初三数学总复习课件题型6 圆的证明与计算
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全 效学 习
中考学练测·数学
第四部分 二、 题型六
第1课时 微粒构成物质 认识化学元素
第四部分 广西中考重难题型研究
二、解答题重难题型突破 题型六 圆的证明与计算
类型之一 与全等三角形有关
[2019·郴州]如图，已知AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点D，且AD∥ OC.
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第1课时 微粒构成物质 认识化学元素
∵AC＝3CD，∴BC2＝13AC2，
∴tan∠A＝BACC＝ 33， ∴∠A＝30°.
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第1课时 微粒构成物质 认识化学元素
类型之二 与相似三角形有关
[2019·邵阳]如图①，已知⊙O外一点P向⊙O作切线PA，点A为切点，连接 PO并延长交⊙O于点B，连接AO并延长交⊙O于点C，过点C作CD⊥PB，分别交 PB于点E，交⊙O于点D，连接AD. (1)求证：△APO∽△DCA；
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第1课时 微粒构成物质 认识化学元素
(2)①解：如答图，连接OD.
∵AD＝AO，OD＝AO，
∴△OAD是等边三角形，
∴∠OAD＝60°.
∵PB∥AD，
∴∠POA＝∠OAD＝60°. ∵∠PAO＝90°，
例2答图
∴∠P＝90°－∠POA＝90°－60°＝30°.
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第1课时 微粒构成物质 认识化学元素
∴BQ＝AB.
∵∠OBA＝∠OPA＝30°，
∴AB＝AP，∴BQ＝AP.
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第1课时 微粒构成物质 认识化学元素
∵PA⊥AC，∴BQ∥AP，
∴四边形ABQP是平行四边形． ∵AB＝AP，∴▱ABQP是菱形， ∴PQ＝AB，
∴CPQQ＝ABBC＝tan∠ACB＝tan 60°＝ 3.
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第1课时 微粒构成物质 认识化学元素
(2)如图②，当AD＝AO时， ①求∠P的度数； ②连接AB，在⊙O上是否存在点Q使得四边形APQB是菱形？若存在，请直接写 出CPQQ的值；若不存在，请说明理由．
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第1课时 微粒构成物质 认识化学元素
(1)证明：∵PA切⊙O于点A，AC是⊙O的直径， ∴∠PAO＝∠D＝90°. ∵CD⊥PB，∴∠CEP＝90°， ∴∠CEP＝∠D，∴PB∥AD，∴∠COE＝∠CAD， ∴∠POA＝∠CAD，∴△APO∽△DCA.
课件元素
(1)证明：如答图，连接OC.
∵OA＝OC，∴∠A＝∠1. ∵AO＝OB，E为BD的中点，∴OE∥AD， ∴∠1＝∠3，∠A＝∠2，∴∠2＝∠3.
OC＝OB，
在△COE与△BOE中，∠2＝∠3，
OE＝OE，
∴△COE≌△BOE(SAS)，
OD＝OB，
在△COD和△COB中，∠COD＝∠COB，
OC＝OC，
∴△COD≌△COB(SAS)， ∴∠CDO＝∠CBO.
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第1课时 微粒构成物质 认识化学元素
又∵CD与⊙O相切于点D， ∴∠CDO＝90°，∴∠CBO＝90°， 即OB⊥BC. 又∵OB是⊙O的半径，∴BC是⊙O的切线．
②存在．
如答图，过点B作BQ⊥AC交⊙O于点Q，连接PQ，BC，CQ. 由①得∠POA＝60°，∠PAO＝90°， ∴∠BOC＝∠POA＝60°. ∵OB＝OC，∴∠ACB＝60°， ∴∠BQC＝∠BAC＝30°.
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第1课时 微粒构成物质 认识化学元素
∵BQ⊥AC，∴CQ＝BC， ∵BC＝OB＝OA，∴△CBQ≌△OBA(AAS)，
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第1课时 微粒构成物质 认识化学元素
(2)解：∵∠E＝30°，∴∠COB＝60°， 由(1)知，∠COD＝∠COB， ∴∠COD＝60°， ∴∠DOB＝∠COD＋∠COB＝120°. ∵⊙O的半径为2， ∴B︵D的长为12108·π0·2＝43π.
