第十一章 隐函数

第十一章隐函数
一、内容提要
1．隐函数的存在性
（1）隐函数的概念
（2）一个方程确定的隐函数
（3）方程组确定的隐函数
2．函数行列式
（1）函数行列式的概念
（2）函数行列式的性质
（3）函数行列式的几何性质
3．条件极值
拉格朗日乘数法
4．隐函数存在定理在几何方面的应用
（1）空间曲线的切线与法平面
（2）曲面的切平面与法线
二、难点剖析
难点：从线性方程组解的存在性与一元函数导数的几何意义出发来理解函数行列式，进而理解隐函数组的存在定理及函数行列式的几何意义。

本章的另一特点是计算繁杂，解题时首先必须理解隐含数是怎样确定的，要分清自变量、中间
105
106
变量以及因变量。

三、 典型例题
例1 证明在原点()0,0的某邻域内，方程
()2
33cos 32y x x y e x x y ++++-=
可唯一确定连续可微的隐函数。

解：设()()2
33,cos 32y x F x y x y e x x y +=+++--，则 （1）()0,00;F =
（2）(),F x y 在2R 上连续； （3）
()()()()2
2
2332
,sin 233,
,sin 3y x x y x y F x y x y xe
x y F x y x y e x y ++=-+++-=-++-在2R 上连续；
（4）()0,010,y F =≠
由隐函数定理，存在0δ>及在(),δδ-上连续可微的隐函数()y f x =，满足 ()()()()()2
3
3cos 32,,f x x x f x e
x x f x x δδ++++-=∈-
例2 设()y f x =是由方程 arctan y x y =+
所确定的隐函数，求dy dx
及22d y
dx 。

解：设(),arctan F x y y x y =--，则有
()()()()
2
22
2
21,1,,1,112,0,0,.
1x y xx xy yx yy y F x y F x y y y
y
F x y F F F y =-=-=++====+
应用隐函数定理，得
107
()
222
2
2
2
22325
1,21121x y F dy y dx F y
y d y d y dy y
dx dx y dx y y y +=-=+⎛⎫+-+==
⋅=- ⎪⎝⎭
例3 设(),z z x y =是由方程z x y z e ++=所确定的隐函数，试求,,.x y xx z z z 解：设(),,z F x y z x y z e =++-，则 1,1,1.z x y z F F F e ===- 于是
1
,1x x z z F z F e =-
=- 1
1
y y z z
F z F e =-
=- ()()()
23.11z z
x xx x z z e z e z z x e e ∂==-=-∂-- 例4
求由方程10xyz +=所确定的隐函数(),z z x y =在 点()1,2,2-处的全微分。

解：设(
),,1F x y z xyz =+，则
(
)()
1,2,2111,2,23x F yz -⎛⎫ -=+
=- ⎝
(
)()1,2,241,2,23y F xz -⎛⎫ -=+
=- ⎝ (
)()
1,2,241,2,23z F xy -⎛⎫ -== ⎝
由此得，
108
()()()()()()
1,2,2111,2,1,2,24
1,2,21,21,
1,2,2x x z y y z F z F F z F -=-
=
--=-
=-
于是
()()()1,2,21,21,2x y dz z dx z dy
dx dy
-=++11
=4
例 5. 设()()(),,,,,x x y z y y z x z z x y ===为由方程(),,0F x y z =所确定的隐函数。

证明：
1x y z
y z x
∂∂∂⋅⋅=-∂∂∂。

证：由隐函数定理知
,,,y x z x y z
F F F x
y z y F z F x F ∂∂∂=-=-=-∂∂∂ 所以得
1x y z
y z x
∂∂∂⋅⋅=-∂∂∂。

例6 求由方程(),,0f x y y z z x ---=所确定的函数(),z z x y =的微分。

解：由一阶微分的形式的不变性，对方程微分得
()()()'''1230f dx dy f dy dz f dz dx -+-+-= 解之得
()''''''
132123''''
2323
0f f f f dz dx dy f f f f f f --=+-≠-- 例7 变换,x y u y u v +==把区域
(){}
,
0,0u v
u v >>变为区域
(){}
,
0,0x y
x y y +>>.试求雅可比行列式
()()()
()
,,,.,,x y u v u v x y ∂∂∂∂ 解：把,x y 写成,u v 的函数：()1,x u v y uv =-=
109
所以 ()
()
()1,,1u v u
v
x x v u x y y y v
u u v u v uv u
--∂=
=
∂=-+=
逆变换的雅可比行列式为
()
()()()1
,,11
,,.
u v x y x y u v u x y -⎡⎤∂∂===⎢⎥
∂∂+⎣⎦ 例8 设函数(),u u x y =由方程
()()(),,,,,,0,,0u f x y z t g y z t h z t ===
定义，求
,u u x y
∂∂∂∂。

