高二数学上学期期中考试题(文理合卷)

高二数学上学期期中考试题（文理合卷）
一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．已知0<<b a ，则下列不等式中成立的是 A ．
b a 11> B ．1<b
a
C ．||||a b <
D ．22b a < 2．直线20x y -+=的斜率是 A ．1- B ．1 C ．135 D ．45
3．下列不等式中，解集为R 的是 A ．0122
>++x x
B ．02>x
C ．01)3
1
(>+x
D ．
x
x 121<- 4．直线0943=--y x 与圆422=+y x 的位置关系是 A ．相交且过圆心
B ．相切
C ．相离
D ．相交但不过圆心
5．[文科作]过点（2,1-），且被圆04222=+-+y x y x 截得的弦最长的直线方程为 A ．30x y --= B ．30x y -+= C ．30x y +-= D ．30x y +-=
[理科作]过点（2,1-），且被圆04222=+-+y x y x 截得的弦最短的直线方程为
A ．10x y ++=
B ．10x y +-=
C ．10x y -+=
D ．10x y --= 6．点(0,5)到直线x y 2=的距离为
A ．
2
5
B ．5
C ．
2
3 D ．
2
5 7 若实数a 、b 满足0a b <<，且1a b +=，则下列四个数中最大的是
A ．
2
1
B ．ab 2
C ．2
2b a +
D ．a
8．[文科作]椭圆
22
1106
x y +=的焦点坐标是 A ．(4±,0) B ．(0,4)± C ．(0,2)± D ．(2±,0)
[理科作]椭圆22
1106
x y +
=的左焦点到右准线的距离等于 A ．
92 B ．132
C ．7
D ．11
9．过点(0,1)且与双曲线2
2
1x y -=恰有一个公共点的直线有 A ．一条
B ．两条
C ．三条
D ． 四条
10．双曲线2
2
2x y -=的离心率是
A ．2
B ．
2
2
C ．21
D ．2
11．若x 、y 满足2
22x y x y ≤⎧⎪
≤⎨⎪+≥⎩
，则y x 2+的取值范围是
A ．[3，6]
B ．[3，5]
C ．[2，6]
D ．[2，5]
12．曲线()
2412≤-+=x x y 与直线()42+-=x k y 有两个交点时，实数k 的取值范围是 A ．53(
,]124 B ．53(,)124 C ．13
(,]34 D ．5
(0,
)12
二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．[文科作]不等式3|12|<+x 的解集是 。

[理科作]不等式1|21|3x <+<的解集是 。

14．[文科作]以点(1,3)和(5,1)-为端点的线段的中垂线的方程是 。

[理科作]过点(0,1)-且与两点(1,3)和(5,1)-距离相等的直线方程是 。

15．不等式
2
023
x
x x <--的解集为 。

16．双曲线13
2
2
=-y x 的两条渐近线夹角等于 。

三． 解答题（第17题10分，第18-22题各12分，共70分）
17． 已知0>>b a ，求证：20112011a a
b b
+<+。

18 已知定点(2,1)A -、(1,1)B 、(2,4)P -，动点M 满足||2||MA MB =，
（1）求M 的轨迹方程； （2）求||MP 的最大值和最小值。

19．求以直线01243=-+y x 和两坐标轴的交点为顶点和焦点的椭圆的标准方程。

20．已知椭圆2
2
13
y x +=与直线l ：10x y -+=相交于A 、B ， （1）求以已知椭圆的焦点为顶点，两准线的距离为2的双曲线方程； （2）[文科作] 求线段AB 中点的坐标，并求线段AB 的长。

[理科作] 求线段AB 的长，并求椭圆上的点到直线l 距离的最大值。

21．已知点M （0，4）和C ：22230x y x +--= （1）求C 的半径和圆心坐标；
（2）求过点M 且被C 截得的线段长为32的直线方程。

22．已知直线l ：1+=kx y ，曲线C ：12
2
=+m
y x ，
（1）当m 取什么值时，曲线C 是圆、椭圆、双曲线？
（2）若无论k 取何值，直线l 与曲线C 恒有公共点，求m 的取值范围。

（3）当1-=m 时，若直线l 与曲线C 的左支有两个公共点，求k 的取值范围。

参考答案
一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1、A ；
2、B ；
3、C ；
4、D ；
5、A(理B) ；
6、B ；
7、C ；
8、D (理C)；
9、D ； 10、A ； 11、C ； 12、A 。

二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、{|21}x x -<<， 理{|21x x -<<-，或01}x <<； 14、02=--y x ， 理2330x y --=、10x y ++=；
15、{|1x x <-，或03}x <<； 16、60。

