辽宁省大石桥市第二高级中学高三数学10月月考试题 理

大石桥二高中2016-2017学年度上学期10月月考
高三数学（理科）试卷
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题（每题5分，共60分） 1．设{}{
}2
,,x
y y B x x y x A R U -=====，则=)(B C
A U
I （ ）
A ．∅
B ．R
C ．{
}
0>x x D ．{}0
2．若复数z 满足（33+i ）z=3i （i 为虚数单位），则z 的共轭复数为（ ） A ．
i 2323- B ．i 2323+ C ．i 4
343- D ．i 43
43+ 3．“(
,)2
π
θπ∈”是“sin cos 0θθ->”的（ ） A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件 4．若函数())32(log 2
4++=x mx x f 的最小值为0，则m 的值为 （ ）
A ．
31 B ．2
1
C ．3
D ．2 5．设3log 6a =，5log 10b =，7log 14c =，则（ ）
A ．a b c >>
B ．b c a >>
C ．a c b >>
D ．c b a >>
6．已知幂函数()y f x =的图象经过点1
(4,)2
，且(1)(102)f a f a +<-，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．(1,5)-
B ．(,3)-∞
C ．(3,)+∞
D ．(3,5) 7．在数列{}n a 中，1112,1n
n n
a a a a ++=-=
-，则2016a =（ ） A ．－2 B ．13- C.1
2
D ．3 8．为了得到函数)3
2sin(π
+=x y 的图象，只需把函数x y 2sin =的图象上所有的点（ ） A ．向左
平行移动
3π个单位长度 B ．向右平行移动3
π
个单位长度 C ．向左平行移动6π个单位长度 D ．向右平行移动6
π
个单位长度
9．已知不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧≤-≥-≥+224x y x y x 表示的平面区域为D ，点)0,1(),0,0(A O ，若点M 是D 上的动点，
则
OM
OM OA ⋅的最小值是（ ）
A ．
10103 B ．55 C ．2
2
D ．1010 10．已知点P 是圆：2
2
4x y +=上的动点，点A ，B ，C 是以坐标原点为圆心的单位圆上的动点，
且C 0AB⋅B =u u u r u u u r ，则C PA +PB +P u u u r u u u r u u u r
的最小值为（ ）
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
11．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项之积为n T ，并且满足条件：11a >，
201620171a a >，
201620171
01
a a -<-，下列结论中正确的是（ ）
A ．0q <
B ．2016201810a a ->
C ．2016T 是数列{}n T 中的最大值
D ．20162017S S >
12．已知函数()()22,0
ln 1,0x x x f x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩
，若()f x mx ≥，则m 的取值范围是（ ）
A ．(],0-∞
B ．(],1-∞
C ．[]2,1-
D ．[]2,0- 二、填空题（每题5分，共60分）
13．若函数()()10cos 02x x f x x x π+<⎧⎪
=⎨⎛
⎫≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩
，则()f x 与x 轴围成封闭图形的面积为 . 14．函数()2sin()(0,||)2
f x x π
ωϕωϕ=+><
的图象如图所示，则ω= ，ϕ= .
15．如图，嵩山上原有一条笔直的山路BC ，现在又新架设了一条索道AC ，小李在山脚B 处看索道AC ，发现张角∠ABC ＝120°；
从B 处攀登400米到达D 处，回头看索道AC ， 发现张角∠ADC ＝150°；从D 处再攀登800米 方到达C 处，则索道AC 的长为________米．
16．已知数列{}n a 是各项均不为零的等差数列，n S 为其前n 项和，且()*21n n a S n N -=∈．若不
等式
8
n
n a n
λ
+≤
对任意*n N ∈恒成立，则实数λ的最大值为_____________． 三、解答题（共70分，要规范书写）
17．（12分）已知向量1sin ,2m A ⎛⎫= ⎪⎝
⎭u v 与()
3,sin 3cos n A A =+v
共线，其中A 是ABC ∆的内角
． （1）求角A 的大小 ；（2）若2BC =，求ABC ∆的面积S 的最大值，并判断S 取得最大值时ABC ∆的形状．
18．（12分）已知数列{}n a 满足12a =，2
*112()()n n n a a n N n
++=⋅∈ （1）求证:数列2n a n ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
是等比数列，并求其通项公式； （2）设223log (
)26n
n a b n
=-，求数列{ }n b 的前n 项和n T ； 19．（12分）如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面ABCD 为 直角梯形， AD//BC ，且1
12
BC AD =
=，BC ⊥DC ， ∠BAD=60°，平面PAD ⊥底面ABCD ，E 为AD 的中点， △PAD 为等边三角形，M 是棱PC 上的 一点，设
PM
k MC
=（M 与C 不重合）
． （1）求证：CD ⊥DP ； （2）若PA ∥平面BME ，求k 的值； （3）若二面角M ﹣BE ﹣A 的平面角为150°，求k 的值．
20．（12分）现如今，“网购”一词已不再新鲜，越来越多的人已经接受并喜欢上了这种购物的方式，但随之也产生了商品质量差与信誉不好等问题．因此，相关管理部门制定了针对商品质量和服务的评价体系．现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0．6，对服务的好评率为0．75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次．
（1）根据题中数据完成下表，并通过计算说明：能否有99．9%的把握认为，商品好评与服务好评有关？
（2）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的5次购物中,设对商品和服务全好评的次数为随机变量X ：
①求对商品和服务全好评的次数X 的分布列（概率用组合数算式表示）； ②求X 的数学期望和方差．
2()0.150.100.050.0250.0100.0050.001
2.072 2.706
3.841 5.024 6.6357.87910.828
P K k k
≥
（22
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++,其中n a b c d =+++）
对服务好评 对服务不满意 合计 对商品好评
对商品不满意 合计
21．（12分）已知函数()(1)1x
f x x e =-+，32
()32
g x ax x =+. （1）求()f x 的单调区间及最小值；
（2）若在区间[0,)+∞上不等式()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.
