任意角的三角函数(8.5)

任意角的三角函数
李柏青 黄岩中学
一.教学内容解析
在角由“锐角”到“任意角”的推广过程中,研究的视角由“静态”到“动态”,同时研究的平台也由“平面图形”过渡到了“平面直角坐标系”.借助直角坐标系研究角,一方面引入象限角,使“角”的研究统一转化为“转动的边”的研究；另一方面也提供了用代数方法研究几何的思路.
“任意角三角函数”是函数的下位概念，是刻划圆周运动规律的重要数学模型. “任意角三角函数”也可看作是“锐角三角函数”概念的因袭和扩张.
在圆周运动中，最基本、简单的情形是质点P 绕着单位圆的圆心作匀速圆周运动，在此运动中，关键是抓住质点P 的坐标（x,y ）随旋转角θ的变化而变化的函数关系.这种关系是确定的，至于如何更好地表达，合理的命名是非本质的内容.由于当角θ为锐角时，y 是θ的正弦，x 是θ的余弦，
x y 是θ的正切，因此可以以此为据，推广到任意角相应的三角函数定
义.
引入锐角三角函数的概念，目的是为了研究三角形中的边角关系，因此定义侧重几何的角度,利用相似直角三角形的性质,得到锐角和三角形边与边的“比值”之间的确定关系；而引入任意角三角函数的概念，目的是为了研究周期变化现象，因此定义侧重代数的角度,在直角坐标系下,以单位圆为工具，得到角和它的终边与单位圆的交点坐标之间的确定关系.两者同时都是函数的下位概念,在弧度制下,归结为数集到数集的映射.
教材中对任意角三角函数的定义有两种——单位圆的定义和欧拉的传统定义[1].从任意角三角函数的使命看,单位圆的定义显得形式简单,便于研究性质,同时借助圆周运动可以更直观地体现函数的周期性,某种意义上说,任意角三角函数就是圆的性质的几何表示.但两个定义本质相同,相互之间一点就通. 二.教学目标解析
1．理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义,经历“单位圆法”定义三角函数的过程；
2．会用定义求特殊角的三角函数值,会求已知终边位置的角的三角函数值；
3．会从函数三要素的角度认识三角函数的对应法则、自变量（定义域）、函数值（值域）；
4．体会定义三角函数过程中的数形结合、化归、数学模型等思想方法．
三.教学问题诊断分析
1．三角函数是一类特殊的函数,因此本节课侧重于在一般函数概念的指导下组织教学,让学生知道三角函数的是角与坐标（或比值）之间的对应关系.学生虽有锐角三角函数的概念,但其认识只停留在三角函数是反映直角三角形的角与边之间关系的层面上,有必要让学生从角与比值的对应角度重新认识.
2．锐角三角函数到任意角三角函数的推广,并非简单的特殊到一般意义上的推广,而是观念角度的变化,需要将直角三角形为载体的几何定义方式转化为以直角坐标系为载体的坐标定义方式.
3．将终边上的任意一点化归到单位圆上的点,不仅是求简,更是三角函数本质的体现,但学生的理解很难到位,需要在今后的学习中循序渐进.
4．在弧度制下（用单位圆的半径度量角）实现角的集合与实数集的一一对应,再实现数
到坐标的对应,会造成一定的理解困难,为了突出重点,分散难点,本节课暂时不作过度的解释.
四.教学支持条件分析
由于随着任意角的终边的“转动”,角的大小、终边上点的坐标等也随之变化,为了更好体现多元联系性,宜适当采用《几何画板》进行动态演示.
五.教学过程设计
(一)提出问题
问题1：圆周运动是生活中十分常见的一种运动，它较好地体现了“周而复始”的现象（用几何画板展示），如果一个质点P绕O点作匀速圆周运动，利用所学的数学知识，你能否通过数学的方法来刻划这一现象？
(二)明确问题
问题2 圆周运动是一种重要运动，它给我们以“周而复始”地变化的感觉。

