重庆市2023-2024学年高二下学期期中数学试题含答案

重庆市高2025届高二下半期考试
数学试题（答案在最后）
2024.4
（满分150分，考试时间120分钟）
本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.注意事项：
1．答卷前，请考生先在答题卡上准确工整地填写本人姓名、准考证号；2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5mm 黑色签字笔答题；
3．请在答题卡中题号对应的区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效；
4．请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、损毁；考试结束后，将答题卡交回.
第I 卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知函数()
f x 在2x =处的切线方程为320x y +-=，则()2f '=
（
）A.0 B.3
- C.4
- D.−8
【答案】B 【解析】
【分析】由导数的几何意义求解即可.
【详解】因为函数()f x 在2x =处的切线方程为320x y +-=，此时直线方程320x y +-=的斜率为3-，所以()23f '=-.故选：B .
2.已知函数()f x 的导函数′的大致图象如图所示，则下列结论一定正确的是（
）
A.()20f =
B.()()01f f >
C.()()21f f <
D.()()
21f f >【答案】D 【解析】
【分析】由导函数′的图象结合()f x 的单调性和极值即可得出答案.【详解】由图象可得()f x 在()(),0,2,∞∞-+上单调递减，
在0,2单调递增，所以()()()012f f f <<，故B 、C 错误，D 正确；
0x =和2x =为()f x 的极值点，所以()20f '=，
但无法确定()2f 值的大小，故A 错误.故选：D .
3.在()5
()x y x y -+的展开式中，含有24x y 项的系数为（
）
A.－5
B.0
C.5
D.10
【答案】A 【解析】
【分析】根据题意，结合二项展开式的性质，即可求解.【详解】由题意，在()5
()x y x y -+的展开式中，
其中24x y 项为4432324
55C ()C 5x x y y x y x y ⋅⋅+-⋅⋅=-，所以24x y 项的系数为5-.故选：A.
4.抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记A =“两次的点数均为偶数”，B =“两次的点数之和为6”，则()
P A B =（
）
A.
112
B.
29
C.
35
D.
25
【答案】D 【解析】
【分析】根据条件概率公式，结合列举法，即可求解.
【详解】事件B 包含的样本点有()()()()()1,5,5,1,2,4,4,2,3,3，共5个样本点，其中“两次的点数均为偶数”的有()()2,4,4,2，共2个样本点，所以()
()()
2
5
n AB P A B n B ==
.故选：D
5.在某次流感疫情爆发期间，A ，B ，C 三个地区均爆发了流感，经调查统计A ，B ，C 地区分别有10%,9%,8%的人患过流感，且A ，B ，C 三个地区的人数的比为9:6:7．现从这三个地区中随机选取一人，则此人患过流感的概率为（）
A.
111 B.
1150
C.
9100
D.
11150
【答案】A 【解析】
【分析】记事件D ：选取的这个人患了流感，记事件E ：此人来自A 地区，记事件F ：此人来自B 地区，
记事件G ：此人来自C 地区，则D E F G = ，且,,E F G 彼此互斥，然后根据条件依次得到()P E 、
()P F 、()P G 、(|)P D E 、(|)P D F 、(|)P D G 的值，然后根据全概率公式公式求解即可.
【详解】记事件D ：选取的这个人患了流感，记事件E ：此人来自A 地区，记事件F ：此人来自B 地区，记事件G ：此人来自C 地区，则D E F G = ，且,,E F G 彼此互斥，由题意可得9()22P E =
，63()2211P F ==，7
()22P G =，
1(|)10P D E =，9(|)100P D F =，82
(|)10025
P D G ==，
由全概率公式可得()()()()()()(|)
P D P E P D E P F P D F P G P D G =⋅+⋅+⋅91397292771001=
++=++==22101110022252201100275110011
⨯⨯⨯.故选：A .
6.若函数()2
()f x x x c =+在1x =-处有极大值，则c =（
）
A.1或3
B.3
C.1
D.
