鞍山市名校2020新高考高二数学下学期期末复习检测试题

同步测试
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在复数列{}n z 中，1816z i =+，()12
n n i
z z n *+=
⋅∈N ，设n z 在复平面上对应的点为n Z ，则（ ） A ．存在点M ，对任意的正整数n ，都满足10n MZ ≤ B ．不存在点M ，对任意的正整数n ，都满足55n MZ ≤ C ．存在无数个点M ，对任意的正整数n ，都满足65n MZ ≤ D ．存在唯一的点M ，对任意的正整数n ，都满足85n MZ ≤ 2．在极坐标系中，圆cos 3sin ρθθ=-的圆心的极坐标为（ ） A ．1,3π⎛⎫
-
⎪⎝
⎭
B ．1,
3π⎛⎫
⎪⎝⎭
C ．1,
6π⎛⎫
⎪⎝⎭
D ．1,6π⎛
⎫
-
⎪⎝
⎭
3．设复数1=
-i
z i
，z 是z 的共轭复数，则z z ⋅=（） A ．
12
B ．
22
C ．1
D ．2
4． “指数函数是增函数，函数()2x f x =是指数函数，所以函数()2x f x =是增函数”，以上推理（ ） A ．大前提不正确
B ．小前提不正确
C ．结论不正确
D ．正确
5．与圆221x y +=及圆22870x y x +-+=都外切的圆的圆心在（ ）． A ．一个圆上
B ．一个椭圆上
C ．双曲线的一支上
D ．抛物线上
6．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的体积为（ ）
A ．2
B ．4
C ．442+
D ．642+
7．在复平面内，复数2
1
1(1)i --的共轭复数对应的点位于（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
8．已知随机变量~,B n p （）ξ,且12, 2.4E D ξξ==,则n 与p 的值分别为
A ．16与0.8
B ．20与0.4
C ．12与0.6
D ．15与0.8
9．过点(,)e e -作曲线x y e x =-的切线，则切线方程为（ ） A ．2(1)y e x e =--+ B ．2(1)y e x e =-- C ．12(1)e e y e x e ++=-- D ．1(1)e e y e x e +=--
10．α是第四象限角，5
tan 12
α=-,，则sin α=（ ） A ．
15
B ．15
-
C ．513
D ．513
-
11．如果函数的图象如下图，那么导函数'
()y f x =的图象可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
12．若0n >，则9
n n
+的最小值为（ ） A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
二、填空题：本题共4小题
13．已知集合[)21{|}A B x x a A B =+∞=≤≤⋂≠∅，
，，，则实数a 的取值范围是_________. 14．如图，顶点为P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，母线，O 是底面圆心，B 是底面圆内一点，且
，
C 为PA 的中点，，垂足为
D ，当三棱锥
的体积最大时，
______．
15．出租车司机从南昌二中新校区到老校区(苏圃路)途中有8个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯是相互独立的，并且概率都是1
.3
则这位司机在途中遇到红灯数ξ的期望为____ .（用分数表示）
16．已知()f x 是定义R 在上的奇函数，当0x ≥时，2()ln(1)f x x x =++，则不等式(21)1ln 2
f x +>+
的解集为_________.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知m R ∈，命題:p 对任意[]0,1x ∈，不等式()2
2log 123x m m +-≥-恒成立；命题:q 存在
[]1,1x ∈-，使得1()12
x m ≤-成立.
(1)若p 为真命题，求m 的取值范围；
(2)若p q ∧为假，p q ∨为真，求m 的取值范围.
18．已知椭圆()22
22:10x y E a b a b
+=>>经过两点()10,1,3,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.
(1)求椭圆E 的方程；
(2)若直线:10l x y --=交椭圆E 于两个不同的点,,A B O 是坐标原点，求AOB ∆的面积S ．
19．（6分）在平面直角坐标系中，射线:(0)l y kx x =≥ 的倾斜角为α ，且斜率(1,3]k ∈.曲线1C 的
参数方程为1cos (sin x y α
αα
=+⎧⎨=⎩ 为参数）；在以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线
2C 的极坐标方程为2cos sin ρθθ= .
(1)分别求出曲线1C 和射线l 的极坐标方程；
(2)若l 与曲线1C ，2C 交点(不同于原点)分别为A,B ，求|OA||OB|的取值范围.
20．（6分）已知椭圆22221x y a b += (0a b >>)的一个顶点为()0,1A ，离心率为2
2
，过点()0,2B -及左
焦点1F 的直线交椭圆于C ，D 两点，右焦点设为2F . (1)求椭圆的方程； (2)求2CDF ∆的面积.
