2006-2007(2)高等数学试题(A卷)(72)
高数A2(A卷)
……………………………… 密 ……………………………… 封 ………………………………… 线 ………………………………安 徽 工 业 大 学 工 商 学 院 试 题 纸（一）2007 ~ 2008学年第二学期期末考试《 高等数学A2》试卷(A 卷)一、选择题(共4分×6)(将结果填入下表中: ) 1、函数),(y x f z =在),(y x 点有偏导数是它在该点连续的( ).(A)充分而非必要条件； （B ）必要而非充分条件；(C)充分必要条件； （D ）既非充分又非必要条件.2、设),2ln(),(xy x y x f += 则=)0,1(y f ( ）.(A) 21-； (B)21； (C) 0； (D) 1.3、函数3121x cx y -=(c 为任意常数)是微分方程222x dxy d -=的（ ).(A)解,但既非通解又非特解； (B)通解;(C)特解; (D)不是解.4、函数y x xy y x z 84222-+++-=的驻点是（ ）. （A ）(-1,3); （B ）(3,-1); （C ）(3, 1); （D ）(-1,-3).5、二阶线性非齐次方程xe x y y y )1(2-=+'-''的特解形式是（ ）.(A)x e b ax )(+; （B ）xe bx ax )(2+; (C)xe bx ax )(23+; （D ）xe bx ax )(3+.6、设级数∑∞=1)1(!3n nn nn 与级数∑∞=1)2(!2n nnnn , 则成立（ ）.(A)级数(1)、(2)均收敛; (B)级数(1)、(2)均发散.; (C)级数(1)收敛, 级数(2)发散; (D)级数(1)发散, 级数(2)收敛二、填空题(共4分×6)1、设),(v u f 有连续偏导数,且),(yxe ef z =, 则=dz __________________.2、级数∑∞=+1623n nnn 的和是__________.3、)(x f 在某区域内有连续导数, 若积分⎰+Ly dy x f xdx e ])([2与路径无关, 则.____________________)(=x f4、设一个二阶常系数线性齐次微分方程的特征方程有两个特征根,为-2和3,则此微分方程是________________________, 其通解为___________________________.5、设Ω是由光滑闭曲面∑围成的空间区域,其体积是V , 则沿∑内侧的曲面积分⎰⎰∑=-+-+-.______________)2()3()(dxdy y z dzdx x y dydz z x6、设平面上力j xy i y F 32+-=, 在力F 的作用下, 质点沿曲线L 运动, 则力F 所做的功用曲线积分表示为__________________________.三、解答题(共47分) 1、[5分]求曲面1232=+z xy 在点(1,-2,2)处的切平面与法线方程.2、[5分]计算积分: ⎰⎰ππydx xx dy sin 0.3、[5分]求微分方程满足初始条件的特解: ⎪⎩⎪⎨⎧==+1)0(y ey dx dy x .高数试卷A2(A 卷)（第1页）……………………………… 密……………………………… 封 ………………………………… 线 ………………………………安 徽 工 业 大 学 工 商 学 院 试 题 纸（二）4、[5分]用重积分算出半球体0,2222≥≤++z a z y x 的体积V .(用其它方法不给分)5、[5分]),(v u f 可微, 且32),(x x x f =, 422),(x x x x f u -=,求 ),(2x x f v .6、 [5分]设L 是圆周x y x 222=+的正向曲线,计算第二类曲线积分dy y xydx y x x I L⎰-+-=)()(3223. (注:163cossin204204πππ⎰⎰==xdx xdx )7、[6分]求幂级数∑∞=-1)3(n nnx 的收敛域(含端点讨论).8、[6分]求幂级数∑∞=-11n n nx 在(-1,1)上的和函数.9、[5分]设222),,(z y x z y x f ++= ，求函数在点M （1，1，0）沿方向)1,2,1(=l的方向导数lf ∂∂.四、[5分]计算二重积分：,)1ln(2dxdy y y x I D⎰⎰++=其中D 由x y 3-=，24x y -=，x = 1 所围成的闭区域.五、附加题 [6分]设微分分方程0)4(32='++''y ey y(1)若把x 看成未知函数，y 看成自变量，则方程化成什么形式； (2)求此方程的通解.高数试卷A2(A 卷)（第2页）。
(整理)全国Ⅱ高考试题目文
2006年普通高等数学招生全国统一考试（全国Ⅱ）文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分． 参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么球是表面积公式)()()(B P A P B A P +=+ 24R S π=如果事件A 、B 相互独立，那么其中R 表示球的半径)()()(B P A P B A P ⋅=⋅球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么334R V π=n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率：其中R 表示球的半径()(1)k kn k n n P k C P P -=-第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知向量(4,2)a =，向量(,3)b x =，且a ∥b ，则x ＝A ．9B ．6C ．5D ．32．已知集合{}|3M x x =<，{}2|log 1N x x =>，则MN ＝A ．∅B ．{}|03x x <<C ．{}|13x x <<D ．{}|23x x <<3．函数sin 2cos 2y x x =的最小正周期是A ．2πB ．4πC ．4πD ．2π 4．如果函数()y f x =的图像与函数()32g x x =-的图像关于坐标原点对称，则()y f x =的表达式为A ．23y x =-B ．23y x =+C ．23y x =-+D ．23y x =--5．已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆2213x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 上，则△ABC 周长是A．B ．6C．D ．126．已知等差数列{}n a 中，27a =，415a =，则前10项的和10S ＝A ．100B ．210C ．380D ．4007．如图，平面α⊥平面β，A α∈，B β∈，AB 与两平面α、β所成的角分别为4π和6π，过A 、B 分别作两平面交线的垂线，垂足为A '、B '，若12AB =，则A B ''＝A ．4B ．6C ．8D ．98．函数ln 1(0)y x x =+>的反函数为A ．1()x y e x R +=∈ B ．1()x y e x R -=∈C ．1(1)x y ex +=>D ．1(1)x y ex -=>9．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线方程为43y x =，则双曲线的离心率为A ．53B ．43C ．54D ．3210．若(sin )3cos 2f x x =-，则(cos )f x ＝A ．3cos2x -B ．3sin 2x -C ．3cos2x +D ．3sin 2x +11．过点(1,0)-作抛物线21y x x =++的切线，则其中一条切线为A ．220x y ++=B ．330x y -+=C ．10x y ++=D ．10x y -+=12．5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有 A ．150种 B ．180种C ．200种D ．280种α βABA ′B ′第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：用钢笔或圆珠笔直接答在答题卡上．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．13．在4101()x x+的展开式中常数项是 ．（用数字作答）14．圆1O 是以R 为半径的球O 的小圆，若圆1O 的面积1S 与球O 的表面积S 的比为1:2:9S S =，则圆心1O 与球心O 的距离与球的半径比1:OO R ＝ ．15．过点的直线l 将圆22(2)4x y -+=分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k ＝ ．16．一个社会调查机构就某地居民的月收调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在[2500,3000)（元）月收入段应抽出 人．三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）在△ABC 中，45B ∠=，AC =cos C =，求 （1）BC 的值；（2）若点D 是AB 的中点，求中线CD 的长度．18．（本小题满分12分）设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，41S =，817S =，求通项公式n a ． 19．（本小题满分12分）某批产品成箱包装，每箱5件．一用户在购进该 批产品前先取出3箱，再从每箱中任意抽取2件产品进行检验．设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品．（1）求取6件产品中有1件产品是二等品的概率；（2）若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品级用户拒绝的概率．20．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC =，D 、E 分别为1BB 、1AC 的中点．（1）证明：ED 为异面直线1BB 与1AC 的公垂线；（2）设1AA AC =，求二面角11A AD C --的大小．21．（本小题满分12分）设a R ∈，函数2()22f x ax x a =--，若()0f x >的解集为A ，{}|13B x x =<<，A B ≠∅，求实数a 的取值范围．21．（本小题满分14分）已知抛物线24x y =的焦点为F ，A 、B 是抛物线上的两动点，且(0)AF FB λλ=>．过A 、B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为M ．（1）证明：FM AB ⋅为定值；（2）设△ABM 的面积为S ，写出()S f λ=的表达式，并求S 的最小值．22．（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且方程20n n x a x a --=有一根为1n S -，1,2,3,n =．（1）求1a ，2a ； AB CD E A 1B 1C 1（2）求{}n a 的通项公式．2006年普通高等学校招生全国统一考试（全国II 卷） 数学（文史类）（编辑：宁冈中学张建华）本试卷分第Ｉ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
2006-2007学年第二学期高等数学期末试卷
