概率论2(4)
概率论第二章知识点
第二章知识点：1.离散型随机变量：设X 是一个随机变量，如果它全部可能的取值只有有限个或可数无穷个，则称X 为一个离散随机变量。
2.常用离散型分布：（1）两点分布（0-1分布）：若一个随机变量X 只有两个可能取值，且其分布为12{},{}1(01)P X x p P X x pp ====-<<则称X 服从12,x x 处参数为p 的两点分布。
两点分布的概率分布：12{},{}1(01)P X x p P X x pp ====-<<两点分布的期望：()E X p =两点分布的方差：()(1)D X p p =-（2）二项分布： 若一个随机变量X 的概率分布由式{}(1),0,1,...,.k k n k n P x k C p p k n -==-=给出，则称X 服从参数为n,p 的二项分布。
记为X~b(n,p)(或B(n,p)). 两点分布的概率分布：{}(1),0,1,...,.k kn k n P x k C p p k n -==-=二项分布的期望：()E X np =二项分布的方差：()(1)D X np p =-（3）泊松分布：若一个随机变量X 的概率分布为{},0,0,1,2,...!kP X k e k k λλλ-==>=则称X 服从参数为λ的泊松分布，记为X~P (λ)泊松分布的概率分布：{},0,0,1,2,...!kP X k e k k λλλ-==>=泊松分布的期望：()E X λ=泊松分布的方差：()D X λ=4.连续型随机变量：如果对随机变量X 的分布函数F(x)，存在非负可积函数()f x ，使得对于任意实数x ，有(){}()xF x P X x f t dt -∞=≤=⎰，则称X 为连续型随机变量，称()f x 为X 的概率密度函数，简称为概率密度函数。
5.常用的连续型分布： （1）均匀分布：若连续型随机变量X 的概率密度为则称X 在区间（a,b ）上服从均匀分布，记为X~U(a,b)均匀分布的概率密度： 均匀分布的期望：()2a bE X +=均匀分布的方差：2()()12b a D X -=（2）指数分布：若连续型随机变量X 的概率密度为00()0xe xf x λλλ-⎧>>=⎨⎩则称X 服从参数为λ的指数分布，记为 X~e (λ)指数分布的概率密度：00()0xe xf x λλλ-⎧>>=⎨⎩⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它,0,1)(b x a ab x f ⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它,0,1)(bx a ab x f指数分布的期望：1()E X λ=指数分布的方差：21()D X λ=（3）正态分布：若连续型随机变量X 的概率密度为22()21()x f x ex μσ--=-∞<<+∞则称X 服从参数为μ和2σ的正态分布，记为X~N(μ,2σ)正态分布的概率密度：22()21()x f x ex μσ--=-∞<<+∞正态分布的期望：()E X μ=正态分布的方差：2()D X σ=（4）标准正态分布：20,1μσ==2222()()x t xx ex e dt ϕφ---∞=⎰标准正态分布表的使用： （1）0()1()x x x φφ<=--（2）~(0,1){}{}{}{}()()X N P a x b P a x b P a x b P a x b b a φφ<≤=≤≤=≤<=<<=-（3）2~(,),~(0,1),X X N Y N μμσσ-=故(){}{}()X x x F x P X x P μμμφσσσ---=≤=≤={}{}()()a b b a P a X b P Y μμμμφφσσσσ----<≤=≤≤=-定理1： 设X~N(μ,2σ),则~(0,1)X Y N μσ-=6.随机变量的分布函数：设X 是一个随机变量，称(){}F x P X x =≤为X 的分布函数。
概率论2-4
概率密度函数的性质(P42)
（1）非负性
f ( x) 0, x (, )
（2）规范性
P{ x } 1
f ( x)dx 1
常利用这两个性质检验 一个函数能否作为连续随 机变量的密度函数。
x
f ( x)
设随机变量X的概率密度为
f ( x) ae
正面图案： 德国数学家、物理学家和天文 学家高斯头像
正态分布的密度函数的性质与图形（P47）
1 2
y
中间高 两边低
-
+
x
对称性 单调性 拐点
关于 x = 对称 （- ，）升，（，+ ）降
1 ( , e ); 2
1，σ对密度曲线的影响
— 位置参数
相同，不同 图形相似，位置平移
１ 2
1 21 1 2 2
1 0.75
— 形状参数 不同， 相同
越小，图形越陡； 2 1.25 越大，图形越平缓
Show[fn1,fn3]
小
0.5
大
0.4 0.3 0.2 0.1
-6
-5
-4
-3
-2
-1
几何意义 数据意义
大小与曲线陡峭程度成反比 大小与数据分散程度成正比
正态分布的分布函数
F ( x)
x 1 e 2 ( x )2 2
2
dx
F(x)
1
1 2
x
正态变量的条件
若随机变量X ① 受众多相互独立的随机因素影响
② 每一因素的影响都是微小的 ③ 且这些正、负影响可以叠加 则称 X 为正态 随机变量 可用正态变量描述的实例极多： 各种测量的误差； 人体的生理特征； 工厂产品的尺寸； 农作物的收获量； 海洋波浪的高度； 金属线抗拉强度； 热噪声电流强度； 学生的考试成绩；
概率论 2概率的统计定义、古典概型
个。
• 例８ 从1~100的一百个整数中任取一数，试求取到的整数能被 ６或８整除的概率。
几何概率( Geometric Probability)
将古典概率中的有限性推广到无限性，而保留等可
能性，就得到几何概率。
特点
有一个可度量的几何图形S 试验E看成在S中随机地投掷一点
事件A就是所投掷的点落在S中的可度量图形A中
投掷两颗骰子,试计算两颗骰子的点数之 和在4和10之间的概率. 解：设A表示点数之和在4和10之间
1 2 5 P( A) 1 2 2 36 36 6
求
P A B, P A B, P A B
设 P A 0.4,
P AB P A B P A AB 0.2
A B 0.4 0.7 0.2 0.9
0.4 0.3 0.2 0.5
古典概率 (Classical Probability)
考察如下几个试验：
抛两枚均匀的硬币，观察它们出现的正反面的情况。 掷骰子一颗，观察其点数。 掷一颗骰子并抛一枚硬币，观察骰子的点数和硬币的 正反面情况。
(2) 事件A,B有包含关系
解 (1) 由于 AB , 因此 A B A, B A B P( A B) P( A) 0.3 P( B A) P( B) 0.6
(2) 由已知条件和性质3,推得必定有
A B
P( A B) P() 0
P( B A) P( B) P( A) 0.3
它们都具备如下特点： （1）每次试验中，所有可能的结果只有有限多个。 （2）每次试验中，每一种可能的结果发生的可能性相同。 满足这些条件的数学模型称作古典概率。
概率论与数理统计魏宗舒第二章(4)
若
i , j =1
∑ g( x , y ) p
i j
∞
ij
绝对收敛，则有
i , j =1
E (Z ) =
∑ g(x , y ) p .
