2021年高考数学二轮复习 分类与整合思想、化归与转化思想

2021年高考数学二轮复习 分类与整合思想、化归与转化思想
一、选择题
1．过点P (2,3)，且在坐标轴上的截距相等的直线方程是( ) A ．3x －2y ＝0 B ．x ＋y －5＝0
C ．3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0
D ．不能确定
【解析】 当截距为零时，得直线方程为3x －2y ＝0；当截距不为零时，设直线方程为x ＋y ＝a ，代入P (2,3)，得a ＝5，故其方程为x ＋y －5＝0，故选C.
【答案】 C
2．正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为( ) A.8
9 3 B ．4 3 C.29 3 D ．43或83
3 【解析】 当6为正三棱柱的侧棱时，则底面边长为43，所以V ＝6×34⎝ ⎛⎭⎪⎫432＝8
3 3.当4
为正三棱柱的侧棱时，则底面边长为2，所以V ＝4×
34
×22
＝43，故选D. 【答案】 D
3．若函数f (x )＝a x
(a >0，a ≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞]上是增函数，则a 的值为( )
A.13
B.14
C.2
3
D ．1 【解析】 g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则1－4m >0，所以m <1
4
.若a >1，
则函数f (x )＝a x 单调递增，此时有a 2＝4，a ＝2，m ＝a －1
＝1a ＝12，此时不成立，所以a ＝2不
成立．若0<a <1，则函数y ＝a x 单调递减，此时有a －1＝4，a ＝14，m ＝a 2
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝116
，此时成立，
所以a ＝1
4
.
【答案】 B
4．(xx·安徽高考)x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，
2x －y ＋2≥0.
若z ＝y －ax 取得最大值的最
优解不唯一．．．
，则实数a 的值为( ) A.12或－1 B ．2或12
C ．2或1
D ．2或－1
【解析】 结合图象及目标函数最优解不唯一可知，直线y ＝ax ＋z ，一定和直线x ＋y －2＝0或直线2x －y ＋2＝0平行，故a ＝－1或a ＝2.
【答案】 D
5．在△ABC 中，|AB |＝3，|AC |＝4，|BC |＝5.点D 是边BC 上的动点，AD →＝xAB →＋yAC →
，当
xy 取最大值时，|AD →
|的值为( )
A ．4
B ．3 C.52 D.12
5
【解析】 ∵|AB |＝3，|AC |＝4，|BC |＝5，
∴△ABC 为直角三角形．
如图建立平面直角坐标系，A (0,0)，B (3,0)，C (4,4)， 设D (a ，b )， 由AD →＝xAB →＋yAC →，
则⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝3x ，
b ＝4y ，
∴xy ＝
ab
12
.
又∵D 在直线l BC ：x 3＋y
4＝1上，
∴a 3＋b 4＝1，则a 3＋b 4≥2 ab
12
.
∴ab 12≤14，即xy ≤14
， 此时a ＝3
2，b ＝2，
|AD →|＝
⎝ ⎛⎭
⎪⎫322＋22＝52. 【答案】 C
二、填空题
6．(xx·辽宁高考)对于c ＞0，当非零实数a ，b 满足4a 2－2ab ＋b 2
－c ＝0且使|2a ＋b |
最大时，1a ＋2b ＋4
c
的最小值为________．
【解析】 要使|2a ＋b |最大，则必须a ，b 同号，因为4a 2＋b 2＋4ab ＝c ＋6ab ＝(2a ＋b )2
≤c
＋3(2a ＋b 2)2，故有(2a ＋b )2≤4c ，c ≥2a ＋b 2
4
，当且仅当2a ＝b 时取等号，此时c ＝b 2
，
所以1a ＋2b ＋4c ＝4b ＋4b 2＝4(1b ＋12)2－1≥－1，故1a ＋2b ＋4
c 的最小值为－1.
【答案】 －1
7．(xx ·北京东城区质检)定义：曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值称为曲线C 到直
线l 的距离．已知曲线C 1：y ＝x 2＋a 到直线l ：y ＝x 的距离等于曲线C 2：x 2＋(y ＋4)2
＝2到直线l ：y ＝x 的距离，则实数a ＝________.