2006-2007学年第二学期高等数学期末试卷北京工业大学2006-2007学年第二学期《高等数学》期末试卷一、单项选择题：本大题共5小题，每小题4分，共20 分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 请将正确结果的字母写在括号内。
1．假定函数f (x,,y )在点),(0y x 处取得极大值，此时下列结论正确的是 【 】（A ）0(,)f x y 在0x x =处导数等于零. （B ）0(,)f x y 在0x x =处导数大于零.（C ）0(,)f x y 在0x x =处导数小于零. （D ）0(,)f x y 在x x =处导数未必存在.2． 222222ln()1z x y z dxdydz x y z Ω+++++⎰⎰⎰(其中Ω为2222xy z ++≤)的值等于 【 】 （A ） 2 （B ） 1 （C ） 0 （D ） -1 3．级数21(1)ln nn n∞=-∑ 的敛散情况是【 】（A ）条件收敛 （B ）绝对收敛 （C ）发散 （D ）敛散性不能确定4．将三重积分dvz y xI ⎰⎰⎰Ω++=)(222，其中1:222≤++Ωz y x，化为球面坐标下的三次积分为 【 】 （A ）⎰⎰⎰120drd d ππϕθ （B ） ⎰⎰⎰1220rdrd d ππϕθ（C ）⎰⎰⎰1420sin drr d d ϕϕθππ（D ） ⎰⎰⎰12020sin drr d d ϕϕθππθϕϕd drd r dv sin 2=注意到体积元素5．定义在[,]ππ-上的函数()||f x x =展开为以2π为周期的傅立叶级数，其和函数记为)(x S ，则=)(πS【 】（A ）0 (B) π（C ）π- （D ）2π二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中的横线上.6．曲线32,,t z ty t x ===在点),1,1,1(--P 处的切线方程为___________________ ， 法平面方程为12．计算二次积分2()a x y aI a dx e dy-=⎰⎰,其中实数0a >，并求极限lim ()a I a →+∞13．利用高斯公式计算曲面积分⎰⎰∑+-=,2dxdy z xdzdx ydydz I 其中∑是锥面22y x z +=介于平面0z =与平面3z =之间部分的外侧.14．已知曲线积分()[]⎰'+-=),()0,0()()(,y x x dyxydxxeyxIϕϕ与积分路径无关，其中()xϕ是二阶可导函数，且(0)0ϕ=，0)0(='ϕ.1.求()xϕ；2.求)1,1(I.15． 求（1）幂级数112n n n n x ∞-=∑的收敛域；（2）幂级数112n nn n x ∞-=∑的和函数；（3）级数1(1)2nnn n ∞=-∑的和.16．函数)(x f 具有连续的导数，满足0()()d 1x ax xf x e f at t ae +=+⎰，且(0)2f a =， 求a 的值及函数)(x f .12()(2)x x e xe xf x e e ee--+-+=-+四、 证明题: 本题共1题，6分.17. 已知无穷级数2n n u ∞=∑满足 22222ln 1xy nx y a nun dxdyπ--+≤=-⎰⎰,其中实数0a >, 证明: 级数2n n u ∞=∑ 当1a >时收敛; 当1a ≤时发散, 但2(1)nnn u ∞=-∑ 总收敛.北京工业大学2006-2007学年第二学期 《高等数学》期末试卷 参考答案一、单项选择题1． D 2． C 3．A 4． C （θϕϕd drd r dv sin 2=注意到体积元素）5． B二、填空题 6．312111+=--=+z y x 0632=++-z y x7． 44a π8．544x - )4,4(-9．3,2==b a 310．dy dx dz 2121+=三、计算题11． 解：设 ,x u y x v ye =-=， 则''x u v zf ye f x∂=-+∂ ()()2'''''''''''''''2'''()1x x u v uu uvx x x vu vv v x x x uu uv vv v z f ye f f e f x y yye f e f e f f e y f ye f e f ∂∂=-+=--∂∂∂+++=-+-++12． 解：()2222211.2a xa aa yy y y a xa y a dx edy dx edy dy edxyedy e -----=-=-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰从而1lim ()2a I a →+∞=-。
06-07高等数学试题(A)解答
广州大学2006-2007学年第一学期考试卷高等数学（A 卷）（90学时）参考解答与评分标准一．填空题（每小题3分，本大题满分15分）1．=∞→xxx sin lim0 2．设函数(ln )y f x =, 其中()f x 可微, 则d y =(ln )d f x x x'3．曲线sin y x =上点(0,0)处的切线斜率为=k 1 4．设()x f x xe =, 则(2006)()f x =2006xxxe e + 5．质点以速度)sin(2t t 米/秒作直线运动, 则从时刻21π=t 秒到π=2t 秒内质点所经过的路程等于 0.5 米.二．选择题 (每小题3分, 本大题满分15分)1. 当1x →时，无穷小量(1)x -是2(1的( C ). A. 高阶无穷小; B. 低阶无穷小; C. 等价无穷小; D. 同阶但不等价无穷小.2. 0x =是函数1arctany x=的( B )间断点. A. 可去; B. 跳跃; C. 无穷; D. 振荡.3. 下列函数在指定区间上满足罗尔定理条件的是( A ).A. ];3,2[,65)(2∈+-=x x x x f B . ];2,0[,)1(1)(32∈-=x x x fC. ];1,0[,)(∈=x e x f xD. ].1,1[,)(-∈=x x x f4. 设函数()y y x =的导函数为cos x ，且(0)1y =，则()y x =( D ). A. cos x ; B. sin x ; C. cos 1x +; D. sin 1x +.5. 若22001()d ()d 2axf x x f x x =⎰⎰，则a =( A ). A. 4; B. 2; C.12; D. 1. 三．解答下列各题（每小题6分，本大题满分12分）1．21sin ()xe y x -=，求y '. 解：112sin (sin )x x e e y x x --''=⋅。
2007年高考理科数学(全国二卷)真题
15．一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为 2cm 的球面上．如果正四棱柱的底面边长 为 1cm，那么该棱柱的表面积为 cm 2 ．
Sn n→ n 2
16．已知数列的通项 an 5n 2 ，其前 n 项和为 S n ，则 lim
．
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步 骤． 17．（本小题满分 10 分） 在 △ ABC 中，已知内角 A
2007 年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷Ⅱ)
理科数学
第Ⅰ卷（选择题）
本卷共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的．
参考公式： 如果事件 A，B 互斥，那么 球的表面积公式
P ( A B ) P ( A) P ( B )
如果事件 A，B 相互独立，那么
3．设复数 z 满足 A． 2 i
1 2i i ，则 z （ z
） C． 2 i ） D． 2 i
B． 2 i
4．下列四个数中最大的是（
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A． (ln 2) 2
B． ln(ln 2)
C． ln 2
D． ln 2
1 CD CA CB ，则 5．在 △ ABC 中，已知 D 是 AB 边上一点，若 AD 2DB， 3
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2007 年普通高等学校招生全国统一考试(全国 卷Ⅱ)理科数学参考答案
一、选择题 1．D 2．C 3．C 4．D 5．A 6．C 7．A 8．A 9．C 10．B 11．B 12．B
二、填空题 13． 42 三、解答题
2 17．解：（1） △ ABC 的内角和 A B C ，由 A ，B 0，C 0 得 0 B ．
高数(2-2)历年期末试题参考答案
2006—2007学年第二学期 高等数学（2-2）期末试卷(A)参考答案一、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）. 1．设三向量→→→c b a ,,满足关系式→→→→⋅=⋅c a b a ，则（ D ）. （A ）必有→→=0a 或者→→=c b ； （B ）必有→→→→===0c b a ； （C ）当→→≠0a 时，必有→→=c b ； （D ）必有)(→→→-⊥c b a . 2. 已知2,2==→→b a ，且2=⋅→→b a ，则=⨯→→b a （ A ）.（A ）2 ； （B ）22； （C ）22； （D ）1 . 3. 设曲面)0,0(:2222>≥=++a z a z y x S ，1S 是S 在第一卦限中的部分，则有（ C ）.（A ）⎰⎰⎰⎰=14S SxdS xdS ； （B ）⎰⎰⎰⎰=14S SxdS ydS ；（C ）⎰⎰⎰⎰=14S SxdS zdS ； （D ）⎰⎰⎰⎰=14S SxyzdS xyzdS .4. 曲面632222=++z y x 在点)1,1,1(--处的切平面方程是：（D ）. （A ）632=+-z y x ； （B ）632=-+z y x ； （C ）632=++z y x ； （D ）632=--z y x .5. 判别级数∑∞=⋅1!3n nn n n 的敛散性，正确结果是：（ B ）.（A ）条件收敛； （B ）发散；（C ）绝对收敛； （D ）可能收敛，也可能发散.6. 平面0633=--y x 的位置是（B ）.（A ）平行于xoy 平面； （B ）平行于z 轴，但不通过z 轴； （C ）垂直于z 轴 ； （D ）通过z 轴 .二、填空题（本题共4小题，每小题5分，满分20分）. 1. 已知xy e z =，则2x xdy ydx e dz xy -⋅-=.2. 函数zx yz xy u ++=在点)3,2,1(P 处沿向量→OP 的方向导数是71411，函数u 在点P 处的方向导数取最大值的方向是}3,4,5{，该点处方向导数的最大值是25.3. 已知曲线1:22=+y x L ，则π2)(2=+⎰Lds y x .4. 设函数展开傅立叶级数为：)(,cos 02ππ≤≤-=∑∞=x nx ax n n，则12=a .三、解答下列各题（本题共7小题，每小题7分，满分49分）. 1. 求幂级数∑∞=+01n nn x 收敛域及其和函数. 解 nn n a a 1lim+∞→ ,121lim =++=∞→n n n ∴收敛半径为1， 当1=x 时，级数∑∞=+011n n 发散，当1-=x 时，级数∑∞=+-01)1(n nn 收敛， 故所求的收敛域为)1,1[-；令;)1,1[,1)(0-∈+=∑∞=x n x x S n n于是.1,1)(01<+=∑∞=+x n x x S x n n 逐项求导，得.1,11)1(])([001<-=='+='∑∑∞=∞=+x x x n x x S x n n n n.1),1ln(1])([)(00<--=-='=∴⎰⎰x x t dtdt t tS x xS x x1,)1ln(1)(<--=∴x x xx S 且.0≠x而,2ln )1ln(1lim )(lim )1(11=--==-++-→-→x x x S S x x 1)0(=S ，故⎪⎩⎪⎨⎧=<<<≤---=.01,1001,)1ln()(x x x xx x S 2. 