第六章 第4节 相对论的速度变换公式 质能关系

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第4节相对论的速度变换公式__质能关系
1.相对论速度变换公式v =
u +v ′1+u v ′c 2,当u ≪c ,v ′≪c 时,v =u +v ′,满足经典力学速度合成关系。

2.物体的质量与能量的对应关系:E =mc 2。

3.物体运动质量m 与静质量m 0的关系:m =m 01-(v c
)2。

4.运动物体的相对论动能表达式:E k =m 0c 2[11-(v c )2-1]
u ,车上的人以速度v ′沿着火车前进的方向相对火车运动,那么这个人相对地面的速度v 为v =u +v ′1+u v ′c 2。

理解这个公式时请注意:
(1)如果车上的人的运动方向与火车的运动方向相反,则v ′取负值。

(2)如果u ≪c ,v ′≪c ,这时
v ′u c 2
可忽略不计,这时相对论的速度合成公式可近似变为v =v ′+u 。

(3)如果v ′与u 的方向垂直或成其他角度时,情况比较复杂,上式不适用。

[学后自检]┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(小试身手)
在高速运动的火车上,设车对地面的速度为v ,车上的人以速度u ′沿着火车前进的方向相对火车运动,那么他相对地面的速度u 与u ′+v 的关系是( )
A .u =u ′+v
B .u <u ′+v
C .u >u ′+v
D .以上均不正确 解析:选B 按照经典的时空观,u =u ′+v ,而实际上人对地面的速度按照相对论速
度公式计算,u =u ′+v 1+u ′v c
2,因此u 比u ′与v 之和要小,但只有在u ′和v 的大小接近光速时才能观察此差别。

1.质能关系式
E =mc 2。

式中m 是物体的质量,E 是它具有的能量。

由此可见,物体质量越大,其蕴含的能量越大。

能量与质量成正比。

2.相对论质量
m =m 0
1-v 2
c 2(m 0指静质量);
与静质量对应的静能量为E 0=m 0c 2。

[跟随名师·解疑难]
1.对质速关系m =m 0
1-(v c )2的理解
(1)式中m 0是物体静止时的质量(也称为静质量),m 是物体以速度v 运动时的质量。

这个关系式表明:物体的质量会随物体的速度的增大而增大。

(2)v ≪c 时,(v c
)2=0,此时有m =m 0,也就是说:低速运动的物体,可认为其质量与物体运动状态无关。

(3)微观粒子的速度很高,因此粒子运动的质量明显大于静质量。

若物体运动速率无限接近光速时,其相对论质量也将无限增大,其惯性也将无限增大,其运动状态的改变也就越困难。

2.对质能方程的理解
质能方程表达了物体的质量和它所具有的能量的关系:一定的质量总是和一定的能量相对应。

具体从以下几个方面理解:
(1)静止物体的能量为E 0=m 0c 2,这种能量叫做物体的静质能。

每个有静质量的物体都具有静质能。

(2)对于一个以速率v 运动的物体,其动能
E k =m 0c 2[1
1-v 2
c 2-1]。

(3)物体的总能量E 为动能与静质能之和,即E =E k +E 0=mc 2(m 为动质量)。

(4)由质能关系式可知ΔE =Δmc 2。

[学后自检]┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(小试身手)
星际火箭以0.8c 的速率飞行,其静止质量为运动质量的多少倍?
解析:设星际火箭的静止质量为m ′0,运动质量为m ′,则m ′0m ′=m ′0m ′0
1-(0.8
c c )2
=0.6 倍。

答案:0.6倍
1.地球上一观察者,看见一飞船A 以速度2.5×108 m /s 从他身边飞过,另一飞船B 以速度2.0×108 m/s 跟随A 飞行。

求:
(1)A 上的乘客看到B 的速度是多少?
(2)B 上的乘客看到A 的速度是多少?
[思路点拨] 解答本题时应注意以下两点:
(1)速度变换公式中各符号的含义;
(2)所求解的速度相对的参考系。

解析:(1)由题意可知,v =2.0×108 m /s ,u =2.5×108 m/s ,v ′为B 相对于A 的速度。

由v =u +v ′1+u v ′c
2可得:v ′=-1.125×108 m/s 。

(2)由题意可知,v =2.5×108 m /s ,u =2.0×108 m/s ,v ′为A 相对于B 的速度,由v =u +v ′
1+u v ′c
2可得:v ′=1.125×108 m/s 。

