2024届山东省临沂市第十九中学数学高三上期末考试模拟试题含解析

2024届山东省临沂市第十九中学数学高三上期末考试模拟试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．如图所示，直三棱柱的高为4，底面边长分别是5，12，13，当球与上底面三条棱都相切时球心到下底面距离为8，则球的体积为 ( )
A ．
B ．
C ．
D ．
2．i 是虚数单位，21i
z i
=
-则||z =（ ） A ．1
B ．2
C 2
D ．223．已知函数3(1),1
()ln ,1
x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，若()()f a f b >，则下列不等关系正确的是（ ）
A ．
22
11
11
a b <++ B 33a b
C ．2a ab <
D ．(
)(
)
2
2
ln 1ln 1a b +>+
4．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍.其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一”.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积2136V L h ≈
的近似公式.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么近似公式2
3112
V L h ≈相当于将圆锥体积公式中的圆周率近似取为（ ） A ．
227
B ．
157
50
C ．
289
D ．
337
115
5．设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，若函数()f x 在1x =处取得极大值，则函数()y xf x =-'的图象可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6．若双曲线22
214
x y a -=3，则双曲线的焦距为（ ）
A ．26
B ．25
C ．6
D ．8
7．已知等差数列{}n a 的公差为2-，前n 项和为n S ，1a ，2a ，3a 为某三角形的三边长，且该三角形有一个内角为120︒，若n m S S ≤对任意的*n ∈N 恒成立，则实数m =（ ）. A ．6
B ．5
C ．4
D ．3
8．已知函数()2
3sin 22cos 1f x x x =-+，将()f x 的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的
1
2
，纵坐标保持不变；再把所得图象向上平移1个单位长度，得到函数()y g x =的图象，若()()129g x g x ⋅=，则12x x -的值可能为（ ） A ．
54
π
B ．
34
π C ．
2
π D ．
3
π 9．已知集合{}21|A x log x =<，集合{
}
|2B y y x ==-，则A B =（ ）
A ．(),2-∞
B ．(],2-∞
C ．()0,2
D ．[)0,+∞
10．若1(1)z a i =+-（a R ∈），|2|z =，则a =（ ）
A ．0或2
B ．0
C ．1或2
D ．1
11．已知角α的顶点与坐标原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点(3,4)P --，则tan 24πα⎛
⎫
+ ⎪⎝
⎭
的值为（ ） A ．247
-
B ．1731
-
C ．
247
D ．
1731
12．已知三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均相等，侧棱1AA ⊥平面ABC ，过1AB 作平面α与1BC 平行，设平面α与
平面11ACC A 的交线为l ，记直线l 与直线,,AB BC CA 所成锐角分别为αβγ，，，则这三个角的大小关系为( )
A ．αγβ>>
B ．αβγ=>
C ．γβα>>
D ．αβγ>=
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．()()5
21a b c --的展开式中，32a b c 的系数是______.
14．某校高二（4）班统计全班同学中午在食堂用餐时间，有7人用时为6分钟，有14人用时7分钟，有15人用时为8分钟，还有4人用时为10分钟，则高二（4）班全体同学用餐平均用时为____分钟. 15．已知函数3()sin f x x x =-+，若()f a M =，则()f a -=___________. 16．给出以下式子：
①tan25°+tan35°3tan35°； ②2(sin35°cos25°+cos35°cos65°)； ③
115115tan tan +︒
-︒
3_____.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知函数
()()()
2
21x f x x e a x =---,其中a ∈R ,()ln g x x x =-.
(1)函数()f x 的图象能否与x 轴相切?若能,求出实数a ;若不能,请说明理由. (2)若()()()h x f x g x =-在1x =处取得极大值,求实数a 的取值范围.