21．（6分）我们称点P 到图形C 上任意一点距离的最小值为点P 到图形C 的距离，记作()d P C ，
（1）求点()30P ，
到抛物线2
:4C y x =的距离()d P C ，； （2）设l 是长为2的线段，求点集(){}
1D P d P l =≤，所表示图形的面积；
（3）试探究：平面内，动点P 到定圆2
2
:1C x y +=的距离与到定点()()00A a a ≥，
的距离相等的点的轨迹．
22．（8分）如图，在平面直角坐标系
中， 已知圆
，椭圆
，为椭圆右顶
点．过原点且异于坐标轴的直线与椭圆交于两点，直线与圆的另一交点为，直线与圆的
另一交点为，其中．设直线的斜率分别为．
（1）求的值；
（2）记直线的斜率分别为
，是否存在常数，使得
？若存在，求值；若不存在，
说明理由；
（3）求证：直线必过点．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．D 【解析】 【分析】 由()12n n i z z n N *+=
⋅∈，由复数模的性质可得出11
2
n n z z +=，可得出数列{}n z 是等比数列，且得出185n z z ≤=n n n MZ OZ OM OZ OM =-≤+，结合向量的三角不等式可得出正确选项.
【详解】
1816z i =+，22181685z ∴=+=()12
n n i
z z n *+=⋅∈N ，1122n n n i z z z +∴==，
所以数列{}
n z 是以85为首项，以
1
2
为公比的等比数列，且85n n OZ z =≤O 为坐标原点），由向量模的三角不等式可得85n n n MZ OZ OM OZ OM OM =-≤+≤+， 当点M 与坐标原点O 重合时，85n MZ ≤
因此，存在唯一的点M ，对任意的正整数n ，都满足85n MZ ≤，
故选：D.
【点睛】
本题考查复数的几何意义，同时也考查了复数模的性质和等比数列的综合应用，解题的关键就是利用向量模的三角不等式构建不等关系进行验证，考查推理能力，属于难题.
2．A
【解析】
【分析】
先将圆的极坐标方程化为直角坐标方程，找到此时的圆心再化为极坐标.
【详解】
cos
ρθθ
=
可化简为：2cos sin
ρρθθ
=
根据极坐标与直角坐标的互化公式
222
cos
sin
x
y
x y
ρθ
ρθ
ρ
=
⎧
⎪
=
⎨
⎪=+
⎩
可得：22
x y x
+=-
220
x x y
-+=
化简可得：
2
113
244
x
x y
⎛
⎛⎫
--++-=
⎪
⎝⎭⎝⎭
即：
2
2
1
1
2
x y
⎛
⎛⎫
-++=
⎪
⎝⎭⎝⎭
∴
圆心为：
1
,
2
⎛
⎝⎭
1
tan
ρ
θ
=
⎧⎪
∴⎨
=
⎪⎩
故圆心的极坐标为：1,
3
π
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了极坐标和直角坐标的互化和圆的极坐标方程，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 3．A
【解析】
【分析】
先对1=
-i
z i
进行化简，然后得出z ，即可算出z z ⋅ 【详解】
()()()1111122
i i i i z i i i +=
==-+--+ 所以122i z =--，所以11111
2222442
i i z z ⎛⎫⎛⎫-+--=+= ⎪⎭⎭=⎝⎝⋅⎪ 故选：A 【点睛】
本题考查的是复数的运算，较简单. 4．A 【解析】
分析：利用三段论和指数函数的单调性分析判断.
详解：由三段论可知“指数函数是增函数”是大前提，但是指数函数不一定是增函数，对于指数函数(01)x
y a a a =>≠且，当a>1时，指数函数是增函数，当0＜a ＜1时，指数函数是减函数.所以大前提不正确，故答案为：A.
点睛：本题主要考查三段论和指数函数的单调性，意在考查学生对这些知识的掌握水平. 5．C 【解析】 【分析】
设动圆P 的半径为r ，然后根据动圆与圆22
1x y +=及圆22
870x y x +-+=都外切得
3,1PF r PO r =+=+，再两式相减消去参数r ，则满足双曲线的定义，即可求解.
