1
9
)4
1
()
2(4)
21
(-
---+-⋅- ＝ ．
14．函数x a y =在]1,0[上的最大值与最小值的和为3，则=a ． 15．函数y =
1
21+x
的值域是_ _______．
16．不等式16
2
2
<-+x x 的解集是 ．
三、解答题：
17．已知函数f (x )=a x ＋b 的图象过点(1，3)，且它的反函数f －1(x )的图象过(2，0)点，试确定
f (x )的解析式．
18．已知,32
12
1
=+-
x
x 求
3
2
1
2
323
++++--
x x
x x 的值．
巩固练习参考答案
一、选择题： BCDDA ACADC AB 二、填空题：13.
6
19，14.2，15. (0，1) ，16.}12|{<<-x x ．
三、解答题：
17.解析： 由已知f (1)=3，即a ＋b =3 ①
又反函数f －1(x )的图象过(2，0)点即f (x )的图象过(0，2)点． 即f (0)=2 ∴1＋b =2 ∴b =1代入①可得a =2
因此f (x )=2x
＋1
18.解析：由,9)(221
21
=+-
x x 可得x ＋x －1
=7
∵27)(3
2
121
=+-
x
x ∴2
31
2
1
2
12
333-
--
++⋅+x
x
x x
x x =27
∴2
323
-
+x
x =18，
故原式=2。