18．（12分）在平面直角坐标系xoy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系。

已知曲线C 的极坐
标方程为2
sin 2cos (0)a a ρθθ=>，过点()24P --，
的直线l 的参数方程为2
22
242
x y ⎧
=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩
（为参数），直线l 与曲线C 交于M 、N 两点。

（1）写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程：
（2）若| |,| |,| |P M M N P N 成等比数列，求a 的值。

19．（12分）甲、乙两班各派三名同学参加知识竞赛，每人回答一个问题，答对得10分，答错得0分，假设甲班三名同学答对的概率都是
23，乙班三名同学答对的概率分别是23，23，1
2
，且这六名同学答题正确与否相互之间没有影响．
（1）记“甲、乙两班总得分之和是60分”为事件A ，求事件A 发生的概率； （2）用X 表示甲班总得分，求随机变量X 的概率分布和数学期望． 20．（12分）已知函数21()()2ln f x ax bx x a R =+--∈． (Ⅰ)当0b =时，讨论函数()f x 的单调区间；
(Ⅱ)若对任意的[1,3]a ∈和0,,2()()3x f x bx ∈+∞≥-恒成立，求实数b 的取值范围． 21．（12分）已知函数()cos x
f x x
=
，()sin cos g x x x x =+. （1）判断函数()g x 在区间()0,2π上的零点的个数；
（2）记函数()f x 在区间()0,2π上的两个极值点分别为1x 、2x ，求证：()()12
0f x f x +<. 22．（10分）已知,,a b c 均为正实数，函数()222
111
4f x x x a b c =+
+-+的最小值为1.证明： （1）22249a b c ++≥； （2）
111
122ab bc ac
++≤. 参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A 【解题分析】
设球心为，三棱柱的上底面
的内切圆的圆心为
，该圆与边
切于点，根据球的几何性质可得
为
直角三角形，然后根据题中数据求出圆半径，进而求得球的半径，最后可求出球的体积．
【题目详解】 如图，设三棱柱为
，且
，高．
所以底面为斜边是的直角三角形，设该三角形的内切圆为圆，圆与边切于点，
则圆
的半径为
．
设球心为，则由球的几何知识得为直角三角形，且，
所以
，
即球的半径为，
所以球的体积为．
故选A ． 【题目点拨】
本题考查与球有关的组合体的问题，解答本题的关键有两个：
（1）构造以球半径、球心到小圆圆心的距离和小圆半径为三边的直角三角形，并在此三角形内求出球的半径，这是解决与球有关的问题时常用的方法． （2）若直角三角形的两直角边为，斜边为，则该直角三角形内切圆的半径
，合理利用中间结论可提高解
题的效率． 2、C 【解题分析】
由复数除法的运算法则求出z ，再由模长公式，即可求解. 【题目详解】 由2
2(1)
1,||21i i z i z i
+=
=-+=-. 故选:C. 【题目点拨】
本题考查复数的除法和模，属于基础题. 3、B 【解题分析】
利用函数的单调性得到,a b 的大小关系，再利用不等式的性质，即可得答案. 【题目详解】
∵()f x 在R 上单调递增，且()()f a f b >，∴a b >.
∵,a b 的符号无法判断，故2a 与2b ，2a 与ab 的大小不确定， 对A ，当1,1a b ==-时，
2211
11
a b =++，故A 错误； 对C ，当1,1a b ==-时，2
1,1a ab ==-，故C 错误； 对D ，当1,1a b ==-时，(
)(
)
2
2
ln 1ln 1a b +=+，故D 错误；
对B ，对a b >，故B 正确. 故选：B. 【题目点拨】
本题考查分段函数的单调性、不等式性质的运用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题. 4、C 【解题分析】
将圆锥的体积用两种方式表达，即2
13
V r h π==23
(2)112
r h π，解出π即可. 【题目详解】
设圆锥底面圆的半径为r ，则2
1
3
V r h π=，又2233(2)112112
V L h r h π≈
=， 故
23(2)112r h π213r h π≈，所以，11228369
π≈=. 故选：C. 【题目点拨】
本题利用古代数学问题考查圆锥体积计算的实际应用，考查学生的运算求解能力、创新能力. 5、B 【解题分析】
由题意首先确定导函数的符号，然后结合题意确定函数在区间()()(),0,0,1,1,-∞+∞和0,1x x ==处函数的特征即可确定函数图像. 【题目详解】
函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数()f x 在1x =处取得极大值，
∴当1x >时，()0f x '<；当1x =时，()0f x '=；当1x <时，()0f x '>.
