预测与决策教程

f1(x(1))m xaR'x0 f1(x)
f2(x(2))m x aR1x' f2(x)
…
fm(x(m))xm R amx 1' fm(x)
R i ' { x |f i( x ) a im a x f i( x ) ,x R i ' 1 }i=1,2,…,m-1,
R0' R
备选方案―是指决策者根据实际问题设计出的解决 问题的方案；
决策准则―是指用于选择的方案的标准。通常有两 类：最优准则，满意准则。
二、几个基本概念
1）劣解和非劣解
如某方案的各目标均劣于其他目标，则该方案可以 直接舍去。
这种通过比较可直接舍弃的方案称为劣解。 如图中A、B、C、D、E、F、G均为劣解。
11.3 多目标风险决策分析模型
设有方案A，自然状态有l个，目标有n个，该方案 1n， 第二个自然状态下各目标的后果值分别为
θ21,θ22 ，…,θ2n， 等等。第 l 个自然状态下各目标的后果值分别为
θl1,θl2 ，…,θln
θ11,θ12 ，…,θ1n p1
p11np22n pl ln pi in
i 1
一般地，假设有m个备选方案，n个目标，第i个备 选方案面临 li 个自然状态。该模型可表述为下图。
多目标风险型决策模型
A1
A2 ... Am
p11 ... p1l1
(1(11) ,1(12) ,L1(1n) )
( , ,L ) (1) (2)
mlm
各方案中各目标的期望收益值分别为
E(A1)P1a1(p11
(1) 11
(1)
p1l1) 12
(1)
1l1
(2) 11
(2) 12
(2) 1l1
(n)
11
(n)
12

