浅谈高等数学知识逻辑关系

㊀㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２１ １７
浅谈高等数学知识逻辑关系
浅谈高等数学知识逻辑关系Һ姚兴兴㊀（武汉工程大学数理学院，湖北㊀武汉㊀４３０２０５）
㊀㊀ʌ摘要ɔ本文整理了高等数学中关于连续㊁有界㊁可导㊁
可积之间的关系，以及级数部分的逻辑关系，可使学生理清结构，用辩证统一的哲学思想观察思考数学问题，提高逻辑思维能力和科学研究能力．
ʌ关键词ɔ高等数学；微分；积分；级数
ʌ基金项目ɔ武汉工程大学科学研究基金项目（Ｋ２０１７４２）
一㊁引㊀言
众所周知，数学基础知识蕴含着处理智能问题的基本思想与方法，也是人们理解复杂算法的必备要素．随着信息技术与人工智能的不断发展，数学知识的作用愈发突出，尤其是高等数学中的相关知识与理论，它在实际科技发展中起到了重要的支撑作用．在工程院校数学教学过程中，教师往往只重视知识的讲解，忽略了知识间的逻辑关系，强调计算能力的提升，而大大忽视数学理论和数学思维的培养．数学课程知识间有很强的关联，并不是孤立存在的．教师在讲授高等数学过程中，要串起各个章节间的逻辑思维导图，将数学的科学研究方法融入教学过程中，这将有助于学生全
面地理解高等数学，深层次㊁透彻地掌握知识．
本文主要参考相关教材梳理高等数学中关于连续㊁有界㊁可导㊁可积之间的关系，以及级数部分的逻辑关系．本文意在让学生更深刻地掌握高等数学基础知识，从整体层面㊁宽角度观察思考问题，提高逻辑思维能力和科学研究能力．
二㊁微分和积分
（一）对于一元函数，可导⇔可微⇒连续
连续不一定可微，比如ｆ（ｘ）＝ｘ，ｘɪ［－１，１］．进一步地，可以构造在［－１，１］上任意有限个点处不可导的连续函数．大家自然会问：是否存在无穷多个点处不可导的连续函
数？答案是肯定的，如由缺项级数ｆ（ｘ）＝
ðɕ
ｎ＝０
２
－ｎａ
ｅｉ２ｎ
ｘ（０＜
ａɤ１）给出的和函数ｆ（ｘ）就是处处不可导的连续函数．实际上，使用泛函分析中Ｂａｉｒｅ纲定理可证明：［０，１］上处处不可导的连续函数全体是通用集．
（二）多元函数的微积分关系如下１．重极限与累次极限的关系
若重极限和累次极限都存在，则它们必相等．累次极限
存在，但重极限不一定存在，比如ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘ２＋ｙ２＋ｘ－ｙ
ｘ＋ｙ
在原点
（０，０）处两个累次极限都存在，但重极限不存在．重极限存
在，但累次极限不一定存在，比如ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘｓｉｎ１ｙ＋ｙｓｉｎ１ｘ
在原点（０，０）处重极限存在，但两个累次极限都不存在．设
函数ｇ（ｘ，ｙ）＝ｘｓｉｎ１
ｙ
＋ｙ，则易见其重极限为零，但其中一个累次极限不存在．
２．连续⇐可微⇒偏导数存在，偏导数连续⇒可微
连续不一定可微，比如ｆ（ｘ，ｙ）＝
㊀
ｘ２＋ｙ２，ｘ，ｙɪ［－１，１］
在原点（０，０）处连续，但不可微．偏导数存在不一定可微，比
如ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘｙ
ｘ２＋ｙ
２
（ｘ２＋ｙ２ʂ０），０（ｘ２＋ｙ２＝０）
{
在原点（０，０）处偏导数存在，但不可微．二元函数可微时偏导数不一定连续．
（三）积分性：连续⇒可积⇒有界
可积函数不一定连续，比如Ｒｉｅｍａｎｎ函数．有界函数不一定可积，比如Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ函数．闭区间上的单调函数可积．若函数ｆ（ｘ）可积，则ｆ（ｘ）也可积；反之不成立，如
ｆ（ｘ）＝
１，ｘɪ［０，１］ɘＱ，
－１，ｘɪ［０，１］∉Ｑ．
{