i j ij
∞
数学期望的性质 则有 （1）设 C 为常数，
E(C) = C
（2）设 C 为常数，X 是一个随机变量，则有
E(CX ) = CE( X )
则有 （3）设 a , b 为常数，X ,Y 是随机变量，
E( XY ) = E( X )E(Y )
推广 设 X i ( i = 1 , 2 ,L , n) 是相互独立的 随机变量， 则有
E( X1 X2 LXn ) = E( X1 )E( X2 )LE( Xn )
§2.5 方差的定义和性质
方差（ 方差（Variance） ） 前面我们介绍了随机变量的数学期望，它 体现了随机变量取值的平均水平，是随机变量 的一个重要的数字特征。 但对有些实际问题，仅仅知道平均值是不 够的。
k
k
这就是通常所说的加权平均（概率为权数）。 加权平均（概率为权数） 加权平均
他们的射击水平 例2 甲、乙两人射击， 由下表给出 X ：甲击中的环数 Y ：乙击中的环数
X P
8 9 10 0.1 0.3 0.6
Y P
8 9 10 0.2 0.5 0.3
试问哪个人的射击水平较高？
解：甲、乙二人的平均射击环数为
我们讨论了随机变量 在前面的课程中， 如果知道了随机变量 X 的概率分 及其分布， 布，那么 X 的全部概率特征也就知道了。 在实际问题中，概率分布一般是 然而， 而在一些实际应用中，人们并 较难确定的。 只要 不需要知道随机变量的一切概率性质， 知道它的某些数字特征就够了。 在对随机变量的研究中，确定某 因此， 些数字特征 数字特征是非常重要的。 数字特征
《概率论与数理统计》第二章习题解答
第二章 随机变量及其分布1、解：设公司赔付金额为X ，则X 的可能值为； 投保一年内因意外死亡：20万，概率为0.0002 投保一年内因其他原因死亡：5万，概率为0.0010投保一年内没有死亡：0，概率为1-0.0002-0.0010=0.9988 所以X2、一袋中有5X 表示取出的三只球中的最大号码，写出随机变量X 的分布律解：X 可以取值3，4，5，分布律为1061)4,3,2,1,5()5(1031)3,2,1,4()4(1011)2,1,3()3(352435233522=⨯====⨯====⨯===C C P X P C C P X P C C P X P 中任取两球再在号一球为中任取两球再在号一球为号两球为号一球为 也可列为下表 X ： 3， 4，5P ：106,103,101 3、设在15只同类型零件中有2只是次品，在其中取三次，每次任取一只，作不放回抽样，以X 表示取出次品的只数，（1）求X 的分布律，（2）画出分布律的图形。
解：任取三只，其中新含次品个数X 可能为0，1，2个。
3522)0(315313===C C X P3512)1(31521312=⨯==C C C X P 351)2(31511322=⨯==C C C X P 再列为下表 X ： 0， 1， 2P ： 351,3512,3522 4、进行重复独立实验，设每次成功的概率为p ，失败的概率为q =1－p (0<p <1) （1）将实验进行到出现一次成功为止，以X 表示所需的试验次数，求X 的分布律。
（此时称X 服从以p 为参数的几何分布。
）（2）将实验进行到出现r 次成功为止，以Y 表示所需的试验次数，求Y 的分布律。
（此时称Y 服从以r, p 为参数的巴斯卡分布。
）（3）一篮球运动员的投篮命中率为45%，以X 表示他首次投中时累计已投篮的次数，写出X 的分布律，并计算X 取偶数的概率。
解：（1）P (X=k )=q k －1p k=1,2,……（2）Y=r+n={最后一次实验前r+n －1次有n 次失败，且最后一次成功},,2,1,0,)(111 ===+=-+--+n p q C p p q C n r Y P r n n n r r n n n r 其中 q=1－p ，或记r+n=k ，则 P {Y=k }= ,1,,)1(11+=----r r k p p C rk r r k （3）P (X=k ) = (0.55)k －10.45 k=1,2…P (X 取偶数)=311145.0)55.0()2(1121===∑∑∞=-∞=k k k k X P 5、 一房间有3扇同样大小的窗子，其中只有一扇是打开的。
概率论与数理统计第二章答案
第二章 随机变量及其分布1、解：设公司赔付金额为X ，则X 的可能值为； 投保一年内因意外死亡：20万，概率为投保一年内因其他原因死亡：5万，概率为投保一年内没有死亡：0X0 P2、一袋中有55，在其中同时取三只，以X 表示取出的三只球中的最大号码，写出随机变量X 的分布律解：X 可以取值3，4，5，分布律为1061)4,3,2,1,5()5(1031)3,2,1,4()4(1011)2,1,3()3(352435233522=⨯====⨯====⨯===C C P X P C C P X P C C P X P 中任取两球再在号一球为中任取两球再在号一球为号两球为号一球为 也可列为下表 X ： 3， 4，5P ：106,103,101 3、设在15只同类型零件中有2只是次品，在其中取三次，每次任取一只，作不放回抽样，以X 表示取出次品的只数，（1）求X 的分布律，（2）画出分布律的图形。
解：任取三只，其中新含次品个数X 可能为0，1，2个。
3522)0(315313===C C X P3512)1(31521312=⨯==C C C X P 351)2(31511322=⨯==C C C X P 再列为下表 X ： 0， 1， 2P ： 351,3512,3522 4、进行重复独立实验，设每次成功的概率为p ，失败的概率为q =1－p (0<p <1) （1）将实验进行到出现一次成功为止，以X 表示所需的试验次数，求X 的分布律。
（此时称X 服从以p 为参数的几何分布。
）（2）将实验进行到出现r 次成功为止，以Y 表示所需的试验次数，求Y 的分布律。
（此时称Y 服从以r, p 为参数的巴斯卡分布。
） x1 2 O P（3）一篮球运动员的投篮命中率为45%，以X 表示他首次投中时累计已投篮的次数，写出X 的分布律，并计算X 取偶数的概率。
解：（1）P (X=k )=q k －1p k=1,2,……（2）Y=r+n={最后一次实验前r+n －1次有n 次失败，且最后一次成功},,2,1,0,)(111 ===+=-+--+n p q C p p q C n r Y P r n n n r r n n n r 其中 q=1－p ，或记r+n=k ，则 P {Y=k }= ,1,,)1(11+=----r r k p p C rk r r k （3）P (X=k ) = k － k=1,2…P (X 取偶数)=311145.0)55.0()2(1121===∑∑∞=-∞=k k k k X P 5、 一房间有3扇同样大小的窗子，其中只有一扇是打开的。
概率论-2-4 随机变量的分布函数
3 F lim F (x) 0; x F lim F (x) 1; x
(4) F(x 0) F(x)，即 F(x) 是右连续的。
设函数F(x)的定义域为I： 如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量 的值x1、x2，当x1>x2时都有F(x1)≥ F(x2),那么就 说 F(x)在这个区间上是增函数 (另一说法为单调不减函数)
数，函数F ( x) P( X x) ，称为 X 的分布函 数，有时也记做 FX (x).