解：函数可按如下步骤得出：先由后两个方程把,t z 解为y 的函数， 再代入前式而得(),u u x y =。

这样求导过程如下：
,u l u f f dz f dt
x x y y z dy t dy
∂∂∂∂∂∂==++
∂∂∂∂∂∂ 由后两式求
,dz dt dy dy。

0,0,g g dz g dt y z dy t dy h dz h dt z dy t dy
∂∂∂⎧+⋅+⋅=⎪∂∂∂⎪
⎨
∂∂⎪⋅+⋅=⎪∂∂⎩ 解之得
()()()()
,,,,,g h g h
dz dt y t y z g h g h dy
dy z t z t ∂∂∂∂⋅⋅
∂∂∂∂=-=-∂∂∂∂
把结果代入，得
()()()()()()
,,,,,,,,f g h f g h f g h y z t u f z y t t y z g h g h y y
z t z t ∂∂∂∂∂∂∂-
⋅⋅+⋅⋅
∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=∂∂∂∂∂∂。

110
例9 求曲线2226,0x y z x y z ++=++=在点()1,2,1-的切线方程。

解：切向量
()()1,2,1222222,,6,0,6,111111y z z x x y T -⎡⎤
==-⎢⎥
⎣⎦ 所以，切线方程为
121
,609
x y z -+-==- 或2,20x z y +=+= 例10 求椭球面222
2221x y z a b c ++=在点()000,,M x y z 的切平面方程。

解：法向量000222222,,x y z N a
b c ⎛⎫
= ⎪⎝⎭，所以切平面方程为
()()()0000002222220x y z x x y y z z a b c
-+-+-= 化简，得
000
2221xx yy zz a b c
++= 例11 给定曲面(),0,,x a y b F a b c z c z c --⎛⎫
= ⎪--⎝⎭
为常数，
或由它确定的曲面(),.z z x y =证明：
（1）曲面的切平面通过一个定点；
（2）函数(),z z x y =满足方程2
222220z z z x y x y ⎛⎫
∂∂∂⋅-= ⎪∂∂∂∂⎝⎭
证明：（1）因
()()()()''
1222
''
12221010x a z y b z F F z c x x z c z c x a z y b z F F y z c y z c z c ⎧⎛⎫⎛⎫-∂-∂⎪⋅-+⋅-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-∂∂--⎪⎪⎝⎭⎝⎭
⎨⎛⎫⎛⎫⎪-∂-∂-+-= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪∂-∂--⎪⎝⎭⎝⎭⎩
及'1F 与'2F 不能同时为零，得出
()()
()
()
()()
0z z z c x a y b x
x
z
z
x a z c y b y
y
∂∂-----∂∂≠∂∂-----∂∂
111
化简得 ()
()z z
x a y b z c x y
∂∂-+-=-∂∂ 此为曲面(),z z x y =过定点(),,a b c 的切平面方程。

即曲面的切平面通过定点
(),,a b c 。

（2）对曲面的切平面方程再求偏导，得
()()()()22222
2,,z z z z
x a y b x
x x y x z z z z x a y b x y y y y ⎧∂∂∂∂+-+-=⎪∂∂∂∂∂⎪⎨∂∂∂∂⎪-++-=⎪∂∂∂∂∂⎩ 化简得，()()()()22222
2,.z z x a y b x x y z z y b x a y x y ⎧∂∂-=--⎪∂∂∂⎪
⎨∂∂⎪-=--⎪∂∂∂⎩
当()()0x a y b --≠时，即可看出2
22222z z z x y x y ⎛⎫
∂∂∂⋅= ⎪∂∂∂∂⎝⎭
成立。

由函数连续可微性，
知上式对x a =或y b =也成立。

例12 求由方程2222222440x y z xy x y z +++---+=所确定的函数(),z z x y =的极值。

解：由隐函数求导，得
422240,222240.z z x z y x x z z y z x y y ∂∂⎧
++--=⎪∂∂⎪
⎨∂∂⎪++--=∂∂⎪⎩
令
0z z x y
∂∂==∂∂，得方程组 210,
10.x y y x +-=⎧⎨+-=⎩
由此求出临界点0,1x y ==。

再代入原方程，求出两个隐函数的值为121, 3.z z == 求二阶偏导数，
112
2222222222
22
42240,
22240,22240.z z z z x x x z z
z z z x y x y x y z z z z y y y ⎧∂∂∂⎛⎫⎪++-= ⎪∂∂∂⎝⎭⎪
⎪
∂∂∂∂⎪++-=⎨∂∂∂∂∂∂⎪
⎪⎛⎫∂∂∂⎪++-= ⎪⎪∂∂∂⎝⎭⎩
把10,1,1x y z ===代入，得
2221112220,1,1,z z z
A B C x x y y
∂∂∂==>====∂∂∂∂
2
11110,AC B -=>所以隐函数()1,z x y 在点()0,1有极小值1。