【详解】
设动圆的圆心为P ，半径为r ，而圆22
1x y +=的圆心为(0,0)O ，半径为1； 圆2
2
870x y x +-+=的圆心为(4,0)F ，半径为1．
依题意得3,1PF r PO r =+=+，则()()312PF PO r r FO -=+-+=<， 所以点P 的轨迹是双曲线的一支． 故选C ． 【点睛】
本题主要考查了圆与圆的位置关系，以及双曲线的定义的应用，其中解答中熟记圆与圆的位置关系和双曲线的定义是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 6．A
【分析】
根据三视图的特点可以分析该物体是一个直三棱柱，即可求得体积. 【详解】
由三视图可得该物体是一个以侧视图为底面的直三棱柱， 所以其体积为1
21222
⨯⨯⨯=. 故选：A 【点睛】
此题考查三视图的认识，根据三视图求几何体的体积，关键在于准确识别三视图的特征. 7．A 【解析】 【分析】 先化简复数211
11(1)2
i i -=--，然后求其共轭复数，再利用复数的几何意义求解.
【详解】 因为复数2
11
11(1)2
i i -
=--， 其共轭复数为112i +
，对应的点是11,2⎛⎫
⎪⎝⎭
， 所以位于第一象限. 故选：A 【点睛】
本题主要考查复数的概念及其几何意义，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 8．D 【解析】 因为随机变量(),B n p ξ，且12, 2.4,12E D np ξξ==∴=，且()1 2.4np p -=，解得15,0.8n p ==，
故选D. 9．C 【解析】 【分析】
设出切点坐标00x x e （，），求出原函数的导函数，得到函数在0x x =时的导数值，即切线的斜率，然后由
直线方程的点斜式得切线方程，代入已知点的坐标后求出切点的坐标，则切线方程可求．
由x y e x =-，得1x y e '=-，
设切点为
00x
x e （，）， 则00|1x
x x y e -'＝＝ ，
∴切线方程为(
)
0001()x
x
y e e x x ---＝ ， ∵切线过点(),e e -， ∴−e x 0＝e x 0(1−x 0)， 解得：0e 1x =+ ． ∴切线方程为1
1
1e e y e e x e ++-=--（）
，整理得：()
121e e y e x e ++=--. 故选C.． 【点睛】
本题考查了利用导数研究过曲线上某点的切线方程，过曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是中档题． 10．D 【解析】 【分析】
根据同角三角函数基本关系，得到22sin 5cos 12
sin cos 1
α
ααα⎧=-⎪
⎨⎪+=⎩，求解，再根据题意，即可得出结果. 【详解】
因为5tan 12α=-，由同角三角函数基本关系可得：22sin 5cos 12
sin cos 1
α
ααα⎧=-⎪
⎨⎪+=⎩， 解得：5
sin 13
α=±
， 又α是第四象限角，所以5sin 13
α=-. 故选：D. 【点睛】
本题主要考查已知正切求正弦，熟记同角三角函数基本关系即可，属于常考题型. 11．A 【解析】
试题分析：()y f x =的单调变化情况为先增后减、再增再减 因此'()y f x =的符号变化情况为大于零、
小于零、大于零、小于零，四个选项只有A 符合，故选A. 考点：1、函数的单调性与导数的关系；2、函数图象的应用.
【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的解析式、定义域、值域、单调性，导数的应用以及数学化归思想，属于难题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +
-
→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意选项一一排除. 12．C 【解析】 【分析】
利用均值不等式求解即可． 【详解】 ∵9
296n n
+
≥=（当且仅当n ＝3时等号成立） 故选：C ． 【点睛】
本题主要考查了均值不等式求最值．注意把握好一定，二正，三相等的原则． 二、填空题：本题共4小题 13．[)2,+∞ 【解析】 【分析】
通过A B ⋂≠∅，即可得到答案. 【详解】
根据题意，A B ⋂≠∅，则2a ≥，所以实数a 的取值范围是[)2,+∞. 【点睛】
本题主要集合交的运算，难度较小. 14．
【解析】 【分析】
根据图形，说明PC 是三棱锥的高，
的面积在
时取得最大值，求出OB 即可．
【详解】
，可得
，即
面POB ，所以面
面POB ．
，则
面PAB ，
，，
又，，所以面
即PC 是三棱锥
的高
．
而的面积在时取得最大值斜边的直角三角形．
当
时，由
，知
，
．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了圆锥的结构特征，棱锥的体积等知识，考查空间想象能力，属于中档题． 15．83
【解析】 【分析】
遇到红灯相互独立且概率相同可知18,3B ξ⎛⎫
⎪⎝⎭
，根据二项分布数学期望求解公式求得结果. 【详解】
由题意可知，司机在途中遇到红灯数ξ服从于二项分布，即18,3B ξ
⎛⎫ ⎪⎝⎭
∴期望()18
833
E ξ=⨯=
本题正确结果：8
3
【点睛】
本题考查服从于二项分布的随机变量的数学期望的求解，考查对于二项分布数学期望计算公式的掌握，属于基础题. 16．(0,)∞ 【解析】 【分析】
求导根据导数判断函数是单调递增的，再利用(21)(1)f x f +>解得答案. 【详解】
当0x ≥时，2
2
2()ln(1)'()10,(0)01x
f x x x f x f x
=++⇒=+>=+ ()f x 是定义R 在上的奇函数 ()f x 是在R 上单调递增
(21)1ln 2(1)2+110f x f x x +>+=⇒>⇒> 故答案为(0,)∞ 【点睛】
本题考查了函数的奇偶性，单调性，判断函数在R 上单调递增是解题的关键. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17． (1)[]1,2；(2)()(],11,2-∞
【解析】 【分析】
（1）由题得223m m -≥-，解不等式即得解；（2）先由题得max 1
[()1]12
x
m ≤-=， 由题得p ，q 中一个是真命题，一个是假命题，列出不等式组，解不等式组得解. 【详解】
(1)对任意[]0,1x ∈，不等式()2
2log 123x m m +-≥-恒成立，
当[]0,1x ∈，由对数函数的性质可知当0x =时，()2y log 12x =+-的最小值为2-，
223m m ∴-≥-，解得12m ≤≤.