计算二重积分⎰⎰≤++42222y x y xdxdy e.解 令⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x ，则⎰⎰≤++42222y x y x dxdy e⎰⎰=20202rdr e d r πθ ⎰=22)(2r d e r π202r eπ=).1(4-=e π3. 已知函数),(y x f z =的全微分ydy xdx dz 22-=，并且2)1,1(=f . 求),(y x f z =在椭圆域}14),{(22≤+=y x y x D 上的最大值和最小值.解 由,22ydy xdx dz -=得),1(2x xf=∂∂ ),2(2y y f -=∂∂)1(两边关于x 积分，得)(2),(y C xdx y x f +=⎰)(2y C x +=，此式两边关于y 求偏导，再由)2(知,2)(y y C -=',)(2C y y C +-=⇒.),(22C y x y x f +-=∴ 由2)1,1(=f 知，2=C ,故.2),(22+-=y x y x f令,0202⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=∂∂==∂∂y yf x x f得驻点)0,0(在D 内部，且2)0,0(=f ，在D 的边界1422=+y x 上：.11,252)44(222≤≤--=+--=x x x x z 其最大值是,3)0,1(1=±=±=f z x 最小值是2)2,0(0-=±==f z x ；故),(y x f z =在椭圆域}14),{(22≤+=y x y x D 上的最大值是3}2,3,2max{=-， 最小值是.2}2,3,2min{-=-.4. 设Ω是由4,22=+=z y x z ，所围成的有界闭区域，计算三重积分⎰⎰⎰Ω++dxdydz z y x)(22.解 令,sin cos ⎪⎩⎪⎨⎧===z z r y r x θθ则.4,20,20:2≤≤≤≤≤≤Ωz r r πθ⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=++∴Ω422020222)()(rdz z r rdr d dxdydz z y x πθ⎰⎰+=42202)(2rdz z r rdr π⎰==+=204222]2[2dr z z r r z r z π⎰-+=2053)2384(2dr r r r π.32]44[220624ππ=-+=r r r 5. 设AB L 为从点)0,1(-A 沿曲线21x y -=到点)0,1(B 一段曲线，计算⎰++ABL y x ydy xdx 22. 解 ⎩⎨⎧-=-=≤≤-==,2,1.11,,:2xdx dy x y x dx dx x x L AB.0)1()2)(1(11222222=-+--+=++∴⎰⎰-dx x x x x x y x ydy xdx ABL6. 设∑是上半球面221y x z --=的下侧，计算曲面积分⎰⎰∑++-+dxdy z y xy dzdx z y x dydz xz)2()(2322.解 ,2,,2322z y xy R z y x Q xz P +=-== ,222z y x zRy Q x P ++=∂∂+∂∂+∂∂ 作.1,0:22≤+=∑y x z 上补与下∑所围成的立体为Ω，由高斯公式，⎰⎰∑++-+dxdy z y xy dzdx z y x dydz xz )2()(2322 ⎰⎰∑+∑++-+=上补下dxdy z y xy dzdx z y x dydz xz )2()(2322⎰⎰∑++-+-上补dxdy z y xy dzdx z y x dydz xz )2()(2322⎰⎰⎰⎰⎰≤+Ω⋅+---∂∂+∂∂+∂∂-=1222)02(00y x dxdy y xy dxdydz z R y Q x P ）（000222---++-=⎰⎰⎰Ωdxdydz z y x ）（（作球面坐标变换）⎰⎰⎰⋅-=1222020sin ρϕρρϕθππd d d .52sin 21420πρρϕϕππ-=-=⎰⎰d d 7. 将函数61)(2--=x x x f 展开成关于1-x 的幂级数 .解.1,110<=-∑∞=x x x n n.1,)1(110<-=+∑∞=x x x n n n )2131(51)3)(2(161)(2+--=-+=--=∴x x x x x x x f ]3)1(12)1(1[51+----=x x]311131211121[51-+⋅---⋅-=x x ]311131211121[51-+⋅+--⋅-=x x∑∞=+--=012)1(51n n n x ∑∞=+---013)1()1(51n n nn x ( 121<-x 且131<-x ) 21,)1](3)1(21[51011<---+-=∑∞=++x x n n n nn 即).3,1(-∈x四、证明题（7分）. 证明不等式:2)sin (cos 122≤+≤⎰⎰Dd x yσ，其中D 是正方形区域：.10,10≤≤≤≤y x证D 关于y x =对称，⎰⎰∴Dd yσ2(cos ⎰⎰=D d x σ2cos ，⎰⎰+∴Dd x y σ)sin (cos 22.)sin (cos 22⎰⎰+=Dd x x σ又 ),4sin(2)cos 21sin 21(2cos sin 22222π+=+=+x x x x x而,102≤≤x ,2)4sin(22212≤+≤=∴πx 即 ,2cos sin 122≤+≤x x,22)cos (sin 1122=≤+≤⋅=∴⎰⎰⎰⎰⎰⎰DDDd d x x d σσσ即 .2)sin (cos 122≤+≤⎰⎰Dd x y σ2007—2008学年第二学期 高等数学（2-2）期末试卷(A)参考答案一、填空题：1~6小题，每小题4分，共24分. 请将答案写在指定位置上. 1. 平面1:0y z -=∏与平面2:0x y +=∏的夹角为3π.2. 函数22y x z +=在点)2,1(处沿从点)2,1(到点)32,2(+的方向的方向导数为321+.3. 设(,)f x y 是有界闭区域222:a y x D ≤+上的连续函数，则当0→a 时，=⎰⎰→Da dxdy y x f a ),(1lim20π)0,0(f .4. 区域Ω由圆锥面222x y z +=及平面1=z 围成，则将三重积分f dv ⎰⎰⎰Ω在柱面坐标系下化为三次积分为211()πθ⎰⎰⎰rd dr f r rdz .5. 设Γ为由曲线32,,t z t y t x ===上相应于t 从0到1的有向曲线弧，R Q P ,,是定义在Γ上的连续三元函数，则对坐标的曲线积分化为对弧长的曲线积分有：Pdx Qdy Rdz Γ++=⎰6. 将函数()1(0)f x x x π=+≤≤展开成余弦级数为)0()5cos 513cos 31(cos 412122πππ≤≤+++-+=+x x x x x .二、单项选择题：7~12小题，每小题3分，共18分。
2006-2007(2)高等数学试题(A卷)(90)解答
广州大学 2006-2007 学年第二学期考试卷高等数学（A 卷）（90 学时）参考解答一．填空题（每小题3分，本大题满分30分） 1. (,)(1,2) 22 lim 2 x y xy xy ® +- = - 14. 2.设 2sin z x y = ,则 2zx y¶ = ¶¶ 2cos x y .3.函数 3 x z y e = 的全微分dz = 32 3 x x y e dx y e dy + .4.若 243 (,)2 f x x x x x =++ , 22 1(,)221 f x x x x ¢ =-+ ,则 22 (,) f x x ¢ = 2 221 x x ++ .5.改换积分次序: ln 10 (,) exdx f x y dy =òò 1 0(,) y eedy f x y dx òò .6.平面 1 x y z ++= 在第一卦限部分的面积等于 32. 7.设L 为圆周 222 x y a += ,则 ò =+ Lds y x ) ( 2 2 32 ap .8.若级数 1n n u ¥= å 条件收敛，则级数 1|| n n u ¥= å 的敛散性为： 发散 .9.函数 1 1() x n f x n ¥= = å 的定义域为x Î (1,) +¥ .10.若 2 ()2ln 0 y f x dx y xdy += 为全微分方程,则 () f x =1x.二．解答下列各题(每小题7分,本大题满分14分)1.已知 ) , ( y x f z = 是由方程 0 ze xyz -= 确定的隐函数, 求 x z ¶ ¶ 和 2 2 xz¶ ¶ .解: 0 zz ze yz xy x x¶¶ --= ¶¶ z z yz x e xy¶ = ¶- ………………………………………………………4分 2 22 ()()()z z x x z yz e xy yz e z y z x e xy --- ¶ = ¶- ………………………………6分 2322 322 ()z zz y ze xy z y z e e xy -- = - ……………………………………7分 2.求曲面 222 236 x y z ++= 在点(1,1,1) - 处的切平面及法线方程. 解: (2,4,6)n x y z = r(1,1,1)(2,4,6) n -=- r ……………………………………………3分 所求切平面方程 2(1)4(1)6(1)0 x y z --++-= ……………………5分即 2360x y z -+-= 所求法线方程111246x y z -+- == - ……………………………7分三．解答下列各题（每小题7分，本大题满分 14分）1.计算 cos() Dx x y d s + òò ,其中D 是顶点分别为(0,0),(,0) p 和(,) p p 的三角形闭区域.解: 积分区域如图(从略) ……………………………………………2分cos() Dx x y d s+ òò0cos() xdx x x y dy p =+ òò …………………………………………4分(sin 2sin ) x x x dx p=- ò …………………………………………5分0 1(cos cos 2) 2xd x x p =- ò 011 [(cos cos 2)(sin sin 2)] 24x x x x x p=--- 32p =- …………………………………………………………7分2.设L 为正向圆周 22 1 x y += ,计算 ò + - Ldy xy dx yx x 2 2 2 ) (sin .解: 记 22 :1 D x y +£ ,由格林公式有ò + - Ldy xy dx yx x 22 2 ) (sin 22 () Dy x dxdy =+ òò ………………………………………………3分213 0d d p q r r = òò ………………………………………………5分2p=……………………………………………………………7分四．(本题满分8分）求幂级数 2ln n n xn ¥= å 的收敛域.解: 收敛半径 1 ln(1) lim ||lim 1 ln nn n n a n R a n®¥®¥ + + === ………………………3分 当 1 x = 时,得级数 21ln n n ¥= å ,因 11ln n n > ,而 2 1 n n ¥ = å 发散,所以 2 1ln n n ¥ = å 发散……………………………5分 当 1 x =- 时,得交错级数 2 (1)ln nn n¥= - å, 因 1lim 0 ln n n ®¥ = ,且 11 (2,,) ln ln(1) n n n >= + L ,所以 2(1) ln n n n ¥= - å 收敛 ……7分所求收敛域为[1,1) - ……………………………………………………8分 五．