二选一：22．（10分）已知曲线C 在直角坐标系xOy 下的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧=+=θ
θ
sin 3cos 31y x （θ为参数），
以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线C 的极坐标方程； （2）直线l 的极坐标方程是33)6cos(=-π
θρ，射线OT ：）
（03
>=ρπ
θ与曲线C 交于A 点，与直线l 交于B 点，求线段AB 的长. 23．（10分）选修4-5：不等式选讲
已知()1f x x x a =-++，()2
2g a a a =--．
（1）当3a =，解关于x 的不等式()()2f x g a >+；
（2）当[),1x a ∈-时恒有()()f x g a ≤，求实数a 的取值范围．
高三数学理月考参考答案
一、选择题(每题5分，共60分) 1-5 CCABA 6-10 DDCDA 12.D 二、填空题(每题5分，共20分) 13．
32 14．2；6
π
15．31400 16．9 三、解答题（共70分）
17．（12分）解：（1）因为//m n u v
v
，∴()
1
sin sin 32
A A A =⨯，
∴23sin cos 2A A A =
12cos 212A A -=，∴sin 216A π⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭， 又∵()0,A π∈，∴112,666A π
ππ⎛⎫
-
∈- ⎪⎝⎭，∴262
A ππ-=．∴3A π=．
（2）由余弦定理得22
4b c bc =+-，1sin 2ABC S bc A ∆=
=， 而2222
244b c bc bc b c bc ⎫+≥⇒≤⎬=+-⎭
（当且仅当“b c =”时等号成立），
∴44
ABC S ∆≤⨯=ABC ∆的面积取最大值时，b c =， 又3
A π
=
，故此时ABC ∆为等边三角形．
18．（12分）解：（1）12a =Q ，2*11
2(1)()n n a a n N n
+=+⋅∈
1222(1)n n a a n n +∴=⋅+，
*
n N ∈2
{}n a n ∴为等比数列 1
21222221
n n n n n a a a n n -∴
=⋅=∴=⋅ （2）222
3log ()263log 226326n
n n a b n n
=-=-=-Q ，123b ∴=- 当8n ≤时，3260n b n =-<,当9n ≥时, 3260n b n =->。

设数列{}n b 的前n 项和为n S ,则 当8n ≤时，
121212()()()()n n n n n T b b b b b b b b b S =++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅-=-++⋅⋅⋅=-
所以，2
1()(23326)493222
n n b b n n n n T +⋅-+--=-=-=
当9n ≥时
128912891289888
()()()()()()2n n
n n n n T b b b b b b b b b b b b b b b S S S S S =++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅=-+-+⋅⋅⋅-++⋅⋅⋅+=-++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+=-+-=- 所以，
2118()()8(23326)34940022002222
n n b b n b b n n n n T +⋅+⨯-+-⋅-+=-⋅=+=
综上，2
2
493 (8)2349400 (9)2
n n n n T n n n ⎧-≤⎪⎪=⎨-+⎪≥⎪⎩
19．（12分）试题解析：证明：（1）因为△PAD 为等边三角形，E 为AD 的中点，所以PE ⊥AD ．
因为平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD∩平面ABCD=AD ，PE ⊂平面PAD ， 所以PE ⊥平面ABCD ．
又CD ⊂平面ABCD ，所以PE ⊥CD ．
由已知得CD ⊥DA ，PE∩A D=E ，所以CD ⊥平面PAD ． 双DP ⊂平面PAD ，所以CD ⊥DP ． 解：（2）连接AC 交BE 于N ，连接MN ． 因为PA ∥平面BME ，PA ⊂平面PAC ， 平面PAC∩平面BME=MN ，所以PA ∥MN ．
因为AD ∥BC ，BC ⊥DC ，所以∠CBN=∠AEN=90°． 又CB=AE ，∠CNB=∠ANE ，所以△CNB ≌△ANE ． 所以CN=NA ，则M 为PC 的中点，k=1．