0x ∴<时，()0y xf x '=->，01x <<时，()0y xf x '=-<，
当0x =或1x =时，()0y xf x '=-=；当1x >时，()0xf x '->. 故选：B 【题目点拨】
根据函数取得极大值，判断导函数在极值点附近左侧为正，右侧为负，由正负情况讨论图像可能成立的选项，是判断图像问题常见方法，有一定难度. 6、A 【解题分析】
依题意可得24b =，再根据离心率求出2a ，即可求出c ，从而得解； 【题目详解】
解：∵双曲线22
214
x y a -=
所以2
24
13e a
=+=，∴22a =，∴c =故选：A 【题目点拨】
本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题. 7、C 【解题分析】
若n m S S ≤对任意的*n ∈N 恒成立，则m S 为n S 的最大值，所以由已知，只需求出n S 取得最大值时的n 即可. 【题目详解】
由已知，1a >2a >30a >，又三角形有一个内角为120︒，所以222
12323a a a a a =++，
22211111(2)(4)(2)(4)a a a a a =-+-+--，解得17a =或12a =（舍），
故2(1)
7(2)82
n n n S n n n -=+⨯-=-+，当4n =时，n S 取得最大值，所以4m =. 故选：C. 【题目点拨】
本题考查等差数列前n 项和的最值问题，考查学生的计算能力，是一道基础题. 8、C
【解题分析】
利用二倍角公式与辅助角公式将函数()y f x =的解析式化简，然后利用图象变换规律得出函数()y g x =的解析式为
()2sin 416g x x π⎛
⎫=-+ ⎪⎝⎭
，可得函数()y g x =的值域为[]1,3-，结合条件()()129g x g x ⋅=，可得出()1g x 、()2g x 均为函数()y g x =的最大值，于是得出12x x -为函数()y g x =最小正周期的整数倍，由此可得出正确选项. 【题目详解】
函数()2
22cos 12cos 22sin 26f x x x x x x π⎛
⎫
=-+=-=-
⎪⎝
⎭
， 将函数()y f x =的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的
12倍，得2sin 46y x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭的图象；
再把所得图象向上平移1个单位，得函数()2sin 416y g x x π⎛
⎫==-+ ⎪⎝
⎭的图象，易知函数()y g x =的值域为[]1,3-.
若()()129g x g x ⋅=，则()13g x =且()23g x =，均为函数()y g x =的最大值， 由()426
2
x k k Z π
π
π-
=
+∈，解得()6
2
k x k Z π
π
=
+
∈； 其中1x 、2x 是三角函数()y g x =最高点的横坐标，
12x x ∴-的值为函数()y g x =的最小正周期T 的整数倍，且242
T ππ
=
=．故选C ． 【题目点拨】
本题考查三角函数图象变换，同时也考查了正弦型函数与周期相关的问题，解题的关键在于确定()1g x 、()2g x 均为函数()y g x =的最大值，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 9、D 【解题分析】
可求出集合A ，B ，然后进行并集的运算即可． 【题目详解】
解：{}|02A x x =<<，{}|0B y y =≥；
∴[)0,A B =+∞．
故选D ． 【题目点拨】
考查描述法、区间的定义，对数函数的单调性，以及并集的运算． 10、A 【解题分析】
利用复数的模的运算列方程，解方程求得a 的值. 【题目详解】
由于1(1)z a i =+-（a R ∈）
，||z =
=0a =或2a =.
故选：A 【题目点拨】
本小题主要考查复数模的运算，属于基础题. 11、B 【解题分析】
根据三角函数定义得到4tan 3
α=，故24
tan 27α=-，再利用和差公式得到答案.
【题目详解】
∵角α的终边过点(3,4)P --，∴4tan 3α=
，22tan 24
tan 21tan 7
ααα==-
-. ∴241
tan 2tan
1774tan 2244311tan 2tan 1147
π
απαπα-
++⎛⎫+=
==- ⎪⎝
⎭-⋅+⨯. 故选：B . 【题目点拨】
本题考查了三角函数定义，和差公式，意在考查学生的计算能力. 12、B 【解题分析】
利用图形作出空间中两直线所成的角，然后利用余弦定理求解即可. 【题目详解】
如图，1111111，D C CC C E AC ==，设O 为11A C 的中点，1O 为11C E 的中点， 由图可知过1AB 且与1BC 平行的平面α为平面11AB D ，所以直线l 即为直线1AD ， 由题易知，11，D AB O CB ∠∠的补角，1D AC ∠分别为αβγ，，， 设三棱柱的棱长为2，
在1D AB ∆中，1125225，，D B AB AD ===
2
2
1
25425
55cos cos 1010
2225
D AB α+-∠=
=
∴=⨯⨯；
在1O BC ∆中，11
1125，，O B BC OC === (2
2
1
541155cos cos 1010
225
O CB β+-
∠=
=-
∴=⨯⨯； 在1D AC ∆中，114225，，CD AC AD ===
155cos cos 25
D AC α∠=
=
∴=
cos cos cos ，αβγαβγ=<∴=>.
