2021年普通高等学校招生全国统一考试第三次适应性考试联考试卷-理数试题(含解析)

2021年普通高等学校招生全国统一考试联考
理 科 数 学
注意事项：
1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。

2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在试卷上无效。

3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。

4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设i 是虚数单位，若复数2i
1i
m +-(m ∈R )是纯虚数，则m 的值为（ ） A ．3- B ．3
C ．1
D ．1-
【答案】C 【解析】复数()()()
2i 1i 2i
1i 1i 1i 1i m m m ⨯++
=+=-+--⨯+， 因为复数2i
1i
m +-(m ∈R )是纯虚数，所以10m -=，解得1m =， 故选C ．
2．设集合()22
2021,2020A x y x y ⎧⎫
=+=
⎨⎬⎩⎭
，(){},2x
B x y y ==，则集合A
B 中元素的个
数为（ ） A ．0 B ．1
C ．2
D ．3
【答案】C
【解析】依题意，集合A B 中元素的个数，即2220212020
x y +=
与2x
y =图象交点个数， 如图：
所以一共有两个交点，所以集合A
B 中元素的个数为2，故选
C ．
3．已知()()()()5
2
5
01251121212x a a x a x a x +=+++++⋅⋅⋅++，则1a =（ ） A ．
516
B ．
532
C ．
15
D ．5
【答案】B
【解析】令12x t +=，则11
1122
t t x -++=+
=， 所以5
25012512t a a t a t a t +⎛⎫=+++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭，所以5
41515C 232
a ⎛⎫=⨯= ⎪
⎝⎭，故选B ． 4．如图是一个底面半径和高都是1的圆锥形容器，匀速给容器注水，则容器中水的体积V 是水面高度x 的函数()V f x =，若正数a ，b 满足1a b +=，则()()f a f b +的最小值为（ ）
A ．
π12
B ．
π6
C ．
π4
D ．
π3
【答案】A
【解析】因为半径和高都是1，所以水的半径和高都是x ，
2311
()ππ33
V f x x x x ==⋅=，
因为1a b +=，所以1b a =-， 又a ，b 为正数，所以01a <<， 所以333232111
()()ππ(1)π(122)333
f a f b a a a a a a a a +=
+-=+-+--+
2
2
111ππ3212a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦
，
所以当12a =
时，()()f a f b +最小值为π
12
，故选A ． 5．对两个变量x ，y 进行回归分析，得到组样本数据()11,x y ，()22,x y ，，(),n n x y ，
则下列说法不正确的是（ ）
A ．由样本数据得到的回归直线方程ˆˆˆy bx a =+必经过样本中心点(),x y
B ．相关指数2R 越大，残差的平方和越小，其模型的拟合效果越好
C ．若线性回归方程为ˆ0.610y
x =+，当解释变量x 每增加1个单位时，预报变量y 平均增加0.6个单位
D ．相关系数r 越接近1，变量x ，y 相关性越强 【答案】D
【解析】由定义知回归直线方程ˆˆˆy
bx a =+必经过样本中心点(),x y ，故A 正确； 由相关指数2R 的定义知，2R 越大模型拟合效果越好，
由残差的平方和的定义知，残差的平方和越小模型的拟合效果越好，故B 正确； C 选项是回归直线方程的应用，故C 正确；
相关系数r 的范围为11r -≤≤，由定义知r 越接近1，变量x ，y 相关性越强，故D 错误， 故选D ．
6．在平行四边形ABCD 中，已知1
2DE EC =
，12
BF FC =，2AE =6AF =，
则AC BD ⋅=（ ） A ．9- B ．9
2
-
C ．7-
D ．72
-
【答案】B 【解析】∵1
2DE EC =
，12
BF FC =， ∴13AE AD DE AD AB =+=+
，1
3
AF AB BF AD AB =+=+，
而2AE =6AF =，
∴1=23AD AB +
，1
=63
AD AB +， ∴2
221239AD AD AB AB +
⋅+=，2212
693
AD AD AB AB +⋅+=， 两式相减得2288499AD AB -=-，∴2292
AD AB -=-， ∴()()
22
9
2
AC BD AB AD AD AB AD AB ⋅=+⋅-=-=-
，故选B ． 7．函数()12ln 41
x x
x
f x +⋅=+的部分图象大致为（ ） A ． B ．
C ．
D ．
【答案】A
【解析】由12
2ln ln ()4122
x x x
x x
x f x +-==++，知()f x 为偶函数， (1)0f =，11
22
1ln 4
()02