(本题满分6分） 求微分方程 dy y xdx x y=+ 的通解.解: 令y ux = ,则 dy duu x dx dx =+ ………………………………………2分原方程化为 1du u x u dx u +=+ ………………………………………3分分离变量得 1udu dx x = ……………………………………………4分两边积分得 21 ln || 2u x C =+ ………………………………………5分yu x= 回代得 22 2(ln ||) y x x C =+ …………………………………6分六．（本题满分8分）某厂家生产两种产品I和II，出售单价分别为 10元与9元，生产x单 位的产品I与生产 y单位的产品II的总费用是：22400230.01(33)x y x xy y+++++ （元）假定销售量等于生产量.求取得最大利润时，两种产品的产量各多少？ 解: 利润函数为(,)(109)L x y x y=+- 22[400230.01(33)]x y x xy y+++++22860.01(33)400x y x xy y=+-++- ………………3分由80.01(6)060.01(6)0 xyL x yL x y=-+=ìí =-+=î……………………………………………5分 得驻点(120,80)…………………………………………………………7分 因驻点唯一,所以取得最大利润时，两种产品的产量分别为 120x= , 80y = …………………………………………………………8分 七．（本题满分8分）设W是由曲面 226z x y=-- 及 22z x y=+ 所围成的有界闭区域,求W 的体积.解:W在xOy面上的投影区域为 22:4D x y+£ ……………………2分W的体积为222600V dv d d dzp rrq r r-W==òòòòòò …………………5分22200(6)d dpq r r r r=--òò ………………………6分43222[3]43r rp r=--323p= ……………………8分八．(本题满分12分） （1）验证函数3693 ()1 3!6!9!(3)!nx x x xy x n =++++++ L L ，（ x -¥<<+¥）满足微分方程 x y y y e ¢¢¢ ++= ；（2）利用（1）的结果求幂级数 3 0(3)! nn xn ¥= å 的和函数.解: (1) 258312!5!8!(31)!n x x x x y n - ¢=+++++ - L L 47324!7!(32)!n x x xy x n - ¢¢=+++++ - L L0 ! n x n xy y y e n¥= ¢¢¢ ++== å ……………………………………4分(2) 0 y y y ¢¢¢ ++= 的通解为212 33 (cossin ) 22x Y e C x C x - =+ ………………………7分 设 x y y y e ¢¢¢ ++= 的待定特解 * x y Ae = ,代入 x y y y e ¢¢¢ ++= ,求得1 3 A = , 1* 3x y e = ……………………………………………9分x y y y e ¢¢¢ ++= 的通解为212 331 (cossin ) 223xx y e C x C x e - =++ ……………………10分 由 (0)1 y = , (0)0 y ¢ = ,求得 1 23C = , 2 0C = 幂级数 3 0 (3)! n n xn¥= å 的和函数为2 231cos 323 xx y e x e - =+ ……………………………12分。
中国石油大学（华东）高数历届试题
2006—2007学年第二学期 《本科高等数学(下)》期中试卷一、填空题(每小题5分, 共40分) 1．设向量,2,23k j i b k j i a +-=-+=则）（）（b a b a322-⋅⨯= _______________.2．已知向量}2,3,4{-=a ，向量u 与三个坐标轴正向构成相等的锐角，则 a 在u轴上的投影等于__________________.3．已知空间三角形三顶点),2,0,0(),0,1,2(),1,1,1(C B A -则ABC Δ的面积等于______________;过三点的平面方程是:__________________________.4．直线⎩⎨⎧=+--=-+072,0532:z y x z y L .在平面083:=++-z y x π内的投影直线方程是： ____________________________________.5. 由曲线 ⎪⎩⎪⎨⎧==+0122322z y x 绕y 轴旋转一周所得旋转曲面在点)2,3,0(处指向外侧的单位法向量是____________________________.6．设z y x z y x 32)32sin(2-+=-+，则y zx z ∂∂+∂∂=__________________________.7. 设函数)(u f 可微,且21)0(='f , 则)4(22y x f z -=在点(1,2)处的全微分 )2,1(d z =_________________________________________.8. 曲面 22yx z += 平行于平面 042=-+z y x 的切平面方程.是：___________________.二、(7分) 设平面区域D 由1,==xy x y 和2=x 所围成，若二重积分 1d d 22=⎰⎰D y x yAx ，则常数=A ____________________________. 解题过程是：三、(8分) 设),(y x f 是连续函数，在直角坐标系下将二次积分⎰⎰-223210d ),(d y y xy x f y 交换积分次序，应是______________________________________.解题过程是：四、(7分) 设函数181261),,(222z y x z y x u +++=，若单位向量}1,1,1{31=n ，则方向导数)3,2,1(nu ∂∂等于_____________________；该函数在点(1,2,3)的梯度是____________________；该函数在点(1,2,3)处方向导数的最大值等于________________.解题过程是：五、(8分)设函数()f u 在(0,)+∞内具有二阶导数，且z f=满足等式22220z zx y ∂∂+=∂∂.（I ）验证()()0f u f u u '''+=；（II ）若(1)0,(1)1f f '==，求函数()f u 的表达式.解题过程是：六、(7分) 设区域{}22(,)1,0D x y x y x =+≤≥， 计算二重积分221d d .1D xyx y x y +++⎰⎰解题过程是：七、(8分) 设空间区域Ω，是由曲线⎪⎩⎪⎨⎧==0,2x z y 绕oz 轴旋转一周而成的曲面与平面4,1==z z 所围成的区域，计算三重积分⎰⎰⎰+Ωz y x y x d d d )(22.解题过程是：八、(8分) 做一个长方体的箱子，其容积为 29m 3, 箱子的盖及侧面的造价为8元/m 2, 箱子的底造价为1元/m 2, 试求造价最低的箱子的长宽高（取米为长度单位）. 解题过程是：九、(7分) 设函数),(y x f 在点(0,0)的某个邻域内连续，且1)(),(lim22220=+-→→y x xy y x f y x ，试问点(0,0)是不是),(y x f 的极值点？证明你的结论. 解题过程是：A 卷2006—2007学年第二学期《本科高等数学(下)》期末考试试卷一、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）.1．设三向量c b a ,,满足关系式c a b a ⋅=⋅，则（ ）.（A ）必有c b ,0 ==或者a ; （B ）必有0===c b a ;（C ）当0≠a 时，必有c b =; （D ）必有)(c b a -⊥.2. 已知2,2==b a，且2=⋅b a ，则=⨯b a （ ）.（A ）2 ; （B ）22; （C ）22; （D ）1 .3. 设曲面)0,0(:2222>≥=++a z S a z y x ，S 1是S 在第一卦限中的部分，则有（ ）. （A ）⎰⎰⎰⎰=S S S x S x 1d 4d ; （B ）⎰⎰⎰⎰=S SSx S y 1d 4d ;（C ）⎰⎰⎰⎰=S SS x S z 1d 4d ; （D ）⎰⎰⎰⎰=S S Sxyz S xyz 1d 4d . 4. 曲面632222=++z y x 在点)1,1,1(--处的切平面方程是：（ ）.（A ）632=+-z y x ; （B ）632=-+z y x ; （C ）632=++z y x ; （D ）632=--z y x . 5. 判别级数∑⋅∞=1!3n nn n n 的敛散性，正确结果是：（ ）. （A ）条件收敛; （B ）发散；（C ）绝对收敛; （D ）可能收敛，也可能发散.6. 平面0633=--y x 的位置是（ ）.（A ）平行于XOY 平面; （B ）平行于Z 轴，但不通过Z 轴; （C ）垂直于Z 轴 ; （D ）通过Z 轴 . 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，满分20分）. 1. 已知e x yz =，则____________________d =z.2. 函数zx yz xy u ++=在点)3,2,1(=P 处沿向量OP 的方向导数是____________，函数u 在点P 处的方向导数取最大值的方向是_____________，该点处方向导数的最大值是____________.3. 已知曲线1:22=+y x L ，则⎰+=Ls y x ________________d )(2.4. 设函数展开傅立叶级数为：∑∞=≤≤-=02)(,cos n n x nx a xππ，则___________2=a .三、解答下列各题（本题共7小题，每小题7分，满分49分）.1. 求幂级数∑∞=+01n n n x 收敛域及其和函数.解题过程是：2. 计算二重积分⎰⎰≤++42222d d y x yx yx e.解题过程是：3. 已知函数),(y x f z =的全微分y y x x z d 2d 2d -=，并且2)1,1(=f . 求),(y x f z =在椭圆域}14|),{(22≤+=yx y x D 上的最大值和最小值.解题过程是：4. 设Ω是由y x z 22+=，4=z 所围成的有界闭区域，计算三重积分⎰⎰⎰++Ωzy x z y x d d d )(22.解题过程是：5. 设L AB 为从点)0,1(-A 沿曲线x y 21-=到点)0,1(B 一段曲线，计算⎰++L AByx yy x x 22d d .解题过程是：6. 设∑是上半球面y x z 221--=的下侧，计算曲面积分⎰⎰++-+∑yx z y xy x z z y x z y z x d d )2(d d )(d d 2322.解题过程是：7. 将函数 61)(2--=x x x f 展开成关于1-x 的幂级数 .解题过程是：四、证明题（7分）. 证明不等式: ⎰⎰≤+≤Dx y 2d )sin (cos 122σ，其中D 是正方形区域：10,10≤≤≤≤y x .2007—2008学年第二学期 《本科高等数学(下)》期中试卷一 填空题（本题共5小题，每小题4分，满分20分）1 向量32a i j k →→→→=++在向量245b i j k →→→→=++上的投影Pr bj a = .2 函数u =在点)2,2,1(-M 处的梯度=M gradu __________.3 曲面1222=+-zx yz xy 上点(1,1,1)M 处的切平面方程为 .4 函数sinu yxy x =在点(,)11的全微分(1,1)du =.5 函数2(,)z xf x y =有连续的二阶偏导数，则y x z ∂∂∂2＝ . 