函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型.如果一个质点绕O点做圆周运动，其变化规律该用什么函数模型描述呢？
设计意图：从函数的观点出发，从建立实际问题的数学模型的角度提出问题，既让学生明确要研究的问题，又使他们明确要用函数的已有知识理解三角函数的概念函数，将三角函数概念纳入函数的知识结构中.
(三)概念的生成过程
问题3 为了便于研究，我们从最简单的情形入手，设圆的半径长为1个单位长度，圆心在坐标原点，质点P绕O点作匀速圆周运动.
函数是反映两个变量之间对应关系的数学模型.随着点P的运动，你能发现哪些值得关注的变量呢？
学生可能会提出角的变化，弧长的变化，点P坐标的变化等
设计意图：从函数一般概念的角度引导学生观察分析，发现运动中变化着的量，以便着手研究变量之间的对应关系.
问题4 你能分析弧长l随角θ的变化而变化的关系吗？
设计意图：
如果学生提出弧长的变化，分析弧长随角的变化而变化的关系，可以使学生体会到在单位圆中，弧长就是角的弧度数，角的集合与数的集合可以构成一一对应的关系.
问题5 分析点P的纵坐标y P随角θ的变化而变化的关系,你认为y P是角θ的函数吗？为
什么？
设计意图：引导学生从函数三要素的角度去分析y P与θ的对应关系，明确y P就是θ的一个确定的函数.
问题6 关于角θ的函数你学过哪些？能否借用你学过的一些基本函数解析式来表示y P 关于θ的函数呢？
设计意图：教师鼓励学生分析图形（角为锐角时，y p为角θ的正弦值），或者借助计算器的计算功能进行验证或猜想，引导学生提出“y P是任意角θ的正弦函数”这一概念.
问题7 y P称为任意角θ的正弦函数，它与初中所学的锐角的正弦函数有什么区别与联系吗？
设计意图：让学生在比较中精致概念.
问题8 分析点P的横坐标x P随角θ的变化而变化的情况,你认为x P是角θ的函数吗？你会用什么函数来定义它呢？
问题9 锐角三角函数除了正弦、余弦外，大家还学习了哪些？你能否将其相应推广到任意角所对应的三角函数？
设计意图：让学生进一步体会任意角三角函数与锐角三角函数概念的因袭与扩张的关系.
问题6——9是否这样安排：教师先讲解概念——任意角的正弦、余弦、正切函数概念一起出来，而且一定要讲清楚生成过程；让学生解释这样定义函数的合理性；再让学生回忆以往学过的知识中有没有类似的概念，并让学生说说那时为什么要学锐角三角函数、锐角三角函数与任意角三角函数的比较等。

这样做的目的是：完整的概念生成过程后，在于已有相关知识建立联系，促进新旧知识的分化，加深理解新知识。

让学生理解概念的背景和生成过程是最重要的，与锐角三角函数建立联系是第二步的。

(四)概念的巩固
例1 求
4
3π
的正弦、余弦、正切值.
练习：求下列三角函数值：
（1）︒
270
sin, (2) cosπ, (3))
4
tan(
π
-.
设计意图：让学生熟悉定义,从中概括出用定义解题的步骤.
例2角α的终边过P
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
-
2
3
,
2
1
,求它的三角函数值.
变式：角α的终边过P（-3,-4）,求它的三角函数值.如果从“先让学生熟悉三角函数的定义，再追究别的等价形式”考虑，这个“变式”先放一放，作为课后思考题，先自主探究然后在下节课展示一下学生的探究成果。

否则，这节课的知识点太多了。

思考：一般地，设角α的终边上任一点P的坐标（x,y），它与原点的距离为r，你能否求出sinα,cosα,tanα？说明理由.
设计意图：让学生从本质上进一步理解任意角三角函数的定义.
(五)探究与发现
例3 . 求3
5,37,3πππ-的正弦值,由此你能发现一个一般性的结论吗？ 例4. 不求值,你能判断下列三角函数值的符号吗？
（1）sin1170︒, (2)cos 54π
, (3)tan 411π
.
设计意图：通过丰富的实例,从不同的角度让学生进一步理解任意角三角函数的定义.教学中根据实际情况灵活把握题量的多少.
(六)小结反思
通过学习,你对任意角三角函数有了哪些新的认识？还有哪些体会？
答：任意角三角函数是刻划圆周运动的重要数学模型，它实质上就是以角为自变量，以角的终边与单位圆的交点的坐标或坐标比为函数值的函数。

在研究过程中，从最简单、最基本的问题入手，通过观察分析，借助数形结合和化归等思想方法解决问题.
(七)目标检测
1 利用三角函数的定义求π67
的正弦、余弦、正切值. 2.已知角θ的终边过点P （12，-5），求角θ的三个三角函数值.
3.确定下列三角函数值的符号：
（1）sin π516
; (2)cos(-4500); (3) tan(π817
-)
4.根据任意角三角函数的定义，写出正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域.。