因此，若p 为真命题时，m 的取值范围是[]1,2.
(2)存在[]1,1x ∈-，使得1()12x
m ≤-成立，max 1[()1]12
x
m ∴≤-=.
命题q 为真时，1m ，
p 且q 为假，p 或q 为真，
p ∴，q 中一个是真命题，一个是假命题.
当p 真q 假时，则12
1
m m ≤≤⎧⎨
>⎩解得12m <≤；
当p 假q 真时，121
m m m ⎧⎨
≤⎩或，即1m <.
综上所述，m 的取值范围为()(],11,2-∞.
【点睛】
本题主要考查指数对数函数的性质和不等式的恒成立问题的解法，考查复合命题的真假和存在性问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
18． (I) 2
214
x y += (II) 45
【解析】 【分析】
(I)将两点坐标代入椭圆方程中，求出,a b 的值，而后求出椭圆的方程；
(II)直线l 方程与椭圆方程联立，消去x ，得到一元二次方程，解这个方程，求出两点的纵坐标12,y y ，设直线:10l x y --=与x 轴交于点P ，利用S ＝1
2
|OP||y 1－y 2| 进行求解． 【详解】
解：(1)由题意得: 222131
1
4b a
b ⎧=⎪
⎨+=⎪⎩, 解得: 2,1a b == 即轨迹E 的方程为＋y 2＝1. (2)记A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 故可设AB 的方程为x ＝y ＋1.
由22441
x y x y ⎧+=⎨=+⎩消去x 得5y 2
＋2y －3＝0， 所以123
1,5
y y =-=
设直线l 与x 轴交于点()1,0P
S ＝|OP||y 1－y 2| S ＝. 【点睛】
本题考查了求椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系． 19．（1）1:2cos ;:,(,]43
C l ππ
ρθθαα==∈ （2）2,23]（
【解析】 试题分析：
(1)结合题中所给的方程的形式整理可得曲线1C 和射线l 的极坐标方程分别是：
1:2cos ;:,,43C l ππρθθαα⎛⎤
==∈ ⎥⎝⎦
.
(2)联立12,C C 的方程，结合题意可求得|OA||OB|的取值范围是(2,23]. 试题解析： (1)
的极坐标方程为
，
的极坐标方程为
，
(2)联立2cos ρθ
θα
=⎧⎨
=⎩，得
联立2cos sin ρθθθα⎧=⎨=⎩
， 得
∴
2tan 22,3]k α==∈（
20． (1) 2
212x y +=；4109
【解析】 【分析】
（1）根据椭圆的基本概念和平方关系，建立关于a 、b 、c 的方程，解出2a =1b c ==，从而得到
椭圆的方程；
（2）求出1F B 直线的斜率得直线1F B 的方程为22y x =--，与椭圆方程联解并结合根与系数的关系算出1222
9
x x -=
，结合弦长公式可得1029CD ，最后利用点到直线的距离公式求出2F 到直线1BF 的距离d ，即可得到2CDF ∆的面积．
【详解】
解：(1)由题意知1b =，2c e a =
=
， 又∵2
2
2
a b c =+，∴2
2a =. ∴椭圆方程为2
212
x y +=.
