双流中学高三9月月考试题

高中数学学习材料
金戈铁骑整理制作
双流中学2015-2016学年高三9月月考试题
文科数学
第I 卷
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合(){}
|80,M x x x x R =-<∈,{1,2,3,4,5,6,7,8}N =----,则M N =I （ ▲ ）
A.(0,8)
B. {1,2,3,4,5,6,7,8}----
C.{2,4,6,8}----
D.{1,3,5,7}
2．已知复数11z i =+，232z i =-，则复数
2
1
z z =（ ▲ ） A.1522i -- B.1522i -+ C.1522i - D. 1522
i +
3．函数()()sin 3cos f x x x x R =+∈的（ ▲ ）
A ．最大值是2，周期是π
B ．最小值是2-，周期是2π
C ．最大值是2，周期是2π
D ．最小值是2-，周期是π 4．已知,a b R ∈，则a b >的充分不必要条件是（ ▲ ）
A.2
2
a b > B.1133a b
⎛⎫⎛⎫
< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
C.()lg 1a b ->
D.1b
a <
5．若tan 3θ=，则sin cos sin cos θθ
θθ
+=-（ ▲ ）
A.2+3
B.23--
C. 23-
D.23-+
否
开始 结束
输入n
是 输出T 1?
n <3S = log y x
=1
1T S
=
-
6．在边长为1的正方形ABCD 中，,E F 分别是边,BC DC 上的点，且14
BE BC =uur uuu r
，
DF CF =-uuu r uu u r ，则AE AF ⋅=uu u r uu u r
（ ▲ ）
A.14
B.12
C.3
4
D.1 7．直线1y kx =+与曲线3
y x ax b =++相切于点()1,3A ，则2a b +=（ ▲ ）
A ．1
B ．1-
C ．2
D ．2-
8．执行如右图的程序框图，若输入15n =，则输出T 的值为（ ▲ ） A ．1
2-
B ．
23
C ．3
D ．
34
9．已知某个几何体的三视图如右图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是（ ▲ ）
A ．3
83cm
B ．
343cm C ．3
23cm
D ．31
3cm
10．设函数22,
1()2,1
x x f x x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩,则不等式
()3f x ≤的解集是（ ▲ ） A.(]3-∞, B. (,3)-∞ C.(3+)∞， D.[3,)+∞
11．已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的半焦距为c ，直线l 过(,0)c ,(0,)b 两点，若直
线l 与双曲线的一条渐近线垂直，则双曲线的离心率为（ ▲ ）
A.51
2
- B.512+ C.51+ D.51-
12．若曲线2
1:C y x =与曲线()2:0x C y ae a =>至少存在两个交点，则实数a 的取值范围
是（ ▲ ）
A.28,e ⎡⎫+∞⎪⎢
⎣⎭
B.280e ⎛⎤ ⎥⎝⎦，
C.24,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
D.240e ⎛⎤ ⎥⎝⎦，
第II 卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．在单位圆2
2
1x y +=中（含边界）任取一点M ，则点M 落在第一象限的概率 是 ▲ ．
14．若x ,y 满足不等式组240300x y x y y +-≥⎧⎪
+-≤⎨⎪≥⎩
，则32z x y =+的
最大值是 ▲ ．
15．如右图所示，正方体''''ABCD A B C D -的棱长为a ，点P
是棱AD 上一点，且3
a
AP =，过三点',',B D P 的平面交底面
ABCD 于PQ ，Q 在棱AB 上，则PQ = ▲ ．
16．已知函数()2
sin 31
x f x x
=++，则
()()()()()32101f f f f f -+-+
-+++
()()23f f += ▲ ．
三、解答题:解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）
已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,公差2d =，10120S =.
（1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）若1
3
n a n b -=，求数列{}n b 的前n 项和为n T ．
18．（本小题满分12分）
为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校,,A B C 的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见下表（单位：人）：
高校
相关人数
抽取人数
A 18 x
B 36 2 C
54
y
(1) 求表中的x 和y ；
(2) 若从高校,B C 抽取的人中选2人进行专题发言，求这2人来自不同高校的概率.
19．（本小题满分12分）
已知如图：四边形ABCD 是矩形，BC ⊥平面ABE ,且2AE EB BC ===,点F 为CE 上一点，且BF ⊥平面ACE . (1)求证：//AE 平面BFD ； (2)求多面体ABCDE 的表面积.
E
F D C
B A P D'
C'
B'
A'D C
B
A
▲
▲
▲
20．（本小题满分12分）
如图，椭圆()2222:10x y C a b a b
+=>>的短轴长为2，点P 为上顶点，圆222
:O x y b
+=将椭圆C 的长轴三等分，直线
()4
:05
l y mx m =-≠与椭圆C 交于,A B 两点．
(1) 求椭圆C 的方程；
(2) 求证：ABP ∆为直角三角形，并
求出该三角形面积的最大值．
21．（本小题满分12分） 已知函数2
1()(2)2ln ()2
f x ax a x x a R =
-++∈. （1）若0a =，证明:()0f x <； （2）讨论函数()f x 零点的个数.