三． 解答题（第17题10分，第18-22题各12分，共70分）
17． 已知0>>b a ，求证：
20112011a a
b b +<+。

证明：左边-右边20112011a a
b b
+=
-+………………..2 20112011(2011)(2011)ab b ab a
b b b b ++=
-++ (3)
2011()
(2011)
b a b b -=
+ (5)
0>>b a 0b a ⇒-< (7)
⇒
2011()
0(2011)
b a b b -<+ (9)
∴ 原不等式成立。

(10)
18 解：（1=.2
2222(2)(1)4[(1)(1)]x y x y ++-=-+- (4)
化简得M 的轨迹方程为 2
2
4210x y x y +--+= (6)
（2）M 的轨迹是圆22
(2)(1)4x y -+-=[圆的半径2r =，圆心坐标为（2，1）] (8)
P 5= (10)
故max ||527MP =+=，min ||523MP =-= (12)
19．解：直线与x 轴、y 的交点坐标为(4,0)A 、(0,3)B (2)
(1) 以A 为焦点时：3b =，4c =，2
25a ⇒=， (5)
椭圆的标准方程为
22
1259
x y +=............................7 (2) 以B 为焦点时：4b =，3c =，225a ⇒=， (10)
椭圆的标准方程为
22
11625
x y += ……………………………12 20．解：（1）双曲线在y 轴上，设双曲线方程为22
221y x a b
-= (1)
则2
312a =-= (2)
又：2
22a c =……………………….3 ∴ 4
2c =2c ⇒= (4)
222
422b c a =-=-= (5)
得所求双曲线方程为22
2y x -= (6)
（2）[文科]设11(,)A x y 、22(,)B x y 、AB 中点为00(,)M x y
2
21310y x x y ⎧+=⎪⎨
⎪-+=⎩
2
210x x ⇒+-= ………………7 12x x ⇒+=12-，12x x ⋅=1
2- (8)
0x ⇒=1211
()24
x x +=- (9)
0013
1144
y x ⇒=+=-+= (10)
线段AB 中点的坐标为13
(,)44
-…………………
..11
||2
AB ⇒==
……………12 （也可直接求出A 、B 两点坐标求解）
[理科] 设11(,)A x y 、22(,)B x y
2
21310y x x y ⎧+=⎪⎨
⎪-+=⎩
2
210x x ⇒+-=…………………7 12x x ⇒+=12-，12x x ⋅=1
2
-…………………
.8
||AB ⇒==
.9 （也可直接求出A 、B 两点坐标求解）
设平行直线且与椭圆相切的直线方程为y x b =+ (10)
由2
213y x y x b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
22
4230x bx b ⇒++-= 22416(3)0b b ∆=--=2b ⇒=± (11)
得椭圆相切的直线方程为20x y -±=
椭圆上的点到直线l
2
=
...............12 21．解：（1）C 的标准方程为22(1)4x y -+= (1)
∴ C 的半径为2，圆心C 的坐标为(1,0) (5)
（2）设所求直线为l ：4y kx =+，即：40kx y -+= (7)
据条件可知，圆心C 到直线l
的距离为1d ==……………9 ∴
1=158k ⇒=-
，直线方程为15
48
y x =-
+，...........10 y 轴也满足条件，所求直线方程为：158320x y +-=，或 0x =.. (12)
22．解：（1）1m =是是圆； (1)
0m >，且1m ≠时是椭圆；......................2 0m <时是双曲线。

(3)
（2）0m <时，曲线C 是双曲线，不可能与直线l 总有公共点； (4)
故 0m >⇒曲线C 是以原点为中心的圆或椭圆，……………………5 而直线l 恒经过点(0,1)，…………………6 当1m ≥，可使点(0,1)在曲线C 内或在曲线C 上，
∴ 若无论k 取何值，直线l 与曲线C 恒有公共点，则m 的取值范围是[1,)+∞。

(7)
[另解]：由 2
21
1y kx y x m =+⎧⎪
⎨+=⎪⎩
，得 22()210m k x kx m +++-=（0m ≠） ∴ 22(2)4()(1)0k m k m =-+-≥ （0m ≠） 对 k R ∈恒成立 即 2(1)0mk m m +-≥ （0m ≠）对 k R ∈恒成立 即 21k m ≥-（0m ≠）对 k R ∈恒成立 ∴ 10m -≤1m ⇒≥
∴ 若无论k 取何值，直线l 与曲线C 恒有公共点，则m 的取值范围是[1,)+∞。

（3）当1-=m 时，曲线C 为等轴双曲线221x y -=
由 22
11
y kx x y =+⎧⎨-=⎩，得 22(1)220k x kx -++= (8)
22(2)8(1)0k k --=k ⇒= (9)
k =l 与双曲线C 的左支相切 (10)
1k =时，直线l 与双曲线C 的一条渐近线平行，与双曲线C 的左支有一个交点， (11)
故当1k <<
l 与双曲线C 有两个公共点 (12)。