校高三数学上学期第2次周考试题 文-人教版高三全册数学试题

四川省攀枝花市第十五中学校2021届高三数学上学期第2次周考试题
文
(试卷满分150分,时间120分钟)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

（在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）
1．设全集{}0U x x =>，12log 0M x x ⎧⎫⎪⎪
=>⎨⎬⎪⎪⎩⎭
，则U M =（ ）
A ．(),1-∞
B ．(]0,1
C ．()1,+∞
D ．[)1,+∞
2．已知复数112i z =-，121z z ⋅=，则复数2z 的虚部为（ ） A ．
2
5
B ．25
-
C ．
15
D ．15
-
3．已知命题p ：复数2z i =-的虚部是i -，命题q ：210ax ax ++>恒成立，则()0,4a ∈.下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧
B ．p q ∨
C ．p q ⌝∧
D ．p q ⌝∧⌝
4．函数2sin ()x
f x x
=的大致图象为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5．函数()a
f x x x
=+在1x =处的切线方程为20x y b -+=，则a b +=（ ） A ．3-
B ．1-
C ．0
D ．1
6．若函数()y f x =同时具有下列三个性质：（1）最小正周期为π；（2）图象关于直线3
x π
=对称；（3）在区间,63ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣
⎦上是增函数．则()y f x =的解析式可以是 ( ) A ．sin()26x y π=+
B ．cos(2)3
y x π=+C ．cos(2)6y x π=-
D ．sin(2)6
y x π
=-
7．在等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，1
22
CD DA AB ===，则AC AB ⋅=（ ） A 3
B ．3
C ．23
D ．12
8．设等差数列{}n a 的前n 项和n S ，且1310670,0,0a a a a a >+><，则满足0n S >的最大自然数n 的值为（ ）A ．6 B ．7
C ．12
D ．13
9．已知数列{}n a 满足11n n a a λ+=+，且11a =，23a =，则数列{}n a 前6项的和为（ ）. A ．115
B ．118
C ．120
D ．128
10．已知一个几何体的三视图如图所示，则其体积为（） A ．12π B ．16π C ．
323
π D ．403π
11．已知定义域为R 的奇函数()f x 满足()()210f x f x -++=，且当
()0,3x ∈时，()()123f f ==-则()()()()0122020f f f f +++⋅⋅⋅+=
（ ） A ．0 B 3 C ．3 D ．312．已知函数()2
2,0
()ln 1,0
x x x f x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩，若|()|f x ax ≥，则a 的取值范围是（ ）
A ．(,0]-∞
B ．(,1]-∞
C ．[2,1]-
D ．[2,0]-
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13．已知向量()1,2m =，()2,0n =，则m 在n 方向上的投影为______. 14．已知α为锐角，且1
cos()63
π
α+
=，则cos α=_______. 15．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()2x
f x =，那么()2lo
g 3f 的值为_____.
16．已知函数()sin x
f x e ax x =-+，以下关于()f x 的结论①当0a =时，()f x 在R 上无零点；
②当0a =时，()f x 在,2π⎛⎫
-
+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增；③当1a =时，()f x 在R 上有无数个极值点；④当[]1,a e ∈时，()0f x >在R 上恒成立.其中正确的结论是_____. 三、解答题
17．（本小题满分12分）如图，在ABC ∆中，已知30B ∠=︒，D 是BC 边上的一点，5AD =，7AC =，3DC =.（1）求ADC ∆的面积； （2）求边AB 的长.
18．（本小题满分12分）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且430S =，2a ，4a 的等差中项为10.
（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求212231
222n
n n n T S S S S S S +=++⋅⋅⋅+.
19．（本小题满分12分）如图所示，在三棱柱111-ABC A B C 中，侧棱1AA ⊥底面ABC ，
AB BC ⊥，D 为AC 的中点，12,3AA AB BC ＝＝＝.（1）求证：1AB //平面1BC D ； （2）求1AB 与BD 所成角的余弦值．
20．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1,0Q ，直线:2l x =.若动点P 在直线l 上的射影为R ，且2PR PQ =
，设点P 的轨迹为C .（1）求C 的轨迹方程；（2）
设直线y x n =+与曲线C 相交与A 、B 两点，试探究曲线C 上是否存在点M ，使得四边形
MAOB 为平行四边形，若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.
21．（本小题满分12分）已知函数(),x
f x e kx x R =-∈.（1）若k e =，试确定函数()f x 的
单调区间；（2）若0k >，且对于任意x ∈R ，()0f x >恒成立，试确定实数k 的取值范围.
请考生在（22），（23）二题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。

做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑
22.（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为3344
x t
y t =-⎧⎨
=-⎩（t 为参
数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为10cos ρθ=.
（1）设直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，求MN ；（2）若点(),P x y 为曲线C 上任意点，
求x 的取值范围.
23．（本小题满分10分）已知函数()1=-f x x .（1）解不等式()(1)4f x f x ++≥； （2）当0x ≠，x ∈R 时，证明：1
()()2f x f x
-+≥.
答案
D ．B.D.B.A.D.D.C.C 。