32
【答案】C 【解析】
【分析】根据在1x =-处的导数为0求得c ，然后验证函数()f x 是否在1x =-处取得极大值即可.【详解】因为()()()()
2
2
2
()2343f x x c x x c x cx c x c x c =+++=++=++'若函数()2
()f x x x c =+在1x =-处有极大值，
所以()()(1)310f c c -=-'+-+=，解得3c =或1c =，当3c =时，()()()333f x x x =++'，
当1x >-或3x <-时，()0f x '>，当31x -<<-时，()0f x '<，则函数()f x 在1x =-处取得极小值（舍去）；当1c =时，()()()311f x x x =++'，
当1
3x >-或1x <-时，()0f x '>，当1
13
x -<<-
时，()0f x '<，则函数()f x 在1x =-处取得极大值，综上，1c =.故选：C
.
7.如果函数()F x 的导数()()F x f x '=，可记为()()F x f x dx =
⎰．若()0f x ≥，则
()()()b a
f x dx F b F a =-⎰表示函数()y f x =的图象与直线,()x a x b a b ==<以及x 轴围成的封闭图形
的面积，可称之为()f x 在区间[],a b 上的“围面积”．则函数()()e 1x
f x x =+在区间[]2,3上的“围面积”是
（
）
A.322e 3e -
B.323e 2e -
C.324e 3e -
D.32
e e -【答案】B 【解析】
【分析】由()f x 在区间[],a b 上的“围面积”的定义求解即可.
【详解】因为()()()e 1x
F x f x x ==+'，所以()=e x F x x C +（C 为常数）
，故函数()()e
1x
f x x =+在区间[]2,3上的“围面积”是
()()()()()()
3
3
3232
2
2
e 1323e 2e 3e 2e x
f x dx x dx F F C C ⎡⎤=+=-=+-+=-⎣⎦⎰⎰，故选：B .
8.已知正数,,a b c 满足ln e c a b ==（e 为自然对数的底数），则下列不等式一定成立的是（）
A.b >
B.b <
C.
2
a c
b +> D.
2
a c
b +<【答案】C 【解析】
【分析】由题设ln ,e b c b a ==且1a >，构造()ln e 2x f x x x =+-、2()e ln x h x x x =-，利用导数、零点存在性定理判断在(1,)+∞上的函数值符号，即可得答案.
【详解】由题设0b >，则1a >，且ln ,e b c b a ==，则ln e b a c b +=+，令()ln e 2x f x x x =+-且1x >，故1()e 2x
f x x
'=+-，令1()e 2x g x x =
+-，则21
()e x g x x
'=-在(1,)+∞上递增，故()(1)e 10g x g ''>=->，
所以()()g x f x '=在(1,)+∞上递增，故()(1)e 10f x f ''>=->，所以()f x 在(1,)+∞上递增，故()(1)e 20f x f >=->，
即ln e 2x x x +>在(1,)+∞上恒成立，故2a c b +>，D 错，C 对；对于2,ac b 的大小关系，令2()e ln x h x x x =-且1x >，而(1)10h =-<，e 2(e)e e 0h =->，
显然()h x 在(1,)+∞上函数符号有正有负，故2e ln ,x x x 的大小在(1,)x ∈+∞上不确定，即2,ac b 的大小在(1,)b ∈+∞上不确定，所以A 、B 错.故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得6分，部分选对按比例得分，有选错的得0分
9.某产品的加工过程有甲、乙、丙、丁、戊5道不同的工序，现将5道工序按不同的顺序安排流程，则下列说法正确的是（
）
A.如果甲工序不能放在第一，共有96种加工顺序
B.如果甲、乙两道工序必须相邻，共有12种加工顺序
C.如果甲、丙两道工序必须不相邻，共有72种加工顺序
D.如果乙、丙两道工序必须乙在前，丙在后，共有40种加工顺序【答案】AC 【解析】
【分析】对A ：根据分步计数原理，先安排特殊的工序，再安排其它工序即可；对B ：采用捆绑法，再根据分步计数原理即可求得结果；对C ：采用插空法，再根据分步计数原理即可求得结果.对D ，采用倍缩法.【详解】对于A ，假设甲工序不能放在第一，，则甲有4种安排方式，根据分步计数原理，所有的安排顺序有：1
4
44C A 4432196⋅=⨯⨯⨯⨯=种，故A 正确；
对于B ，甲乙工序相邻，将甲和乙捆绑为一道工序，和剩余3道工序放在一起排序，则共有2
4
24A A 2432148⋅=⨯⨯⨯⨯=种加工顺序，故B 错误；
对于C ，假设甲丙工序不能相邻，则先安排剩余3道工序，在形成的4个空中，安排甲丙，故共有：3
2
34A A ⋅=3214372⨯⨯⨯⨯=种加工顺序，故C 正确；对于D ，现将5道不同的工序全排列，再除以乙、丙两道工序的顺序，
故共有55
22A 54321=
=60A 21
⨯⨯⨯⨯⨯，故D 错误.故选：AC .
