2020年高考解答题专项训练1(解析版)

2020年高考解答题仿真冲刺练09
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必做题,每个考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分 17.（本小题满分12分）
已知数列{}n a 的前n 项和292()n S n n n N =-++∈． (1) 判断数列{}n a 是否为等差数列； (2) 设121
(), (12)
n n n n b n N T
b b b n a =
∈=+++-，求数列{}n b 前n 项和n T
【解析】（1）292()n S n n n N =-++∈Q ，∴当1n =时，1110a S ==，
当2n ≥时，()
22
192(1)9(1)2102n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-++---+-+=-⎣⎦，
10,1
102,2n n a n n =⎧∴=⎨
-≥⎩
，∴数列{}n a 不是等差数列 （2）当1n =时，1111111
0,1222
b T b a =
=>==-，
2n ≥时，1111110(12)(12102)2(1)21n n b n a n n n n n n ⎛⎫=
===-> ⎪--+++⎝⎭
，
12111131
...222144n n n T b b b n n +⎡⎤=+++=
+-=
⎢⎥++⎣⎦。

18.（本小题满分12分）
如图，在三棱锥P ABC -中，PA AB ⊥，PA BC ⊥，AB BC ⊥，2PA AB BC ===，D 为线段AC 的中点，E 为线段PC 上一点．
（1）求证：平面BDE ⊥平面PAC ；
（2）当PA P 平面BDE 时，求三棱锥E BCD -的体积．
【解析】（1）证明：由AB BC =，D 为线段AC 的中点，可得BD AC ⊥，
由（1）得PA BD ⊥，且PA AC A =I ，又PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ， 所以BD ⊥平面PAC ，且BD ⊂平面BDE ，可得平面BDE ⊥平面PAC ；
(2)PA P 平面BDE ，PA ⊂平面PAC ，且平面PAC I 平面BDE DE =，可得PA DE P ， 又D 为AC 的中点，2PA =，可得E 为PC 的中点，且1
12
DE PA =
=， 由PA ⊥平面ABC ，可得DE ⊥平面ABC ，因为AB BC ⊥，2AB BC ==， 可得111221222BDC ABC S S =
=⨯⨯⨯=△△，则三棱锥E BCD -的体积为11111333
BDC DE S ⋅=⨯⨯=△． 19.（本小题满分12分）
为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30min 从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸(单位:cm).下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸:
经计算得16119.9716i i x x ===∑，1616222
11
11()(16)0.2121616i i x i i s x x x -===-=-≈∑∑，16
2
1
(8.5)
18.439i i ==-≈∑，
16
1
()(8.5) 2.78i
i x
x i =--=-∑，其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸，1,2,,16i =⋯.
(1)求,1,2,,16()()i x i i =⋯的相关系数r ，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小(若0.25r <，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小)
(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在3,3()x s x s -+之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查； ①从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？
②在3,3()x s x s -+之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差.(精确到0.01)。

附:样本()(,1,2,,)i i x y i n =⋯
的相关系数()()
n
i
i x
x y y r --=
∑
0.09≈.
【解析】(1)由样本数据得()(),1,2,,16i x i i =⋯
的相关系数为
16
()(8.5)
i
x
x i r --=
∑
0.18=
≈-
由于0.25r <,因此可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小 (2)①由于9.97,0.212x s =≈,由样本数据可以看出抽取的第13个零件的尺寸在()
3,3x s x s -+以外,因此需对当天的生产过程进行检查
②剔除离群值,即第13个数据,剩下数据的平均数为
()1
169.979.2210.0215
⨯-=, 这条生产线当天生产的零件尺寸的均值的估计值为10.02,
16
2221
160.212169.971591.134i i x
==⨯+⨯≈∑,剔除第13个数据,剩下数据的样本方差为
()221
1591.1349.221510.020.00815
--≈⨯.
0.09=. 20. （本小题满分12分）
椭圆22143
x y +=的左、右焦点分别为12F F ,，一条直线l 经过点1F 与椭圆交于A B ,两点．
(1)求2ABF △的周长； (2)若l 的倾斜角为
π
4
，求弦长AB ． 【解析】(1)椭圆22
143
x y +=，2a =
，b =1c =，
由椭圆的定义，得1224AF AF a +==，1224BF BF a +==， 又11AF BF AB +=，
2ABF ∴△的周长2248AB AF BF a =++==．
∴故2ABF △的周长为8；
(2)由(1)可知，得1()10F -,
， AB Q 的倾斜角为
π
4
，则AB 斜率为1，1122()()A x y B x y ,,,， 故直线AB 的方程为1y x =+.由221143y x x y =+⎧⎪
⎨+=⎪⎩，消去x ，得27690y y --=，
由韦达定理可知： 1267y y +=， 129•7
y y =-，
则由弦长公式
AB =
247
=
， 弦长24
7
AB =
． 21. （本小题满分12分）
已知函数()ln (R)f x x mx m =-∈. （1）讨论()f x 的单调性； （2）若不等式
1
1()
x f x ->对任意2(e,e )x ∈恒成立，求m 的取值范围. 【解析】（1）1
()f x m x
'=
-Q 当0m ≤时,()0f x '>，此时函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增，
当0m >时,1()00f x x m '>⇔<<
；1()0f x x m
'<⇔> 此时函数()f x 在1(0,)m 上单调递增，在1
(,)m
+∞上单调递减
综上所述，当0m ≤时，函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增， 当0m >时，函数()f x 在1(0,
)m 上单调递增，在1
(,)m
+∞上单调递减. （2）2
(e,e )x ∈Q ，
1ln 1ln 11ln 0()x x x x
x x mx m f x x x
--+∴
>⇔->->⇔<< 令ln 1()x x g x x -+=
,2ln ()0x
g x x
'=-<，
()g x ∴在2(e,e )上单调递减，2()(e)1e g x g ∴<=
-，21e
m ∴≥- 令ln ()x h x x =
，21ln ()0x
h x x
-'=<，()h x ∴在2(e,e )上单调递减， 222()(e )e h x h ∴>=，22e m ∴≤，综上所述，m 的取值范围是222
[1,]e e
-。

请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．
22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线22
:149x y C +=,直线2:22x t l y t
=+⎧⎨
=-⎩ (t 为参数). （1）写出曲线 C 的参数方程,直线l 的普通方程;
（2）过曲线 C 上任意一点P 作与l 夹角为30o
的直线,交l 于点A ,求PA 的最大值与最小值. 【解析】（1）曲线 C 的参数方程为2cos {3sin x y θ
θ
== (θ为参数).
直线l 的普通方程为260x y +-=
（2）曲线 C 上任意一点P 到l 的距离3sin 6d θθ=
+-.
则d )6sin 30PA θα=
=+-o ,其中α为锐角,且4
tan 3
α=
.
当sin()1θα+=-时, PA 取得最大值,
当sin()1θα+=时, PA 取得最小值, 23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知()21f x x x =+-.
（1）解关于x 的不等式()0f x >;
（2）对于任意正数,m n ，求使得不等式22
11()2f x nm m n ≤
++恒成立的x 的取值集合M . 【解析】（1）当0x ≤时，不等式化为214x x -+->，∴1x <-; 当01x <<时，不等式化为214x x +->，解得3x >，无解
当1x ≥时，不等式化为214x x +->,∴5
3x >
综上,不等式()4f x >的解集为5
(,1)(,)3-∞-⋃+∞.
（2）∵
22112224nm nm m n mn
++≥+≥，当且仅当1m n ==时“=”成立， ∴214x x +-≤,由1知x 的取值集合M 为5
[1,]3
-.。