22f --=<+，故排除B 、C 选项； 44ln16(4)0.1722f -=≈+，55
ln 25
(5)0.1022
f -=≈+，易知()f x 在随着x 增大过程中出现递减趋势，且趋近于x 轴，故A 正确， 故选A ．
8．定义在R 上的函数()f x 满足(2)()f x f x +=，(2)()f x f x -=，当[]0,1x ∈时，
2()f x x =，则函数()f x 的图象与()g x x =的图象的交点个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】C
【解析】由题意知：()f x 的周期为2，关于1x =对称，且
(2(2))()(2)()f x f x f x f x -+=-=+=，
∴()f x 为偶函数，即可得()f x 、()g x 的图象如下：
即()f x 与()g x 交于(1,1)-，(0,0)，(1,1)三点，故选C ．
9．已知(2,0)A ，(0,1)B 是椭圆22
221x y a b
+=的两个顶点，直线(0)y kx k =>与直线AB 相
交于点D ，与椭圆相交于E ，F 两点，若6ED DF =，则斜率k 的值为（ ） A ．
3
8
B ．
23
C ．
38或23
D ．
34
【答案】C
【解析】由题可知，椭圆的方程为2
214
x y +=，
直线AB ，EF 的方程分别为22x y +=，y kx =． 设()00,D x kx ，()11,E x kx ，()22,F x kx ，其中12x x <，
联立()
2
222
11444x y k x y kx
⎧+=⎪⇒+=⎨⎪=⎩
，故21x x =-=． 由6ED DF =，得()(
)01200212156677x x x x x x x x -=-⇒=
+==． 由点D 在直线AB 上，得0002
2212x kx x k
+=⇒=
+，
所以
223
242560128k k k k =⇒-+=⇒=+或23
，故选C ．
10．记递增数列{}n a 的前n 项和为n S ．若11a =，99a =，且对{}n a 中的任意两项i a 与j a （19i j ≤<≤），其和i j a a +，或其积i j a a ，或其商j i
a a 仍是该数列中的项，则（ ）
A ．593,36a S ><
B ．593,36a S >>
C ．693,36a S >>
D ．693,36a S ><
【答案】D 【解析】
i j a a +，或其积i j a a ，或其商
j i
a a 仍是该数列中的项，
29a a ∴+或者29a a 或者
9
2
a a 是该数列中的项， 又
数列{}n a 是递增数列，1239a a a a ∴<<<<，
299a a a ∴+>，299a a a >，只有9
2a a 是该数列中的项，
同理可以得到93a a ，9
4a a ，
，98
a a 也是该数列中的项，且有99
9
1
9872
a a a a a a a a <<<<
<， 9
55
a a a ∴=
，53a ∴=或53a =-（舍），63a ∴>， 根据11a =，53a =，99a =，
同理易得14
23a =，12
33a =，34
43a =，54
63a =，32
73a =，74
83a =，
94912914
133613
S a a a -∴=+++=
<-，故选D ．
11．已知函数()sin()0,02πf x x ωϕωϕ⎛⎫=+><<
⎪⎝
⎭，ππ66f x f x ⎛⎫
⎛⎫
+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，2π2πf x f x ⎛⎫⎛⎫
+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，下列四个结论： ①π
4
ϕ=
；
②9
3()2
k k ω=
+∈N ； ③02πf ⎛⎫
-
= ⎪⎝⎭
； ④直线3
π
x =-
是()f x 图象的一条对称轴， 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①② B ．①③
C ．②④
D ．③④
【答案】B
【解析】由题设，知()f x 关于π2x =
轴对称，关于π
(,0)6
中心对称， ∴12π
ππ22
ππ6
k k ωϕωϕ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，12(,)k k ∈Z ，
即
12π
π()π3
2k k ω=-+
，123
3()2
k k ω=-+， ∴2131
(
)π224
k k ϕ=--， 又0ω>，0π
2
ϕ<<
，即12k k ≥， 当12k =，21k =时，有π4
ϕ=
，此时9
2ω=，则9π()sin(
)24x f x =+， ∴π9πsin()02π44f ⎛⎫
-
=-= ⎪⎝⎭
，而ππ3π5π()sin()sin 13424f -=-=-≠±， 故3
π
x =-
不是()f x 图象的一条对称轴，故选B ． 12
．在棱长为的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为棱AB 、AD 的中点，则平面1D EF 与正方体1111ABCD A B C D -外接球的交点轨迹长度为（ ）