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，过圆O 外一点M 作它的一条切线，切点为A ，过
A 作直线AP OM ⊥于P ． (1)证明：2OA OM OP =⋅；
(2)N 为线段AP 上一点，直线NB ON ⊥且交圆O 于B 点，过B 点的切线交直线ON 于K .证明：090OKM ∠=．
23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知直线l 的参数方程是()()44x t
t a R y t a =⎧∈⎨
=+⎩
为参数，圆C 的极坐标方程为
4cos 4sin ρθθ=-．
(1) 将直线l 的参数方程化为普通方程，以及将圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程； (2) 若圆C 上有且仅有三个点到直线l 的距离为2，求实数a 的值．
K
B P
A
O M N
C
l
O P
B A
y
x ▲
▲
▲
▲
24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知不等式221x x a +-->．
(1)当0a =时，求不等式的解集；
(2)若不等式在区间[4,2]-内无解，求实数a 的取值范围.
参考答案
一．选择题
题号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案
D C B C A
C
A
C
B
A
B
D
二、填空题 13．14
14. 9 15.
23
a
16. 7
三、解答题
17．解：（1）由等差数列{}n a 得：101109
1021202
S a ⨯=+⨯=，从而13a =， 所以{}n a 的通项公式()()1131221n a a n d n n =+-=+-⨯=+；
(2)1
3
3n a n
n b -==，而1
1333
n n n n b b ++==，所以数列{}n b 是以13b =为首项，3q =为公比
的等比数列，所{}n b 的前n 项和为()
()
()113133=
31113
2
n n n
n a q T q -⨯-=
=
---. 18.解：（1）按照分层抽样原理，有2183654
x y
==，得1,3x y ==；
(2)记高校B 的两个人为,a b ，高校C 的三个人为,,x y z ，则从中任抽取2人的所有可能情况为：,,,,,,,,,ab ax ay az bx by bz xy xz yz ，共10种，而其中这2人来自不同高校有
,,,,,ax ay az bx by bz ，共6种，所以()63105
2P =
=人来自不同高校. 19．（1）证明：如图，记AC BD M =，连FM ，则M 为AC 的中点；
而BF ACE ⊥平面，所以BF CE ⊥，在BCE ∆中，
BE BC =，所以F 为CE 的中点； 从而FM 是ACE ∆的中位线，所以//FM AE ，再者：,FM DBF AE DBF ⊂⊄平面平面，所以//AE 平面
BFD ； (2)由BF ACE ⊥平面，所以AE BF ⊥；BC ⊥平面
ABE ，所以AE BC ⊥，所以AE BEC ⊥平面，所以
AE BE ⊥，所以ABE ∆为直角三角形，所以22AB =，而22,22CE DE ==，所以CDE ∆为正三角形.
所以多面体ABCDE 的表面积ABE BEC ADE EDC ABCD S S S S S S ∆∆∆∆=++++
E F
D C B A
M
▲
()
213
=223222226234224⨯⨯⨯+⨯+⨯=++. 20.解：（1）由题间知22,1
b b ==，因为圆O 将椭圆C 的长轴三等分，所以1
22,333
b a a b =⨯==.所以椭圆C 的方程为2219x y +=.
(2)由22451
9y mx x y ⎧
=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩
，消去y 得()272811+90525m x x --=，
设()()1122,,,A x y B x y ，则()()
121222
7281
,5192519m x x x x m m -+==++， 又()0,1P ，所以()()()()11221212,1,111PA PB x y x y x x y y ⋅=-⋅-=+--uu r uu r
()2121212121299981=55525x x mx mx x x m x x m x x ⎛
⎫⎛⎫+--=+-++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
()
()()
222
8197281
152********m m m m m -=+⋅-⋅+
++()
222
281816488181902519m m m m ---++⨯==+，
所以PA PB ⊥，从而PAB ∆为直角三角形； 设l 与y 轴的交点为K ，则40,5K ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭，95
PK =， 所以()12121122APB
S PK x x PK x x ∆=+=-()
2
121219425
x x x x =⨯⨯+-
()()2
22
1972814255192519m m m ⎡⎤-⎢⎥=⨯⨯-⨯++⎢⎥⎣⎦
2281251
2519m m +=⨯+， 令2251,1m x x +=≥，则281818127
161258169192925APB x S x x x x x
∆=⨯=≤=
-++⨯⋅
. 当且仅当169x x =，即43
x =1≥时取等号，所以APB ∆面积的最大值是27
8.