(2)∵()11,0F -，()0,2B -
()
120
201BF k --∴=
=---
∴直线1BF 的方程为22y x =--，
由22
2212
y x x y =--⎧⎪⎨+=⎪⎩，得291660x x ++=. ∵162496400∆=-⨯⨯=>， ∴直线与椭圆有两个公共点， 设为()11,C x y ，()22,D x y ，
则121216923x x x x ⎧
+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，
∴CD ===
又点2F 到直线1BF 的距离d ==
，
故12CDF S CD d ∆=⋅=. 【点睛】
本题给出椭圆满足的条件，求椭圆的方程并求三角形的面积．着重考查了椭圆的标准方程与简单几何性质、直线与圆角曲线的位置关系等知识，属于中档题．
21．（1） （2）4π+ （3）见解析 【解析】 【分析】
(1)设A 2
00(,)4
y y 是抛物线2:4C y x =上任意一点，先求出|PA|的函数表达式，再求函数的最小值得解；
(2）由题意知集合{|(,)1}D P d P l =所表示的图形是一个边长为2的正方形和两个半径是1的半圆，再求出面积；(3) 将平面内到定圆C 的距离转化为到圆上动点的距离，再分点A 现圆C 的位置关系，结合圆锥曲线的定义即可解决． 【详解】
(1)设A 2
00(,)4
y y 是抛物线2:4C y x =上任意一点，则
||PA ==
， 因为0y R ∈,
所以当02y =±时，min ||PA =
点()30P ，
到抛物线2:4C y x =的距离()d P C ，. （2）设线段l 的端点分别为A ，B ，以直线AB 为x 轴，AB 的中点为原点建立直角坐标系， 则(1,0)A -，(1,0)B ，点集D 由如下曲线围成：
1:1l y =，(||1)x ，2:1l y =-，(||1)x ，
221:(1)1C x y ++=，(1)x -，222:(1)1C x y -+=，(1)x ，
∴集合{|(,)1}D P d P l =所表示的图形是一个边长为2的正方形和两个半径是1的半圆，
∴其面积为224S ππ=+=+．
(3) 设动点为Q ，
当点A 在圆内不与圆心C 重合，连接CQ 并延长，交于圆上一点B ，由题意知QB QA =，QB QC R +=，所以QA QC R +=，即Q 的轨迹为一椭圆；如图．
如果是点A 在圆C 外，由QC R QA -=，得QC QA R -=，为一定值，即Q 的轨迹为双曲线的一支； 当点A 与圆心C 重合，要使QB QA =，则Q 必然在与圆C 的同心圆，即Q 的轨迹为一圆.
【点睛】
本题主要考查新定义的理解和应用，考查抛物线中的最值问题，考查轨迹问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 22．（1）（2）
（3）详见解析
【解析】 试题分析：（1）设，则
，代入椭圆方程，运用直线的斜率公式，化简即可得到所求值；（2）联立直线的方程和圆方程，求得
的坐标；联立直线
的方程和椭圆方程，求得
的坐标，
再求直线
，和直线的斜率，即可得到结论；
试题解析：（1）设，则，
所以
（2）联立得，
解得，
联立得，
解得，
所以，，
所以，故存在常数，使得．
考点：椭圆的简单性质．
【方法点晴】本题考查椭圆的方程和性质，在（1）中，设出点坐标，利用对称性得到点坐标，表达出斜率，利用点在椭圆上，整体代换的思想求出结果；考查直线方程和椭圆方程联立，求得交点，考查直线方程和圆方程联立，求得交点,直线的斜率和方程的运用，就化简整理的运算能力，对运算能力要求较高，属于中档题．
同步测试
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若复数z 满足12iz i -= ，则在复平面内，复数z 对应的点的坐标是（ ）
A ．()12，
B ．()21，
C ．()12-，
D ．()21-，
2．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的体积为（ ）
A ．2
B ．4
C ．442+
D ．642+
3．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是
A ．
34000
cm 3 B ．38000
cm 3
C ．3
2000 cm
D ．34000 cm
4．供电部门对某社区1000位居民2017年12月份人均用电情况进行统计后，按人均用电量分为[
)010，， [)1020，
， [)2030，， [)3040，， []4050，五组，整理得到如下的频率分布直方图，则下列说法错误的是
A ．12月份人均用电量人数最多的一组有400人
B ．12月份人均用电量不低于20度的有500人
C ．12月份人均用电量为25度
D ．在这1000位居民中任选1位协助收费，选到的居民用电量在[
)3040，
一组的概率为1
10
5．用数学归纳法证明不等式：111
112
31
n n n +++
>+++，则从n k =到 1n k =+时，左边应添加的项为（ ）
A ．1
32k + B ．
1
34k + C ．11
341
k k -++
D ．1111
3233341
k k k k ++-++++
6．若2
20
a x dx =
⎰
，2
30
b x dx =⎰，2
sin c xdx =⎰，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）
A ．c a b <<
B ．a b c <<
C ．c b a <<
D ．a c b <<
7．已知函数()()2x