实际上，对于定积分，至多只有有限个间断点的有界函数必可积．引入可数集和零集的概念后，Ｌｅｂｅｓｇｕｅ定理指出：［ａ，ｂ］上的有界函数ｆ（ｘ）可积的充要条件是ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上所有间断点全体是零集．对于二重积分，若定义在平面中有界闭域Ｄ上的有界函数ｆ（ｘ，ｙ）的不连续点都落在有限条光滑曲线上，则ｆ（ｘ，ｙ）在Ｄ上可积．对于三重积分，若定义在空间中有界闭域Ｖ上的有界函数ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）的不连续点都落在有限个光滑曲面上，则ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）在Ｖ上可积．进一步地，［ａ，ｂ］上间断点集合的长度为零㊁平面有界闭域Ｄ上间断点集合的面积为零或空间中有界闭域Ｖ上间断点集合的体积为零的有界函数必可积．随着积分理论的发展，区间长度㊁平面区域面积㊁空间立体体积可统一为 测度 概念，Ｒｉｅｍａｎｎ积分由此提升到Ｌｅｂｅｓｇｕｅ积分，完整揭示了 可积函数的间断点集合为零测集 这一特征．
（四）重要的存在性定理举例
极限理论是微积分学理论的基础，而极限是否存在与数集密切相关．从运算来说，要求数集关于极限运算是封闭的．我们注意到有理数集是不行的，比如单调递增有界的有
理数列１＋１ｎ
()ｎ{}
的极限是无理数ｅ．事实证明，实数集关于极限运算是封闭的，即实数集是连续的．由此可得闭区间上连续函数的零点定理㊁介值性定理㊁最值定理㊁中值定理，它们分别从连续㊁微分㊁积分角度观察讨论函数的整体性质，具有深刻的几何意义和广泛的理论与应用价值．此外，将维数增加便可产生多元函数微积分理论，将实数集扩充到复数集便可得到复分析理论，教师在讲授或学习这些知识时，理解其中的区别与联系，有助于深刻理解概念，掌握脉络．
（五）几个微积分公式
微积分学基本定理断言：若函数ｆ（ｘ）在闭区间［ａ，ｂ］上
连续，则变上限积分函数Ｆ（ｘ）＝
ʏｘａ
ｆ（ｔ）ｄｔ在［ａ，ｂ］上可导，
且Ｆᶄ（ｘ）＝ｆ（ｘ）．该定理不仅指出连续函数必存在原函数，而且蕴含着微积分基本公式 牛顿 莱布尼茨公式，故定积分等于被积函数的一个原函数在积分区间上的增量．将该公式推广至二维㊁三维即得格林公式㊁高斯公式．三个公式都是将积分区域内部与边界紧密联系在一起．类似地，将平
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面区域推广至空间中曲面即有斯托克斯公式．实际上，在引入外微分形式后，这些公式可统一到一般的斯托克斯公式．
三㊁级㊀数（一）数项级数
数项级数ðɕ
ｎ＝１
ｕｎ收敛即是其部分和数列Ｓ{ｎ}收敛，故
可用初等数学中裂项法㊁错位相减法等求数项级数的部分和，再取极限判别级数是否收敛，或求级数和，从而有数项级数收敛的柯西准则判别法．易见，数项级数ðɕ
ｎ＝１
ｕｎ收敛的必要条件是通项ｕｎ趋于０．反之不成立，例如调和级数
ð
ɕ
ｎ＝１１
ｎ
．故需要增加其他条件来判别级数的收敛性，比如：部分和序列有界的正项级数必收敛；基于正项级数一般项本身特性的比较判别法㊁比式判别法和根式判别法；有关交错级数的Ｌｅｉｂｎｉｚ判别法；对于一般项级数的Ａｂｅｌ判别法，Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ判别法等．因为绝对收敛级数必收敛，所以对一般项级数可对通项取绝对值转换成正项级数进行判别．由正
项级数的比较判别法可得，广义调和级数ðɕ
ｎ＝１１
ｎ
ｐ当ｐɤ１时
发散，当ｐ＞１时收敛．这表明没有收敛得 最慢 的收敛级数．因此任何判别法都只能解决一类级数的收敛问题，而不能解决所有级数的收敛问题．虽然可以继续改进并给出更加精细有效的判别法，但这个过程是无限的．
（二）函数项级数
根据定义，函数项级数ðɕ
ｎ＝１
ｕｎ（ｘ）在数集Ｄ上一致收敛
即是部分和函数列｛Ｓｎ（ｘ）｝在数集Ｄ上一致收敛，从而函数项级数ðɕｎ＝１