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第1课时 微粒构成物质 认识化学元素
∴∠OCE＝∠ABD＝90°，即OC⊥CE. ∵OC是⊙O的半径， ∴CE是⊙O的切线． (2)解：∵AB为⊙O的直径，∴BC⊥AD. ∵AB⊥BD，∴△ABC∽△BDC，
∴BACC＝CBDC，即BC2＝AC·CD.
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第1课时 微粒构成物质 认识化学元素
(2)∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC，∠BAC＝∠ABC＝60°.
∵A，B，C，D四点共圆，
∴∠ADF＝∠ABC＝60°.
∵AD＝DF，
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第1课时 微粒构成物质 认识化学元素
∴△ADF是等边三角形， ∴AD＝AF，∠DAF＝60°， ∴∠BAC＋∠CAD＝∠DAF＋∠CAD， 即∠BAD＝∠CAF.
(1)求证：BC是⊙O的切线；
︵
(2)延长CO交⊙O于点E.若∠E＝30°，⊙O的半径为2，求BD的长．(结果保留π) (1)证明：如答图，连接OD.
∵AD∥OC， ∴∠COD＝∠ADO，∠COB＝∠A. 又∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠A， ∴∠COD＝∠COB.
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第1课时 微粒构成物质 认识化学元素
AB＝AC，
在△BAD和△CAF中，∵∠BAD＝∠CAF，
AD＝AF，
∴△BAD≌△CAF(SAS)，∴BD＝CF.
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第1课时 微粒构成物质 认识化学元素
2．[2017·衡阳]如图，已知△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，BD⊥AB，交AC 的延长线于点D. (1)E为BD的中点，连接CE，求证：CE是⊙O的切线； (2)若AC＝3CD，求∠A的大小．
1．[2018·常德]如图，已知⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点D在圆上，在CD的 延长线上有一点F，使DF＝DA，AE∥BC交CF于点E. (1)求证：EA是⊙O的切线； (2)求证：BD＝CF.
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第1课时 微粒构成物质 认识化学元素
证明：(1)如答图，连接OA.
∵⊙O是等边三角形ABC的外接圆， ∴∠OAC＝30°，∠BCA＝60°. ∵AE∥BC，∴∠EAC＝∠BCA＝60°， ∴∠OAE＝∠OAC＋∠EAC＝30°＋60°＝90°， ∴EA是⊙O的切线．
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第四部分 二、 题型六
第1课时 微粒构成物质 认识化学元素
第四部分 广西中考重难题型研究
二、解答题重难题型突破 题型六 圆的证明与计算
类型之一 与全等三角形有关
[2019·郴州]如图，已知AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点D，且AD∥ OC.
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第1课时 微粒构成物质 认识化学元素
∵AC＝3CD，∴BC2＝13AC2，
∴tan∠A＝BACC＝ 33， ∴∠A＝30°.
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第1课时 微粒构成物质 认识化学元素
类型之二 与相似三角形有关
[2019·邵阳]如图①，已知⊙O外一点P向⊙O作切线PA，点A为切点，连接 PO并延长交⊙O于点B，连接AO并延长交⊙O于点C，过点C作CD⊥PB，分别交 PB于点E，交⊙O于点D，连接AD. (1)求证：△APO∽△DCA；
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第1课时 微粒构成物质 认识化学元素
(2)①解：如答图，连接OD.
∵AD＝AO，OD＝AO，
∴△OAD是等边三角形，
∴∠OAD＝60°.
∵PB∥AD，
∴∠POA＝∠OAD＝60°. ∵∠PAO＝90°，
例2答图
∴∠P＝90°－∠POA＝90°－60°＝30°.
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第1课时 微粒构成物质 认识化学元素
∴BQ＝AB.
∵∠OBA＝∠OPA＝30°，
∴AB＝AP，∴BQ＝AP.
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∵PA⊥AC，∴BQ∥AP，
∴四边形ABQP是平行四边形． ∵AB＝AP，∴▱ABQP是菱形， ∴PQ＝AB，
∴CPQQ＝ABBC＝tan∠ACB＝tan 60°＝ 3.