故选：B 【题目点拨】
本题主要考查了空间中两直线所成角的计算，考查了学生的作图，用图能力，体现了学生直观想象的核心素养.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、40-
【解题分析】
先将原式展开成()()5522a b c a b ---，发现()5
2a b -中不含32a b c ，故只研究后面一项即可得解.
【题目详解】 ()()()()5552122a b c a b c a b --=---，
依题意，只需求()52c a b -⋅-中32a b c 的系数，是()225C 240-⋅-=-.
故答案为：-40
【题目点拨】
本题考查二项式定理性质，关键是先展开再利用排列组合思想解决，属于基础题.
14、7.5
【解题分析】
分别求出所有人用时总和再除以总人数即可得到平均数.
【题目详解】
76+147+1584107.5714154
⨯⨯⨯+⨯=+++ 故答案为：7.5
【题目点拨】
此题考查求平均数，关键在于准确计算出所有数据之和，易错点在于概念辨析不清导致计算出错.
15、M -
【解题分析】
根据题意，利用函数奇偶性的定义判断函数()f x 的奇偶性，利用函数奇偶性的性质求解即可.
【题目详解】
因为函数3()sin f x x x =-+，其定义域为R ，
所以其定义域关于原点对称，
又()()()()
()33sin sin f x x x x x f x -=--+-=-+=-， 所以函数()f x 为奇函数，因为()f a M =，
所以()f a M -=-.
故答案为:M -
【题目点拨】
本题考查函数奇偶性的判断及其性质；考查运算求解能力；熟练掌握函数奇偶性的判断方法是求解本题的关键;属于中
档题、常考题型.
16、①②③
【解题分析】
由已知分别结合和差角的正切及正弦余弦公式进行化简即可求解.
【题目详解】
①∵tan60°＝tan （25°+35°
）253512535tan tan tan tan ︒+︒==-︒︒
， tan25°
+tan35°tan35°；
)12535tan tan =-︒︒tan35°，
=
②2（sin35°cos25°+cos35°cos65°）＝2（sin35°cos25°+cos35°sin25°），
＝
2sin60°= ③115451511514545tan tan tan tan tan tan +︒︒+︒==-︒-︒︒
tan （45°+15°）＝
tan60°= 故答案为：①②③
【题目点拨】
本题主要考查了两角和与差的三角公式在三角化简求值中的应用，属于中档试题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、 (1) 答案见解析(2) 1,2e -⎛⎫+∞
⎪⎝⎭
【解题分析】 （1）假设函数()f x 的图象与x 轴相切于(),0t ，根据相切可得方程组()()00f t f t ⎧=⎪⎨='⎪⎩
，看方程是否有解即可；（2）求出()h x 的导数，设()12x G x e a x
=--(0x >)，根据函数的单调性及()h x 在1x =处取得极大值求出a 的范围即可. 【题目详解】
(1)函数()f x 的图象不能与x 轴相切,理由若下:
()()()121x f x x e a x '=---.假设函数()f x 的图象与x 轴相切于(),0t
则()()00f t f t ⎧=⎪⎨='⎪⎩即()()()()22101210t t t e a t t e a t ⎧---=⎪⎨---=⎪⎩
显然1t ≠,20t e a =>,代入()()2210t t e a t ---=中得,2450t t -+=无实数解.
故函数()f x 的图象不能与x 轴相切. (2)()()()221ln x h x x e a x x x =---+-(0x >)
()()112x h x x e a x ⎛⎫'=--- ⎪⎝⎭
,()10h '∴=, 设()12x G x e a x
=-
-(0x >), ()21x G x e x '=+恒大于零. ()G x ∴在()0,∞+上单调递增.
又x →+∞,()G x →+∞,0x +→,()G x →-∞
∴存在唯一0x ,使()00G x =,且
00x x <<时()0G x <,0x x >时()0G x >,
①当01x =时,()0h x '≥恒成立,()h x 在()0,∞+单调递增,
()h x 无极值,不合题意.
②当01x <时,可得当()0,1x x ∈时,()0h x '<,当()1,x ∈+∞时,()0h x '>.