答案:(1)-1.125×108 m /s (2)1.125×108 m/s
[跟踪演练]
一高能加速器沿相反方向射出两质点,速度均为0.6c ,它们的相对速度是多少?
解析:根据相对论的速度变换公式 v =v ′+u 1+v ′u c
2, 可知-0.6c =v ′+0.6c 1+0.6c ×v ′c 2
,解得v ′≈-0.88c ,即该质点相对于运动参考系(另一质点)的速度为-0.88c 。

答案:-0.88c
2.一个原来静止的电子,经过100 V 的电压加速后它的动能是多少?质量改变了百分之几?速度是多少?此时还能否使用经典的动能公式?(m 0=9.1×10
-31 kg) [思路点拨] 解答本题时应注意以下两点:
(1)如果质量发生明显变化,经典动能公式就不成立了。

(2)如果质量变化可忽略,则仍可使用经典动能公式。

解析:由动能定理:E k =eU =1.6×10-19×100 J =1.6×10-17 J 。

根据质能方程:ΔE =Δmc 2,得Δm =E k c
2, 质量的改变量是原来的:
Δm m 0=E k m 0c 2= 1.6×10-179.1×10-31×(3×108)2
=0.02% 加速后的速度为v =2E k m 0=2×1.6×10-179.1×10-31 m /s =5.9×106 m/s 。

上述计算表明,加速后的电子还属于低速的,可以使用经典的动能公式。

答案:1.6×10-17 J 0.02% 5.9×106 m/s 可以使用经典动能公式
[探规寻律]
相对论的质速关系
由相对论的质速关系m =m 0
1-(v c )2知,物体以速度v 运动时的质量m 大于静止时的质
量m 0,且v 越大,m 与m 0相差越大。

微观粒子的运动速度很高,它的质量明显大于静止质量,在粒子加速问题中注意考虑这一问题。

[跟踪演练]
如图所示,假设一辆由超强力电池供电的摩托车和一辆普通有轨电车,都被加速到接近光速;在我们的静止参考系中进行测量,哪辆车的质量将增大( )
A.摩托车B.有轨电车
C.两者都增加D.都不增加
解析:选B在相对论中普遍存在一种误解,即认为运动物体的质量总是随速度增加而增大;当速度接近光速时,质量要趋于无穷大。

其实物体质量增大只是发生在给它不断输入能量的时候,而不一定是增加速度的时候。

对有轨电车,能量通过导线从发电厂源源不断输入;而摩托车的能源却是它自己带的。

能量不断从外界输入有轨电车,但没有能量从外界输给摩托车。

能量对应于质量,所以有轨电车的质量将随速度增加而增大,而摩托车的质量不会随速度增加而增大。

[课堂双基落实]
1.根据相对论判断下列说法正确的是()
A.狭义相对论全面否定了经典力学理论
B.如果物体在地面上静止不动,任何人在任何参考系里面测出该物体的长度都是一样的
C.由E=mc2可知,质量可转变成能量
D.物体速度越大,质量也越大
解析:选D相对论并没有否定经典力学理论,而是使经典力学理论的使用范围更加清楚了,A错;在不同参考系里测量同一物体的长度,测量值是不同的,B错;E=mc2指明
了物质能量与质量的对应关系,物体质量与能量不能转化,C错;由m=m0
1-(v
c)
2
可知D
对。

2.[多选]关于物体的质量,下列说法正确的是()
A.在牛顿力学中,物体的质量是保持不变的
B.在牛顿力学中,物体的质量随物体的速度变化而变化
C.在相对论力学中,物体静止时的质量最小
D.在相对论力学中,物体的质量随物体速度的增大而增大
解析:选ACD在牛顿力学中,物体的质量是保持不变的,故选项A正确,B错误;
在相对论力学中,由于物体的速度v不可能达到光速c,所以v<c,1-(v
c)
2<1,根据m=
m 0
1-(v c
)2,可判断选项C 、D 均正确。

3.设想有一艘飞船以v =0.8c 的速度在地球上空飞行,如果这时从飞船上沿其运动方向抛出一物体,该物体相对于飞船的速度为0.9c ,从地面上的人看来,物体的速度为( )
A .1.7c
B .0.1c
C .0.99c
D .无法确定 解析:选C 根据相对论速度变换公式:v =u +v ′1+u v ′c 2,得v =0.8c +0.9c 1+0.8c ×0.9c c 2
=0.99c ,故选项C 正确。