【解析】 圆C 2的圆心到直线l 的距离为|0－－4|
12＋－12
＝22>2，此时直线l 与圆C 2
相离．根据新定义可知，曲线C 2：x 2
＋(y ＋4)2
＝2到直线l ：y ＝x 的距离为22－2＝2，
对函数y ＝x 2
＋a 求导得y ′＝2x ，令y ′＝1⇒2x ＝1⇒x ＝12，故曲线C 1在x ＝12
处的切线方程
为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋a ＝x －12，即x －y ＋a －14＝0，∴2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －142
，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＝2，∴a ＝94或－74(舍去)．
【答案】 9
4
8．(xx·福建厦门质检)已知函数f (x )＝x ＋3a
2
x
－2a ln x 在区间(1,2)内是增函数，则实
数a 的取值范围是________．
【解析】 f ′(x )＝1－3a 2x 2－2a x ，由已知得1－3a 2x 2－2a x
≥0在x ∈(1,2)内恒成立，即x
2
－2ax －3a 2≥0在x ∈(1,2)内恒成立．设g (x )＝x 2－2ax －3a
2
，则⎩⎪⎨
⎪⎧
g 1≥0
a ≤1，
或
⎩
⎪⎨
⎪⎧
g 2≥0
a ≥2，或Δ＝(－2a )2＋12a 2
≤0，解得－1≤a ≤13
或a ∈∅或a ＝0，所以实数a 的取
值范围为⎣
⎢⎡⎦⎥⎤－1，13. 【答案】 ⎣
⎢⎡⎦⎥⎤－1，13
三、解答题
9．(xx·安徽江南十校)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＝2－⎝ ⎛⎭
⎪⎫2n
＋1a n (n ∈N *
)．
(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫
a n n 是等比数列；
(2)设数列{S n }的前n 项和为T n ，求T n ； (3)试比较T n 与nS n 的大小．
【解】 (1)证明 由a 1＝S 1＝2－3a 1得a 1＝1
2
，
由S n ＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋1a n 得S n －1＝2－⎝ ⎛⎭
⎪⎫2n －1＋1a n －1
(n ≥2)，
于是a n ＝S n －S n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2n －1＋1a n －1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫2n ＋1a n
(n ≥2)，
整理得a n n ＝12×a n －1n －1(n ≥2)，所以数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫a n n 是首项及公比均为1
2的等比数列．
(2)由(1)知a n n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，即a n ＝n 2n ，代入已知得S n ＝2－n ＋2
2n ，
令数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫n ＋22n 的前n 项和为A n ，则A n ＝32＋422＋523＋…＋n ＋22n ，由错位相减法得A n ＝4－n ＋4
2n ，
所以数列{S n }的前n 项和T n ＝2n －⎝
⎛⎭
⎪⎫
4－
n ＋42n
＝2n ＋n ＋4
2n －4.
(3)由S n ＝2－
n ＋2
2n
得S n ＋1－S n ＝
n ＋22n －n ＋32n ＋1＝n ＋1
2
n ＋1>0知数列{S n }为递增数列，
所以当n ＝1时，T 1＝S 1；
当n ≥2时，T n ＝S 1＋S 2＋…＋S n <S n ＋S n ＋…＋S n ＝nS n .
10．(xx·天津高考)已知函数f (x )＝x 2
－23
ax 3(a ＞0)，x ∈R .
(1)求f (x )的单调区间和极值；
(2)若对于任意的x 1∈(2，＋∞)，都存在x 2∈(1，＋∞)，使得f (x 1)·f (x 2)＝1.求a 的取值范围．
【解】 (1)由已知，有f ′(x )＝2x －2ax 2
(a ＞0)．
令f ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝1
a
.
当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：
x (－∞，0) 0 (0，1
a
)
1
a
(1
a
，＋∞)
f ′(x ) － 0 ＋ 0 － f (x )
↘
13a
2
所以，f (x )的单调递增区间是(0，1a )；单调递区间是(－∞，0)，(1
a
，＋∞)．
当x ＝0时，f (x )有极小值，且极小值f (0)＝0；当x ＝1a 时，f (x )有极大值，且极大值f (1
a
)
＝
13a
2. (2)由f (0)＝f (32a )＝0及(1)知，当x ∈(0，3
2a
)时，f (x )＞0；
当x ∈(3
2a
，＋∞)时，f (x )＜0.
设集合A ＝{f (x )|x ∈(2，＋∞)}，集合B ＝{1
f x
|x ∈(1，＋∞)，f (x )≠0}．则“对
于任意的x 1∈(2，＋∞)，都存在x 2∈(1，＋∞)，使得f (x 1)·f (x 2)＝1”等价于A ⊆B .显然，0∉B .
下面分三种情况讨论：
①当32a ＞2，即0＜a ＜34时，由f (3
2a
)＝0可知，0∈A ，而0∉B ，所以A 不是B 的子集．
②当1≤32a ≤2，即34≤a ≤3
2
时，有f (2)≤0，且此时f (x )在(2，＋∞)上单调递减，故A
＝(－∞，f (2))，因而A ⊆(－∞，0)；由f (1)≥0，有f (x )在(1，＋∞)上的取值范围包含(－∞，0)，则(－∞，0)⊆B .所以A ⊆B .
③当32a ＜1，即a ＞32时，有f (1)＜0，且此时f (x )在(1，＋∞)上单调递减，故B ＝(1f 1
，
0)，
A ＝(－∞，f (2))， 所以A 不是
B 的子集．
综上，a 的取值范围是[34，3
2
]．30674 77D2 矒 s23977 5DA9 嶩?29166 71EE 燮20320 4F60 你35417 8A59 詙cF25147 623B 戻Q31929 7CB9 粹25594
63FA 揺24423 5F67 彧。