f x x a e =-，且()'13f e =，则曲线()y f x =在0x =处的切线方程为（ ） A ．10x y -+= B ．10x y --= C ．310x y -+=
D ．310x y ++=
8．将三枚骰子各掷一次，设事件A 为“三个点数都不相同”，事件B 为“至少出现一个6点”，则概率
(A |B)P 的值为（ ）
A ．
6091
B ．
12
C ．
518
D ．
91
216
9．已知,,a b c 分别是ABC ∆的内角,,A B C 的的对边，若cos c
A b
<，则ABC ∆的形状为（ ） A ．钝角三角形
B ．直角三角形
C ．锐角三角形
D ．等边三角形
10．下列有关结论正确的个数为（ ）
①小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A =“4个人去的景点不相同”，事件B =“小赵独自去一个景点”，则()2|9
P A B =
； ②设,a b ∈R ，则“22log log a b >”是“21a b ->的充分不必要条件；
③设随机变量ξ服从正态分布(),7N μ，若()()24P P ξξ<=>，则μ与D ξ的值分别为3,7D μξ==．
A．0B．1C．2D．3
11．如图所示，阴影部分的面积为（）
A．
1
2
B．1 C．
2
3
D．
7
6
12．一物体在力
5,02
()
34,2
x
F x
x x
≤≤
⎧
=⎨
+>
⎩
（单位:N）的作用下沿与力F相同的方向，从0
x=处运动到4
x=处（单位:)m，则力()
F x所做的功为（）
A．54焦B．40焦C．36焦D．14焦
二、填空题：本题共4小题
13．把一个大金属球表面涂漆，共需2.4公斤油漆，若把这个大金属球融化成64个大小都相同的小金属球，不计损耗，把这些小金属球表面都涂漆，需要这种油漆_______公斤.
14．已知函数()2
2ln0
210
x x
f x
x x x
⎧+
=⎨
--+≤
⎩
，＞
，
，
若存在互不相等实数a b c d
、、、，有
()()()()
f a f b f c f d
===，则+++
a b c d的取值范围是______.
15．直线310
x-=的倾斜角为_______________.
16．若变量x、y满足约束条件
2
20
y
x y
x y
≤
⎧
⎪
+≥
⎨
⎪--≤
⎩
，则2
z x y
=+的最大值为__________．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为
2
32
x t
y t
=+
⎧
⎨
=-
⎩
（t为参数），将圆221
x y
+=上每一个点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的2倍，得到曲线C.
（1）求直线l的普通方程及曲线C的参数方程；
（2）设点P 在直线l上，点q在曲线C上，求||
PQ的最小值及此时点Q的直角坐标.
18．某食品店为了了解气温对销售量的影响，随机记录了该店1月份中5天的日销售量y（单位：千克）与该地当日最低气温x（单位：C）的数据，如下表：
x 2 5 8 9 11
y 12 10 8 8
7 （1）求出y 与x 的回归方程y b x a ∧∧∧=+；
（2）判断y 与x 之间是正相关还是负相关；若该地1月份某天的最低气温为6C ，请用所求回归方程预测该店当日的营业额；
附: 回归方程y b x a ∧∧∧=+中, 1
221()()n i i
i n i i x y nx y b x
n x ∧==-=-∑∑,a y b x ∧∧
=-. 19．（6分）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>）的离心率为223
，一个焦点在直线24y x =-上，直线l 与椭圆交于P Q ，两点，其中直线OP 的斜率为1k ，直线OQ 的斜率为2k 。

（1）求椭圆方程；
（2）若1219
k k ⋅=-，试问⊿OPQ 的面积是否为定值，若是求出这个定值，若不是请说明理由。

20．（6分）已知函数2()ln ()f x x ax x a =-+-∈R ．
（1）当3a =时，求函数()f x 在1,22
⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值； （2）当函数()f x 在1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调时，求a 的取值范围． 21．（6分）如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系Ox ，极坐标系中3572,,2,,2,,2,4444A B C D ππππ⎛
⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，弧,,,AB BC CD DA 所在圆的圆心分别为()()31,,1,,1,,1,022
πππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，曲线1C 是弧AB ，曲线2C 是弧BC ，曲线3C 是弧CD ，曲线4C 是弧DA .
（1）分别写出1234,,,C C C C 的极坐标方程；
（2）直线l 的参数方程为22x t y t
λ=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），点P 的直角坐标为()2,2，若直线l 与曲线1C 有两个不同交点,M N ，求实数λ的取值范围，并求出PM PN +的取值范围.