（3）依题意，若二面角M ﹣BE ﹣A 的大小为150°，则二面角M ﹣BE ﹣C 的大小为30°． 连接CE ，过点M 作MF ∥PE 交CE 于F ，过A （0，1，0）作FG ⊥BE 于G ，连接MG ． 因为PE ⊥平面ABCD ，所以MF ⊥平面ABCD ． 又BE ⊂平面ABCD ，所以MF ⊥BE ．
又MF∩FG=F，MF ⊂平面MFG ，FG ⊂平面MFG ， 所以BE ⊥平面MFG ，从而BE ⊥MG ．
则∠MGF 为二面角M ﹣BE ﹣C 的平面角，即∠MGF=30°．
在等边△PAD 中，3PE =F C 1
C 1k M M ==
PE
P +，所以3F 1k M =+． 又FG G C E =B BE ，所以
FG 1k
k =
+． 在△MFG 中，
F tan GF=
FG M ∠M
解得k=3． 20.试题解析：（1）由题意可得关于商品和服务评价的2×2列联表如下：
对服务好评 对服务不满意 合计 对商品好评 80 40 120 对商品不满意 70
10 80 合计
150
50
200
22
200(80104070)10011.11110.828,150********K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯
因此有99．9%的把握认为商品好评与服务好评有关． （2）①每次购物时,对商品和服务都好评的概率为
2
5
, X 的取值可以是0,1,2,3,4,5．
其中53(0)()5P X ==；14523(1)()()55P X C ==；223523(2)()()55P X C ==；332
523(3)()()55P X C ==；
441523(4)()()55
P X C ==；52
(5)()5P X ==．
X 0 1 2 3 4 5 P 53()5 14523()()55C 223
523()()55C 332523()()55C 441523()()55C 52()5
②由于~(5,)5X B ,则()52,5
E X =⨯=()5(1).
555D X =⨯⨯-=
21．（12分）解：（1）由x
xe x f =)(/
， 当()0,∞-∈x 时，0)(/
<x f ，()x f 是减函数，
当()∞+∈，
0x 时，0)(/
>x f ，()x f 是增函数， ()x f 的最小值为()00=f ，
所以()x f 的增区间为()∞+，
0，减区间为()0,∞-，最小值为0. （2）设函数()()()=-=x g x f x h 1)1(+-x
e x ⎪⎭
⎫
⎝⎛+
-23
2131x ax ，[)+∞∈,0x ， 则()()[]
1+-='ax e x x h x
因为[)+∞∈,0x ，所以()1+-ax e x
的符号就是()x h '的符号. 设()()1+-=ax e x x
ϕ，[)+∞∈,0x ，则()a e x x
-='ϕ，
因为[)+∞∈,0x ，所以1≥x
e ，
①当1≤a 时，()0≥-='a e x x
ϕ，()x ϕ在[)+∞,0上是增函数，又()00=ϕ，所以()0≥x ϕ，
()0≥'x h ，()x h 在[)+∞,0上是增函数，又()00=h ，所以()0≥x h ，
故1≤a 合乎题意
②当1>a 时，由()0=-='a e x x
ϕ得0ln >=a x ，在区间[)a ln ,0上，()0<'x ϕ，()x ϕ是减函
数，所 以 在区间()a ln ,0内，()0<x ϕ，所以()0<'x h ，()x h 在()a ln ,0上是减函数，()0<x h ，故1>a 不合题意综上所述，所求的实数a 的取值范围为(]1,∞-
22．（10分）（1）02cos 22
=--θρρ；（2）4 解：（1）曲线C 的普通方程为3)1(22=+-y x ,
又θρcos =x ，θρsin =y ，∴曲线C 的极坐标方程为02cos 22
=--θρρ.
（2）由2020302cos 222=⇒=--⇒⎪⎩
⎪
⎨⎧>==--ρρρρπ
θθρρ）
（， 故射线OT 与曲线C 的交点A 的极坐标为)3
,
2(π
；
由60333)6cos(=⇒⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
>==-ρρπθπθρ）
（，故射线OT 与直线l 的交点B 的极坐标为)3,6(π.
∴4||||=-=A B AB ρρ.
23．（10分）解：（1）3a =时，()13f x x x =-++，()34g =．
∴()()2f x g a >+化为136x x -++>
解之得：4x <-或2x >
∴所求不等式解集为：()(),42,-∞-+∞U ．
（2）Q [),1x a ∈-，∴()1f x a =+．
∴()()22122303f x g a a a a a a a ≤⇔+≤--⇔--≥⇔≥或1a ≤-
又Q 1a -<，∴1a >-
综上，实数a 的取值范围为：[)3,+∞．。