(n)
1l1
……


(1) m1 (1)
E(Am)Pmam(pm1Lpmml)L m2
2）选好解
在处理多目标决策时，先找最优解，若无最优解，就 尽力在各待选方案中找出非劣解，然后权衡非劣解，从中 找出一个按某一准则较为满意的解，这个过程称为“选好 解”。
单目标――辨优 多目标――辨优＋权衡（反映了决策者的主观价值 和意图）
11.2 决策方法
一、化多目标为单目标的方法 二、重排次序法 三、分层序列法
fi fi( x ) fi, i 2 ,3 , ,m
就可把多目标决策问题转化为下列单目标决策问题：
m x a R x f1 (x) R { x|fifi(x)fi,i 2 ,3 , ,m ;x R }
2. 线性加权和法
设有一多目标决策问题，共有 f1(x)，f2(x)，…, fm(x) 等m个目标，则可以对目标 fi(x) 分别给以权重
这三个方案的具体评价表如下:
具
体
目
标
方案1（A1）
方案2 （A2）
低造价（元/平方米）
500
700
抗震性能（里氏级）
6.5
5.5
建造时间（年）
2
1.5
结构合理（定性）
中
优
造型美观（定性）
良
优
方案3 （A3）
600
6.5 1 良 中
基本特点
目标不至一个 目标间的不可公度性 目标间的矛盾性
非劣解：既不能立即舍去，又不能立即确定为 最优的方案称为非劣解。
如图中 H、I。
第二目标值
I G
H E
F D B
C A
第一目标值
对于m个目标，一般用m个目标函数
f1 (x ),f2 (x ), ,fm (x )
刻划，其中x表示方案。 最优解：设最优解为 x * ，它满足
fi(x*)fi(x) i1 ,2 , ,m
3. 平方和加权法
设有m个目标的决策问题，现要求各方案的目标值
f1(x)，f2(x)，…, fm(x)与规定的m个满意值f1*，f2*，…,
fm*的差距尽可能小，这时可以重新设计一个总的目标函
数：
m
F(x) i(fi(x)fi*)2
i1
并要求min F(x)。其中 i 是第 i (i=1,2,…,m)个目标的
存在两个问题：
第一，在决策矩阵中，各目标采用的单位不同，数值 及其量级可能有很大的差异。如果使用原来目标的值，往 往不便于比较各目标。
第二，权重如何确定？
2.决策矩阵的规范化
1）效用值法 2）向量规范化
• 把一个向量化为单位向量
y
(1,2)
y
(1 ,2) 55
预测与决策教程
第11章 多目标决策
第11章 多目标决策
－基本概念 －决策方法 －多目标风险决策分析模型 －有限个方案多目标决策问题的分析方法 －层次分析法 －网络分析法
11.1 基本概念
一、问题的提出
例13.1 房屋设计 某单位计划建造一栋家属楼，在已经确定选址及总规定 总建筑面积的前提下，作出了三个设计方案，现要求从以下 5个目标综合选出最佳的设计方案： 低造价（每平方米造价不低于500元，不高于700元）； 抗震性能（抗震能力不低于里氏5级不高于7级）； 建造时间（越快越好）； 结构合理（单元划分、生活设施及使用面积比例等）； 造型美观（评价越高越好)
f1(x(1))m x aRx 0 f1(x)
f2(x(2))m x aRx 1 f2(x)
…
fm(x(m))m xR am x 1 fm(x)
R i { x |m a x f i ( x ) , x R i 1 } , i 1 , 2 , . . . , m 1 R0 R
p2
θ21,θ22 ，…,θ2n
A
pl θl1,θl2 ，…,θln
该方案第一个目标的期望收益值为
l
p111p221 pl l1 pi i1
i1
第二个目标的期望收益值为
l
p112p222 pl l2 pi i2
i 1
第n个目标的期望收益值为
l
目标(j)
f1
f2
…
fj
…
fm-1
fm
i
方案 i
λ1
λ2
…
λj
…
λ m-1
λm
1
f11
f12
…
f1j
…
f1,m-1
f1,m
2
f21
f22
…
f2j
…
f2,m-1
f2,m
…
….
…
…
…
…
…
…
i
fi1
fi2
…
fij
…
fi,m-1
fi,m
…
…
…
…
…
…
…
n
fn1
fn2
…
fnj
…
fn,m-1
fn,m
（1）无量纲化。为了便于重排次序，可先将不同 量纲的目标值 fij 变成无量纲的数值 yij。
对于目标 fi，如要求越小越好，则可先从 n 个方 案中的第 j 个目标中找最小值为最好值，而其最大值
为最差值。可规定
fiwj yiwj 100 fibj yibj 1
(2) 通过对n个方案的两两比较，即可从中找出一组
“非劣解”，记作{B}，然后对该组非劣解作进一步比较。
(3) 通过对非劣解{B}的分析比较，从中找出一 “选好解”。
L L L LL E(Am) Amam1 am2 Lamnmn
11.4 有限个方案多目标决策问题的分析方法
1. 基本结构
问题：从现有的m个备选方案 A 1,A2,L ,Am中选取最优 方案（或最满意方案），决策者决策时要考虑的目标有n 个：G 1,G 2,L ,G n。决策者通过调查评估得到的信息可用下 表表示
并要求min F(x)。
二、重排次序法
重排次序法是直接对多目标决策问题的待选 方案的解重排次序，然后决定解的取舍，直到最 后找到“选好解”。举例说明：
例13.2 设某新建厂选择厂址共有n个方案m个 目标。由于对m个目标重视程度不同，事先可按一 定方法确定每个目标的权重系数。若用 fij 表示第 i 方案第 j 目标的目标值，则可列表如下。
变换方法：对目标 fj，如要求越大越好，则先从n 个待选方案中找出第 j 个目标的最大值确定为最好值， 而其最小值为最差值。即：
1m ininfij fiwj
并相应地规定
m 1ian xfij fibj
fiwj yiwj 1 fibj yibj 100
而其它方案的无量纲值可根据相应的 f 的取值 用线性插值的方法求得。
最简单的方法是设一新的目标函数：
m
Fi j yij
i{B}
j 1
若Fi值为最大，则方案 i 为最优方案。
三、分层序列法
分层序列法是把目标按照重要程度重新排序，将重要 的目标排在前面，例如已知排成 f1(x)，f2(x)，…，fm(x)。 然后对第1个目标求最优，找出所有最优解集合，用R1表 示，接着在集合R1范围内求第2个目标的最优解，并将这 时的最优解集合用R2表示，依此类推，直到求出第m个目 标的最优解为止。将上述过程用数学语言描述，即
这种方法有解的前提是R1，R2，…，Rm-1等集合非空， 并且不至一个元素。但这在解决实际问题中很难做到。于 是又提出了一种允许宽容的方法。所谓“宽容”是指，当 求解后一目标最优时，不必要求前一目标也达到严格最优， 而是在一个对最优解有宽容的集合中寻找。这样就变成了 求一系列带宽容的条件极值问题，也就是
系数 i （i=1，2，…, m），然后构成一个新的目标
函数如下： m maxF(x) i fi(x) i1
计算所有方案的F(x)值，从中找出最大值的方案，即 为最优方案。
在多目标决策问题中，或由于各个目标的量纲不同， 或有些目标值要求最大而有些要求最小，则可首先将目标 值变换成效用值或无量纲值，然后再用线性加权和法计算 新的目标函数值并进行比较，以决定方案取舍。
具体目标
方案1 （A1）
低造价（元/平方米） 500
抗震性能（里氏级） 6.5
建造时间（年）
2
结构合理（定性）
中
造型美观（定性）
良
方案2 （A2）
700
5.5
1.5 优 优
方案3 （A3）
600
6.5 1 良 中
基本特点
• 多目标问题的三个基本要素
目标体系―是指由决策者选择方案所考虑的目标组 及其结构；
这一表式结构可用矩阵表示为
G 1G 2L G n
A1 a11 a12 L a1n
A2