10.若()3
8
2
3
8
01238(1)(2)1(1)(1)(1)x x a a x a x a x a x ++-=+-+-+-++- ，则以下结论正确的是
（）
A.09
a = B.355
a =C.0238127a a a a a +++++= D.含6x 项的系数是112
【答案】ACD 【解析】
【分析】由赋值法可判断AC ；将()()38
38(1)(2)1211x x x x ⎡⎤⎡⎤++-=-++--⎣⎦⎣⎦，即可求出3a 可判断B ；
6x 项的系数只能来自8
(2)x -的展开式，求解可判断D .
【详解】对于A ，令1x =可得：38
02(1)a +-=，所以09a =，故A 正确；
对于B ，()()38
38(1)(2)1211x x x x ⎡⎤⎡⎤++-=-++--⎣⎦⎣⎦，
则()5
005338C 2C 115655a =+-=-=-，故B 错误；
对于C ，令2x =可得3
01238327a a a a a ==+++++ ，故C 正确；对于D ，6x 项的系数只能来自8(2)x -的展开式，
含6x 项的系数是()2
28C 2284112-=⨯=，故D 正确.
故选：ACD .
11.已知函数()()e sin ,e sin x
x
u x x v x a x ==+，则（
）
A.若正数n x 为函数()y u x =的从小到大的第n 个极值点(
)*
N
n ∈，则{}n
x 为等差数列
B.若正数n x 为函数()y u x =的从小到大的第n 个极值点(
)*
N
n ∈，则(){}n
u x 为等比数列
C.0a ∀>，函数()y v x =在()π,π-上没有零点
D.0a ∃<，函数()y v x =在()π,π-上有且仅有一个零点【答案】ABD 【解析】
【分析】由()0u x '=，求得ππ,Z 4
x k k =-
+∈，结合等差数列的定义，可判定A 正确；由()e sin n x
n n u x x =，结合等比数列的定义，可判定B 正确；令()0v x =，即e sin 0x
a x +=，转化为e sin x
a x =-，令
()e sin x
F x x =-
，利用导数求得函数()F x 的单调性与极值，进而可判定C 错误，D 正确.
【详解】对于A 中，由π
()e (sin cos )sin(4
x
x u x x x x '=+=
+，
令()0u x '=，可得πsin()04x +=，解得ππ,Z 4x k k +=∈，即π
π,Z
4
x k k =-+∈所以数列{}n x 的通项公式为π
π4
n x n =-+，则1πn n x x +-=（常数），
所以数列{}n x 为等差数列，所以A 正确；
对于B 中，由()e sin x u x x =，则()e sin n x
n n u x x =，
可得11π111()e sin sin e e ()e sin sin n n n
n x x x n n n x n n n
u x x x u x x x ++-+++===-（常数），
所以数列(){}
n u x 为等比数列，所以B 正确；
对于C 、D 中，由()e sin x
v x a x =+，令()0v x =，即e sin 0x a x +=，
当0x =时，不是函数()e sin x
v x a x =+的零点；
当()()π,00,πx ∈-⋃时，则e sin x
a x
=-，
令()e sin x F x x =-，()()π,00,πx ∈-⋃，可得()2
e (cos sin )
sin x x x F x x
-'=，令()0F x '>，可得cos sin 0x x ->，解得：3π,04x ⎛⎫∈-
⎪⎝⎭和π0,4⎛⎫
⎪⎝⎭
，令()0F x '<，可得cos sin 0x x -<，解得：3ππ,4x ⎛
⎫∈--
⎪⎝
⎭和π,π4x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，所以在3π,04x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭和π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在3ππ,4⎛
⎫-- ⎪⎝
⎭和π,π4⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，
所以当π4x =时，()F x
有极大值，且π4π4F ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，3π
4
3π4F -⎛⎫-= ⎪⎝⎭
，
当x 趋近π时，趋近负无穷，当x 趋近π-时，趋近正无穷，
所以函数的值域为π
3π4
4
(,],)--∞+∞ ，
当
3π4
0a -
<<时，函数y a =与()e sin x
F x x
=-没有公共点，
当
3π4
a -=时，函数y a =与()e
sin x F x x
=-有一个公共点，
当
3π4
a -
>时，函数y a =与()e sin x
F x x
=-有两个公共点，
所以0a ∀>，函数()y v x =在()π,π-上没有零点是错误的，所以C 错误；
当π
4
a =时，函数y a =与()e sin x F x x
=-只有一个公共点，
即此时函数()v x 在()π,π-上有且仅有一个零点，所以D 正确.