所以()h x 在()0,1x 内单调递减,在()1,+∞内单调递增,
所以()h x 在1x =处取得极小值,不合题意.
③当01x >时,可得当()0,1x ∈时,()0h x '>,当()01,x x ∈时,()0h x '<.
所以()h x 在()0,1内单调递增,在()01,x 内单调递减,
所以()h x 在1x =处取得极大值,符合题意.
此时由01x >得()()010G G x <=即120e a --<,
12
e a -∴> 综上可知,实数a 的取值范围为1,2e -⎛⎫+∞
⎪⎝⎭
. 【题目点拨】 本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，属于难题．
18、（1）l 的普通方程2y x =-；C 的直角坐标方程 2y ax =；（2）1a =.
【解题分析】
（1）利用极坐标与直角坐标的互化公式即可把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，利用消去参数t 即可得到直线l 的直角坐标方程；
（2）将直线l 的参数方程，代入曲线C 的方程，利用参数的几何意义即可得出||||PM PN ⋅，从而建立关于a 的方程，求解即可．
【题目详解】
（1）由直线l
的参数方程2242
x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩消去参数t 得, 42y x =-++，即2y x =-为l 的普通方程
由2sin 2cos a ρθθ=，两边乘以ρ得22sin 2cos a ρθρθ=
2y ax ∴=为C 的直角坐标方程.
（2
）将24x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩代入抛物线22y ax
得24)3280t a t a -+++=
2(22(4))4(328)0
a a =+-+>
124)0t t a +=+>
12328 0t t a =+>
120,0t t ∴>>
由已知| |,| |,| |P M M N P N 成等比数列，
2||||||MN PM PN ∴=⋅
即21212t t t t -=⋅，()21212124t t t t t t +-=，()2
12
125t t t t +=， 24))5(328)a a +=+整理得2340a a +-=
4a =-（舍去）或1a =.
【题目点拨】
熟练掌握极坐标与直角坐标的互化公式、方程思想、直线l 的参数方程中的参数的几何意义是解题的关键．
19、（1）16243
（2）分布列见解析，期望为20 【解题分析】
()1利用相互独立事件概率公式求解即可;
()2由题意知,随机变量X 可能的取值为0，10，20，30,分别求出对应的概率,列出分布列并代入数学期望公式求解即可.
【题目详解】
（1）由相互独立事件概率公式可得,22222116()()()333332243
P A =⨯⨯⨯⨯⨯= （2）由题意知,随机变量X 可能的取值为0，10，20，30.
()3
032101327P X C ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭
， ()21
3222101339P X C ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ()22
3224201339
P X C ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()3
332830327
P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭, 所以，X 的概率分布列为
所以数学期望()010203020279927
E X =⨯
+⨯+⨯+⨯=. 【题目点拨】 本题考查相互独立事件概率公式和离散型随机变量的分布列及其数学期望;考查运算求解能力;确定随机变量可能的取值,求出对应的概率是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.
20、 (Ⅰ)见解析(Ⅱ)22,2e ⎛⎤-∞-
⎥⎝⎦
【解题分析】
(Ⅰ)首先求得导函数，然后结合导函数的解析式分类讨论函数的单调性即可； (Ⅱ)将原问题进行等价转化为
1ln 2
x b a x x +-≥，()0,x ∀∈+∞，[]1,3a ∀∈恒成立，然后构造新函数，结合函数的性质确定实数b 的取值范围即可． 【题目详解】
解：(Ⅰ)当0b =时，()()()21220ax f x a x x x
-=-=>'， 当0a ≤时，()0f x '<在()0,+∞上恒成立，函数()f x 在()0,+∞上单调递减；
当0a >时，由()0f x '<得：10x a <<；由()0f x '>得：1x a
>． ∴当0a ≤时，函数()f x 的单调递减区间是()0,+∞，无单调递增区间：
当0a >时，函数的单调递减区间是10,a ⎛
⎫ ⎪⎝⎭，函数的单调递增区间是1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
． (Ⅱ)对任意的[]
1,3a ∈和()0,x ∈+∞，()23f x bx ≥-恒成立等价于： 212ln 23ax bx x bx +--≥-，()0,x ∀∈+∞，[]1,3a ∀∈恒成立． 即1ln 2
x b a x x +
-≥，()0,x ∀∈+∞，[]1,3a ∀∈恒成立． 令：()1ln x g x a x x
=+-，[]1,3a ∈，()0,x ∈+∞， 则()22211ln ln 20x x g x x x x -'-=--==得2x e =， 由此可得：()g x 在区间(20,e ⎤⎦上单调递减，在区间)
2,e ⎡+∞⎣上单调递增， ∴当0x >时，()()22min 1g x g e
a e ==-，即212
b a e ≤- 又∵[]
1,3a ∈， ∴实数b 的取值范围是：22,2e ⎛⎤-∞-
⎥⎝⎦
． 【题目点拨】 本题主要考查导函数研究函数的单调性和恒成立问题，考查分类讨论的数学思想，等价转化的数学思想等知识，属于中等题．
21、（1）2；（2）见解析.