ｕｎ（ｘ）在数集Ｄ上一致收敛的必要条件是函数列ｕｎ（ｘ）在数集Ｄ上一致收敛于零．对于函数项级数，一致收敛能保证和函数继承函数列ｕｎ（ｘ）的连续㊁可导和可积等分析性质，但是只要求 函数列ｕｎ（ｘ）在数集Ｄ上一致收敛于零 很难保证函数项级数ðɕ
ｎ＝１
ｕｎ（ｘ）在数集Ｄ上一致收敛．使用函数列一致收敛判别法可给出余项法则：ðɕ
ｎ＝１
ｕｎ（ｘ）在数集Ｄ上一致收敛于Ｓ（ｘ）当且仅当余项Ｒｎ（ｘ）＝Ｓ（ｘ）－Ｓｎ（ｘ）满足ｌｉｍｎңɕｓｕｐｘɪＤ
Ｒｎ（ｘ）｜＝０．此法则理论上很完美，但需
要对函数项级数进行求和，或对级数和进行估计，实际操作比较困难．最好直接从级数中函数列ｕｎ（ｘ）的特性进行判别，如优级数判别法，Ａｂｅｌ判别法和Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ判别法等．
一般函数项级数的收敛性不容易判别，但是幂级数㊁Ｆｏｕｒｉｅｒ级数的收敛性已经得到很好的确定，且这两类级数在数学理论和实际问题中应用也很广泛．
（三）幂级数和Ｆｏｕｒｉｅｒ级数
幂级数在收敛区间内绝对一致收敛，从而其和函数无穷次可导，但无穷次可导函数不一定能展开成泰勒级数，需要求其展开式余项趋于零．例如，函数ｆ（ｘ）＝
ｅ－
１
ｘ２（ｘʂ０），０（ｘ＝０）
{
在ｘ＝０处的任意阶导数都等于０，从而ｆ（ｘ）在ｘ＝０处泰勒级数的和函数是０．
若Ｆｏｕｒｉｅｒ级数ａ０
２＋ðɕ
ｎ＝１
ａｎｃｏｓｎｘ＋ｂｎｓｉｎｎｘ()一致收敛于函数ｆ（ｘ），则ｆ（ｘ）是以２π为周期的可积函数，系数ａｎ，
ｂｎ满足ａｎ＝１πʏπ－πｆ（ｘ）ｃｏｓｎｘｄｘ，ｂｎ＝１πʏ
π
－π
ｆ（ｘ）ｃｏｓｎｘｄｘ．
反之，若以２π为周期的函数ｆ（ｘ）在［－π，π］上按段光滑，则在每一点ｘ处展开的Ｆｏｕｒｉｅｒ级数收敛于函数ｆ（ｘ）在ｘ处的左㊁右极限的算术平均值．
在逼近理论中，幂级数可提供多项式函数逼近一般函数，计算上比较便捷，但要求函数有任意阶导数．Ｆｏｕｒｉｅｒ级数展开仅要求周期性和按段光滑，但使用三角函数近似计算比较复杂．我们通过简单运算可知，一个周期函数可以分解为一系列固定频率的简谐波之和．显然任一个有限区间上的函数可以进行周期延拓，所以在有限区间上由任意图形定义的任何函数都可以表示为单纯的正弦与余弦函数之和．进一步地，将幂级数的自变量取复数可以给出解析函数的幂级数刻画；将Ｆｏｕｒｉｅｒ级数中的自变量取复数可以导出工程技术中常用的积分变换理论．
（四）积分与级数的关系
设ｆ（ｘ）定义在无界区间［ａ，＋ɕ）上，则无穷积分
ʏ
＋ɕ
ａ
ｆ（ｘ）ｄｘ收敛的充要条件是对［ａ，＋ɕ）中任一趋于＋ɕ
的数列Ａｎ{}（其中Ａ１＝ａ），级数ðɕ
ｎ＝１
ｕｎ都收敛于同一个数，其中ｕｎ＝
ʏ
Ａｎ＋１Ａｎ
ｆ（ｘ）ｄｘ，且
ʏ
＋ɕ
ａ
ｆ（ｘ）ｄｘ＝
ðɕ
ｎ＝１
ｕｎ
．因此无穷积分
与级数的敛散概念㊁敛散判别法及其性质基本上是平行的．设ｆ（ｘ，ｙ）定义在区域Ｊˑ［ｃ，＋ɕ）上，Ｊ是任意区间，则含参量无穷积分Ｉ（ｘ）＝
ʏ
＋ɕ
ｃ
ｆ（ｘ，ｙ）ｄｙ在Ｊ上一致收敛的充要
条件是对任一趋于＋ɕ的递增数列Ａｎ{}（其中Ａ１＝ｃ），函数项级数ðɕ
ｎ＝１
ｕｎ（ｘ）在Ｊ上一致收敛，其中ｕｎ（ｘ）＝
ʏ
Ａｎ＋１Ａｎ
ｆ（ｘ，
ｙ）ｄｙ，故含参量无穷积分一致收敛判别法及其性质与函数项级数类似．
高等数学中还有很多其他知识间也存在着密切的逻辑关系．正如希尔伯特曾指出： 数学科学是一个不可分割的有机整体，它的生命力正是在于各个部分之间的联系，数学的有机统一是这门学科固有的特点，因为它是一切精确自然科学知识的基础． 厘清数学知识间的逻辑关系有助于我们更深刻地理解概念，用辩证统一的哲学思想学习高等数学，对数学内容融会贯通，大大提高学习效率．
ʌ参考文献ɔ
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