故选：ABD.
【点睛】方法点睛：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法：
（1）直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围
（2）分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决；
（3）数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解.
第II 卷
三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.已知离散型随机变量X 的分布列如下，则()D X =_______．
X
236
P
b
1
316
【答案】2【解析】
【分析】根据分布列性质求出b ，再由方差公式求解即可.【详解】由分布列性质可知，11136b ++=，解得1
2
b =，所以()111
2363236E X =⨯
+⨯+⨯=，()()()()222
1112333632236
D X =-⨯+-⨯+-⨯=.
故答案为：2
13.在()n a b +的展开式中，若第7项与第8项的二项式系数之比为1:2，则n =________．【答案】20【解析】
【分析】由题意可得67C 1C 2
n
n =，再将组合数代入即可得出答案.
【详解】()n a b +的展开式中，第7项与第8项的二项式系数为6
C n 和7
C n ，
所以67C 1C 2n
n =，即()()!6!6!71!627!7!
n n n n n -==--，解得：20n =.
故答案为：20.
14.若12,x x 是函数()()21e 12
x
f x ax a R =-+∈的两个极值点，则a 的取值范围为________；若1212x x ≤，
则a 的最小值为________．【答案】①.(e,)
+∞②.
2
ln 2
【解析】
【分析】根据题意，转化为y a =与e x y x =有两个不同的交点，令()e
x g x x
=，利用求得函数的单调性与
极值，结合图象，求得a 的取值范围；由1212e ,e x
x
ax ax ==，转化为21
21
e
x x x x -=
，令2
12x t x =≥，再令()ln ,21
t
h t t t =
≥-，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解.【详解】由函数()21e 12x f x ax =-+，可得()e x
f x ax -'=，
因为12,x x 函数()f x 有两个极值点，即12,x x 是e 0x ax -=的两个根，
当0x =时，方程不成立，所以y a =与e
x y x
=有两个不同的交点，
令()e x g x x =，可得()2
e (1)
x x g x x
-='，当(,0)(0,1)x ∈-∞ 时，()0g x '<；当(1,)x ∈+∞时，()0g x '>，
所以()g x 在(,0),(0,1)-∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，其中()1e g =，函数()g x 的图象如图所示，
要使得y a =与e
x
y x
=有两个不同的交点，则满足e a >，
即实数a 的取值范围为(e,)+∞.
由图象可知，1201x x <<<，且e a >，因为
121
2
x x ≤，即212x x ≥，由1
2
120,0e e x x ax ax --==，可得221
121
e e e x x x x x x -==，所以2121e x x x x -=，
令21
2x t x =≥，所以12ln 1ln 1t x t t t x t ⎧
=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩
，
令()ln ,21
t
h t t t =≥-，可得()()
21
1ln 1t t h t t ---'=，
令()11ln ,2u t t t t =--≥，可得()210t
u t t
-'=
<，所以()u t 在区间[2,)+∞上单调递减，所以()()1
2ln 202
u t u ≤=-<，所以()h t 在区间[2,)+∞上单调递减，1(0,ln 2]x ∈，
所以111e ,(0,ln 2]x a x x =∈，又由()e ,(0,ln 2]x g x x x =∈，可得()2e (1)0x x g x x
-'=<，所以()g x 在(0,ln 2]上单调递减，则2ln 2
a ≥，所以实数a 的最小值为2ln 2.