显然，对任意 x1 x2
P(x1 X x2 ) P( X x2 ) P( X x1 ) F (x2 ) F (x1 )
2. 分布函数的性质
(1) 0 F(x) 1;
=
2
当 x 2 时，
F(x) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 1
故
0, x 0
F
(
x)
1 13
, ,
0 x1 1 x 2
2 1, x 2
注意右连续
二、小结
随机变量的分布函数
F (x) P{X x}.
第四节 随机变量的分布函数
一、分布函数的概念及性质 二、小结
一、分布函数的概念及性质
引例
已知随机变量X的分布律为：
X 1 0 1 2 1111
p 4444
求： （1）P(X ≤-2); (2) P(X ≤--1); (3) P(X ≤1.5); (4) P(X ≤3);
1. 定义：设 X是一个随机变量，x 是任意实
如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量 的值x1、x2，当x1>x2时都有F(x1)≤ F(x2).那么就 说F(x)在这个区间上是减函数
概率论 第2
X的概率密度为：fX ( x)
1
e
(
x μ )2 2σ2
,
x
2πσ
Y的分布函数为：
FY
( y) P(
X
P(Y y) σy μ)
P( X μ σ
σy μ
y) 1 (
e 2πσ
x μ)2 2σ2
dx
于是Y的概率密度为： fY ( y) FY( y)
1
e
(
σy
μ 2σ2
μ
)2
一般地，有如下求离散型随机变量函数分布律的方法：
设X的分布律为：
X P
x1 p1
x2 xi p2 pi
Y 则Y g( X )的分布律为： P
g( x1 ) p1
g( x2 ) p2
g( xi ) pi
.
注：若g( xi )有相同的, 则把相应的pi相加, 即
P(Y y) pi g( xi ) y
h(
y)],
α
y 其它.
β,
(1)
当g x严格单调递增时,同理可得Y = g X 的概率密度
fY
(
y)
f
X
[h(
y )] 0,
h(
y),
α y β, 其它.
(2)
说 明 ：将(1)和(2)统一起来，就得到Y =g(X )的
概率密度的统一表达式
fY
( y)
f X [h( y)] 0,
(σy
μ)
2πσ
1 2π
y2
e2
,
故
Y
X ～N (0,
1).
方法二：利用公式法 Y X μ 是X的单调递增函数, 则 σ
《概率论》 第二章 基本定理
方法二
按乘法法则
1 1 A3 A2 3 P ( AB ) 2 A5 10
1 A3 3 P ( A) 1 , A5 5
P ( AB ) 3/10 1 由乘法法则 P ( B A) P ( A) 3/5 2
注 条件概率的计算方法： (1) 若问题比较简单，可根据实际意义，直接由定 义求P(B|A)； (2) 当问题比较复杂时，可在原样本空间中先求出 P(AB)和P(A)，再由乘法公式求出P(B|A).
1 2 2 1 207 C4 C 46 276 C C 4 46 ， P ( A1 ) ， P ( A ) 3 2 3 980 C 50 19600 C 50
C 43 P ( A3 ) 3 C 50
4 . 19600
故 P ( A1 A2 A3 ) P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A3 )
定理2 若A，B为任意两事件，则
P ( A B ) P ( A) P ( B ) P ( AB ).
推广 三个事件和的情况
P ( A1 A2 A3 )
P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A3 ) P ( A1 A2 ) P ( A2 A3 ) P ( A1 A3 ) P ( A1 A2 A3 ).
例如 同时抛掷一大一小两枚硬币，设事件 A={大硬币正面}，B={小硬币正面} 则基本事件共有4种情况： {大正,小正},{大正,小反},{大反,小正},{大反,小反}
2 1 2 1 , P(B)= , 于是 P(A)= 4 2 4 2 1 P(AB)= 4
有P(AB) = P(A)P(B) ，可见， A、B相互独立.
概率论与数理统计第二章课后习题及参考答案
于是， X 的分布律为
P ( X k ) p k 1 (1 p ) (1 p ) k 1 p ， k 2,3, ．
7．随机变量 X 服从泊松分布，且 P ( X 1) P ( X 2) ，求 P ( X 4) 及 P ( X 1) ．
3
解： P ( X 1) P ( X 2) ，
(3) 方法 1： P (1 X 3) P ( X 1) P ( X 1) P ( X 2) 1 ． 方法 2： P (1 X 3) F (3) F (1 0) 1 0 1 ． 4．一制药厂分别独立地组织两组技术人员试制不同类型的新药．若每组成功的 概率都是 0.4，而当第一组成功时，每年的销售额可达 40000 元；当第二组成 功时，每年的销售额可达 60000 元，若失败则分文全无．以 X 记这两种新药 的年销售额，求 X 的分布律． 解：设 Ai {第 i 组取得成功}， i 1,2 ， 由题可知， A1 ， A2 相互独立，且 P ( A1 ) P ( A2 ) 0.4 ． 两组技术人员试制不同类型的新药， 共有四种可能的情况：A1 A2 ，A1 A2 ，A1 A2 ，
2
P ( X 0) P ( A1 A2 ) P ( A1 ) P ( A2 ) 0.36 ，
60000 0.24
40000 0.24
0 0.36
5．对某目标进行独立射击，每次射中的概率为 p ，直到射中为止，求： (1) 射击次数 X 的分布律；(2) 脱靶次数 Y 的分布律． 解：(1) 由题设， X 所有可能的取值为 1，2，…， k ，…， 设 Ak {射击时在第 k 次命中目标}，则
1 ln 3) ；(3) 分布函数 F ( x) ． 2
概率论第二章
§2.1 随机变量
[注] 1.常用大写字母 X , Y , Z ，或希腊字母
, , 表示随机变量；
2.用小写字母 x, y, z 表示随机变量的取值；
3.随机变量具有变异性和随机性； 4.随机事件是从静态的角度研究随机现象， 而随机变量则从动态角度研究随机现象。
§2.1 随机变量
例1 测量某地的降水情况，用 R.VX 表示降 水量(单位：毫升)
§2.2 离散型随机变量
定义1 设离散型随机变量X所有可能取值 为 x1 , x2 ,，称 P{ X xk } pk k=1,2,… 为离散型随机变量X的概率函数或分 布律，也称概率分布. 例1 设随机变量X的概率函数为：
k P( X k ) a , k!
k =0,1,2, …, 0
§2.2 离散型随机变量
定理2（ 泊松定理）
在 n 重贝努里试验里，事件A发生的次数X 服从二项分布，假设每次试验发生的概率为 p n
(0 pn 1)并且 lim np n ,则对任一整数 k 0 n k k k 有 lim C n p n (1 p n ) n k e , k 0,1,2, n k!