A ． B
C π
D ．4π
【答案】C
【解析】如图所示，连接111,B D B E ，
取11B D 的中点N ，EF 的中点M ，BD 的中点Q ，
连接,,MN MQ NQ ，其中O 为正方体1111ABCD A B C D -的中心， 作OP MN ⊥，垂足为P ，
因为NQ ⊥平面ABCD ，EF ⊂平面ABCD ，所以NQ EF ⊥，
因为四边形ABCD 为正方形且,E F 为,AB AD 的中点，,M Q 为,FE DB 的中点， 可得FE MQ ⊥， 又因为FE NQ ⊥，MQ NQ Q =，且,MQ NQ ⊂平面MNQ ，
所以EF ⊥平面MNQ ，
因为OP ⊂面MNQ ，所以EF OP ⊥， 又由OP MN ⊥，MN
FE M =，且,MN FE ⊂平面11D B EF ，
所以OP ⊥平面11D B EF ，
因为面11D B EF 和面1D EF 是同一面，所以OP ⊥平面1D EF ，
在直角MNQ △中，1MQ =，NQ =3MN =， 所以1sin 3
MNQ ∠=
，
又因为ON =NPO △中，可得sin 3
OP NO MNQ =⋅∠=
， 由平面截球的轨迹为圆，其中P 是截面圆的圆心，O 为球心，
因为正方体1111ABCD A B C D -的棱长为OS =
根据截面圆的性质，可得PS =
=
所以截面的周长为2πPS ⋅=
C ．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．总体由编号为00，01，
，59的60个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，
选取方法是从下列随机数表第1行的第9列开始由左向右依次选取两个数字，则选出来的第4个个体的编号为_________．
95 33 95 22 00 18 74 72 00 18 38 79 58 69 32 81 76 80 26 92 82 80 84 25 39
90 84 60 79 80 24 36 59 87 38 82 07 53 89 35 96 35 23 79 18 05 98 90 07 35
【答案】58
【解析】由题意，从随机数表第1行的第9列数字0开始，
从左到右依次选取两个数字的结果为00，18，00(舍去)，18(舍去)，38，58， 故选出来的第4个个体编号为58，故答案为58． 14．若5π4sin 85α⎛⎫+=
⎪⎝⎭，则πcos 24α⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
_________． 【答案】
725
【解析】由5ππππ4
sin sin cos 82885
ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+=
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 则2ππ167cos 22cos 121482525αα⎛⎫⎛⎫+=+-=⨯-= ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
， 故答案为
7
25
．
15．已知,x y 满足约束条件3442x y y x y +≥⎧⎪
≤⎨⎪-≤⎩
，若(0)Z ax y a =+>的最大值是16，则a 的值为
_________． 【答案】2
【解析】画出满足约束条件3442x y y x y +≥⎧⎪
≤⎨⎪-≤⎩
的平面区域，如图示：
由20
40
x y y --=⎧⎨-=⎩，解得(6,4)A ；由34040x y y +-=⎧⎨-=⎩，解得(0,4)B ，
当直线y ax Z =-+过(0,4)B 时，416Z =≠， 由Z ax y =+，得y ax Z =-+，
当直线y ax Z =-+过(6,4)A 时，Z 最大， 此时6416a +=，解得2a =， 故答案为2．
16．在ABC △中，60BAC ∠=︒，3BC =，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，若2AD =，则ABC △的面积为__________．
【答案】
2
【解析】∴由正弦定理
πsin sin 6BD AD B =，πsin sin 6
DC AD
C =， 即π1sin sin 6sin A
D BD B B =
⋅=，π1
sin sin 6sin AD DC C C
=⋅=，
而3BC =，∴
113sin sin B C
+=，
∵
sin sin sin AB AC BC C B BAC ===∠1sin C AB =，1sin B AC
=，
∴
112
AC AB +=
，即2AB AC AC AB +=⋅， 又由余弦定理知2222cos AC AB AC AB BAC BC +-⋅⋅∠=， ∴229AC AB AC AB +-⋅=，即2
()39AC AB AC AB +-⋅=， 令x AC AB =⋅，∴24120x x --=，即6x =（2x =-舍去），
∴1sin 2ABC S AC AB BAC =
⋅⋅∠=
△
故答案为
2
．
三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12分）数列{}n a 满足：123