22．（8分）设数列{}n a 的前n 项的和为n S ,且满足12a =,对*n N ∀∈,都有1(1)2n n a p S +=-+ (其中常数1p >),数列{}n b 满足2121log ()n n b a a a n =.
(1)求证:数列{}n a 是等比数列；
(2)若2
20172p =,求2018b 的值；
(3)若*k N ∃∈,使得2212k p +=,记3
||2n n c b =-,求数列{}n c 的前2(1)k +项的和.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．D
【解析】
【分析】
利用复数的运算法则、几何意义即可得出．
【详解】
由题意i z ＝1+2i ，∴iz （﹣i ）＝（1+2i ）•（﹣i ），
∴z ＝2﹣i ．
则在复平面内，z 所对应的点的坐标是（2，﹣1）．
故选D ．
【点睛】
本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
2．A
【解析】
【分析】
根据三视图的特点可以分析该物体是一个直三棱柱，即可求得体积.
【详解】
由三视图可得该物体是一个以侧视图为底面的直三棱柱，
所以其体积为
121222
⨯⨯⨯=. 故选：A
【点睛】 此题考查三视图的认识，根据三视图求几何体的体积，关键在于准确识别三视图的特征.
3．B
【解析】
试题分析：如图，几何体是四棱锥，一个侧面PBC ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形,且边长为20，那么利用体积公式可知318000202020cm 33
V =⨯⨯⨯=,故选B. 考点：本题主要考查三视图、椎体的体积，考查简单几何体的三视图的运用．培养同学们的空间想象能力和基本的运算能力．
点评：解决该试题的关键是由三视图可知，几何体是四棱锥，一个侧面垂直底面，底面是正方形，根据数据计算其体积．
4．C
【解析】
根据频率分布直方图知，
12月份人均用电量人数最多的一组是[10,20)，有1000×0.04×10=400人，A 正确；
12月份人均用电量不低于20度的频率是(0.03+0.01+0.01)×10=0.5，有1000×0.5=500人，∴B 正确； 12月份人均用电量为5×0.1+15×0.4+25×0.3+35×0.1+45×0.1=22，∴C 错误；
在这1000位居民中任选1位协助收费,用电量在[30,40)一组的频率为0.1， 估计所求的概率为
110
，∴D 正确. 故选C.
5．D
【解析】
【分析】
将n k =和1n k =+式子表示出来，相减得到答案.
【详解】 n k =时：
11111231
k k k +++>+++ 1n k =+时：11111112331323334k k k k k k ++++++>++++++ 观察知：
应添加的项为
11113233341
k k k k ++-++++ 答案选D
【点睛】
本题考查了数学归纳法，写出式子观察对应项是解题的关键.
6．A
【解析】
分析：利用定积分，将已知,,a b c 化简，即可比较大小． 详解：由题意，可得22
320018|33a x dx x ===⎰，2
342001|44b x dx x ===⎰， 2
200sin cos |cos 21c xdx x ==-=-+⎰， 则23,3,12a b c <<<，所以c a b <<，故选A ．
点睛：本题主要考查了定积分的运算，其中根据微积分基本定理，求解,,a b c 的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．
7．B
【解析】
【分析】
先对已知函数f(x)求导，由()'13f e =可得a 的值，由此确定函数和其导函数的解析式，进而可得x=0处的切线方程。

【详解】
()()()'2222x x x f x e x a e x a e =+-=+-，∴()()'143f a e e =-=，解得1a =，即
()()21x f x x e =-，()01f =-，则()()'21x f x x e =+，∴()'01f =，∴曲线()y f x =在点0x =处的切线方程为()110y x +=⨯-，即10x y --=.