二、选择题(本题共4小题，每小题4分，满分16分).1．直线34273x y z++==--与平面4223x y z --=的位置关系是（ ） （A ）平行,但直线不在平面上； （B ） 直线在平面上；（C ） 垂直相交； （D ） 相交但不垂直. 2．函数00(,)(,)f x y x y 在点处偏导数存在是(,)f x y 在该点可微的( ) (A) 充分非必要条件； (B) 必要非充分条件 ； (C) 充要条件； (D) 非充分非必要条件.3.设有两平面区域2221:D x y R +≤，2222:,0,0;D x y R x y +≤≥≥ 则以下结论正确的是( )（A ）124D D xdxdy xdxdy=⎰⎰⎰⎰； （B ）12224D D x dxdy x dxdy=⎰⎰⎰⎰；（C ）124D D ydxdy ydxdy=⎰⎰⎰⎰； （D ）124D D xydxdy xydxdy=⎰⎰⎰⎰．4. 若函数00(,)(,)f x y x y 在点处不可微，则函数00(,)(,)f x y x y 在点处是( )(A) 沿任何方向的方向导数不存在； (B)两个偏导数都不存在； (C) 不能取得极值； (D) 有可能取得极值. 三、画图题（本题共2小题，每小题3分，满分6分）1．写出函数(,)f x y =的定义域，并画出定义域的图形.2．画出由平面1,0,2y z z y ===及曲面2y x =所围空间立体的图形.四、解答题（本题共7小题，每小题7分，满分49分）1.设(),z z x y =是由方程()2223x z f y z -=-所确定的隐函数，其中f 可微，求23z zyx x y ∂∂+∂∂ .解：2 .考察函数221sin (,)(0,0)(,)0(,)(0,0)xy x y x y f x y x y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩在点 (0,0)的连续性和可微性. 解：3．在曲面z xy =上求一点，使在该点处的法线与平面3290x y z +++=垂直，并写出该法线方程. 解：4．抛物面22z x y =+被平面4x y z ++=截成一个椭圆，求原点到这椭圆的最长与最短距离.解：5.计算1130dy x dx⎰.解：6.计算二重积分21D y x dxdy+-⎰⎰，其中D 是由直线1,1,0,1x x y y =-===围成的平面区域. 解：7．计算由球面2221x y z ++=，柱面220x y x +-=所围立体的体积. 解：五、证明题(9分)试证明：11201()(1)()2x ydx dy f z dz z f z dz=-⎰⎰⎰⎰Ａ卷2007—2008学年第二学期《本科高等数学(下)》试卷（理工类）一、填空题：1~6小题，每小题4分，共24分. 请将答案写在指定位置上. 1. 平面0:1=-∏z y 与平面0:2=+∏y x 的夹角为 .2. 函数22y x z +=在点)2,1(处沿从点)2,1(到点)32,2(+的方向的方向导数为 .3. 设(,)f x y 是有界闭区域222:a y x D ≤+上的连续函数，则当0→a 时，=⎰⎰→Da dxdy y x f a ),(1lim20π .4. 区域Ω由圆锥面222x y z +=及平面1=z 围成，则将三重积分f dVΩ⎰⎰⎰在柱面坐标系下化为三次积分为 .5. 设Γ为由曲线32,,t z t y t x ===上相应于t 从0到1的有向曲线弧，R Q P ,,是定义在Γ上的连续三元函数，则对坐标的曲线积分化为对弧长的曲线积分有：Pdx Qdy Rdz Γ++=⎰______________________________________.6.将函数)0(1)(π≤≤+=x x x f 展开成余弦级数为__________________________________.二、单项选择题：7~12小题，每小题3分，共18分。
北京林业大学《高等数学》2006-2007学年第二学期期末试卷
20 06 --20 07 学年第 二 学期考试试卷(A)试卷名称： 高等数学 （理工类） 课程所在院系： 理学院 （N ）考试班级 学号 姓名一、填空题（每题 3 分，共 39 分） 1． 设 f (x − y , x + y ) = x2− y 2 ，则 f (x , y ) = xy .x 2 y4． 函数 u = x sin(yz ) 的全微分为du = sin(yz )dx + xz cos(yz )dy + xy cos(yz )dz .5． 已知平面区域 D 是由直线 x + y = 1， x − y = 1及 x = 0 所围成，则 ydxdy = 0D6．微分方程 y ′ = y2 e 2x, 满足初始条件 y (0) = − 2 的特解为 y = −2e −2x .7． 设 y 1 , y 2 , y 3 是微分方程 y ′′+ p (x )y ′+ q (x )y = f (x ) 的三个不同的解， 且 ≠ 常数， 则微分方程的通解为 y = c 1 (y 1 − y 2 ) + c 2 (y 2 − y 3 ) + y 1 .8． 周期为 2π 的函数 f (x )， 它在一个周期上的表达式为 f (x ) = ， 则 f (x ) 的傅里叶级数的和函数在 x = 0 处的值为 0 . 9． 设 Σ 为平面 ++ = 1在第一卦限中的部分，则(z +2x + y )dS = 4 .Σ11. 设 L 为下半圆周 y = − ，则对弧长的曲线积分 ∫ ex 2 +y2ds = 2πe 4 .L12．函数 f (x ) =1展开为 x 的幂级数的形式为1 [1 + x + (x ) +2 + (x )n + ], −2 < x < 22 − x 2 2 2 213．若级数(u n +1)收敛，则 l nu n = -1二、（5 分） 函数 z = z (x , y ) 由方程 x − az = φ(y − bz ) 所确定， 其中φ(u ) 有连续导数， a , b 是不全为零的常数，证明： a∂x + b ∂y = 1 证明：方程 x − az = φ(y − bz ) 两边同时对 x , y 求偏导得2． 极限 lim = 2 .3． 设函数 f (x , y ) = 2x2+ ax + xy 2 + 2y 在点 (1, − 1) 处取得极值，则常数 a = -5 .10． 曲线 x = t − sin t , y = 1 − cos t , z = 4sin 在对应 t = 的点处的法平面方程是2 2 π 2x + y + z − −4 = 0 .y x 00− 1 t π∂z ∂z∂x ∂x ∂x a − b φ′ ∂z ∂z ∂z −φ′ ∂y ∂y ∂y a − b φ′ ∂z ∂z ∂x ∂y 三、（5 分）设 z = e ，求1 xy xy1 − a∂z = φ′ ⋅ ( −b ∂z ) ⇒ ∂z =1− a = φ′ ⋅ (1 − b ) ⇒ =故 a + b = 1x 2 y 3 ∂2z∂x ∂y= 2xy 3ex 2 y 3,= (6xy 2+ 6x 3y 5)ex 2 y 3四、（6 分）求微分方程 y ′′ − 3y ′+ 2y = 2e x 满足条件 y (0) = 0, y ′(0) = 1 的特解. 解：特征方程为： r2− 3r + 2 = 0 特征根为： r 1 = 2, r 2 = 1 对应齐次方程的通解是： y = c 1e 2x + c 2 e x设原方程的特解为： y *= axe x ，将其代入原方程待定系数得 a = −2 .所以 y * = −2xe x故原方程的通解为 y = c 1e 2x+ c 2 e x − 2xe x 由 y (0) = 0, y ′(0) = 1 解得c 1 = 3, c 2 = −3因此所求的特解是 y = 3e 2x − 3e x − 2xe x五、（6 分）计算二重积分 (x2+ y )dxdy ，其中 D = {(x , y ) 4 ≤ x 2 + y 2 ≤ 9 } .D解:(x2+ y )dxdy = x 2dxdy =πd θ∫23(r cos θ)2 rdr =πD D六、（5 分） 利用格林公式， 计算(2x 2 y − 2y )dx + (x 3 − 2x )dy ， 其中 L 为以 y = x , y = x 2 围成区域的正向L边界. 解:(2x 2y − 2y )dx + (x 3− 2x )dy = − x 2dxdy = − ∫01dx ∫ x 2 dy = −L D七、（6 分） 设 Σ 是由曲线 z = y 2 ,(0 ≤ z ≤ 2) 绕 z 轴旋转而成的曲面.x = 0,(1) 写出 Σ 的方程.（2）计算 4(1 − y2)dzdx + z (8y +1)dxdy ，其中 Σ 取下侧.Σ解: (1) Σ 的方程是 z = x2+ y 2 (0 ≤ z ≤ 2) .(2) 设 Σ 1 为 z = 2, (x2+ y 2 ≤ 2) 的上侧，则4(1 − y 2)dzdx + z (8y +1)dxdy =∫ dv =πd θ 2d ρ∫ρ22 ρdz = 2πΣ+Σ Ω 4(1 − y 2 )dzdx + z (8y +1)dxdy = 2(8y +1)dxdy = 2dxdy =4πΣ D D 4(1 − y 2 )dzdx + z (8y +1)dxdy = 2π− 4π = −2πΣ八、（6 分）求幂级数 的收敛半径与收敛区间，并求出它在收敛区间内的和函数.解： 收敛半径 R = 2 ，收敛区间为[− 1,3)1解：s(x) = s′(x) = ⋅ = ()n−1 =s(1) =0，s′(x)dx== dx,s(x) =ln 2 −ln(3 −x) (−1 ≤ x< 3)九、（5 分）设b n是收敛的正项级数，(a n−a n+1 ) 收敛. 试讨论a n b n的敛散性，并说明理由.解: a n b n是绝对收敛的.因为(a n−a n+1 ) 收敛,所以部分和s m= (a n−a n+1 ) = a1 −a m+1 有界,从而数列{a n}有界即存在常数M> 0 ，使| a n|< M (n= 1, 2, 3, ) ，故| a n b n|< Mb n(n= 1, 2, 3, )由于b n是收敛的正项级数，由比较审敛法知，a n b n绝对收敛.十、（6 分）设可导函数f (x) 满足f (x) cos x+ 2f (t) sin tdt= x+1，求f (x) .解：方程f (x) cos x+ 2f (t) sin tdt= x+1两边对x求导得f′(x) c os x+ f (x) s in x= 1即f′(x) +tan x⋅f (x) =求解上面的一阶线性微分方程得f (x) = e−∫ tan xdx[ ∫ e∫ tan xdx dx+ C] = sin x+ C cos x由于f (0) =1，所以C= 1，故f (x) =sin x+ cos x十一、（5 分）证明: (sin y−y sin x)dx+ (x cos y+cos x)dy为某二元函数f(x, y)的全微分，并求f(x, y)，计算(sin y−y sin x)dx+ (x cos y+ cos x)dy.解因为P= sin y−y sin x, Q= x cos y+ cos x∂P= cos y−sin x= ∂Q∂y∂x所以(sin y−y sin x)dx+ (x cos y+cos x)dy为某二元函数f(x, y)的全微分(sin y−y sin x)dx+ (x cos y+ cos x)dy= (sin ydx+ x cos ydy) +(cos xdy−y sin xdx)= d(x sin y+ y cos x)故f (x, y) = x sin y+y cos x+ c(sin y−y sin x)dx+ (x cos y+ cos x)dy= [x sin y+ y cos x]= −1十二、（6 分）求抛物面z= 1+ x2 +y2 的一个切平面，使它与抛物面及圆柱面(x−1)2 + y2 = 1所围成的立体的体积最小，并求出最小的体积，写出所求切平面方程.解：设 F (x , y , z ) = 1 + x2+ y 2 − z ，得F x = 2x , F y = 2y , z F = − 1抛物线在 (x 0 , y 0 , z 0 ) 处的切平面方程为2x 0 (x − x 0 ) + 2y 0 (y − y 0 ) − (z − z 0 ) = 0即 z = 2x 0 x + 2y 0 y + 1 − x 02− y 02该平面与抛物面及圆柱面所围成的立体的体积为2解一、填空题（每小题 3 分，共 30 分） 1、已知两点 M 12(,2,2) 和 M 21(,3,0) ,则模 M 1M 2 = ____ 2 _____。
