新疆生产建设兵团二中2017届高三上学期第一次月考数学试卷(理科) 含解析

2016-2017学年新疆生产建设兵团二中高三（上）第一次月考数学
试卷（理科）
一、选择题:本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A=｛x｜x2﹣2x＞0｝，B={x｜﹣＜x＜｝，则（）
A．A∩B=∅B．A∪B=R C．B⊆A D．A⊆B
2．命题“存在x0∈R,2≤0”的否定是(）
A．不存在x0∈R,2＞0 B．存在x0∈R，2≥0
C．对任意的x∈R,2x≤0 D．对任意的x∈R，2x＞0
3．已知幂函数f（x)的图象过点(4,),则f（8）的值为（)
A．B．64 C．2D．
4．“a≤﹣2”是“函数f(x）=|x﹣a|在[﹣1,+∞）上单调递增”的（)
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知函数f（x）=lnx,则函数g（x）=f（x）﹣f′（x）的零点所在的区间是（) A．（0,1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）
6．已知函数f（x)的定义域为（﹣1,0）,则函数f（2x﹣1）的定义域为(）
A．（﹣1,1）B．(0，）C．(﹣1，0）D．(，1）
7．设a=20.3,b=0.32，c=log x（x2+0.3）(x＞1），则a，b，c的大小关系是（）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．b＜c＜a
8．函数f（x）=2x|log0.5x|﹣1的零点个数为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．过曲线y=3x﹣x3上一点A（2，﹣2）的切线方程为（)
A．y=﹣2 B．9x+y+16=0
C．9x+y﹣16=0 D．9x+y﹣16=0或y=﹣2
10．若函数f(x）=x2+ax+在(，+∞）上是增函数，则a的取值范围是（）
A．［﹣1,0］B．[﹣1，+∞）C．[0,3］D．［3，+∞）
11．已知定义在R上的奇函数f（x），满足f(x+4）+f（x）=0且在区间[0，2］上是增函数,若函数y=f（x）﹣k（k＞0）在区间［﹣8，8］上有四个不同的根x1，x2，x3,x4，则x1+x2+x3+x4=（）
A．4 B．8 C．﹣4 D．﹣8
12．已知函数f(x）=,若|f(x）|≥kx，则k的取值范围是（）A．（﹣∞，0］B．（﹣∞，1]C．[﹣2，1] D．[﹣2,0］
二、填空题（本大题共4小题,每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．设函数f（x)=，则f（f（3））=．
14．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（x+2）=﹣，当1≤x≤2时，f（x）
=x，则f（﹣）=．
15．已知f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣4x，则不等式f(x）＜5的解集是．
16．已知f（x)=（a＞0且a≠1），g(x)=﹣x3+x2+4ax．若同时
满足条件：①f（x）在R上单调递减；②g（x）在(2，+∞）上存在单调递增区间，则实数a 的取值范围是．
三、解答题（本大题共5小题，共85分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0，x∈R}，B=｛x｜（x﹣m+2）（x﹣m﹣2）≤0，x∈R,m∈R｝．
（1）若A∩B=｛x|0≤x≤3｝,求实数m的值；
（2)若A⊆∁R B，求实数m的取值范围．
18．已知命题p：函数y=lg（ax2﹣ax+1）的定义域为R，命题q：函数在x∈