【点睛】
本题考查求函数某点处的切线方程，解题关键是先由条件求出函数f(x)中的未知量a 。

8．A
【解析】
考点：条件概率与独立事件．
分析：本题要求条件概率，根据要求的结果等于P （AB ）÷P （B ），需要先求出AB 同时发生的概率，除以B 发生的概率，根据等可能事件的概率公式做出要用的概率．代入算式得到结果．
解：∵P （A|B ）=P （AB ）÷P （B ），
P （AB ）=3606=60216
P （B ）=1-P （B ）=1-3
356=1-125216=91216 ∴P （A/B ）=P （AB ）÷P （B ）=60
21691216=6091
故选A ．
9．A
【解析】
【分析】
由已知结合正弦定理可得sin sin cos A C B <利用三角形的内角和及诱导公式可得，
sin()sin cos A B B A +<整理可得sin cos sin cos sin cos A B B A B A +<从而有sin cos 0A B <结合三角形的性质可求
【详解】
解：A 是ABC ∆的一个内角，0A π<<，
sin 0
cos A c A b
∴>< 由正弦定理可得，sin sin cos C B A <
sin()sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos 0
A B B A
A B B A B A A B ∴+<∴+<∴<
又sin 0A >，cos 0B ∴<，即B 为钝角，故选A ．
【点睛】
本题主要考查了正弦定理，三角形的内角和及诱导公式，两角和的正弦公式，属于基础试题． 10．D 【解析】
对于①，4344443273()()464432
A P
B P AB ⨯====，，所以()2()()9P AB P A B P B ==，故①正确；对于②，当22log log a b >，有0a b >>，而由21a b ->有a b >，因为0,0a b a b a b a b >>⇒>>≠>>> ，所以22log log a b >是21a b ->的充分不必要条件，故②正确；对于③，由已知，正态密度曲线的图象关于直线3ξ=对称，且27σ= 所以3,7D μξ==，故③正确．
点睛：本题主要考查了条件概率，充分必要条件，正态分布等，属于难题．这几个知识点都是属于难点，容易做错．
11．B
【解析】
如图所示x 轴与函数2y
x x 围成的面积为12S S S =+ 11
223211000
22322211
11111[0()]()()323261111115()()843232326S x x dx x x dx x x S x x dx x x =--=-+=-+=-+==-=-=⨯-⨯-+=⎰⎰⎰ ,因此12151,66
S S S =+=
+=故选B. 12．C
【解析】
【分析】 本题是一个求变力做功的问题，可以利用积分求解，由题意，其积分区间是[0，4]，被积函数是力的函数表达式，由积分公式进行计算即可得到答案
【详解】 由题意得：424224020023()5(34)5|(4)|362
W F x dx dx x dx x x x =
=++=++=⎰⎰⎰． 故选：C ．
【点睛】
本题考查定积分的应用，物理中的变力所做的功用定积分求解是定积分在物理中的重要应用，正确解答本题的关键是理解功与定积分的对应．
二、填空题：本题共4小题
13．9.6
【解析】
【分析】
根据大金属球和64个小金属球体积相同，求半径的比值，再求大金属球和64个小金属球的表面积比值，最后求油漆数量.
【详解】 33446433
R r ππ=⋅ ∴4R r =，
214S R π=，2264.4S r π= ∴2
221644S r S R
=⋅=， ∴ 2.449.6m kg =⨯=.
故答案为：9.6 【点睛】 本题考查球的体积和表面积的实际应用问题，重点考查表面积和体积公式，关键是利用前后体积相等求半径的比值，属于基础题型. 14．341112,1e e e ⎡⎫+--⎪⎢⎣⎭
【解析】
【分析】
不妨设,0,,0a b c d ≤>，根据二次函数对称性求得+a b 的值.根据绝对值的定义求得,c d 的关系式，将d 转化为c 来表示，根据c 的取值范围，求得+++a b c d 的取值范围.
【详解】
不妨设,0,,0a b c d ≤>，画出函数()f x 的图像如下图所示.二次函数221y x x =--+的对称轴为
1x =-，所以2a b +=-.不妨设c d <，则由2ln 2ln c d +=+得2ln 2ln c d --=+，得
44
,e cd e d c --==，结合图像可知12ln 2c ≤+<，解得(43,c e e --⎤∈⎦，所以(()
4432,e a b c d c c e e c ---⎤+++=-++∈⎦，由于42e y x x -=-++在(43,e e --⎤⎦上为减函数，故4341112,21e e e c c e -⎡⎫+--++∈⎢⎣-⎪⎭
.
【点睛】
本小题主要考查分段函数的图像与性质，考查二次函数的图像，考查含有绝对值函数的图像，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.
15．150
【解析】
【分析】
由直线10x -=的斜率为k =00tan [0,180)αα=∈，即可求解. 【详解】
由题意，可知直线10x -=的斜率为k =
设直线的倾斜角为α，则00tan [0,180)αα=∈，解得0150α=， 即换线的倾斜角为0150.
【点睛】
本题主要考查直线的倾斜角的求解问题，其中解答中熟记直线的倾斜角与斜率的关系，合理准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
16．8
【解析】
【分析】
首先画出可行域，然后确定目标函数的最大值即可.
【详解】
绘制不等式组表示的可行域如图所示，
结合目标函数的几何意义可得目标函数在点()4,2B 处取得最大值，
其最大值为：max 4228z =+⨯=.。