故答案为：(e,)+∞；
2
ln 2
.【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
四、解答题：本题共5题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15.已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，11a =，且139,,a a a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设数列{}n b 满足22n a
n n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S ．
【答案】（1）n a n =（2）()
1
221n n S n n +=-++【解析】
【分析】（1）设等差数列的公差为d ，由题意得()2
1218d d +=+，求出公差d 的值，即可得到数列的通项公式；
（2）由（1）求出，再由分组求和法求和即可．【小问1详解】
因为139,,a a a 成等比数列，所以2
319a a a =，
设等差数列的公差为d ，所以()2
1218d d +=+，解得：1d =，所以数列的通项公式为()111n a n n =+-⨯=.【小问2详解】
因为2222n a
n
n n b a n =+=+，所以123n n
S b b b b =++++ ()
()12322222462n n =+++++++++ (
)()()1
212222
2112
2
n n n n n n +-+=+=-++-.
16.已知函数()()()3
22211R 3
f x x ax a x a =
++-+∈．（1）若0a =，求()f x 在33,2⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦
上的最值；
（2）讨论函数()f x 的单调性．【答案】（1）最大值为4
3
，最小值为12-.（2）见解析
【解析】
【分析】（1）首先求函数的导数，判断函数的单调性，比较端点值和极值大小，即可求解最值；（2）首先求函数的导数，并化简得()()()211f x x x a '=++-，再讨论导数的零点，求函数的单调性.【小问1详解】当0a =时，()3
223
f x x x =
-，()()()222211f x x x x '=-=+-当33,2
x ⎡⎤∈-⎢⎣
⎦
，x ，()f x '，()f x 的变化情况如下表所示，
x
3
-()
3,1--1
-()
1,1-1
31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭32
()
f x '+
-
+
()
f x 12
-单调递增
43单调递减
43
-单调递增
34
-
所以()f x 在区间33,2⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦
的最大值为4
3
，最小值为12-.
【小问2详解】
()()()()22221211f x x ax a x x a '=++-=++-，
令()0f x '=，得1x =-或1x a =-，
当11->-a ，即2a >时，()0f x '>，得1x a <-或1x >-，()0f x '<，得11a x -<<-，所以函数的单调递增区间是
(),1a -∞-和()1,-+∞，单调递减区间是()1,1a --；
当11-=-a ，即2a =，此时()()2
210f x x '=+≥恒成立，所以函数()f x 的单调递增区间是(),-∞+∞，无减区间；
当11-<-a ，即2a <时，()0f x '>，得1x <-或1x a >-，()0f x '<，得11x a -<<-，所以函数的单调递增区间是(),1∞--和()1,a -+∞，单调递减区间是()1,1a --；综上可知，当2a >时，函数的单调递增区间是
(),1a -∞-和()1,-+∞，单调递减区间是()1,1a --；
当2a =时，函数()f x 的单调递增区间是(),-∞+∞，无减区间；
当2a <时，函数的单调递增区间是(),1∞--和()1,a -+∞，单调递减区间是()1,1a --.
17.近期重庆市育才中学校举行了“探‘乐’计划”校园歌手大赛和“想玩就‘趣’FUN 肆到底”育才达人甲、乙、丙三人均依次参加两个比赛，三人进入校园歌手大赛决赛的概率均是34
，进入达人秀决赛的概率均是13，
且每个人是否进入歌手大赛决赛和达人秀决赛互不影响．（1）求甲两个比赛都进入决赛的概率；
（2）记三人中两个比赛均进入决赛的人数为X ．求随机变量X 的概率分布和数学期望()E X 【答案】（1）
1
4
（2）分布列见解析，()3
4
E X =.【解析】
【分析】（1）根据题意分别求出甲进入校园歌手大赛决赛和进入达人秀决赛的概率，再由独立事件的乘法公式求解即可.