中随机抽取一件，用“X=1”和“X=0”分别
表示抽到的是一等品和二等品，求X的分
布律。
§2.2 离散型随机变量
2. 二项分布 如果离散型随机变量X的概率分布为
P{X k} C p (1 p)
k n k
n p
其中 0 p 1, k 0,1, 2,, n ，则称X服从参数
为n,p的二项分布(或贝努利分布)，记为
2） F () lim
F () lim
x
概率论课件 第4章第2讲随机变量序列的两种收敛性
0,当( x a)2 ( y b)2 2时有
| f ( x, y) f (a, b) |
于是 {| f (k ,k ) f (a, b) | } {( a)2 ( b)2 2 }
辛钦k 1n Nhomakorabeak
a | } 1
证明: {n } 同分布, 它们有相同的特征函数, 这个相同的特征函数记为 (t )
1 n 记 n k n k 1
a E ( k )
(0)
i
(t ) (0) (0)t o(t ) 1 iat o(t )
的分布函数Fn ( x) F ( x).
显然有 lim Fn ( x) F ( x)
n
L Xn Y
但对任意的0<ε<2,恒有
P{| n | } P{2 | | } 1
即不可能有{n }依概率收敛于
所以:依分布收敛依概率收敛不真
定理:随机变量序列依概率收敛于常数C 的充要条件是依分布收敛于常数C 证明:必要性已证,下面只证充分性
§4.2 随机变量序列的两种收敛性 上一节我们由大数定理可得,在贝努里试验中, 事件发生的频率稳定于概率,即
lim P{
n
n
n
P } 1
自然想到的是, 随机变量序列是否依 这种方式能稳定于一个随机变量呢 ?
这就是我们要讲的依概率收敛问题.
1
依概率收敛 定义：设{ n }是随机变量序列,若存在随机 变量 (或常数),对于任意ε>0,有
x x
令y x, z x,由x为F ( x)的连续点, 有
概率论第二章24节-常用离散分布ppt课件
.
7
一批产品的合格率为0.8, 有放回地抽取4次, 每次一件, 则取得合格品件数 X 服从二项分布.
2kkeke??????????????????????????????????????2eee????????????22xexexd故故专业文档常用离散分布的数学期望?几何分布gep的数学期望1p?01分布的数学期望p?二项分布bnp的数学期望np?泊松分布p?的数学期望?专业文档常用离散分布的方差?01分布的方差p1?p?二项分布bnp的方差np1?p?泊松分布p?的方差??几何分布gep的方差1?pp2专业文档1设火炮连续向目标射击n发炮弹每发炮弹命中为的概率为p则炮弹命中数的数学期望是
.
25
例2.4.7 有10 000名同年龄且同社会阶层的人参加了某保 险公司的一项人寿保险。每个投保人在每年初交纳200元 保费，而在这一年中若投保人死亡，则受益人获10 000元 的赔偿费。根据生命表知这类人的年死亡率为0.001。试求 保险公司在这项业务上
（1）亏本的概率； （2）至少获利500 000元的概率。
.
14
泊松分布： X 0 P e
1 1 e 1!
2 ... 2 e ... 2!
n ... n e ... n!
EX 1
e
2 2
e
3 3
e
... n n e
...
1!
2!
3!
n!
e 1
2 ... n1
2!
概率论第二章
3
1
记 Ai={第i个人破译出密码} 所求为 P(A1∪A2∪A3)
i=1,2,3 3
已知, P(A1)=1/5,P(A2)=1/3,P(A3)=1/4 P(A1∪A2∪A3) = 1 − P ( A1 U A2 U An ) 2
= 1 − P ( A1 A2 A3 )
= 1 − P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A3 )
P( Ai1 Ai2 LAik ) = P( Ai1 )P( Ai2 )LP( Aik )
则称A1,A2, …,An为相互独立的事件. 包含等式总数为： n n
n 2 + +L+ n 3 n n = (1 + 1) n − − = 2n − n − 1 1 0
得Α与 B 独立。
证明： P ( B ) = 0,∀A, A = AS = AB + AB ,
P ( A ) = P ( AB ) + P( AB ) = P ( AB ) + P ( A )P ( B )
= P ( AB ).
P ( A) P ( B ) = P ( AB )
同理可证： A 与Β，A 与 B 也分别独立。
或 P(B|A)
= P(B)
更好,它不受P(B)>0或P(A)>0的制约.
这就是说,已知事件B发生,并不影响事件A发 生的概率,这时称事件A、B独立.
一、两事件独立的定义 若两事件A、B满足 P(AB)= P(A) P(B) (1)
例1 从一副不含大小王的扑克牌中任取一 张，记 A={抽到K}, B={抽到的牌是黑色的} 问事件A、B是否独立？
至少6门炮。
概率论与数理统计第二章课后习题答案
概率论与数理统计课后习题答案第二章1.一袋中有5 只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以X 表示取出的3只球中的最 大号码，写出随机变量X 的分布律. 【解】2.设在15只同 类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X 表示取出 的次品个数，求： 〔1〕 X 的分 布律；〔2〕 X 的分 布函数并作图； (3)133{},{1},{1},{12}222P X P X P X P X ≤<≤≤≤<<.【解】〔2〕 当x <0时， F 〔x 〕=P 〔X ≤x 〕=0当0≤x <1时 ，F 〔x 〕=P 〔X ≤x 〕=P (X =0)=2235当1≤x <2时 ，F 〔x 〕=P 〔X ≤x 〕=P (X =0)+P (X =1)=3435当x ≥2时， F 〔x 〕=P 〔X ≤x 〕=1 故X 的分布函 数 (3)3.射手向目标独立 地进行了3次射击，每次击中率为0.8，求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函 数，并求3次射击中至少击中2次的概率. 【解】设XX =0，1，2，3.故X 的 分布律为分布函数4.〔1〕 设随机变量X 的分布律为P {X =k }=!k a kλ，其中k =0，1，2，…，λ＞0为常数，试确定常数a . 〔2〕 设随机变量X 的分布律为P {X =k }=a/N ， k =1，2，…，N ，试确定常数a . 【解】〔1〕 由分布律的性质知故 e a λ-= (2) 由分布律的性质知即 1a =. 5.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次，求： 〔1〕 两人投中次数相等的概率; 〔2〕 甲比乙投中次数多的概率.【解】分别令X 、Y 表示甲、乙投中次数，则X~b 〔3，0.6〕,Y~b (3,0.7)(1)33121233(0.4)(0.3)C 0.6(0.4)C 0.7(0.3)=++(2)=0.2436.设某机场每天有200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02，且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需马上降 落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能同意一架飞机降落)？