a =，()()()
21*
12122n n n n a a n +++-=-∈N ． （1）求{}n a 的通项公式； （2）求12n a a a ++⋅⋅⋅+．
【答案】（1）()()122121n n n n a +=--；（2）112221
n n ++--．
【解析】（1）由(
)()
2
1
12
12
2n n n n a a +-+-=-，得11222221
22121
n n n n n n a a ++++--==⋅--，
()()
1231112211311231212121213
22222212121212121n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a ------+-+-------⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=------，
即()()()()111132*********n n
n n n n n n a a a -++⋅=⇒=----． （2）()()
11
21121212121n n n n n n a +-==-----， ∴1212231111111
212121212121
n n n a a a +++⋅⋅⋅+=
-+-+⋅⋅⋅+-
------ 111
1
2212121
n n n +++-=-=--． 18．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，π2
APB ∠=
，π
3
ABC ∠=
，PB =24PA AD PC ===，点M 是AB 的中点．
（1）求证：平面PCM ⊥平面PAB ； （2）求二面角--B PC M 的余弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2
）
13
． 【解析】（1）在PAB △中，因为π
2
APB ∠=
，PB =2PA =， 所以4AB =，
因为点M 是AB 的中点，所以2BM
PM ==，
在BMC △中，π
3
MBC ∠=
，得CM =， 所以222BM CM BC +=，所以AB CM ⊥， 在PMC △中，2PM =
，CM =4PC =， 满足222PM CM PC +=，所以PM CM ⊥， 而AB
PM M =，所以CM ⊥平面PAB ，
因为CM ⊂平面PCM ，所以平面PCM ⊥平面PAB ．
（2）以AM 的中点O 为原点，以OB 为x 轴，平行于MC 的直线为y 轴，OP 为z 轴，如图建立O xyz -坐标系，
则P
，(1,0)C ，(3,0,0)B ，(1,0,0)M ，
所以(2,BC =-
，(BP =-
，(0,MC =
，(MP =-， 设平面BPC 的一个法向量(,,)x y z =m ，平面MPC 的一个法向量(,,)x y z =n ，
则00BC BP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m
，即20
30x x ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩，令1y =
，可得=m ； 则00MC MP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n
，即00
x ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩，令1z =
，可得=n
，cos ,||||13
⋅<>=
=
⋅m n m n m n ， 所以二面角--B PC M
的余弦值为
13
19．（12
分）拉拉裤又叫成长裤，是等宝宝调皮了自己会解纸尿裤了或者换尿裤的时候总
动来动去使用的，拉拉裤不但有防尿功能，且具有普通短裤的功能，拉拉裤易于穿着、方便活动，能减轻妈妈的劳累，让宝宝轻轻松松学步，渗透性能是体现其功能的重要指标，对渗透性能的考量又分滑渗量、回渗量、渗漏量三个方面，其中，回渗量是一个直接与孩子健康挂钩的指标，国家在这方面有严格规定，要求不得超过10克．某品牌拉拉裤的生产商为了测量某批新产品的回渗量，从该批产品中随机抽取了1000片，得到如下频率分布直方图：
注：以频率作为概率，该品牌拉拉裤的生产商规定回渗量小于220毫克为合格品． （1）从这批拉拉裤中随机抽取4片，记合格片数为ξ，求ξ的分布列与期望； （2）从这批拉拉裤中随机抽取m 片，全是合格品的概率不低于60%，求m 的最大值； （3）为提高新产品的质量，该厂商研发部拟订了Ⅰ，Ⅱ两种技术更新方案，试验结果如下：方案Ⅰ，随机抽取100片，合格片数的期望是96；方案Ⅱ，随机抽取120片，合格片数的期望是115．试问该厂商应按哪个改进方案投入生产？
【答案】（1）分布列见解析，数学期望为3.6；（2）最大值为4；（3）应选择方案Ⅰ． 【解析】（1）由频率分布直方图可知， 所抽取拉拉裤是不合格品的频率为
()0.0040.001200.1+⨯=，
所以所抽取拉拉裤是合格品的频率为10.10.9-=， 即所抽取拉拉裤是合格品的概率为
910
． 从这批产品中随机抽取4片，合格品的个数ξ的所有可能取值为0，1，2，3，4，
则()41101010000P ξ⎛⎫
=== ⎪⎝⎭，()3
1491361C 101010000P ξ⎛⎫==⋅⋅= ⎪