（0,+∞）上是减函数，若“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．
19．如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx﹣(1+k2）x2(k＞0)表示的曲线
上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．
（1）求炮的最大射程；
(2）设在第一象限有一飞行物(忽略其大小）,其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它?请说明理由．
20．已知函数f（x）=﹣﹣ax（a∈R)．
（1）当a=时，求函数f（x）的单调区间;
（2)若函数f（x）在［﹣1，1］上为单调函数，求实数a的取值范围．
21．已知函数f(x）=（a+)lnx+﹣x（a＞0）．
（1）求f（x）的极值点;
(2)若曲线y=f（x）上总存在不同两点P（x1，f（x1）)，Q(x2,f（x2)），使得曲线y=f(x）在P，Q两点处的切线互相平行，证明：x1+x2＞2．
[选修4-1:几何证明选讲]｜
22．如图，在△ABC中，DC⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE交DC于点F,若BF=FC=3,DF=FE=2．（1）求证:AD•AB=AE•AC；
（2）求线段BC的长度．
[选修4—4:坐标系与参数方程]|
23．在极坐标系中，已知曲线C：ρ=sin（θ﹣）,P为曲线C上的动点,定点Q(1，）．
（Ⅰ）将曲线C的方程化成直角坐标方程，并说明它是什么曲线；
（Ⅱ)求P、Q两点的最短距离．
［选修4-5：不等式选讲］|
24．设函数f（x）=｜2x+1｜﹣｜x﹣2|．
（1)求不等式f（x）＞2的解集；
（2）∀x∈R，使f（x)≥t2﹣t,求实数t的取值范围．
2016—2017学年新疆生产建设兵团二中高三（上）第一次
月考数学试卷（理科)
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合A=｛x｜x2﹣2x＞0｝，B={x｜﹣＜x＜｝,则()
A．A∩B=∅B．A∪B=R C．B⊆A D．A⊆B
【考点】并集及其运算;一元二次不等式的解法．
【分析】根据一元二次不等式的解法，求出集合A，再根据的定义求出A∩B和A∪B．
【解答】解：∵集合A=｛x｜x2﹣2x＞0｝=｛x|x＞2或x＜0｝，
∴A∩B={x｜2＜x＜或﹣＜x＜0}，A∪B=R，
故选B．
2．命题“存在x0∈R，2≤0"的否定是（)
A．不存在x0∈R，2＞0 B．存在x0∈R,2≥0
C．对任意的x∈R，2x≤0 D．对任意的x∈R，2x＞0
【考点】特称命题；命题的否定．
【分析】根据特称命题的否定是全称命题，直接写出该命题的否定命题即可．
【解答】解:根据特称命题的否定是全称命题，得；
命题“存在x0∈R,2≤0”的否定是
“对任意的x∈R，都有2x＞0”．
故选:D．
3．已知幂函数f(x）的图象过点(4，），则f(8）的值为（)
A．B．64 C．2D．
【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．
【分析】幂函数f（x）=x a的图象过点（4，），得到α的值，得到函数的解析式，再代入值计算即可．
【解答】解：∵幂函数f（x)=x a的图象过点（4，），
∴=4α，
∴α=﹣，
∴f（x）=，
∴f（8)==
故选:A．
4．“a≤﹣2”是“函数f(x)=｜x﹣a｜在［﹣1,+∞）上单调递增”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】从两个方向去判断,先看“a≤﹣2”能否得到“函数f（x）=｜x﹣a｜在[﹣1，+∞）上单调递增”：这个容易判断能得到；再看“函数f(x)=｜x﹣a｜在［﹣1,+∞)上单调递增”能否得到“a ≤﹣2”：根据f（x)解析式知道f（x）在［a,+∞)上单调递增，从而a≤﹣1，并得不到a≤﹣2，综合以上情况即可得出答案．