4.设宇宙射线粒子的能量是其静止能量的k 倍。

则粒子运动时的质量等于其静止质量的________倍,粒子运动速度是光速的________倍。

解析:宇宙射线粒子在静止时的能量为E 0=m 0c 2, 运动时的能量为E =mc 2
所以k =E E 0=m m 0
m =km 0①
而相对论中的质量m =m 0
1-(v c )2②
由①②两式解得v c =
k 2-1k 。

答案:k k 2-1k [课下综合检测]
1.1905年,爱因斯坦创立了“相对论”,提出了著名的质能方程。

下面涉及对质能方程理解的几种说法中正确的是( )
A .若物体能量增大,则它的质量增大
B .若物体能量增大,则它的质量减小
C .若核反应过程质量减小,则需吸收能量
D .若核反应过程质量增大,则会放出能量
解析:选A 由E =mc 2,若E 增大,则m 增大;若E 减小,则m 减小,故A 正确、
B 错。

若m 减小,则E 减小;若m 增大,则E 增大,故
C 、
D 错。

2.对相对论的基本认识,下列说法正确的是( )
A .相对论认为:真空中的光速在不同惯性参考系中都是相同的
B .爱因斯坦通过质能方程阐明了质量就是能量
C .在高速运动的飞船中的宇航员会发现飞船中的钟走得比地球上的快
D .我们发现竖直向上高速运动的球在水平方向上变扁了
解析:选A 由相对论的基本原理可知,选项A 正确。

3.[多选]在一列相对于地面的速度为v 的高速行驶的火车上,车上的人以速度u ′沿着火车前进方向相对火车运动,根据相对论速度叠加公式,下列说法正确的是( )
A .人相对于地面的速度小于人的速度和火车速度之和
B .人相对于地面的速度大于人的速度和火车速度之和
C .只要人和火车的速度足够大,人相对于地面的速度可以超过光速
D .不管人和火车的速度多大,人相对于地面的速度都小于光速
解析:选AD 设此人相对地面的速度为u ,则u =u ′+v 1+u ′v c 2<u ′+v ,故A 、D 正确。

4.下列关于爱因斯坦质能关系式的说法中,正确的是( )
A .只有运动物体才具有能量,静止物体没有质能
B .一定的质量总是和一定的能量相对应
C .E =mc 2中能量E 其实就是物体的内能
D .由Δ
E =Δmc 2知质量与能量可以相互转化
解析:选B 物体具有的质量与质量对应的能量称为质能,E =mc 2表明质量与能量之间存在一一对应的关系,物体吸收或放出能量,则对应的质量会增加或减少,质量与能量并没有相互转化。

故选项D 错误,B 正确;静止的物体也具有能量,称为静质能E 0,E 0=m 0c 2,m 0叫做静质量;E =mc 2中能量E 包括静质能E 0和动能E k ,而非物体的内能,故选项A 、C 错误。

5.如果宇航员驾驶一艘飞船以接近于光速的速度朝一星体飞行,宇航员是否可以根据下述变化发觉自己在运动( )
A .他的质量在减少
B .他的心脏跳动在慢下来
C .他永远不能由自身的变化知道自己是否在运动
D .他在变大
解析:选C 宇航员以飞船为惯性系,其相对于惯性系的速度始终为零,因此他不可能发现自身的变化,所以选项A 、B 、D 错误,选项C 正确。

6.[多选]一个物体静止时质量为m 0,能量为E 0,速度为v 时,质量为m ,能量为E ,动能为E k ,下列说法正确的是( )
A .物体速度为v 时能量E =mc 2
B .物体速度为v 时动能E k =12
mc 2 C .物体速度为v 时的动能E k =12
m v 2 D .物体速度为v 时的动能E k =(m -m 0)c 2
解析:选AD 物体具有的质量与质量对应的能量称为质能,E =mc 2表明质量与能量之间存在一一对应的关系,物体吸收或放出能量,则对应的质量会增加或减少,故选项A 、D 正确,B 、C 错误。

7.已知太阳内部进行着激烈的热核反应,每秒钟辐射的能量为4×1026 J ,则太阳的质量每秒钟约减少多少t 。

解析:由质能方程ΔE =Δmc 2
得:Δm =ΔE c 2=4×1026(3×108)2 kg =4.4×109 kg =4.4×106 t 。

答案:4.4×106 t
8.若一宇宙飞船以对地速度v 运动,宇航员在飞船内沿同方向测得光速为c ,在地上的观察者看来,光速应为v +c 吗?
解析:由相对论速度变换公式u =u ′+v ′1+u ′v ′c 2
,式中u ′、v ′分别为c 和v ,代入公式求得光的对地速度u =v +c 1+v c c 2=c ,不是v +c 。

答案:不是v +c。

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