D ．B.D.
13．1. 14322
+．13- 16．②③④
17．详解：（1）在ADC ∆中，由余弦定理得
2222225371
cos 22532
AD DC AC ADC AD DC +-+-∠===-⋅⨯⨯，
∵ADC ∠为三角形的内角，120ADC ∴∠=︒， 3
sin 2
ADC ∴∠=
， 113153
sin 5322ADC S AD DC ADC ∆∴=
⋅⋅∠=⨯⨯=
（2）在ABD ∆中，60ADB ∠=︒，由正弦定理得：sin sin AB AD ADB B
=∠∴53
3
12
AB == 18．解】（1）2a ，4a 的等差中项为
10,
24
20a a ,()()23143241130302020a q q q S a a a q q ⎧+++==⎧⎪
⇒⎨⎨+=+=⎩⎪⎩，
解得12a =，2q
,1222n n n a -∴=⋅=;
（2）由（1）可知()()21222112
n n n
S -==--，
()()1112211142121221221n n n n n n n n S S +++⎛⎫
∴==- ⎪⋅---⋅-⎝⎭
， 2231111111142121212121n n n
T +⎡⎤
⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=⋅-+-+⋅⋅⋅+-⎢⎥
⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ()
111111122211421421221n n n n n ++++--⎛⎫=⋅-=⋅= ⎪---⎝⎭. 19．解】(1)证明：如图，连接1B C ，设1B C 与1BC 相交于点O ，连接OD .
∵四边形11BCC B 是平行四边形．∴点O 为1B C 的中点． ∵D 为AC 的中点，∴OD 为1AB C ∆的中位线，
1//OD AB ∴ OD ⊂平面1BC D ，1AB ⊄平面1BC D ， 1//AB ∴平面1BC D .
（2）由（1）可知，ODB ∠为1AB 与BD 所成的角或其补角 在Rt ABC ∆中，D 为AC 的中点，
则22AC BD =
=
同理可得，2
OB = 在OBD ∆
中，222cos 2OD BD OB ODB OD BD +-∠==⋅1AB ∴与BD
. 20．解】（1）设()P x y ，，由2PR PQ =
得
2x -=2
212
x y +=. （2）设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,M x y ，联立22
12
y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()22
220x x n ++-=， 即2234220x nx n ++-=，所以1243n x x +=-
，1212223
n
y y x x n +=++=.假设存在点M 使得四边形MAOB 为平行四边形，则OM OA OB =+，所以()()()331122,,,x y x y x y =+，
所以31243n x x x =+=-，31223n y y y =+=.由点M 在曲线C 上得2
2
3312
x y +=，代入得
2284199n n +=，解得2
34n
=，2
n =±
. 所以当2
n =±
时，曲线C 上存在点M 使得四边形MAOB 为平行四边形，此时点M 的坐
标为⎛ ⎝⎭
或者
M
⎝
⎭
，当n ≠，曲线C 上不存在点M 使得四边形MAOB 为平行四边形.
21．解：（1）由k e =得()x
f x e ex =-，所以()x f x e e '=-.由()'
0f
x >得1x >，故()
f x 的单调递增区间是()1,+∞，由()'
0f x <得1x <，故()f x 的单调递减区间是(),1-∞. （2）
由()()f
x f x -=可知()f x 是偶函数.于是等价于()0f x >对任意0x ≥成立.由
()0x f x e k ='-=得ln x k =.
①当(]
0,1k ∈时，()()100x
f x e k k x =->-≥≥'，此时()f x 在[)0,+∞上单调递增. 故()()010f x f ≥=>，符合题意.②当()1,k ∈+∞时，ln 0k >.当x 变化时()'
f x ，()
f x 的变化如下表：
由此可得，在[)0,+∞上，()()ln ln f x f k k k k ≥=-依题意，ln 0k k k ->，又
1,1k k e >∴<<.
综合①②得，实数k 的取值范围是0k e <<.也可以分离用最值研究.
二选一。

22．【详解】（1）直线l 的参数方程为3344x t
y t =-⎧⎨=-⎩
（t 为参数），转换为直角坐标方
程为：430x y +=，
曲线C 的极坐标方程为2
10cos ,10cos 0ρθρρθ=-=，转换为直角坐标方程为
()
2
2525x y -+=.
所以圆心()5,0到直线430x y -=的距离4d =
=，所以6MN ==.
（2）圆的直角坐标方程转换为参数方程为55cos 5sin x y θ
θ=+⎧⎨=⎩
（θ为参数），则
()55cos sin ,5P θθ+，
所以55cos 10sin 56y x πθθθ⎛
⎫
=+=++=+
+ ⎪⎝
⎭，当sin 16πθ⎛
⎫+= ⎪⎝⎭
时，max 15y =，
当sin 16πθ⎛
⎫
+
=- ⎪⎝
⎭
时，min 5y =-，所以x 的取值范围为[]5,15-.
23．解】（1）由()(1)4f x f x ++≥ 得14x x -+≥ ，当1x >时，得214x -≥ ，所以5
2
x ≥； 当01x ≤≤时，得14≥ ，所以x ∈∅； 当0x <时，得124x -≥ ，所以3
2
x ≤-； 综上，此不等式的解集为：35,,22
⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝
⎦⎣⎭
；
（2）由1()()f x f x
-+= ， 由绝对值不等式得1111x x x x
++
-≥+ ， 又因为1
,x x 同号，所以
11
x x x x
+
=+ ， 由基本不等式得：12x x +≥ ，当且仅当1x =时，等号成立， 所以1
()()2f x f x
-+≥ .。