椭圆定义在一些数学问题中的应用——以轨迹方程、三角形、立体几

分别为 an ,bn , cn ， ∆An BnCn 的面积为 Sn ， n = 1, 2, 3, ，
b1
>
c1 ， b1
+ c1
=2a1 ， an+1
=
an ， bn+1
=
cn
+ an 2
，
cn+1
=
bn
+ an 2
，则 (
)
A. {Sn} 为递减数列
B. {Sn} 为递增数列
C. { } S2n−1 为递增数列 , {S2n } 为递减数列
椭圆定义中包括定点、定量等多方面联系，利用这 种联系可以将椭圆上任意一点到两定点的距离有机联系 在一起，可将其中一个量转化为另外一个量研究 [1]。
应用定义求方程是求曲线方程的一种重要方法，它 是在根据题意求曲线形状的情况下确定量的关系，进而 得出方程的形式。需要注意，在求出方程后要验证是否 有不符合条件的点存在。
椭圆定义在一些数学问题中的应用
——以轨迹方程、三角形、立体几何、数列为例 周培祥
（安徽合肥一六八中学，安徽合肥 230601）
JIAOXUE ANLI
教学 案例
摘 要：笔者通过对几类与椭圆定义知识有关的数学问题的研究，引导学生思考利用椭圆定义相关知识来探究解决问题
的数学本质，从而激发学生对知识应用的求知欲和探索欲。
作品，才能切身享受学习语文的无穷乐趣，为全面提高课堂教学效率创造有利条件。
关键词：语文阅读；问题；“学的活动”
中图分类号：G427
文献标识码：A
文章编号：2095-624X（2019）35-0090-02
引 言 学好语文不仅要使学生夯实鉴赏能力的基本功，而 且 要 注 重 培 养 学 生 的 实 践 能 力， 这 是 提 高 学 生 语 文 核 心素养的关键环节。正如我国教育家张志公先生曾经指 出：“语文课应该上成语文活动课。”可见，在初中语 文阅读教学中，教师只有巧妙地设计“学的活动”，才 能让学生在活动中走进作品、分析作品和感悟作品，才 能切身享受学习语文的无穷乐趣，为全面提高课堂教学 效率创造有利条件。 一、初中语文阅读教学中存在的突出问题 语数外三门主科在中考中各占据 150 分，无论是学 生与家长，还是教师与学校，都非常重视学科教学的革 新，并取得了令人瞩目的教学成果。但由于受应试教育 制度、教师实绩与报酬挂钩的影响，片面追求平均分、
3,
13 2
∵ sin B + sin C = 2sin A
∴ AC + AB =2BC =4 > BC
所以点 A 的轨迹是以 B 、 C 为焦点， 2a = 4 的椭圆
上（除去长轴的两个端点）。
x2 + y2 = 1( y ≠ 0) 。
43 三、椭圆与数列
例 3.（2013 全 国 Ⅰ 卷 12 题） 设 ∆An BnCn 的 三 边 长
关键词：椭圆；三角形；数列；立体几何
中图分类号：G427
文献标识码：A
文章编号：2095-624X（2019）35-0089-02
引 言
椭圆的定义：平面内到两定点的距离和等于常数 2a
（大于 F1F2 ）的点的集合叫作椭圆。其中两个定点 F1 、 F2 叫作椭圆的焦点，两焦点的距离 F1F2 叫作椭圆的焦距。
D. { } S2n−1 为递减数列 , {S2n } 为递增数列
答案 B
解:
因为 an+1
=
an ，bn+1
=
cn
+ an 2
，cn+1
=
bn
+ an 2
，所以，
an = a1 。
由 an+1 = an 可知 ∆An BnCn 的边 BnCn 为定值 a1 ,
由 bn+1 + cn+1
=an
+ bn
所以其面积 Sn =
1 2
Bn Cn
⋅ hn =
1 2
a1
⋅
hn
为 递 增 数 列。
所以 B 选项是正确的。
注释：本题主要考查数列、解三角形、椭圆等知识，
综合考查学生分析和解决问题的能力，有较高的思维抽
象度，是 2013 年全国高考试题中的“亮点”之一，可以
作为典型题进行分析。
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年 第
期 ︵ 总 第
期 ︶
JIAOXUE ANLI
教学
案例 让“学的活动”在语文阅读教学中闪闪发光
郁萍萍
（江苏省启东市继述中学，江苏启东 226200）
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年 第
期 ︵ 总 第
期 ︶
摘 要：在初中语文阅读教学中，教师只有巧妙地设计“学的活动”，才能让学生在活动中走进作品、分析作品和感悟
一、椭圆与轨迹方程
例 1. 已知 B（-3，0），C（3，0)，且sin B + sin C = 2sin A，
求∆ABC的顶点 A 的轨迹方程。 解：∵ sin B + sin C = 2sin A ∴ AC + AB =2BC =12 > BC 所以点 A 的轨迹是以 B 、 C 为焦点， 2a = 12 的椭圆
上（除去长轴的两个端点）。
x2 + y2 = 1( y ≠ 0) 。
36 27 二、椭圆与三角形
例 2. （2019 合肥 一 模 1 5 题 ） 在 锐 角 ∆ABC 中 ，
BC = 2 ， sin B + sin C = 2sin A ， 则 中 线 AD 长 的 取值
范围是
。
解： AD ∈
Bn 、Cn 为焦点的椭圆上。
( ) 根据 bn+1 − cn+1
= − 1 2
bn
− cn
，得 bn
− cn
=
−
1 2
n−1
(b1
−
c1
)
,
当 n → +∞ 时 , 有 bn − cn → 0 , 即 bn → cn ,
据此可判断 ∆An BnCn 的边 BnCn 的高 hn 随着 n 的增大 而增大。
增长率和优秀率的现象比较突出，在初中语文课堂教学 中主要存在如下不足：
1. 因循守旧，教学模式僵化 无 论 是“15/20/10” 教 学 模 式 的 推 广， 还 是“ 三 段 四模块”课堂模式的践行，都主要包括自主、合作、探 究 三 大 学 习 方 式， 它 们 为 提 高 课 堂 教 学 质 量 铺 平 了 道 路。但有些教师搞形式主义，片面关注课堂上预设任务 的完成，既忽视了学生对作品的体验和感悟，又不注重 培养学生语言文字的应用能力，从而步入了“注入式”教 学的“围城”，学生被动地接受新知识，学习积极性不 能被调动起来；部分教师有时候也组织学生开展一些活 动，但没有给学生留足思考交流、质疑讨论的时间，使 探究性活动成为一种摆设，课堂上几乎没有生机勃勃的 景象 [1]。
+ cn 2
=a1 + bn+1 + cn+1 − 2a=1
1 2
bn + cn − 2a1
又 b1 + c1 =2a1 ，所以 bn + cn = 2a1 ，
则在∆An BnCn中，边长 BnCn = a1为定值，另两边 AnCn、
An Bn 的长度之和bn + cn = 2a1为定值，由此可知顶点 An 在以