06-07(2)高等数学试题(A)解答
广州大学2006-2007学年第二学期考试卷高等数学（A 卷）（90学时）参考解答一．填空题（每小题3分，本大题满分30分）1.(,)(1,2)lim x y →=14. 2.设2sin z x y =,则2z x y∂=∂∂2cos x y .3.函数3x z y e =的全微分dz =323x x y e dx y e dy +.4.若243(,)2f x x x x x =++,221(,)221f x x x x '=-+,则22(,)f x x '=2221x x ++.5.改换积分次序:ln 1(,)ex dx f x y dy =⎰⎰10(,)y eedy f x y dx ⎰⎰.6.平面1x y z ++=在第一卦限部分的面积等于. 7.设L 为圆周222x y a +=,则⎰=+Lds y x )(2232a π.8.若级数1n n u ∞=∑条件收敛，则级数1||n n u ∞=∑的敛散性为： 发散 .9.函数11()xn f x n∞==∑的定义域为x ∈(1,)+∞. 10.若2()2ln 0y f x dx y xdy +=为全微分方程,则()f x =1x.二．解答下列各题(每小题7分,本大题满分14分)1.已知),(y x f z =是由方程0ze xyz -=确定的隐函数, 求x z ∂∂和22xz∂∂.解: 0zz ze yz xy x x∂∂--=∂∂ zz yzx e xy∂=∂-………………………………………………………4分 222()()()z z x x z yz e xy yz e z y z x e xy ---∂=∂- ………………………………6分 2322322()z zz y ze xy z y z e e xy --=-……………………………………7分2.求曲面222236x y z ++=在点(1,1,1)-处的切平面及法线方程.解: (2,4,6)n x y z =(1,1,1)(2,4,6)n -=-……………………………………………3分所求切平面方程 2(1)4(1)6(1)0x y z --++-= ……………………5分 即 2360x y z -+-= 所求法线方程 111246x y z -+-==- ……………………………7分三．解答下列各题（每小题7分，本大题满分14分）1.计算cos()Dx x y d σ+⎰⎰,其中D 是顶点分别为(0,0),(,0)π和(,)ππ的三角形闭区域.解: 积分区域如图(从略) ……………………………………………2分cos()Dx x y d σ+⎰⎰cos()xdx x x y dy π=+⎰⎰…………………………………………4分(sin 2sin )x x x dx π=-⎰ …………………………………………5分01(cos cos 2)2xd x x π=-⎰ 011[(cos cos 2)(sin sin 2)]24x x x x x π=---32π=- …………………………………………………………7分2.设L 为正向圆周221x y +=,计算⎰+-Ldy xy dx yx x 222)(sin .解: 记22:1D x y +≤,由格林公式有 ⎰+-Ldy xy dx yx x 222)(sin22()Dy x dxdy =+⎰⎰………………………………………………3分2130d d πθρρ=⎰⎰ ………………………………………………5分2π= ……………………………………………………………7分四．(本题满分8分）求幂级数2ln nn x n ∞=∑的收敛域.解: 收敛半径 1ln(1)lim ||lim 1ln n n n n a n R a n→∞→∞++===………………………3分 当1x =时,得级数21ln n n ∞=∑, 因11ln n n >,而21n n ∞=∑发散,所以21ln n n∞=∑发散……………………………5分 当1x =-时,得交错级数2(1)ln n n n∞=-∑,因1lim 0ln n n →∞=,且11(2,,)ln ln(1)n n n >=+ ,所以2(1)ln nn n ∞=-∑收敛 ……7分所求收敛域为[1,1)-……………………………………………………8分五．(本题满分6分） 求微分方程dy y xdx x y=+的通解. 解: 令y ux =,则dy duu x dx dx =+………………………………………2分 原方程化为 1du u x u dx u +=+………………………………………3分 分离变量得 1udu dx x =……………………………………………4分两边积分得 21ln ||2u x C =+………………………………………5分yu x=回代得 222(ln ||)y x x C =+ …………………………………6分六．（本题满分8分）某厂家生产两种产品I 和II ，出售单价分别为10元与9元，生产x 单位的产品I 与生产y 单位的产品II 的总费用是：22400230.01(33)x y x xy y +++++（元）假定销售量等于生产量.求取得最大利润时，两种产品的产量各多少？ 解: 利润函数为(,)(109)L x y x y =+-22[400230.01(33)]x y x xy y +++++ 22860.01(33)400x y x xy y =+-++-………………3分由80.01(6)060.01(6)0x y L x y L x y =-+=⎧⎨=-+=⎩……………………………………………5分得驻点(120,80)…………………………………………………………7分 因驻点唯一,所以取得最大利润时，两种产品的产量分别为120x =,80y =…………………………………………………………8分七．（本题满分8分）设Ω是由曲面226z x y =--及z =所围成的有界闭区域,求Ω的体积.解: Ω在xOy 面上的投影区域为22:4D x y +≤……………………2分Ω的体积为 22260V dv d d dz πρρθρρ-Ω==⎰⎰⎰⎰⎰⎰…………………5分22200(6)d d πθρρρρ=--⎰⎰………………………6分43222[3]43ρρπρ=--323π=……………………8分八．(本题满分12分） （1）验证函数3693()13!6!9!(3)!nx x x x y x n =++++++ ，（x-∞<<+∞）满足微分方程 x y y y e '''++=；（2）利用（1）的结果求幂级数30(3)!nn x n ∞=∑的和函数.解: (1) 258312!5!8!(31)!n x x x x y n -'=+++++-47324!7!(32)!n x x x y x n -''=+++++-0!nx n x y y y e n ∞='''++==∑……………………………………4分(2) 0y y y '''++=的通解为212(cossin )22x Y e C x C x -=+………………………7分 设x y y y e '''++=的待定特解*x y Ae =,代入x y y y e '''++=,求得13A =,1*3x y e =……………………………………………9分x y y y e '''++=的通解为2121()3xx y e C x C x e -=++……………………10分 由(0)1y =,(0)0y '=,求得123C =,20C =幂级数30(3)!nn x n ∞=∑的和函数为22133x x y e x e -=+ ……………………………12分。
2006-2007学年A卷(you)
2006-2007学年第二学期A 试卷一，1，设22ln(),u y x y =-证明：211u u u x x y y y∂∂+=∂∂ 2，设(),x y z x y z e -++++=求22,z z x x∂∂∂∂ 二，曲面22()3z x y =-++在何处的切平面平行于平面226?x y z ++=求该处的切平面方程和法线方程，三，计算下列重积分。
1，(2),Dx y dxdy D +⎰⎰由0,0,3x y x y ==+=所围成。
2，2222,:4x y D edxdy D x y ++≤⎰⎰3．,zdv ΩΩ⎰⎰⎰由锥面z =与平面(0)z h h =>所围成。
四，计算下列曲线，曲面积分1，,:2cos ,2sin ,02L xyds L x t y t t π==≤≤⎰ 2．22(sin2)(2cos2100),:1,0x x L e y y dx e y dy L x y y -+-+=≥⎰从(1,0)A 到(1,0)B -3．利用高斯公式计算333,x dydz y dzdx z dxdy ∑++∑⎰⎰ 为球面2222x y z R ++=的外侧。
五，1，判别了下列级数是否收敛，若收敛，是条件收敛还是绝对收敛？（1）1(1)3n n n n ∞=-∑ （2）11ln (1)n n n n∞-=-∑ 2，将21()2f x x x =--展成x 的幂级数，并指出收敛区间。
3，将()(0)f x x x π=≤≤展开成余弦级数。
六，解下列微分方程1， 求21dy x dx xy-=满足1|x y =的特解。
2， 求23()(1)0xx y dx x dy ++++=的通解，。
3， 求244x y y y e -'''++=的通解。
七，设0,(1,2,.....)n a n >=1。
证明：若1n n a∞=∑收敛，则1n ∞=∑2，上述命题的逆命题是否成立？证明你的结论或给出反例。
大学高等数学期末考试题A卷(答案)
广东海洋大学2006 —— 2007 学年第 二学期《高等数学》试题答案（A 卷）一、填空题。
（每小题3分，共24分） 1.曲线2x y =与直线xy 2= 所围成的平面图形面积为A= 34；2.设向量{}2,3,1-=a，{}2,2,1-=b，则a·b= -3 ；3. 函数221yx z--=的定义域为 }1),({22≤+y x y x ；4.过点(3, 0, -1)且与平面3x -7y +5z -12=0平行的平面方程为： 3x -7y +5z -4=0 ；5.设函数x y Z cos =，则yx Z ∂∂∂2= -sinx ；6.改变累次积分I=⎰⎰102),(xx dy y x f dx 的次序为I = ⎰⎰10),(X yy d y x f dy ；7. 设曲线方程为⎩⎨⎧=+-=++0380422222z y x z y x ，该曲线在Oxy 面上的投影方程为： ⎩⎨⎧==+0042z y x .8. 写出函数x x f sin )(=的幂级数展开式，并注明收敛域：x sin = )(,)!12()1(!5!312153R x n xxxx n n ∈+--+-+---二、选择题。