21.解:(1)证明:当0a =时,()22ln (0)f x x x x =-+>22(1)
()2x f x x x
-'=-+=，
列表:
max ()(1)20f x f ∴==-<max ()()0f x f x ≤<,即()0f x <；
x (0,1)
1
(1,)+∞
()f x ' +
-
()f x
递增
2-
递减
(2)2
()(2)(0)f x ax a x x
'=-++
>， 2(2)2(1)(2)
()(0)ax a x x ax f x x x x
-++--'==>，
讨论:0
1 当0a =时,由第(1)问可得函数()f x 没有零点；
02 当21a >,即02a <<时，令(1)(2)()0x ax f x x
--'=>得01x <<,或2x a >,
即函数()f x 的增区间为(0,1),2
(,)a +∞，
令(1)(2)()0x ax f x x
--'=<得21x a <<,即函数()f x 的减区间为2
(1,)a ，
而11
(1)(2)2ln12022
f a a a =-++=--<,
因为函数()f x 的减区间为2(1,)a ,所以2
()(1)0f f a <<，
又函数()f x 的增区间为(0,1),2
(,)a
+∞，所以当(0,1)x ∈时,()(1)0f x f <<，
所以当2(,)x a ∈+∞时,2
()()f x f a
>，x →+∞时，()f x →+∞，
所以函数()f x 在区间2(0,)a 没有零点,在区间2
(,)a
+∞有一个零点；
03 当2
1a
=,即2a =时,
2
(1)(2)(1)(22)2(1)()0x ax x x x f x x x x
-----'===≥恒成立，
即函数()f x 在(0,)+∞上递增而11
(1)222022
f a =--=-⨯-<，x →+∞时，
()f x →+∞，所以函数()f x 在区间(0,)+∞有一个零点；
04 当2
01a
<<,即2a >时,
令(1)(2)()0x ax f x x
--'=>得2
0x a <<,或1x >,即函数()f x 的增区间为
2(0,)a ,(1,)+∞令(1)(2)()0x ax f x x
--'=
<得21x a <<,即函数()f x 的减区间为2
(,1)a ， 因为2a >,所以2222
()22l n 22l n 10f a a a a
=--+<--+<，又x →+∞
时，()f x →+∞，
根据函数单调性可得函数()f x 在区间(0,1)没有零点,在区间(1,)+∞有一个零点；
05 当2
0a
<,即0a <时,
令(1)(2)
()0x ax f x x
--'=>得01x <<,即函数()f x 的增区间为(0,1)，
令(1)(2)
()0x ax f x x
--'=<得1x >,即函数()f x 的减区间为(1,)+∞，
0x →时，()f x →-∞，x →+∞时，()f x →-∞；
而114
(1)(2)2ln12222a f a a a --=-++=--=，
当4
(1)02a f --=>即4a <-时, 函数()f x 有两个零点；
当4
(1)02a f --==即4a =-时, 函数()f x 有一个零点；
当4
(1)02
a f --=<即40a -<<时, 函数()f x 没有零点.
综上，4a <-时, 函数()f x 有两个零点； 4a =-时, 函数()f x 有一个零点； 40a -<≤时, 函数()f x 没有零点； 0a >时, 函数()f x 有一个零点. 22．证明：（1）由MA 是圆O 的切线知:AM OA ⊥， 又∵AP OM ⊥；
∴在Rt OAM 中，由射影定理知：2OA OM OP =⋅；
（2）证明：由BK 是圆O 的切线知：BN OK ⊥．同（1）2OB ON OK =⋅， 由OB OA =得：OM OP ON OK ⋅=⋅，
即:OP OK ON OM
=
．又NOP MOK ∠=∠，则NOP MOK V :V ， ∴090OKM OPN ∠=∠=．
(用M P N K 、、、四点共圆来证明也得分) 23．解：(1)直线l 的参数方程是(
)()44x t
t a R y t a
=⎧∈⎨=+⎩为参数得0x y a -+=即为直线l 的普通方程；
将4cos 4sin ρθθ=-等号左右两边同乘以ρ得：2
4c o s 4s i n
ρρθρθ=-，再由222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==得22440x y x y +-+=()()22
228x y -++=即为
圆C 的直角坐标方程；
（2）因为圆C 的半径为22，故当圆心到直线l 的距离为2时，圆C 上有且仅有三个点到直线l 的距离为2；
所以圆心()2,2-到直线0x y a -+=的距离为2，即2222
a
++=，所以6a =-或
2a =-.
24．解： (1)由题意得：2210x x +-->，即：221x x +>-，
∴22
(22)(1)x x +>-，即：2
31030x x ++>，
解得：3x <-或13
x >-
， ∴不等式的解集为1(,3)(,)3
-∞-⋃-+∞；
(2)设()221([4,2])f x x x x =+--∈-,
则:3,(41)()31,(11)3,(12)x x f x x x x x ---≤<-⎧⎪
=+-≤<⎨⎪+≤≤⎩
,
其图像如右图示：则()f x 的最大值为(2)5f =，
∵ 不等式221x x a +-->在区间[4,2]-无解， ∴实数a 的取值范围为[5,)+∞.。