【 解】设X 为某一时刻需马上降落的飞机数，则X ~b (200,0.02)，设机场需配备N 条跑道，则有即2002002001C (0.02)(0.98)0.01k k kk N -=+<∑利用泊松近似查表得N ≥9.故机场至少应配备9条跑道.7.有 一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.000 1,在某天的该时段内有1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于2的概率是多少〔利用泊 松定理〕？ 【解】设X 表示出事故的次数，则X ~b 〔1000，0.0 001〕 X 满足P {X = 1}=P {X =2}，求概率P {X =4}. 【解】设在每次试验中成功的概率为p ，则故所以 4451210(4)C ()33243P X ===. A 在每一次试验中发生的概率为0.3，当A 发生不少于3次时，指示灯发出信号， 〔1〕 进行了5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率； 〔2〕 进行了7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率. 【解】〔1〕 设X 表示5次独立试验中A 发生的次数，则X ~6〔5，0.3〕(2) 令Y 表示7次独立试验中A 发生的次数，则Y~b 〕 t 的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X 服从参数为〔1/2〕t 的泊松分布，而与时间间隔起点无关〔时间以小时计〕.〔1〕 求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率； 〔 2〕 求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率.【解】〔1 〕32(0)e P X -== (2) 52(1)1(0)1eP X P X -≥=-==-P { X =k }=kkkp p --22)1(C , k =0,1,2P {Y =m }=mm m p p --44)1(C , m =0,1,2,3,4 分别为随机变量X ，Y 的概率分布，如果P {X ≥1}=59，试求P {Y ≥1}. 【解】因为5(1)9P X ≥=，故4(1)9P X <=. 而 2(1)(0)(1)P X P X p <===-故得 24(1),9p -= 即 1.3p =从而 465(1)1(0)1(1)0.8024781P Y P Y p ≥=-==--=≈ 12.某教科书出版了2000册，因装订等原因造成错误的概率为0.001，试求在这2000册书中恰有5册错误的概率.【解】令X 为2000册书中错误的册数，则X~b (2000,0.001).利用泊松近似计算,得 25e 2(5)0.00185!P X -=≈= 13.进行某种试验，成功的概率为34，失败的概率为14.以X 表示试验首次成功所需试验的次数，试写出X 的分布律，并计算X 取偶数的概率. 【解】1,2,,,X k =14.有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡的概率为0.002，每个参加保险的人在1月1日须交12元保险费，而在死亡时家属可从保险公司领取2000元赔偿金.求： 〔1〕 保险公司亏本的概率;〔2〕 保险公司获利分别不少于10000元、20000元的概率. 【解】以“年〞为单位来考虑.〔1〕 在1月1日，保险公司总收入为2500×12=30000元. 设1年中死亡人数为X ，则X~b (2500,0.002)，则所求概率为 由于n 很大，p 很小，λ=np =5，故用泊松近似，有 (2) P (保险公司获利不少于10000)即保险公司获利不少于10000元的概率在98%以上P 〔保险公司获利不少于20000〕(30000200020000)(5)P X P X =-≥=≤ 即保险公司获利不少于20000元的概率约为62%X 的密度函数为f (x )=A e -|x |, -∞<x <+∞,求：〔1〕A 值；〔2〕P {0<X <1}; (3) F (x ). 【解】〔1〕 由()d 1f x x ∞-∞=⎰得故 12A =. (2) 11011(01)e d (1e )22x p X x --<<==-⎰(3) 当x <0时，11()e d e 22x x x F x x -∞==⎰当x ≥0时，0||0111()e d e d e d 222x x x x x F x x x x ---∞-∞==+⎰⎰⎰故 1e ,02()11e 02xx x F x x -⎧<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩16.设某种仪器内装有三只同样的电子管，电子管使用寿命X 的密度函数为f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧<≥.100,0,100,1002x x x求：〔1〕 在开始150小时内没有电子管损坏的概率； 〔2〕 在这段时间内有一只电子管损坏的概率； 〔3〕 F 〔x 〕. 【解】〔1〕 15021001001(150)d .3P X x x ≤==⎰ (2) 1223124C ()339p == (3) 当x <100时F 〔x 〕=0当x ≥100时()()d xF x f t t -∞=⎰故 1001,100()0,0x F x xx ⎧-≥⎪=⎨⎪<⎩ 17.在区间［0，a ］上任意投掷一个质点，以X 表示这质点的坐标，设这质点落在［0，a ］中任意小区间内的概率与这小区间长度成正比例，试求X 的分布函数. 【解】 由题意知X ~∪[0,a ]，密度函数为故当x <0时F 〔x 〕=0当0≤x ≤a 时01()()d ()d d xx xx F x f t t f t t t a a-∞====⎰⎰⎰当x >a 时，F 〔x 〕=1即分布函数XX 进行三次独立观测，求至少有两次的观测值大于3的概率. 【解】X ~U [2,5]，即故所求概率为X 〔以分钟计〕服从指数分布1()5E .某顾客在窗口等待效劳，假设超过10分钟他就离开.他一个月要到银行5次，以Y 表示一个月内他未等到效劳而离开窗口的次数，试写出Y 的分布律，并求P {Y ≥1}.【解】依题意知1~()5X E ，即其密度函数为该顾客未等到效劳而离开的概率为2~(5,e )Y b -,即其分布律为20.某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走.第一条路程较短但交通拥挤，所需时间X 服从N 〔40，102〕；第二条路程较长，但堵塞少，所需时间X 服从N 〔50，42〕. 〔1〕 假设动身时离火车开车只有1小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些？ 〔2〕 又假设离火车开车时间只有45分钟，问应走哪条路赶上火车把握大些？ 【解】〔1〕 假设走第一条路，X~N 〔40，102〕，则假设走第二条路，X~N 〔50，42〕，则506050(60)(2.5)0.993844X P X P Φ--⎛⎫<=<== ⎪⎝⎭++故走第二条路乘上火车的把握大些.〔2〕 假设X~N 〔40，102〕，则 假设X~N 〔50，42〕，则故走第一条路乘上火车的把握大些. X ~N 〔3，22〕，〔1〕 求P {2<X ≤5}，P {-4<X ≤10}，P {｜X ｜＞2}，P {X ＞3}; 〔2〕 确定c 使P {X ＞c }=P {X ≤c }. 