【解答】解：（1)若a≤﹣2，x∈［﹣1，+∞）时，f（x）=x﹣a；
∴此时f（x）在［﹣1，+∞）上单调递增；
∴“a≤﹣2"是“函数f（x）=|x﹣a｜在[﹣1，+∞）上单调递增”的充分条件；
（2)若“函数f（x）=｜x﹣a｜在[﹣1，+∞）上单调递增”，则：
x≥a在［﹣1，+∞）上恒成立；
∴﹣1≥a；
即a≤﹣1；
∴得不到a≤﹣2；
∴“a≤﹣2"不是“函数f(x）=｜x﹣a|在［﹣1,+∞）上单调递增”的必要条件；
∴综上得“a≤﹣2”是“函数f(x）=|x﹣a|在［﹣1,+∞)上单调递增”的充分不必要条件．
故选A．
5．已知函数f（x）=lnx，则函数g（x）=f（x）﹣f′（x)的零点所在的区间是（）A．（0，1）B．（1,2）C．(2，3）D．（3，4）
【考点】导数的运算；函数零点的判定定理．
【分析】求出函数f（x）的导函数，把f（x）及其导函数代入函数g(x）中，对函数g(x）求导可知函数g（x）是单调函数,且g(1）＜0,g(2)＞0，则函数g(x）的零点所在的区间可求．
【解答】解：由f(x)=lnx，则,
则g（x)=f（x）﹣f′（x)=lnx﹣．
函数g(x）的定义域为(0,+∞），
＞0在x∈（0，+∞）上恒成立，
所以函数g（x）在（0，+∞)上为增函数,
而g（1）=ln1﹣1=﹣1＜0，g（2)=ln2﹣=ln2﹣ln＞0．
所以函数g（x）在区间（1，2）上有唯一零点．
故选B．
6．已知函数f(x）的定义域为（﹣1,0）,则函数f（2x﹣1）的定义域为（）
A．（﹣1，1）B．（0，) C．（﹣1，0) D．(,1）
【考点】函数的定义域及其求法．
【分析】原函数的定义域，即为2x﹣1的范围，解不等式组即可得解．
【解答】解：∵原函数的定义域为（﹣1，0），
∴﹣1＜2x﹣1＜0，即，
解得0＜x＜．
∴函数f（2x﹣1）的定义域为（0，）．
故选B．
7．设a=20。

3，b=0.32，c=log x（x2+0。

3）（x＞1）,则a，b，c的大小关系是(）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．b＜c＜a
【考点】指数函数单调性的应用．
【分析】利用指数函数y=a x和对数函数的单调性，比较大小
【解答】解:∵a=20。

3＜21=2且a=20.3＞20=1，
∴1＜a＜2，
又∵b=0。

32＜0。

30=1，
∵x＞1，∴c=log x（x2+0.3）＞log x x2=2，
∴c＞a＞b．
故选B
x|﹣1的零点个数为（）
8．函数f（x）=2x｜log0。

5
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】根的存在性及根的个数判断．
【分析】通过令f（x）=0,将方程的解转化为函数图象的交点问题,从而判断函数的零点个数．【解答】解：函数f（x）=2x｜log0.5x｜﹣1,令f（x)=0，
x|，如图，
在同一坐标系中作出y=(）x．与y=|log0。

5
由图可得零点的个数为2．
故选B．
9．过曲线y=3x﹣x3上一点A（2，﹣2）的切线方程为（）
A．y=﹣2 B．9x+y+16=0
C．9x+y﹣16=0 D．9x+y﹣16=0或y=﹣2
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】由题意设出切点为P（x0，)，求出导数和切线的斜率，代入点斜式方程
求出切线方程，把点A(2，﹣2）代入切线方程，化简、变形求出x0的值,代入切线方程化简即可．
【解答】解：由题意设切点为P（x0，）,
∵y′=3﹣3x2，∴切线斜率k=，
则曲线在P点的切线方程为y﹣（）=（）（x﹣x0）,
∵A(2，﹣2)在切线上，∴﹣2﹣（)=（）(2﹣x0)，