（2）根据题意先求出X 的所有的可能取值，然后分别求出每一个值对应的概率，列出分布列并计算出期望即可求解.【小问1详解】
设“甲进入校园歌手大赛决赛”为事件A ，“甲进入达人秀决赛”为事件B ，则()()31
,43
P A P B =
=，因为每个人是否进入歌手大赛决赛和达人秀决赛互不影响，所以事件A 和事件B 相互独立，
所以甲两个比赛都进入决赛的概率为()()()311434
P AB P A P B ==⨯=.故甲两个比赛都进入决赛的概率为1
4
.【小问2详解】
X 的可能取值为0,1,2,3，所以13,4X B ⎛⎫~ ⎪⎝
⎭
()0
3
03
13270C 4464
P X ⎛⎫⎛⎫===
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
()12
1313271C 4464P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，
()21
231392C 4464P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭，()3
331313C 4464P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，故随机变量X 的分布列为：
X
123
P
27
64
2764
964
164
所以()27279130123646464644
E X =⨯
+⨯+⨯+⨯=.
18.已知双曲线C 和椭圆2214
x y +=有公共焦点，且离心率2e =
．（1）求双曲线C 的方程；
（2）过点()2,1P 作两条相互垂直的直线,PM PN 分别交双曲线C 于不同于点P 的M N 、两点，求点P 到直线MN 距离的最大值．
【答案】（1）2
21
2
x y -=
（2）【解析】
【分析】（1）根据双曲线C 和椭圆2
214
x y +=有公共焦点求出c ，再由离心率的公式求出a ，从而求得双
曲线的方程.
（2）根据直线MN 的斜率是否存在进行分类讨论，结合PM PN ⊥以及点到直线的距离公式、基本不等式求得点P 到直线MN 距离的最大值.【小问1详解】
因为椭圆2
214
x y +=的焦点在x 轴上，
所以双曲线C 的c ==，又因为2
c e a a ===
，
所以1a b =
==，
所以双曲线C 的方程为2
212
x y -=.
【小问2详解】
当直线MN 的斜率不存在时，设()()000,0M x y y >，则()00,N x y -，
()()00002,1,2,1PM x y PN x y =--=---
，
依题意()()00002,12,10PM PN x y x y ⋅=--⋅---=
，
()
()
2
200210x y ---=，即22
00450x x y --+=，由22
0002
200450
12
x x y x y ⎧--+=⎪⎨-=⎪⎩
解得006x y =⎧⎪⎨=⎪⎩0021x y =⎧⎨=⎩（舍去），
所以(
(,6,M N ，此时P 到直线MN 的距离为624-=.
当直线MN 的斜率存在时，设()()1122,,,M x y N x y ，设直线MN 的方程为y kx m =+.
由22
12
y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 并化简得：()
222214220k x kmx m -+++=，()()
22222222Δ164212216880,210k m k m k m m k =--+=-++>-+>①，2121222
422
,2121
km m x x x x k k -++==--，依题意()()11222,12,10PM PN x y x y ⋅=----=
，
所以()()()()()()()()
1212121222112211x x y y x x kx m kx m --+--=--++-+-()
()()2212121225
k x x km k x x m m =++--++-+(
)
()22
222
224122502121
m km
k km k m m k k +-=+⋅+--⋅+-+=--，整理得22812230m km k m +++-=，
即()()21630m k m k +-++=，由于P ∉直线MN ，12k m ≠+，所以630,63m k m k ++==--，
函数()2
226321343610y k k k k =---+=-+的开口向上，
判别式为()2
364341012961360640--⨯⨯=-=-<，故①成立.所以直线MN 的方程为63y kx k =--，即630kx y k ---=，所以P 到MN
的距离d =
=
2
222
1221411d k k k k k ++⎛⎫==+ ⎪++⎝⎭
，当0k ≤时，22111k
k +≤+；当0k >
时222111211k k k k +=+≤+++，当且仅当1
,1k k k
=
=时等号成立.