（每小题3分，共15分）1.函数z f x y =(,)在点(,)x y 00处连续是它在该点偏导数存在的（ D ）(A)必要而非充分条件 (B)充分而非必要条件(C)充分必要条件 (D)既非充分又非必要条件 2.下列方程中，通解为12e e x x y C C x =+的微分方程是（ A ）． (A) 02=+'-''y y y (B) ''+'+=y y y 21； (C) '+=y y 0 (D) '=y y ． 3. 设函数),(v x f Z=，),(y x v ϕ=，其中ϕ,f 都有一阶连续偏导数，则xZ ∂∂等于（ B ）班级：姓名：学号：试题共 页加白纸张密封线(A)xf ∂∂ ;(B)vf xf ∂∂+∂∂·x∂∂ϕ ; (C)xxf ∂∂+∂∂ϕ ; (D)xf ∂∂·x∂∂ϕ4.设函数),(y x f Z=在点（1，2）处有)2,1(='x f ，)2,1(='y f ，且1)2,1(="xx f ，0)2,1(="xy f ，2)2,1(="yy f ，则下列结论正确的是（ D ）（A ）)2,1(f 不是极大值； （B ）)2,1(f 不是极小值； （C ）)2,1(f 是极大值； （D ）)2,1(f 是极小值。
天津外国语学院 06-07(2)高等数学
天津外国语学院基础课教学部2006--2007学年第二学期高等数学（一）期末考试试卷 (A 卷)一、 填空：（本题15分，每题3分）1. 已知4,r r = 与u 的夹角是,3π则Pr uj r = 。
2.函数22(,)(6)(4)f x y x x y y =--的极大值是 。
3.交换二重积分的积分次序ln 1(,)exdx f x y dy =⎰⎰。
4.级数21(1)n n n ∞==-∑ 。
5.已知ln x y x =是微分方程()y yy x xϕ'=+的解，则()y x ϕ的表达式是二、单项选择题：（本题15分，每小题3分）1．设平面方程为0,Bx Cz D ++=且,,0,B C D ≠则平面（ ）. （A ）平行于x 轴；（B ）平行于y 轴； （C ）经过y 轴； （D ）垂直于y 轴.2.函数(,)f x y 在点00(,)x y 处连续，两个偏导数0000(,),(,)x y f x y f x y 存在是(,)f x y 在该点可微的（ ） （A ）充分但不必要条件 （B ）必要但不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件3．设22(),1,2,3,ix y i D I e d i σ-+==⎰⎰其中2221{(,)},D x y x y R =+≤2222{(,)2},D x y x y R =+≤3{(,),},D x y x R y R =≤≤下列结论正确的是（ ）（A ）123I I I <<； （B ）231I I I <<； （C ）132I I I <<； （D ）321I I I <<。
4. 下列级数中，收敛的是（ ）（A ）115()4n n -∞=∑； （B ）114()5n n -∞=∑；（C ）1(1)15(1)()4n n n -∞-=-∑； （D ）1154()45n n -∞=+∑。
2006-2007年高数期末试卷(下A)
高等数学（下）（A 卷）一、填空题（每题2分，共20分）1、 xyxy y x +-→→93lim=__________________.2、 微分方程03'2''=--y y y 的通解为 .3、 设⎰⎰=x xdy y x f dx I 220),(，交换积分次序后，=I ____________________.4、 曲面22y x z +=在点（1，1，2）处的切平面方程为 _________________.5、 级数∑∞=+1)1(1n n n 的和为_____________.6、 ⎰+Lds y x )(=_____________,其中L 为连接)0,1(及)1,0(两点的直线段.7、 函数)ln(222z y x u ++=在点Ｍ（１，２，－２）处的梯度=M gradu | ______.8、 函数yxez 2=在点)0,1(P 处沿从点)0,1(P 到点)1,2(-Q 的方向的方向导数为_________.9、 函数x ye z =的全微分=dz ___________________________.10、)(x f 是以2π为周期的周期函数，其在[)ππ,-上的表达式为x x f =)(，设)(x f 的Fourier 级数的和函数为s(x)，则 =)(2πs ______,=)(πs ________√ √二、计算题 （每题8分，共64分）1. 设yz zx ln=，求xz ∂∂，yz ∂∂2. 求曲线2,1,1t z tt y tt x =+=+=在对应于1=t 的点处的切线及法平面方程.3. 计算D d yx D,22⎰⎰σ是由直线x y =、2=x 及曲线1=xy 所围成的闭区域.4. 计算⎰-+++Lx x dy x y e dx y y e )cos ()sin (π，其中L 是下半圆周9)4(22=+-y x 逆时针方向的封闭曲线.5. 求∑∞=1n nnx的收敛域与和函数.6. 求微分方程25)1(12+=+-x x y dxdy 的通解.7. 将21)(2-+=x x x f 展成x 的幂级数，并求收敛域8. 计算⎰⎰∑++=dxdy z dzdx y dydz x I 222，其中Σ是)0(222a z z yx ≤≤=+的外侧.三、确定常数λ，使得在右半平面0>x 上，⎰+-+Ldy y x x dx y x xy λλ)()(224224与积分路径无关. (8分)四、 求表面积为2a 而体积最大的长方体的体积.（8分）。
2007年高考.全国Ⅱ卷.理科数学试题及解答
2007年普通高等学校招生全国统一考试试题卷理科数学(必修+选修II)注意事项:1． 本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.共4页,总分150分考试时间120分钟. 2． 答题前，考生须将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在本试题卷指定的位置上。
3． 选择题的每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上的对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上。
4． 非选择题必须使用0.5毫米的黑色字迹的签字笔在答题卡上书写，字体工整，笔迹清楚。
5． 非选择题必须按照题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，超出答题区域或在其它题的答题区域内书写的答案无效；在草稿纸、本试题卷上答题无效。
6． 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷（选择题）本卷共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 P （A+B ）=P （A ）+P （B ） 如果事件A 、B 相互独立，那么 P （A ·B ）=P （A ）·P （B ） 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率P n (k)=C knP k (1－P)n －k一．选择题 1. sin2100 =(A)23 (B) 23-(C)21(D) 21-2.函数f(x)=|sinx|的一个单调递增区间是 (A)⎪⎭⎫⎝⎛-4,4ππ (B) ⎪⎭⎫⎝⎛43,4ππ(C) ⎪⎭⎫ ⎝⎛23,ππ (D) ⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ2,233.设复数z 满足i z2i1=+，则z = (A) -2+i(B) -2-i(C) 2-i(D) 2+i4.以下四个数中的最大者是 (A) (ln2)2(B) ln(ln2)(C) ln 2(D) ln25.在∆ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD =2DB ，=CB CA 31λ+,则λ= (A)32 (B)31 (C)31-(D) 32-球的表面积公式S=42R π 其中R 表示球的半径，球的体积公式 V=334Rπ，其中R 表示球的半径6.不等式:04x 1x 2>--的解集为 (A)( -2, 1) (B) ( 2, +∞)(C) ( -2, 1)∪ ( 2, +∞)(D) ( -∞, -2)∪ ( 1, +∞)7.已知正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的侧棱长与底面边长相等，则AB 1与侧面ACC 1A 1所成角的正弦等于(A)46(B)410 (C)22 (D) 238．已知曲线3lnx 4x y 2-=的一条切线的斜率为21,则切点的横坐标为 (A)3 (B) 2 (C) 1 (D) 219．把函数y =e x 的图象按向量a =(2,3)平移，得到y =f (x )的图象，则f (x )=(A) e x -3+2 (B) e x +3-2 (C) e x -2+3 (D) e x +2-310.从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有(A)40种 (B) 60种 (C) 100种 (D) 120种11．设F 1，F 2分别是双曲线1by a x 2222=-的左、右焦点。
2007.7微积分下(06级)期末试卷a
上海金融学院2006~20 07学年度，第二学期，代码：13440079 《__高等数学（二）》课程期末考试试卷A本试卷系A卷，采用闭卷方式，集中考试考试时只能使用简单计算器(无存储功能)。
（请将横线上不需要的文字用红笔划去）交教务处时间: 年月日送印时间: 年月日试题内容分布命题教师：刘煦室主任签章：________ 系、部主任签章：________上 海 金 融 学 院2006--2007 学年度 第 二学期《高等数学（二）》课程 代码：13440079__________ 专业 _________ 班 姓名 __________ 学号 _______（集中考试 考试形式：闭卷 考试用时: 120 分钟）试 题 纸 一、选择题（2⨯5=10分）1、定积分定义i ba ni i x f dx x f ∆=⎰∑=→)(lim )(1ξλ，说明（ ）A ],[b a 必须n 等分，i ξ是],[1i i x x -端点。
B ],[b a 可任意分法，i ξ必须是],[1i i x x -端点。
C ],[b a 可任意分法，0max →∆=i x λ，i ξ可在],[1i i x x -内任取。
D ],[b a 必须等分，0max →∆=i x λ，i ξ可在],[1i i x x -内任取。
2．若级数∑∞=1n n u 收敛，则下列命题（）正确（其中=n s ∑=ni i u 1）。
A.;0lim =∞→n n s B.n n s ∞→lim 存在；C.n n s ∞→lim 可能不存在； D.{}n s 为单调数列。
3、),(y x f z =在()00,y x 点可微是二元函数),(y x f z =在点()00,y x 处的两个偏导数()00,y x f x '，()00,y x f y '存在的（）. A ．充分必要条件；B. 非充分非必要条件； C ．充分非必要条件； D. 必要非充分条件4、设),(y x f z =连续，且()σd y x f xy y x f D⎰⎰+=,),(，其中D 是由1,,02===x x y y 所围成的区域，则=),(y x f （）.A ．xy ；B.2xy ；C ．81+xy ； D. xy+15、方程x x y sin +=''的通解是( )..cos 2.sin 6.;sin 6.;sin 6.22133213C x xy D C x C x x y C Cx x x y B C x C x x y A +-='+++=+-=++-= 二、填空题（2⨯5=10分）1、设)(x f 在],[b a 上连续，当20a b -=时，()2baf x dx ⎰ _________.2、当P_________时，级数211pn n∞=∑是收敛的. 3、设级数∑∞=1n n u 的部分和为12-=n ns n ，则级数∑∞=1n n u __________（填收敛或发散）.4、xdy xdx y dz sin cos +=，则=∂∂xz5、设二重积分⎰⎰=2),(2e ey dx y x f dy I ,交换积分次序,则=I .三、计算下列各题（4⨯5=20分）1、21cos 02limxdte xt x ⎰-→ 2、;ln 121⎰+e xx dx3、⎰+411dx x4、()⎰-2211dx x四、解答题（4⨯5=20分） 1、判别级数()∑∞=-+-11131n n n n的敛散性. 2、判别级数()∑∞=--11231n nn 的敛散性 3、求幂级数⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅=∑∞=nnn n n n x x x n x 222212220的收敛区间.4、将函数()()()211--=x x x f 在展开成x 的幂级数，并求其收敛域.五、解答题（5⨯6=30分） 1、求函数xy e x z ⋅=2sin 的全微分。