化简得，，
∴,则，
解得x0=﹣1或2，
当x0=﹣1时，切线方程为：y=﹣2；
当x0=﹣1时，切线方程为：9x+y﹣16=0．
∴切线方程为:y=﹣2或9x+y﹣16=0,
故选：D．
10．若函数f（x)=x2+ax+在（，+∞）上是增函数，则a的取值范围是（）
A．[﹣1,0］B．［﹣1,+∞）C．[0,3]D．［3，+∞）
【考点】利用导数研究函数的单调性；二次函数的性质．
【分析】求出函数f（x）的导函数，由导函数在（，+∞）大于等于0恒成立解答案
【解答】解：由f(x)=x2+ax+，得f′（x）=2x+a﹣=，
令g（x）=2x3+ax2﹣1,
要使函数f（x）=x2+ax+在（，+∞）是增函数，
则g（x）=2x3+ax2﹣1在x∈（，+∞)大于等于0恒成立，
g′(x）=6x2+2ax=2x（3x+a），
当a=0时，g′（x）≥0,g(x）在R上为增函数,则有g（）≥0，解得+﹣1≥0，a≥3（舍)；当a＞0时，g（x）在（0，+∞）上为增函数,则g（)≥0，解得+﹣1≥0，a≥3；
当a＜0时，同理分析可知,满足函数f（x）=x2+ax+在（，+∞）是增函数的a的取值范围
是a≥3（舍）．
故选：D．
11．已知定义在R上的奇函数f（x），满足f（x+4）+f（x）=0且在区间［0，2］上是增函数，若函数y=f（x)﹣k（k＞0）在区间［﹣8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4=（)
A．4 B．8 C．﹣4 D．﹣8
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【分析】根据函数的条件,判断函数的周期，利用函数的奇偶性和周期性即可得到结论．
【解答】解:∵f(x+4）=﹣f（x），
∴f（x+8)=﹣f（x+4）=f（x)，
即函数的周期是8，
且f（x+4）=﹣f（x）=f(﹣x）,
则函数的对称轴为=2,
作出函数f(x)的简图,
若方程f（x）=m(m＞0）在区间［﹣8，8］上有四个不同的根x1,x2，x3,x4，
则四个根分别关于x=2和x=﹣6对称,
不妨设x1＜x2＜x3＜x4，
则x1+x2=﹣12，x3+x4=4,
则x1+x2+x3+x4=﹣12+4=﹣8，
故选：D．
12．已知函数f（x）=，若｜f（x）｜≥kx,则k的取值范围是（）
A．（﹣∞，0]B．（﹣∞，1]C．[﹣2，1］D．［﹣2，0]
【考点】绝对值不等式的解法．
【分析】①当x≤0时，可得x2﹣2x≥kx，求得k的范围．②当x＞0时，根据ln（x+1)＞0恒成立，求得k≤0．再把这两个k的取值范围取交集，可得答案．
【解答】解：由题意可得，①当x≤0时,|﹣x2+2x｜≥kx恒成立，即x2﹣2x≥kx，即x2≥（k+2）x,∴x≤k+2,∴k+2≥0，k≥﹣2．
②当x＞0时,ln（x+1）≥kx恒成立，∴0≥kx，求得k≤0．
综上可得，k的取值为［﹣2，0］,
故选：D．
二、填空题（本大题共4小题,每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．设函数f(x）=，则f（f（3)）=．
【考点】函数的值．
【分析】根据分段函数的定义域先求出f（3）,再求出f(f（3)），注意定义域；
【解答】解：∵函数，3＞1
∴f（3)=,
∴f（)=（）2+1=+1=，
故答案为；
14．已知f（x)是定义在R上的奇函数,且满足f(x+2）=﹣,当1≤x≤2时,f（x）=x，则f(﹣）=﹣．
【考点】函数奇偶性的性质；函数的值．
【分析】由已知求出函数的周期,然后借助于函数的性质及1≤x≤2时，f（x)=x求得答案．【解答】解：由f(x+2)=﹣,得f（x+4）=﹣=f(x）,
∴f（x）是周期为4的奇函数，又当1≤x≤2时，f(x）=x，
∴f（﹣）=﹣f（）=﹣f（4+)=﹣f（)=﹣．
故答案为：．