a21
a22
L
a2n

LL L L L
Am am1
am2
L
amn

称为决策矩阵，是决策分析方法进行决策的基础。
决策准则：
E(Ai) jaij
j
其中 j 为第j个目标的权重。
(2) m1
(2) m2
L L
m ((n n1)) m2
LLL
(1)
mml
(2) mml
L
(n) mml
这样，便把有限个方案的多目标风险型决策问题 转化成为有限方案的多目标确定型决策问题：
E(A1) A1a11 a12 La1n E(A)defE(A2)A2a21 a22 La2n
(n)
1l1 1l1
1l1
p21 ... p2l2
pm1 ... pmlm
(
(1) 21
,
(2) 21
,L
(n 21
)
)
( , ,L ) (1) (2)
(n)
2l2 2l2
2l2
(
(1) m1
,
(2) m1
,L
(n) m1
)
( , ,L ) (1) (2)
(n)
mlm mlm
一、化多目标为单目标的方法
1. 主要目标优化兼顾其它目标的方法 2. 线性加权和法 3. 平方和加权法 4. 乘除法
1. 主要目标优化兼顾其它目标的方法
设有m个目标 f1(x)，f2(x)，… ，fm(x)；x Rn 均要
求为最优，但在这m个目标中有一个是主要目标，例如 为 f1(x)，并要求其为最大。在这种情况下，只要使其它 目标值处于一定的数值范围内，即
目
标
方案
G1
G2
…
Gn
A1
a11
a12
…
a1 n
A2
a 21
a 22
…
a2n
…
…
…
…
…
Am
a m1
am2
…
a mn
这一表式结构可用矩阵表示为
G 1G 2L G n
A1 a11 a12 L a1n
A2

a21
a22
L
a2n

LL L L L
Am am1
am2
L
amn

称为决策矩阵，是决策分析方法进行决策的基础。
权重系数。
4.乘除法
当有m个目标f1(x)，f2(x)，…，fm(x)时，其中目标f1(x)， f2(x)，…，fk(x)的值要求越小越好，目标fk(x)，fk+1(x)，…， fm(x)的值要求越大越好，并假定fk(x)，fk+1(x)，…，fm(x) 都 大于0。于是可以采用如下目标函数，
F (x) f1(x)f2(x) fk(x) fk 1(x)fk 2(x) fm (x)