同法，将20,1,3x y z ===代入，得
222222220,1,1,10A B C A C B =-<=-=--=>，
所以隐函数()2,z x y 在点()0,1有极大值3。

例13 求函数(),,22f x y z x y z =-+在条件2221x y z ++=约束下的最大、最小值。

解：作拉格朗日函数
()()222,,,221L x y z x y z x y z λλ=-++++- 令
222120,
220,220,
10.x y
z L x L y L z L x y z λ
λλλ=+=⎧⎪=-+=⎪⎨=+=⎪⎪=++-=⎩
由前三式得
2x y z =-= 代入第四式，得
()122,,,,333x y z ⎛⎫
=±- ⎪⎝⎭
因为连续函数f 在有界闭集2221x y z ++=上必有最大值和最小值，而与是仅有
113
的两个稳定点，故它们就是函数的最大值和最小值点。

经计算，最大值和最小值分别是
122,,3333f ⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
，
122,,3333f ⎛⎫
--=- ⎪⎝⎭
四、 练习题
1．求由下列方程所定义的函数y 的一阶、二阶导数。

（1
）arctan ;y
x
= （2）20y xy +=
2．对下列方程所确定的(),z z x y =，求一阶偏导数。

（1）;n n n n x y z a ++= （2）.x y z x y z e ++++=
3．对下列方程所确定的(),z z x y =，求二阶偏导数。

（1）1;xy yz zx ++= （2）
111
1.xy yz zx
++= 4．求由下列方程所确定的(),z z x y =的微分：
（1）(),0;f xy z y -= （2）(),,0.f x x y x y z +++=
5． 设(),z z x y =由方程222z x y z yf y ⎛
⎫
++=
⎪⎝
⎭
所确定，证明： ()
2
2222.z z
x
y z xy xz x y
∂∂--+=∂∂ 6．设(),z z x y =由方程,0z
z F x y y x ⎛⎫
++
= ⎪⎝
⎭
所确定，证明： .z z
x
y z xy x y
∂∂+=-∂∂ 7．设(),,u u x y z =由方程()222222,,0F u x u y u z ---=所确定，证明：
1.y x z u u u x y z u
++=
114
8．设(),,u u x y z =由方程222
2221x y z a u b u c u
++=+++所确定，证明：
2
2
2
222u u u u u u x y z x y z x y z ⎛⎫∂∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫
++=++ ⎪ ⎪ ⎪
∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭
⎝⎭ 9． 求函数(),z f x y z y =++的二阶偏导数。

10．证明：由方程组()()()()
,
0''z ax y a a x y a a ϕψϕψ=++⎧⎪⎨=++⎪⎩所确定的函数(),z z x y =满足方程
2
222220.z z z x y x y ⎛⎫
∂∂∂-= ⎪∂∂∂∂⎝⎭
11． 求下列变换的雅可比行列式
()()()
()
,,,,,x y u v u v x y ∂∂∂∂。

（1）,
;u xy x v y =⎧⎪
⎨=⎪⎩
（2）22,2.u x y v xy ⎧=+⎨
=⎩ 12．由下列方程组求2222,,,:dy dz d y d z
dx dx dx dx
（1）2220,6;x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩ （2）22
222
,
220.
z x y x y z ⎧=+⎪⎨+-=⎪⎩ 13.求由方程组cos ,sin ,x u v y u v z v ===所确定的函数(),z z x y =的一阶、二阶偏导数。

14．设(),z z x y =满足方程组()(),,,0,,,,0f x y z t g x y z t ==，求dz 。

15. 求曲线22222,220z x y x y z =++-=在()1,1,2点的切线方程。

16．在曲线23,y x z x ==上求一点，使该点的切线平行于平面 24x y z ++=。

17．求下列曲面在指定点的切平面和法线方程：
（1）222169,x y z ++= ()3,4,12;M
（2）arctan ,x z y ⎛⎫= ⎪⎝⎭
1,1,4M π⎛
⎫ ⎪⎝⎭
115 （3）223221,x y z +=+ ()1,1,2M
（4）ln ,x z y z ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭ ()1,1,1.M
18．求曲面cos ,sin ,x u v y u v z v ===
在点4π⎫
⎪⎭的切平面方程。

19．求曲面2222321x y z ++=的平行于平面460x y z ++=的各切平面。

20
= 线段之和为常量。

21．证明：曲面(),0F x az y bz --=的切平面与某一定直线平行， 其中,a b 为常数。

22．求下列函数的极值：
（1）()22,2;f x y x xy y x y =-+-+
（2）()()(),sin sin sin 0,;f x y x y x y x y π=+≤≤
（3）()()()222,.x y z f x y x y z e -++=++
23．在椭球面222
2221x y z a b c ++=内接长方体中，求体积为最大的那个长方体。

24．在221x y +=的条件下，求()22,2f x y ax bxy cy =++的最值。