15．已知f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时,f(x)=x2﹣4x，则不等式f（x)＜5的解集是(﹣5，5）．
【考点】函数奇偶性的性质．
【分析】由偶函数性质得：f(｜x|）=f（x）,则f（x）＜5可变为f（|x|）＜5，代入已知表达式可表示出不等式，先解出|x｜的范围,再求x范围．
【解答】解：因为f(x）为偶函数，所以f（|x|）=f（x），
则f（x）＜5可化为f（｜x｜）＜5，
即|x｜2﹣4|x|＜5,（｜x｜+1)（|x|﹣5）＜0，
所以|x｜＜5,
解得﹣5＜x＜5，
所以不等式f（x）＜5的解集是（﹣5，5），
故答案为：（﹣5，5)．
16．已知f（x）=(a＞0且a≠1)，g(x）=﹣x3+x2+4ax．若同时满足条件：①f(x）在R上单调递减;②g（x)在（2，+∞）上存在单调递增区间，则实数a 的取值范围是（,］．
【考点】函数单调性的性质．
【分析】利用函数f(x）是减函数,根据对数的图象和性质判断出a的大致范围，再根据g(x)在(2，+∞）上存在单调递增区间，得到a的大致范围，即可得出结论．
【解答】解：y=log a(x+1）+1在［0，+∞)递减,则0＜a＜1,
函数f（x）在R上单调递减，则：,
解得≤a≤；
函数g（x)在（2，+∞)上存在单调递增区间，
即g′(x）＞0在（2，+∞）上有解
因为g′（x）=﹣x2+x+4a，
所以只需g′（2）＞0即可，
所以由g'（2）=﹣4+2+4a=4a﹣2＞0，解得a＞，
∴当a＞时,f（x）在(2，+∞）上存在单调递增区间．
∵同时满足条件:①f（x)在R上单调递减；②g(x）在(2，+∞)上存在单调递增区间，∴实数a 的取值范围是（，］．
故答案为:(,]．
三、解答题（本大题共5小题，共85分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

）17．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0，x∈R｝,B=｛x｜（x﹣m+2）（x﹣m﹣2）≤0,x∈R，m∈R｝．（1)若A∩B=｛x|0≤x≤3}，求实数m的值；
（2)若A⊆∁R B，求实数m的取值范围．
【考点】交集及其运算；集合的包含关系判断及应用．
【分析】(1)先化简集合A，再根据A∩B=［0,3］，即可求得m的值．
(2）先求C R B，再根据A⊆C R B，即可求得m的取值范围．
【解答】解：（1）∵A=｛x｜x2﹣2x﹣3≤0，x∈R},
∴A={x｜﹣1≤x≤3，x∈R｝,
∵A∩B=［0,3]，
∴m﹣2=0，即m=2，
此时B=｛x|0≤x≤4}，满足条件A∩B=［0，3］．
(2）∵B=｛x|m﹣2≤x≤m+2｝．
∴∁R B={x|x＞m+2或x＜m﹣2}，
要使A⊆∁R B,
则3＜m﹣2或﹣1＞m+2，
解得m＞5或m＜﹣3，
即实数m的取值范围是（﹣∞,﹣3）∪（5，+∞）．
18．已知命题p：函数y=lg（ax2﹣ax+1)的定义域为R，命题q：函数在x∈（0,+∞)
上是减函数，若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．
【考点】复合命题的真假．
【分析】先求出命题p,q为真命题的等价条件，然后利用“p∨q”为真命题,“p∧q"为假命题，确定实数a的取值范围．
【解答】解：命题p:a=0或，
∴0≤a＜4；
命题q:a2﹣2a﹣3＜0，
∴﹣1＜a＜3；
由题意知命题p，q有且只有一个是真命题,
当p为真，q为假时，，
当p为假，q为真时，，
综上可得，﹣1＜a＜0或3≤a＜4．
19．如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千
米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx﹣（1+k2）x2（k＞0）表示的
曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．
（1)求炮的最大射程；
（2）设在第一象限有一飞行物(忽略其大小），其飞行高度为3。

2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．
【考点】函数模型的选择与应用．
【分析】（1）求炮的最大射程即求y=kx﹣(1+k2)x2(k＞0）与x轴的横坐标，求出后应用
基本不等式求解．
（2）求炮弹击中目标时的横坐标的最大值，由一元二次方程根的判别式求解．
【解答】解：（1）在y=kx﹣（1+k2）x2（k＞0）中，令y=0，得kx﹣（1+k2）x2=0．由实际意义和题设条件知x＞0,k＞0．
∴,当且仅当k=1时取等号．
∴炮的最大射程是10千米．
(2)∵a＞0，∴炮弹可以击中目标等价于存在k＞0，使ka﹣（1+k2）a2=3.2成立，
即关于k的方程a2k2﹣20ak+a2+64=0有正根．
由韦达定理满足两根之和大于0，两根之积大于0，
故只需△=400a2﹣4a2（a2+64）≥0得a≤6．
此时，k=＞0．
∴当a不超过6千米时，炮弹可以击中目标．
20．已知函数f（x)=﹣﹣ax（a∈R）．
（1）当a=时，求函数f(x）的单调区间；
（2）若函数f（x)在［﹣1，1］上为单调函数，求实数a的取值范围．
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】（1）先求导，再根据导数求出函数的单调区间;
（2）需要分两类，函数f（x）在［﹣1,1]上为单调减函数和函数f(x）在[﹣1，1］上为单调增函数，然后分离参数，根据函数的最值,求出范围即可．
【解答】解：（1）当a=时，函数f（x）=﹣﹣x，
∴f′（x）=+﹣==，
令f′(x）=0，解得x=0．或x=ln2，
当f′（x）＞0时,即x＜0，或x＞ln2，故函数f（x）单调递增，
当f′(x）＜0时,即0＜x＜ln2，故函数f(x）单调递减，
所以函数f（x）单调增区间为（﹣∞．0）∪（ln2,+∞），单调减区间为（0，ln2)
（2）∵f′（x）=+﹣a,
①若函数f（x）在[﹣1，1]上为单调减函数，
∴f′（x)=+﹣a≤0，在［﹣1，1］恒成立，
即a≥+
令g（x）=+，
则g′（x）=﹣=，
当x∈［﹣1,ln），g（x）单调递减，x∈（ln，1］单调递增，
又因为g（1)=,g（﹣1）=,
g(1)＜g(﹣1），
故g(x）max=g（﹣1）=,
故a≥，
②若函数f(x）在[﹣1,1］上为单调增函数，
∴f′（x）=+﹣a＞0，在［﹣1，1］恒成立，
即a＜+
令h（x）=+，
则h′（x）=﹣=，
当x∈［﹣1，ln),g(x)单调递减,x∈（ln，1］单调递增，
故当x=ln，h(x)有最小值，最小值为h（x）min=h（ln)=
故a≤，
综上所述实数a的取值范围为（﹣∞,］∪［，+∞）
21．已知函数f(x）=（a+）lnx+﹣x（a＞0)．
（1）求f(x）的极值点；
（2）若曲线y=f（x）上总存在不同两点P（x1,f（x1））,Q（x2，f(x2）),使得曲线y=f（x）在P，Q两点处的切线互相平行，证明：x1+x2＞2．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值．
【分析】（1）求出f（x）的导数，讨论a＞1,a=1，0＜a＜1时,函数f（x）的单调区间,即可得到所求极值点；
（2）由题知：f′（x1）=f′(x2），化简整理，可得a+=，运用基本不等式可得x1+x2＞，
求得右边的最小值，即可得证．
【解答】解：（1）函数f（x)=（a+）lnx+﹣x（a＞0）的定义域为(0，+∞)，
f′（x）=(a+）•﹣﹣1=﹣(a＞0），
当a＞1时，f(x）在（0，）上单调递减，（,a）上单调递增，（a，+∞)上单调递减，