【解】〔1〕 23353(25)222X P X P ---⎛⎫<≤=<≤⎪⎝⎭(2) c=322.由某机器生产的螺栓长度〔cm 〕X ~N 2±0.12内为合格品,求一螺栓为不合格品的概率. 【解】10.050.12(|10.05|0.12)0.060.06X P X P ⎛-⎫->=>⎪⎝⎭ X 〔小时〕服从正态分布N 〔160，σ2〕，假设要求P {120＜X ≤200}≥0.8，同意σ最大不超过多少？ 【解】120160160200160(120200)X P X P σσσ---⎛⎫<≤=<≤⎪⎝⎭故 4031.251.29σ≤=X 分布函数为F 〔x 〕=e ,0,(0),00.xt A B x ,x λ-⎧+≥>⎨<⎩ 〔1〕 求常数A ，B ；〔2〕 求P {X ≤2}，P {X ＞3}； 〔3〕 求分布密度f 〔x 〕.【解】〔1〕由00lim ()1lim ()lim ()x x x F x F x F x →+∞→+→-=⎧⎪⎨=⎪⎩得11A B =⎧⎨=-⎩〔2〕 2(2)(2)1eP X F λ-≤==-(3) e ,0()()0,0x x f x F x x λλ-⎧≥'==⎨<⎩X 的概率密度为f 〔x 〕=⎪⎩⎪⎨⎧<≤-<≤.,0,21,2,10,其他x x x x 求X 的分布函数F 〔x 〕，并画出f 〔x 〕及F 〔x 〕.【解】当x <0时F 〔x 〕=0当0≤x <1时0()()d ()d ()d xxF x f t t f t t f t t -∞-∞==+⎰⎰⎰当1≤x<2时()()d xF x f t t -∞=⎰当x ≥2时()()d 1xF x f t t -∞==⎰故 220,0,012()21,1221,2x x x F x x x x x <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪-+-≤<⎪⎪≥⎩X 的密度函数为〔1〕 f (x )=a e -|x |,λ>0;(2) f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧<≤<<.,0,21,1,10,2其他x x x bx 试确定常数a ,b ，并求其分布函数F 〔x 〕. 【解】〔1〕 由()d 1f x x ∞-∞=⎰知||021e d 2e d x x aa x a x λλλ∞∞---∞===⎰⎰故 2a λ=即密度函数为 e ,02()e 02xx x f x x λλλλ-⎧>⎪⎪=⎨⎪≤⎪⎩当x ≤0时1()()d e d e 22xxx x F x f x x x λλλ-∞-∞===⎰⎰当x >0时0()()d e d e d 22xxx x F x f x x x x λλλλ--∞-∞==+⎰⎰⎰故其分布函数 (2) 由12201111()d d d 22b f x x bx x x x ∞-∞==+=+⎰⎰⎰得 b =1即X 的密度函数为 当x ≤0时F 〔x 〕=0 当0<x <1时00()()d ()d ()d xxF x f x x f x x f x x -∞-∞==+⎰⎰⎰当1≤x <2时01211()()d 0d d d xxF x f x x x x x x x -∞-∞==++⎰⎰⎰⎰当x ≥2时F 〔x 〕=1 故其分布函数为 α分位点，〔1〕α=0.01，求z α;〔2〕α=0.003，求z α，/2z α. 【解】〔1〕 ()0.01P X z α>=即 1()0.01z αΦ-= 即 ()0.09z αΦ= 故 2.33z α= 〔2〕 由()0.003P X z α>=得 即 ()0.997z αΦ= 查表得 2.75z α= 由/2()0.0015P X z α>=得即 /2()0.9985z αΦ= 查表得 /2 2.96z α=求Y =X 的分布律.【解】Y 可取的值为0，1，4，9P {X =k }=(2)k, k =1,2,…,令 求随机变量X 的函数Y 的分布律. 【解】(1)(2)(4)(2)P Y P X P X P X k ===+=++=+X ~N 〔0，1〕.〔1〕 求Y =e X 的概率密度； 〔2〕 求Y =2X 2+1的概率密度； 〔3〕 求Y =｜X ｜的概率密度.【解】〔1〕 当y ≤0时，()()0Y F y P Y y =≤=当y >0时，()()(e )(ln )xY F y P Y y P y P X y =≤=≤=≤故 2/2ln d ()1()(ln ),0d y Y Y x F y f y f y y y y -===> (2)2(211)1P Y X =+≥=当y ≤1时()()0Y F y P Y y =≤=当y >1时2()()(21)Y F y P Y y P X y =≤=+≤故 d ()()d Y Y XX f y F y f f y ⎤⎛==+⎥ ⎥⎝⎦(3) (0)1P Y ≥=当y ≤0时()()0Y F y P Y y =≤=当y >0时()(||)()Y F y P X y P y X y =≤=-≤≤故d()()()()d Y Y X X f y F y f y f y y==+- X ~U 〔0,1〕，试求：〔1〕 Y =e X 的分布函数及密度函数； 〔2〕 Z =-2ln X 的分布函数及密度函数. 【解】〔1〕 (01)1P X <<=故 (1e e)1XP Y <=<= 当1y ≤时()()0Y F y P Y y =≤=当1<y <e 时()(e )(ln )XY F y P y P X y =≤=≤当y ≥e 时()(e )1XY F y P y =≤=即分布函数故Y 的密度函数为〔2〕 由P 〔0<X <1〕=1知当z ≤0时，()()0Z F z P Z z =≤=当z >0时，()()(2ln )Z F z P Z z P X z =≤=-≤即分布函数故Z 的密度函数为X 的密度函数为f (x )=22,0π,π0,.xx ⎧<<⎪⎨⎪⎩其他试求Y =sin X 的密度函数. 【解】(01)1P Y <<=当y ≤0时，()()0Y F y P Y y =≤=当0<y <1时，()()(sin )Y F y P Y y P X y =≤=≤ 当y ≥1时，()1Y F y = 故Y 的密度函数为X 的分布函数如下：试填上(1),(2),(3)项. 【解】由lim ()1x F x →∞=知②填1。
概率论-2-4分布函数
1 2
1
arcsin
x a
,
a xa
1,
xa
（3）随机变量X的密度函数为
f
(x)
F ( x)
1
0,
a2 x2 , a x a 其它.
答案：D
答案：B
答案：A
答案：A
本节练习
习题二：12
F (4) F (2) 1 0 1 5 1 1.
3
63 2
答案：B
四、连续型随机变量的分布函数
已知连续型RV.X的概率密度为f(x)，则其分布
函数为 F(x) P{X x} P{ X x}
f (x)
即有
F
(
x)
x
f
(
x)dx
ox
x
F(x)在点x的函数值，等于曲线f(x)之下，Ox轴的区间
x)
1
x
x
,
x0
0,
x0
（1）求X的概率密度函数 f ( x).
（2）用分布函数求概率
PX 3, P 2 X 5, PX 1.
解 在 x 0 处 F (x) 具有连续导数，故按题设得
f
(
x)
F
(
x)
(1
1 x)2
,
0,
x0 x 0
而在 x 0
时，由
F
(
x)
1
x
x
,
0, F (x) 不可导， 因为
F(x)的图形为 F( x)
1
a
bx
例5 （1）设r.v X服从指数分布，其概率密度为
f ( x) 1 ex ,
0,
求X的分布函数F(x).