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第1课时 微粒构成物质 认识化学元素
(2)如图②，当AD＝AO时， ①求∠P的度数； ②连接AB，在⊙O上是否存在点Q使得四边形APQB是菱形？若存在，请直接写 出CPQQ的值；若不存在，请说明理由．
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第1课时 微粒构成物质 认识化学元素
(1)证明：∵PA切⊙O于点A，AC是⊙O的直径， ∴∠PAO＝∠D＝90°. ∵CD⊥PB，∴∠CEP＝90°， ∴∠CEP＝∠D，∴PB∥AD，∴∠COE＝∠CAD， ∴∠POA＝∠CAD，∴△APO∽△DCA.
课件元素
(1)证明：如答图，连接OC.
∵OA＝OC，∴∠A＝∠1. ∵AO＝OB，E为BD的中点，∴OE∥AD， ∴∠1＝∠3，∠A＝∠2，∴∠2＝∠3.
OC＝OB，
在△COE与△BOE中，∠2＝∠3，
OE＝OE，
∴△COE≌△BOE(SAS)，
OD＝OB，
在△COD和△COB中，∠COD＝∠COB，
OC＝OC，
∴△COD≌△COB(SAS)， ∴∠CDO＝∠CBO.
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又∵CD与⊙O相切于点D， ∴∠CDO＝90°，∴∠CBO＝90°， 即OB⊥BC. 又∵OB是⊙O的半径，∴BC是⊙O的切线．
②存在．
如答图，过点B作BQ⊥AC交⊙O于点Q，连接PQ，BC，CQ. 由①得∠POA＝60°，∠PAO＝90°， ∴∠BOC＝∠POA＝60°. ∵OB＝OC，∴∠ACB＝60°， ∴∠BQC＝∠BAC＝30°.
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(2)解：∵∠E＝30°，∴∠COB＝60°， 由(1)知，∠COD＝∠COB， ∴∠COD＝60°， ∴∠DOB＝∠COD＋∠COB＝120°. ∵⊙O的半径为2， ∴B︵D的长为12108·π0·2＝43π.
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第1课时 微粒构成物质 认识化学元素
∴∠OCE＝∠ABD＝90°，即OC⊥CE. ∵OC是⊙O的半径， ∴CE是⊙O的切线． (2)解：∵AB为⊙O的直径，∴BC⊥AD. ∵AB⊥BD，∴△ABC∽△BDC，
∴BACC＝CBDC，即BC2＝AC·CD.
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(2)∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC，∠BAC＝∠ABC＝60°.
∵A，B，C，D四点共圆，
∴∠ADF＝∠ABC＝60°.
∵AD＝DF，
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第1课时 微粒构成物质 认识化学元素
∴△ADF是等边三角形， ∴AD＝AF，∠DAF＝60°， ∴∠BAC＋∠CAD＝∠DAF＋∠CAD， 即∠BAD＝∠CAF.
(1)求证：BC是⊙O的切线；
︵
(2)延长CO交⊙O于点E.若∠E＝30°，⊙O的半径为2，求BD的长．(结果保留π) (1)证明：如答图，连接OD.
∵AD∥OC， ∴∠COD＝∠ADO，∠COB＝∠A. 又∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠A， ∴∠COD＝∠COB.
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AB＝AC，
在△BAD和△CAF中，∵∠BAD＝∠CAF，
AD＝AF，
∴△BAD≌△CAF(SAS)，∴BD＝CF.
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2．[2017·衡阳]如图，已知△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，BD⊥AB，交AC 的延长线于点D. (1)E为BD的中点，连接CE，求证：CE是⊙O的切线； (2)若AC＝3CD，求∠A的大小．
1．[2018·常德]如图，已知⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点D在圆上，在CD的 延长线上有一点F，使DF＝DA，AE∥BC交CF于点E. (1)求证：EA是⊙O的切线； (2)求证：BD＝CF.
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证明：(1)如答图，连接OA.
∵⊙O是等边三角形ABC的外接圆， ∴∠OAC＝30°，∠BCA＝60°. ∵AE∥BC，∴∠EAC＝∠BCA＝60°， ∴∠OAE＝∠OAC＋∠EAC＝30°＋60°＝90°， ∴EA是⊙O的切线．