⎝⎭， ()2
224
914862C 101010000P ξ⎛⎫
⎛⎫==⋅⋅= ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭，()3
3491
29163C 101010000
P ξ⎛⎫==⋅⋅= ⎪
⎝⎭，
()4
9656141010000
P ξ⎛⎫===
⎪⎝⎭， 所以ξ的分布列为
所以数学期望()13648629166561
01234 3.61000010000100001000010000
E ξ=⨯
+⨯+⨯+⨯+⨯=．
（2）从这这批拉拉裤中随机抽取m 片，全是合格品的概率为910m
⎛⎫ ⎪⎝⎭，
因为4
90.656110⎛⎫= ⎪⎝⎭，5
90.5904910⎛⎫= ⎪⎝⎭， 依题意得90.610m ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭
，则m 的最大值为4．
（3）按方案Ⅰ，设随机抽取一个产品合格的概率是a ，随机抽取100片， 合格品个数()100,X
B a ；
按方案Ⅱ，设随机抽取一个产品合格的概率是b ，随机抽取120片， 合格品个数()120,Y B b ，
依题意()10096E
X a ==，()120115E Y b ==，解得2425a =
，2324
b =． 因为
2423
2524
>，所以应选择方案Ⅰ． 20．（12分）已知抛物线()2
20:y p C x p =>经过点()1,2． （1）求抛物线C 的方程及其准线方程；
（2）设过点()2,0的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，若2AB AM =，MN y ⊥轴．垂足为N ，求证：以MN 为直径的圆恒过定点．
【答案】（1）抛物线C 的方程为2
4y x =，其准线方程为1x =-；（2）证明见解析．
【解析】（1）由抛物线2
2y px =经过点()1,2，得42p =，即2p =，
所以抛物线C 的方程为2
4y x =，其准线方程为1x =-．
（2）证明：由题意知，直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为2x my =+． 将2x my =+代入2
4y x =，消去x ，得2
480y my --=，
显然216320Δm =+>，
设()11,A x y ，()22,B x y ，则124y y m +=，128y y =-． ∵1
2
AM AB =
，∴M 是线段AB 的中点，设(),M M M x y ， 则()122124
2222
M m y y x x x m +++=
==+，1222M y y y m +==，
∴()
2
22,2M m m +，
又MN y ⊥轴，所以垂足N 的坐标为()0,2N
m ．
设以MN 为直径的圆恒经过点()00,D x y ， 则()20022,2DM
m x m y =+--，()00,2DN x m y =--，
由0DM DN ⋅=，得()
()2
2
0002220x m x m y -+-+-=，
即()2
2
2
0000042420x m y m x y x --++-=，①
因为对任意的实数m ，①式要恒成立，
所以00220
00420
4020
x y x y x -=⎧⎪
=⎨⎪+-=⎩，解得0020x y =⎧⎨=⎩，
所以以MN 为直径的圆恒过定点，该定点的坐标为()2,0． 21．（12分）已知函数()ln f x a x x =+． （1）讨论()f x 的单调性；
（2）当1a =时，证明：()x
xf x e <．
【答案】（1）见解析；（2）证明见解析．
【解析】（1）()f x 定义域是(0,)+∞，由题意()1a a x f x x x
+'=+=， 当0a ≥时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上是增函数；
当0a <时，0x a <<-时，()0f x '<；x a >-时，()0f x '>，
()f x 在(0,)a -上递减，在(,)a -+∞上递增．
（2）令()1ln x x x ϕ=--，则1
()1x x
ϕ'=-
， 01x <<时，()0x ϕ'<；1x >时，()0x ϕ'>，
即01x <<时，()ϕx 递减；1x >时，()ϕx 递增，
所以min ()(1)0x ϕϕ==，所以()1ln 0x x x ϕ=--≥，（1x =时，等号成立）， 所以1ln x x -≥，
1a =时，不等式()x
xf x e <为2ln x x x x e +<，即2ln 0x x x x e +-<，
令2()ln x g x x x x e =+-，(0,)x ∈+∞，则()ln 12x
g x x x e '=++-， 令()()ln 12x
h x g x x x e '==++-，则1
()2x h x e x
'=+-， 设1()2x H x e x =
+-，则21
()0x H x e x
'=--<． 所以()h x '在(0,)+∞上是减函数，(1)30h e '=->，2
5(2)02
h e '=-<， 所以()h x '在(0,)+∞上存在唯一零点0x ，0(1,2)x ∈，
00x x <<时，()0h x '>；0x x >时，()0h x '<，