概率论第二章第四节
分布函数
密度函数
则称X为连续性随机变量，其中函数f (x)称为X的
概率密度函数, 简称概率密度.
连续型随机变量的分布函数一定是连续函数.
3
x
2. 密度函数的性质
用这两条性质判断 F( x) f (t)dt
是否为连续型随机
1
f (x) 0 ;
变量的密度函数
(非负性)
y
f (x)
2 f ( x)dx 1 ; (归一性)
0
3
2
1 2
kx2
3 0
2 x
1 4
x
2
4
3
9 2
k
1 4
,
令 9k 1 1 k 1.
24
6
9
(2)
x
求X的分布函数，F(x) f
0,
x0,
x xdx , 0 x 3
(t )dt
,
f
(
x)
206x,,2x
,
0 x3, 3 x4,
其他.
F ( x)
06
3xdx
x
x
(2 )d x ,
0
0,
o
x 0, 1 ex ,
x 0, 0,
x
x 0,
x 0.
18
(3) 指数分布的背景 电子元件的寿命； 生物的寿命； 电话的通话时间； ……
“寿命”服从指数分 布
指数分布广泛 应用于可靠性 理论和排队论
19
指数分布的重要性质 :“无记忆性”.
对于任意s, t 0 , 有 P{X s t X s} P{(X s t) ( X s)}
证明 Z X 的分布函数为
《概率论与数理统计》第二章习题解答 2
第二章 随机变量及其分布1、解:设公司赔付金额为X ，则X 的可能值为;投保一年内因意外死亡：2０万，概率为0．0002 投保一年内因其他原因死亡：5万，概率为0.0010投保一年内没有死亡:0，概率为1－0.00０2-0．００10=0.998８ 所以X2、,以X 表示取出的三只球中的最大号码,写出随机变量X 的分布律解：X 可以取值3,4,5，分布律为1061)4,3,2,1,5()5(1031)3,2,1,4()4(1011)2,1,3()3(352435233522=⨯====⨯====⨯===C C P X P C C P X P C C P X P 中任取两球再在号一球为中任取两球再在号一球为号两球为号一球为 也可列为下表 X : ３， 4，５Ｐ:106,103,101 3、设在１５只同类型零件中有2只是次品,在其中取三次,每次任取一只,作不放回抽样，以X 表示取出次品的只数,(１)求X 的分布律,（2)画出分布律的图形。
解:任取三只,其中新含次品个数X 可能为0,1,2个。
3522)0(315313===C C X P3512)1(31521312=⨯==C C C X P 351)2(31511322=⨯==C C C X P 再列为下表 X : 0， 1， 2P ： 351,3512,3522 4、进行重复独立实验，设每次成功的概率为p ,失败的概率为q ＝1-p (0<p ＜1) (１）将实验进行到出现一次成功为止，以X 表示所需的试验次数,求X 的分布律。
(此时称X 服从以ｐ为参数的几何分布。
)（2)将实验进行到出现r 次成功为止,以Y 表示所需的试验次数,求Ｙ的分布律。
(此时称Y 服从以ｒ， p 为参数的巴斯卡分布。
)(3)一篮球运动员的投篮命中率为45%，以Ｘ表示他首次投中时累计已投篮的次数，写出Ｘ的分布律，并计算X 取偶数的概率。
解：（1）P (Ｘ=k )=q ｋ-1p ﻩｋ＝１，２,……（２）Y ＝ｒ＋ｎ={最后一次实验前r+ｎ－1次有n 次失败,且最后一次成功},,2,1,0,)(111 ===+=-+--+n p q C p p q C n r Y P r n n n r r n n n r 其中 q=1－p ,或记ｒ＋n=k ，则 P ｛Y=ｋ}= ,1,,)1(11+=----r r k p p C rk r r k （3)P (X=k ) = (0.５5）k -10.4５ ﻩｋ=1,２…P (X 取偶数)＝311145.0)55.0()2(1121===∑∑∞=-∞=k k k k X P 5、 一房间有3扇同样大小的窗子，其中只有一扇是打开的。
概率论第二章
三。几种常用的离散型分布 （一）二项分布
B ( n, p )
在贝努里试验中，如果每次试验事件 发生的概率为 发生的概率为P， 在贝努里试验中，如果每次试验事件A发生的概率为 ，即
P ( A) = p,0 < p < 1, q = 1 − p
并设随机变量X表示在 次试验中事件 发生的次数 并设随机变量 表示在n次试验中事件 发生的次数, 表示在 次试验中事件A发生的次数 则称X服从二项分布，记作 则称 服从二项分布，记作X~ B ( n, 服从二项分布 其分布列为： p ) ，其分布列为： k k n−k 。 ） P{ X = k} = Cn p (1 − p) , k = 0,1,..., n （2。3） 特别， 特别，当n=1时，X~ B (1, 时
G ( p)
在贝努里试验中，如果每次试验事件 发生的概率为 发生的概率为P， 在贝努里试验中，如果每次试验事件A发生的概率为 ，即
P ( A) = p,0 < p < 1, q = 1 − p
并设随机变量X表示事件 首次发生的试验次数 则称X 并设随机变量 表示事件A首次发生的试验次数，则称 表示事件 首次发生的试验次数， 服从几何分布， 其分布列为： 服从几何分布， 几何分布 记作 X ~ G ( p ) ，其分布列为：
0 3 3 解：P ( X = 0) = C2 C3 / C5 = 1 / 10,
1 3 P( X = 1) = C2C32 / C5 = 6 / 10, 2 1 3 P( X = 2) = C2 C3 / C5 = 3 / 10,
通式为： 通式为：
2
k 3 3 P( X = k ) = C2 C3 − k / C5 , k = 0,1,2
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f ( x ) F ( x )
f(x) 描述了X 在x附近单位长度的区间内取值的概率.
注意: 对于连续型随机变量X , P ( X = a) = 0 这里a 可以是随机变量X 的一个可能的取值.
事实上
( x a) (a x X a) , x 0
a 0 P( X a) P(a x X a) a x f ( x )d x
P(| X | a) 2(a) 1
对一般的正态分布 ：X～N( ,2)
其分布函数
F ( x)
1 2
x
( t )2 2 2 d e
t
t 作变量代换 s
x F ( x )
P (a X b) F (b) F (a ) b a
0.08 0.06 0.04 0.02
-10
-5
5
a
x
例2.4.1 设随机变量X具有概率密度函数
Ae 3 x , x 0; f ( x) x 0. 0,
试确定常数A，以及X的分布函数. 解:由 1 知A=3，即
f ( x )dx
0
Ae
3 x
42 22 P ( 2 X 4) 2 (0) 0.3
分布函数 F(x)与密度函数 f(x)的几何意义 f (x)
0.08
F(x)
y f (x)
0.06 0.04 0.02
-10
-5
x
5
x
概率密度函数( p.d.f.) f(x)的性质 1、 f ( x ) 0
2、 f ( x )
d x F ( ) 1
常利用这两个性质检验一个函数能否作为连续性 随机变量的密度函数，或求其中的未知参数. 3、在 f(x)的连续点处，
0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 -6 -5 -4 -3 -2 -1
f(x)的两个参数：
— 位置参数
即固定, 对于不同的 , 对应的 f(x)的形状不变 化，只是位置不同.