所以2
2,44d d d ⎛⎫≤≤≤ ⎪⎝⎭
.综上所述，点P 到直线MN
的距离的最大值为
【点睛】关键点睛：本题（2）的关键点在于根据直线MN 的斜率是否存
在进行分类讨论，结合PM PN ⊥以及点到直线的距离公式、基本不等式求得点P 到直线MN 距离的最大值.19.意大利画家达⋅芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链下垂部分所形成
的曲线是悬链线，通过建立适当坐标系，悬链线可为函数()e e 2x x
f x -+=的图象，我们称这个函数为“双
曲余弦函数”，记为()e e ch 2x x x -+=，把()e e 2
x x g x --=称为“双曲正弦函数”，记()e e sh 2x x
x --=，易
知()()()sh 22sh ch x x x =⋅．
（1）证明：（i ）当0x >时，()sh x x >；（ii ）当0x >时，21cos 12
x x >-
；
（2）证明：()()()
*22sh sh sh 2sh 1432N 111tan121tan tan tan
23n n n n n n
⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭++++>-∈+ ．
【答案】（1）(i)证明见解析；(ii)证明见解析（2）证明见解析【解析】
【分析】（1）(i )将不等式移到一边构造新的函数，对导数进行求导，利用函数的单调性即可证明；(ii )将不等式移到一边构造新的函数，对导数进行求导，利用函数的单调性即可证明；（2）利用(1)中的证明将目标式子左面合理放缩，结合裂项相消法求和即可.【小问1详解】
（i ）由()e e sh 2
x x
x --=，
令()()()e e sh ,02x x
F x x x x x --=-=->，
则()e e 102
x x
F x -'+=->，
所以在0,+∞上单调递增，
所以()()()()sh 0=sh 000F x x x F =->-=，所以当0x >时，()sh x x >成立；（ii ）令()()2
1cos 1,02
H x x x x =-+>，则()sin H x x x -'=+，令()sin x x x ϕ=-，则()1cos 0x x ϕ'=-≥，因此在0,+∞上单调递增；所以()()sin 00x x x ϕϕ=-≥=，故sin x x >，
即()sin 0H x x x '=-+>，
所以()H x 在0,+∞上单调递增，
即()()2
1cos 1002
H x x x H =-+>=，所以当0x >时，2
1cos 12
x x >-成立；
【小问2详解】由0x >时，2
1cos 12
x x >-成立，令1
,1x n n =
≥，且*N n ∈，则211cos 12n n
>-，
即222112211cos
111124412121n n n n n n ⎛⎫>-=->-=-- ⎪--+⎝⎭
，由题意()()()sh 22sh ch x x x =⋅，令1,1x n n =
≥且*N n ∈，可得211sh 2sh ch n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，因为()e e ch 12
x x
x -+=>，
所以2111sh 2sh ch 2sh n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=⋅>
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，由①当0x >时，()sh x x >，所以令1,1x n n =
≥且*N n ∈，可得11
sh n n
⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以21112sh 2sh ch 2sh n n n n n
⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅>>
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由前面解答过程得，对任意0,sin x x x >>成立，
令1
,1x n n =
≥且*N n ∈，可得11sin n n
>，
所以21112111sh 2sh ch 2sh 2sin 2cos tan n n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅>>>=⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，
又1n ≥且*N n ∈，所以1
01n
<
≤，所以2sh 1112cos 2112121tan n n n n n ⎛⎫ ⎪
⎡⎤
⎛⎫⎛⎫⎝⎭>>-- ⎪ ⎢⎥-+⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ⎪
⎝⎭
所以可得
()()22sh sh sh 2sh 11111
132111111tan13352121tan tan tan
23n
n n n ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭++++>
--+++-- ⎪ ⎪ ⎢⎥
-+⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎣⎦ 242222121
n
n n n n =-+
=-++，即可得()()()
*22sh sh sh 2sh 1432N 111tan121tan tan tan
23n n n n n n
⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭++++>-∈+ .
【点睛】关键点点睛：本题考查数列与导数新定义结合，解题关键是对目标式子左侧合理放缩，然后使用裂项相消法求和，得到所证明的不等关系即可．。