北京科技大学《高等数学》2006-2007学年第二学期期末试卷A卷
北京科技大学 2006 --2007 学年第二学期高等数学 试卷 （A ）院(系) 班级 学号 姓名试卷卷面成绩占课程考核成绩80 % 平时成绩 占 20 %课程考核 成绩 题号 一二 三 四 五 六 七 小计 得分阅卷审核一、填空题（15 分）1．曲面z =+ y 2 在点(2,1, 3) 的切平面方程为2．交换积分次序 dx ∫0ln x f (x , y )dy =3．设l 是球面 x 2 + y 2 + z 2 = R 2 与平面 x + y + z = 0 的交线，则(x 2 + y 2 + z 2 )dl = 4．级数x 2n −1 的收敛半径是5．求微分方程 y "+ y '− 2y = 0 的通解 y =二、单选题（15 分）1．设u = f (x + y , xz ) 有二阶连续偏导数，则= （ ）（ A ） f '2+ (x + z )f 12'' + xzf '2'2 （B ） x f 12''+ xzf '2'2（ C ） f '2 + xf 12''+ xzf '2'2 （D ） x zf '2'2得 分得 分自 觉 遵 守 考 试 规 则， 诚 信 考 试， 绝 不 作 弊装 订 线 内 不 得 答 题2． 若 f (x , y )dxdy = ∫d θcos θf (r cos θ, r sin θ)rdr ， 其中a > 0 为常数， 则积分区域 D 是D 2（ ）（ A ） x 2 + y 2 ≤ a 2 （B ） x 2 + y 2 ≤ a 2 , x > 0 （ C ） x 2 + y 2 ≤ ax （D ） x 2 + y 2 ≤ ay3． 设∑ 为球面 x 2 + y 2 + z 2 = 1， ∑1 为上半球面 z = ， D xy 为曲面 ∑ 在 xoy 平面上的投影区域，则下列等式成立的是（ ） （ A ） ∫ zdS = 2∫ zdS （B ）∫ zdS = 0 ∑ ∑1 ∑（ C ） ∫ z 2 dS = 2∫ z 2dxdy （D ）∫ z 2dS = 2∫ z 2dxdy ∑ ∑1 ∑ D xy4．设幂级数a n (x − 1)n 在 x = 2 处条件收敛，则该级数在x = 处是（ ）（ A ） 条件收敛 （B ）绝对收敛 （ C ） 发散 （D ）敛散性不一定5． 设线性无关的函数 y 1 , y 2 , y 3 都是二阶非齐次线性方程 y "+ p (x )y '+ q (x )y = f (x ) 的解， c 1 , c 2 为任意常数，则该方程的通解是（ ）（ A ） c 1y 1 + c 2 y 2 + y 3 （B ） c 1y 1 + c 2 y 2 + (c 1 + c 2 )y 3 （ C ） c 1y 1 + c 2 y 2 − (1 − c 1 − c 2 )y 3 （D ） c 1y 1 + c 2 y 2 + (1 − c 1 − c 2 )y 31．（8 分） 设u = x 2 + 2y 2 + 3z 2 + xy + 3x − 2y − 6z ， 求点 P 0 (1,1,1) 处从点 P 0 到点 P 1 (3, 0, − 1) 方 向的方向导数P 0 和在点 P 0 处的梯度 gradu (1,1,1)2．（8 分）计算 I = x 2 + y 2 − 4 dxdy , 其中 D : x 2 + y 2 ≤ 9D3．（8 分） 计算∫∫ (x2+ y 2 )dv ， 其中Ω 是由曲线绕 z 轴旋转一周而成的曲面与两平面 z = 2， z = 8 所围成的区域。
河北科技大学2006—2007高数试卷A
河北科技大学2006——2007学年第二学期《高等数学》（下册）期末考试（A ）卷一. 选择题（每小题3分，共15分）1.二元函数(,)f x y 在点00(,)x y 处的两个偏导数(,)x f x y '，(,)y f x y '存在是(,)f x y 在点 00(,)x y 处连续的 【 】A.充分且必要条件B.充分但非必要条件C. 必要但非充分条件D.既非必要又非充分条件2.设3xy z =，而()y f x =且f 可导，则dz dx = 【 】 A.3[()]ln3xy y xf x '+ B.3[()]ln3xy x yf x '+ C.3[()]ln 3xy y xf x '+ D.3[()]ln 3xyx yf x '+ 3. 下列方程为全微分方程的是 【 】A.220x dx y xdy +=B.2330yx dx x dy +=C.20xydx y xdy +=D.2220x ydx y x dy +=4.曲线232,,x t y t z t t =⎧⎪=⎨⎪=+⎩上点0(2,1,2)M 处的切线方程是 【 】 A.2212z x y --=-= B.1222y x z --==- C.2122x y z -=-=- D.212x y z -=-=- 5.若幂级数1(1)n n n a x ∞=-∑在1x =-处条件收敛，则数项级数1n n a ∞=∑为 【 】A.发散B.条件收敛C. 绝对收敛D.敛散性不定二. 填空题（每小题3分，共15分）1. 设y x z x y =+，则 z x∂=∂ . 2. 设sin xy z e =，则dz = .3. 设L 是圆周224x y +=，则=⎰ .4. 设22u xy z =-，则函数u 在点(2,1,1)-处的方向导数的最大值为 .5. 设21,0,()1,0,x f x x x ππ--<≤⎧=⎨+<≤⎩则()f x 的以2π为周期的傅里叶级数在x π=处收敛于_________ _.三. 计算题：（每小题6分，共18分）1. 设22(,)xy u f x y e =-，其中f 具有一阶连续偏导数，求u x ∂∂，u y∂∂. 2. （1）交换积分()00()a y m a x dy e f x dx -⎰⎰的次序； （2）证明：()()000()()()a y am a x m a x dy e f x dx a x e f x dx --=-⎰⎰⎰. 3. 计算抛物面221()z x y =-+位于xoy 平面上面的部分与xoy 平面围成的立体体积.四. 计算题：（每小题7分，共21分）1. 计算22()I x y dv Ω=+⎰⎰⎰，其中Ω是由曲面222x y z +=及平面2z =所围成的有界闭区域.2. 计算曲线积分33(1)Ly dx x dy -+⎰，其中L 为上半圆周224x y +=，（0y >），方向为逆时针方向.3. 计算曲面积分2232()(2)x z d y d z x y z d z d x x y y z d x d y ∑+-++⎰⎰ ，其中∑为上半球面z =0z =所围立体表面的外侧.五. 计算题：（每小题8分，共24分）1.判别级数21(!)n n n n ∞=∑的敛散性，并求极限2lim (!)nn n n →∞. 2.求幂级数113n n n n x ∞-=∑的收敛区间及和函数()s x ，并求13n n n ∞=∑的和. 3.求微分方程021(0)xy y ydx x '++=≥⎰满足初始条件(0)1(0)1y y =⎧⎨'=-⎩的特解. 六. 综合题：（7分）设1y x =，22x y x e =+，23(1)x y x e =+是二阶常系数线性非齐次微分方程的特解，求 该微分方程的通解及该微分方程.。
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广州大学2006-2007学年第二学期考试卷 课 程：高等数学（72学时） 考 试 形 式： 闭卷 考试
一．填空题（每空3分，本大题满分15分）
1．=→x
x x 1sin lim 0 ______。
2．曲线12+=x y 在点（1，2）处的切线方程是_______ _____。
3．函数1--=x e y x 的单调增区间为____________。
4．若⎰+=x c x dt t f 02sin )(，则()f x =_________。
5．射击二次，事件i A 表示第i 次命中目标),2,1(=i 则事件“至少命中一次” 可表示为______________________。
二．选择题 (每小题3分, 本大题满分15分) 6. 当0→x 时,x sin 是x 的( )无穷小.
(A) 高阶; (B) 低阶; (C) 同阶; (D) 等价.
7.函数)(x f 在[,]a b 上可导是)(x f 在[,]a b 上连续的( ).
(A)充分条件; (B)必要条件;
(C)充要条件; (D)无关条件。
学
院
专
业
班
级 姓
名
学
号
8．='⎰dt t F x
a )( ( ).
(A) ()F x ; (B) ()()F x F a -; (C) ()dF x ; (D) ()F x C +.
9. =-+∞⎰dx e x 0
( ). (A)1; (B)2;
(C)3; (D)4.
10. 随机变量X 的分布律为{}21k
P k ξ==，6,,1Λ=k ，
则
=≤≤)21(ξP ( ).
（A ）213
（B ）215 （C ）216 （D ）217
三．解答下列各题（每小题5分，本大题满分10分）
11．计算极限 x
x x x x 232lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→
12．计算极限 x e e x
x x sin lim 0-→-
四．解答下列各题（每小题6分，本大题满分12分）
13．x x y ln 22+=，求dy 及y ''。
14．求由方程 0cos =-xy xy 所确定的隐函数的导数
dx
dy 。
五．计算下列积分（每小题5分，本大题满分15分）
15．⎰xdx arcsin 。
16．
xdx x sin cos 05⎰π。
17．.
dx x x ⎰++40122。
六．解答下列各题（每小题6分，本大题满分18分）
18．一口袋装有9只球, 其中有3只白球, 6只红球. 从袋中任取一只球后, 放回去, 再从中任取一只球. 求下列事件概率
1) 取出两只球都是白球的概率)(A P ;
2) 取出一只白球, 一只红球的概率)(B P 。
19. 工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，已知甲、乙、丙三个车间的产量分别占总产量的20％，30％ ，50% , 每个车间的次品率分别为5%, 4%，2%. 现从全厂产品中任取一件产品，求取到的为正品的概率。
20. 设随机变量X 的概率密度函数⎩⎨
⎧≤≤=其它
,010,2)(x x x f 求 （1）E （X ），
（2）D （X ）。
七．应用题（第一小题7分，第二小题8分，本大题满分15分）
21．求593)(2
3+--=x x x x f 的极值。
22．求2x y =与2
y x =围成的面积S 。