∴x=是f（x)的极小值点，x=a是f（x）的极大值点,
当a=1时，f′（x）=﹣≤0,f（x)在(0,+∞）上单调递减，无极值点;
当0＜a＜1时，f（x)在(0，a）上单调递减，（a，）上单调递增，（，+∞）上单调递减，
∴x=a是f（x）的极小值点，x=是f(x）的极大值点；
（2）证明:由题知:f′(x1）=f′（x2），
即：（a+）•﹣﹣1=(a+）•﹣﹣1（x1≠x2)，
∴a+=+=，
由于x1，x2∈（0,+∞),且x1≠x2，
∴x1+x2＞2，则有
x1x2＜，
∴a+=＞，
∴x1+x2＞，又a＞0，
≤=2，当且仅当a=，即a=1时取“=”，
∴x1+x2＞2，即证．
[选修4—1：几何证明选讲］|
22．如图，在△ABC中，DC⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE交DC于点F，若BF=FC=3，DF=FE=2．（1）求证：AD•AB=AE•AC；
(2)求线段BC的长度．
【考点】与圆有关的比例线段；圆內接多边形的性质与判定．
【分析】(1)推导出B，C，D，E四点在以BC为直径的圆上，由割线定理能证明AD•AB=AE•AC．（2)过点F作FG⊥BC于点G,推导出B，G，F，D四点共圆，F，G，C，E四点共圆，由此利用割线定理能求出BC的长．
【解答】证明：（1）由已知∠BDC=∠BEC=90°，
所以B,C,D，E四点在以BC为直径的圆上，
由割线定理知：AD•AB=AE•AC．…
解：（2）如图，过点F作FG⊥BC于点G，
由已知，∠BDC=90°，又因为FG⊥BC，所以B，G，F,D四点共圆，
所以由割线定理知：CG•CB=CF•CD，①…
同理，F，G，C，E四点共圆，由割线定理知：
BF•BE=BG•BC，②…
①+②得：CG•CB+BG•BC=CF•CD+BF•BE，
即BC2=CF•CD+BF•BE=3×5+3×5=30，…
所以BC=．…
[选修4—4：坐标系与参数方程]|
23．在极坐标系中，已知曲线C:ρ=sin（θ﹣），P为曲线C上的动点,定点Q（1,）．
（Ⅰ)将曲线C的方程化成直角坐标方程,并说明它是什么曲线；
（Ⅱ）求P、Q两点的最短距离．
【考点】简单曲线的极坐标方程．
【分析】(Ⅰ）运用两角差的正弦公式和极坐标与直角坐标的关系:x=ρcosθ，y=ρsinθ,x2+y2=ρ2，化简即可得到所求方程及轨迹；
(Ⅱ）求得Q的直角坐标，以及Q到圆心的距离，由最小值d﹣r，即可得到所求值．
【解答】解：(Ⅰ）曲线C：ρ=sin（θ﹣）=2(sinθ﹣cosθ）
=2sinθ﹣2cosθ，
即有ρ2=2ρsinθ﹣2ρcosθ，
由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x2+y2=ρ2，
可得曲线C：x2+y2+2x﹣2y=0，
即为以（﹣1，1）为圆心，为半径的圆；
（Ⅱ）Q（1，），即为Q（cos，sin），
即Q（，)，
Q到圆心的距离为d==，
即有PQ的最短距离为d﹣r=﹣．
［选修4-5：不等式选讲]|
24．设函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣2｜．
(1)求不等式f（x)＞2的解集；
（2）∀x∈R，使f(x）≥t2﹣t，求实数t的取值范围．
【考点】一元二次不等式的应用；分段函数的解析式求法及其图象的作法;函数的最值及其几何意义．
【分析】(1）根据绝对值的代数意义，去掉函数f（x）=｜2x+1｜﹣｜x﹣2｜中的绝对值符号，求解不等式f(x）＞2，
（2）由（1）得出函数f（x）的最小值,若∀x∈R,恒成立，只须
即可,求出实数t的取值范围．
【解答】解：（1)
当，∴x＜﹣5
当，∴1＜x＜2
当x≥2，x+3＞2，x＞﹣1，∴x≥2
综上所述{x|x＞1或x＜﹣5｝．
（2）由(1）得，若∀x∈R,恒成立,
则只需,
综上所述．
2016年10月20日。