— 形状参数
固定 ，对于不同的 ，f(x)的形状不同. 若 1< 2 则
1 2 1 1 2 2
2.4.2.2
正态分布
( x )2 2 2 e
若X 的密度函数为
f ( x)
1 2
, x
, 为常数， 0
则称 X 服从参数为 , 记作 X～N(
2
的正态分布
, 2)
f (x) 的性质： (1) 图形关于直线 x = 对称： f ( + x) = f ( - x) (2) 在 x = 时, f (x) 取得最大值:
求F(x).
x 解: 由定义 F ( x ) f (t )dt
0, x0 x 0 x1 0 tdt , F x 1 x 0 tdt 1 ( 2 t )dt , 1 x 2 1, x2 0, x 0; x2 , 0 x 1; 2 即 F ( x) x2 2 x 1 , 1 x 2; 2 1, x 2.
前者取
附近值的概率更大. x = 1 所对应的拐点比 x= 2 所对应的拐点更靠近直线x =.
正态分布的密度曲线是一条关于μ对称的钟形 曲线。特点是“两头小，中间大，左右对称”。 μ决定了图形的中心位置，σ决定了图形中峰的陡 峭程度。
应用场合: 若随机变量X 受到众多相互独立的随机因素的影 响，而每一个别因素的影响都是微小的，且这些影 响可以叠加, 则 X 服从正态分布.
1 dx A, 3
3e 3 x , x 0; f ( x) x 0. 0,
1 e 3 x , x 0; f ( t )dt x 0. 0,
而X的分布函数为
F ( x)
x
例2.4.2 一个靶子是半径为2米的圆盘，设击中靶 上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成 正比，并设射击都能中靶，以X表示弹着点与圆心 的距离，试求随机变量X的分布函数． 解: 若x0, 则(X≤x)是不可能事件,于是
分组 25.235-25.265 25.265-25.295 25.295-25.325 25.325-25.355 25.355-25.385 25.385-25.415 25.415-25.445 25.445-25.475 25.475-25.505 25.505-25.535 25.535-25.565
P(| X | a) 2(a) 1
教科书上都附有标准正 态分布表,由此可得 ( x)值.
(0) 0.5
( x) 1 ( x)
(0) 0.5
( x)
( x )
( x) 1 ( x)
0.4 0.3 0.2 0.1-3-2-x -1
1
x
2
3
2
4
若x 2,由题意,是必然事件,于是
F ( x ) P( X x ) 1
综上所述，随机变量X的分布函数为
0 x2 F ( x) 4 1
x0 0 x 2 x2
3. 设
x, 0 x 1 X ~ f ( x ) 2 x , 1 x 2 , 0, 其 它
F ( x) P( X x) 0
若0 x 2,由题意, P (0 X x ) kx 2 , k是某一常数 .
取x 2, 有 1 P (0 X 2) k 2 1, k 4 2 x 即P (0 X x ) , 于是 4 x2 F ( x ) P ( X x ) P ( X 0) P ( 0 X x )
d c
应用场合: 在进行大量数值计算时，如果在小数点后第k位进行 四舍五入，则产生的误差可以看作服从
1 k 1 k U 10 , 10 2 2
例2.4.3 设随机变量X服从(1,6)上的均匀分布，求一 元两次方程 t 2 Xt 1 0 有实根的概率.
解: 因为当 X 2 4 0 时, t 2 Xt 1 0 有实根.
25.235
25.565
频率 组距
产品X尺寸(mm) 25.235 25.565
2.4.1 连续型随机变量及其概率密度函数
定义：设 X 是一随机变量，若存在一个非负可积 函数 f(x)使得
F ( x)
x
f (t ) d t
x
其中 F(x) 是它的分布函数． 则称 X 是连续型随机变量，f (x)是它的概率密度 函数(p.d.f.)，简称为密度函数或概率密度．
可用正态变量描述的实例非常之多： 各种测量的误差； 工厂产品的尺寸； 海洋波浪的高度； 热噪声电流强度； 人的生理特征； 农作物的收获量； 金属线的抗拉强度； 学生们的考试成绩；
正态分布的重要性:
正态分布是概率论中最重要的分布，这可以由 以下情形加以说明：
⑴ 正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布之 一，大量的随机现象都是服从或近似服从正态分布 的．可以证明，如果一个随机指标受到诸多因素的影 响，但其中任何一个因素都不起决定性作用，则该随 机指标一定服从或近似服从正态分布． ⑵ 正态分布有许多良好的性质，这些性质是其它许 多分布所不具备的． ⑶ 正态分布可以作为许多分布的近似分布．
概率论与数理统计
课件制作：应用数学系 概率统计课程组
2.4 连续型随机变量及其概率密度
2.4.1 连续型随机变量及其概率密度函数 2.4.２ 常见的连续型随机变量
引例 设某厂生产某产品的规定尺寸为25.40cm,已 知某批产品的最小尺寸为25.20cm,最大尺寸为25.60cm.现 从这批产品中任取100件,得到100个测量值.计算得如下数 据表:
a 0 P ( X a ) lim ax f ( x )d x 0 x0
P( X a ) 0
命题: 连续型随机变量取任一常数的概率为零.
对于连续型随机变量X，f(x)为其密度函数，则
P(a X b) P(a X b)
P(a X b)
故所求概率为:
P ( X 2 4 0) P ( X 2 or X 2)
1 5, 1 x 6; 而X的密度函数为 : f ( x ) 其他, 0,
且 P ( X 2)
6 2
4 f ( t )dt , P ( X 2) 0, 5
2
4 因此所求概率： P ( X 4 0) . 5
0.3 0.5
0.3 [1 0.5]
查附录表2
0.6179 [1 0.6915]
0.3094
例2.4.5 已知 X ~ N (2, ) 且 P( 2 < X < 4 ) = 0.3,
2
求 P ( X < 0 ).
0 2 2 1 解一: P ( X 0)
P ( X a ) 1 F (a ) a 1
例2.4.4 设 X ~ N(1,4) , 求 P (0 X 1.6) 解:
1.6 1 01 P (0 X 1.6) 2 2
f(x)
P(a X b)
b a
f ( x )d x F (b) F (a )
0.08 0.06 0.04 0.02
-10
-5
5
a
b
x
P( X b) P( X b) F (b) P ( X a ) P ( X a ) 1 F (a )