【解题分析】
（1）利用导数分析函数()y f x =在区间()0,2π上的单调性与极值，结合零点存在定理可得出结论；
（2）设函数()y f x =的极大值点和极小值点分别为1x 、2x ，由（1）知1,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，23,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，且满足
()sin cos 01,2i i i x x x i +==，1tan i i
x x =-，于是得出()()1212sin sin f x f x x x +=--，由1211x x >得12tan tan x x ->-，利用正切函数的单调性推导出
122x x πππ<<-<，再利用正弦函数的单调性可得出结论. 【题目详解】
（1）()sin cos g x x x x =+，()cos g x x x '∴=，
02x π<<，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时，cos 0x >，cos 0x x >，()0g x '>，则函数()y g x =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增； 当3,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos 0x <，cos 0x x <，()0g x '<，则函数()y g x =在3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递减； 当3,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时，cos 0x >，cos 0x x >，()0g x '>，则函数()y g x =在3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增. ()010g =>，022g ππ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，()10g π=-<，3302
2g ππ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，()210g π=>. 所以，函数()y g x =在0,2π⎛
⎫ ⎪⎝⎭与3,2ππ⎛
⎫ ⎪⎝⎭不存在零点，在区间,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭和3,22
ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上各存在一个零点. 综上所述，函数()y g x =在区间()0,2π上的零点的个数为2；
（2）()cos x f x x =，()()22sin cos g x x x x f x x x
+∴=--'=. 由（1）得，()sin cos g x x x x =+在区间,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭与3,22
ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上存在零点， 所以，函数()y f x =在区间,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭与3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上各存在一个极值点1x 、2x ，且1,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，23,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
， 且满足()0i g x =即()sin cos 01,2i i i x x x i +==，1tan i i
x x =-， ()()12121212
cos cos sin sin x x f x f x x x x x ∴+=+=--， 又123222
x x ππππ<<<<<，1211x x ∴>即12tan tan x x ->-，()122tan tan tan x x x π<=-， 1,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，23,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2,2x πππ⎛⎫∴-∈ ⎪⎝⎭
，
由tan y x =在,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递增，得122x x πππ<<-<， 再由sin y x =在,2x ππ⎛⎫∈
⎪⎝⎭上单调递减，得()122sin sin sin x x x π>-=- 12sin sin 0x x ∴+>，即()()120f x f x +<.
【题目点拨】
本题考查利用导数研究函数的零点个数问题，同时也考查了利用导数证明不等式，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.
22、（1）证明见解析（2）证明见解析
【解题分析】
（1）运用绝对值不等式的性质，注意等号成立的条件，即可求得最小值，再运用柯西不等式，即可得到最小值. （2）利用基本不等式即可得到结论，注意等号成立的条件.
【题目详解】
（1）由题意,,0a b c >，则函数
222111()4f x x x a b c =++-+222111()4x x a b c ≥+--+222
1114a b c =++， 又函数()f x 的最小值为1，即
2221114a b c ++1=， 由柯西不等式得222(4)a b c ++2221114a b c ⎛⎫++ ⎪⎝⎭
2(111)9≥++=，
当且仅当2a b c ===“=”.
故22249a b c ++≥.
（2）由题意，利用基本不等式可得22121a b ab ，221114b c bc +≥，221114a c
ac +≥，
（以上三式当且仅当2a b c ===时同时取“=”）
由（1）知，22211114a b c ++=， 所以，将以上三式相加得211ab bc ac ++≤222111224a b c ⎛⎫++= ⎪⎝⎭
即111
1
22
ab bc ac
++≤.
【题目点拨】
本题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基础知识，考查运算能力，属于中档题.。