所以()h x 在0(0,)x 上递增，在0(,)x +∞上递减．
0max 000()()ln 12x h x h x x x e ==++-，
由(1)ln11230h e e =++-=->，得0()0h x >， 易知2
2
2
2
2
2()21210e e h e e
e e e ----=-++-=-+
-<， 2
225(2)ln 214ln 25ln 2502h e e ⎛⎫
=++-=+-<+-< ⎪⎝⎭
，
所以()h x 在0(0,)x 上一个零点1x ，在0(,)x +∞上有一个零点2x ，且20(,2)x x ∈，
10x x <<或2x x >时，()0g x '<，()g x 在1(0,)x 和2(,)x +∞上递减； 12x x x <<时，()0g x '>，()g x 在12(,)x x 上递增，
显然当01x <<时，2()ln ln 11ln 0x
g x x x x e x x x x =+-<+-=<， 因此10x x <<时，()0<g x ，
在1[,)x +∞上，2()g x 是()g x 的最大值，22
2222()ln x g x x x x e =+-， 又2222()ln 120x g x x x e '=++-=，222ln 12x
e x x =++，
因为212x <<，则210x ， 所以
2222
2222222222222()ln ln 12(1)ln 21(1)21g x x x x x x x x x x x x x =+---=-+--<-+--22222242(2)0x x x x =-=-<，
综上，0x >时，()0<g x 成立，所以()x
xf x e <成立．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为cos 2sin x t y t αα
=⎧⎨=-+⎩（,t t ∈R 为参数2π0,α⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭）
． 以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为
2sin ρθ=，3π,
44πθ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
．
（1）求半圆C 的参数方程和直线l 的直角坐标方程；
（2）直线l 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点D 在半圆C 上，且直线CD 的倾斜角是
直线l 的倾斜角的2倍，ABD △的面积为1+α的值．
【答案】（1）c :os 1sin x y C ϕϕ
=⎧⎨=+⎩（ϕ为参数，(0,π)ϕ∈），π:tan 2,0,2l y x αα⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭；
（2）π3
α=
． 【解析】（1）半圆C 的参数方程为cos 1sin x y ϕ
ϕ
=⎧⎨
=+⎩（其中ϕ为参数，(0,π)ϕ∈），
直线l 的直角坐标方程为πtan 2,0,
2y x αα⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭
． （2）由题意可知，可设(cos2,1sin 2)D αα+，其中2π0,
α⎛⎫∈ ⎪⎝
⎭
，
所以点D 到直线AB 的距离为d =
sin cos2cos sin 23cos sin 3cos ααααααα=--=+，
又2,0tan A α⎛⎫ ⎪⎝⎭，(0,2)B -，2sin AB α∴==，
∴三角形ABD 的面积()1123sin 3cos 1122sin tan S AB d αααα=⋅⋅=⋅⋅+=+=，
tan α∴=，
又π0,
2α⎛
⎫∈ ⎪⎝
⎭，π
3
α∴=． 23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知215f x
x x ．
（1）解不等式()9f x <；
（2）若a 、b 、c 均为正数，且24f a
f b f c
，证明：222
2b c a a b c
++≥．
【答案】（1）()5,1-；（2）证明解析． 【解析】（1）由题意可知215f x x x ，
当2
1
x ≥-
时，21536f x x x x ，
()9f x <，即369x ，解得1
12
x -≤<；
当1
52
x -<<-
，2154f x x x x ，
()9f x <，即49x ，解得1
52
x -<<-；
当5x ≤-，21536f x
x x x ，
()9f x <，即369x ，无解，
综上所述，()5,1x ∈-， （2）因为a 、b 、c 均为正数， 所以36f a a ，36f b b ，36f c c ，
因为24f a
f b
f c
，
所以36363624a b c ，化简得2a b c ++=，
因为
2
222222
b c a b c a a b c a b c
a b c
222
222
2222224b c a b c a a b c a b c b c a a b c a b c
，
当且仅当a b c ==时取“=”号，
所以222
2b c a a b c
++≥成立．。