人教A版高中数学必修三试卷贵州省安龙三中-高一下学期3月月考试题

高中数学学习材料
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贵州省安龙三中2011-2012学年高一下学期3月月考数学试题
I 卷
一、选择题
1．已知三个平面α、β、γ，若β⊥γ，且α与γ相交但不垂直，a，b分别为α，β内的直线，则( )
A．∃a⊂α，a⊥γB．∃a⊂α，a∥γ
C．∀b⊂β，b⊥γD．∀b⊂β，b∥γ【答案】B
2．一个空间几何体的正视图、侧视图均是长为2、高为3的矩形，俯视图是直径为2的圆(如右图），则这个几何体的表面积为（）
A．12+πB．7π
20
C．π8D．π
【答案】C
3．下列三个命题，其中正确的有 ( ）
①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；
②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；
③有两个面互相平行，其余各面都是等腰梯形的六面体是棱台.
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】A
4．已知某个几何体的三视图如图（主视图的弧线是半圆），根据图中标出的数据，
这个几何体的体积是 ( ）
A．288+36π
B．60π
C．288+72π
D．288+18π
【答案】A
5．一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为4π，则球的表面积为( )
A．5πB．17πC．20πD．68π
【答案】C
6．一个二面角的两个面分别垂直于另一个二面角的两个面，那么这两个二面角（）
A．相等B．互补C．相等或互补D．不能确定
【答案】D
7．已知正方体的外接球的体积是4π
3
，则这个正方体的棱长是( )
A．
2
3
B．
3
3
C．22
3
D．
23
3
【答案】D
8．已知水平放置的△ABC的直观图△A′B′C′（斜二测画法）是边长为2a 的正三角形，则原△ABC的面积为 ( ）
A．2a2B．
3
2
a2C．
6
2
a2D．6a2
【答案】D
9．一个几何体按比例绘制的三视图如图12－8所示(单位：m)，则该几何体的体积为( )
A．4 m3 B．9
2
m3 C．3 m3 D．
9
4
m3
图12－9
【答案】C
10．下图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正视图、俯视图如下图；②存在四棱柱，其正视图、俯视图如下图；③存在圆柱，其正视图、俯视图如下图．其中真命题的个数是( )
A．3 B．2
C．1 D．0
【答案】A
11．半径为3的球内接正四面体的体积为( )
A．8
3
B．
43
3
C．2 D．163 9
【答案】A
12．高为
2
4
的四棱锥S－ABCD的底面是边长为1的正方形，点S、A、B、C、D
均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为( )
A．
2
4
B．
2
2
C．1
D． 2 【答案】C
II卷
二、填空题
13．如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为 .
【答案】23
14．一个几何体的三视图如图12－10所示，则该几何体的体积等于________．
【答案】8＋4 3π
15．设A，B，C，D是半径为2的球面上的四点，且满足AB⊥AC，AD⊥AC，AB⊥AD，则S
△ABC
＋S△ABD＋S△ACD的最大值是________．
【答案】8
16．有一棱长为a的正方体骨架，其内放置一气球，使其充气且尽可能地大(仍保持为球的形状)，则气球表面积的最大值为________．
【答案】2πa2
三、解答题
17．如图所示，四棱锥P —ABCD 的底面ABCD 是半径为R 的圆的内接四边形，其中BD 是圆的直径，∠ABD ＝60°，∠BDC ＝45°，△ADP ∽△BAD
.
(1)求线段PD 的长；
(2)若PC ＝11R ，求三棱锥P —ABC 的体积．
【答案】(1)∵BD 是圆的直径，
∴∠BAD ＝90°，又△ADP ∽△BAD ，
∴AD BA ＝DP AD ，DP ＝AD 2BA ＝(BD sin60°)2
BD sin30°＝4R 2×342R ×12
＝3R . (2)在Rt △BCD 中，CD ＝BD cos45°＝2R ，
∵PD 2＋CD 2＝9R 2＋2R 2＝11R 2＝PC 2，
∵PD ⊥CD ，又∠PDA ＝90°，∴PD ⊥底面ABCD .
S △ABC ＝12AB ·BC sin(60°＋45°)＝12R ·2R ·(32·22＋12·22)＝3＋14
R 2，则三棱锥P —ABC 的体积为
V P －ABC ＝13·S △ABC ·PD ＝13·3＋14R 2·3R ＝3＋14
R 3. 18．如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD=DC ，
E 是PC 的中点，作E
F ⊥PB
交PB 于点F 。

(1）证明PA//平面EDB ；
(2）证明PB ⊥平面EFD ；
【答案】（1）证明：连结AC ，AC 交BD 于O ，连结EO 。

∵底面ABCD 是正方形，∴点O 是AC 的中点
在PAC ∆中，EO 是中位线，∴PA // EO
而⊂EO 平面EDB 且⊄PA 平面EDB ，
所以，PA // 平面EDB
(2）∵PD ⊥底面ABCD 且⊂DC 底面ABCD ，
∴DC PD ⊥
∵PD=DC ，可知PDC ∆是等腰直角三角形，而DE 是斜边PC 的中线， ∴PC DE ⊥。

①
同理由PD ⊥底面ABCD ，得PD ⊥BC 。

∵底面ABCD 是正方形，有DC ⊥BC ，∴BC ⊥平面PDC 。

而⊂DE 平面PDC ，∴DE BC ⊥。

②
由①和②推得⊥DE 平面PBC 。

而⊂PB 平面PBC ，∴PB DE ⊥
又∵EF ⊥PB ，E DE EF =⋂∴PB ⊥平面EFD
19．如图，在底面是直角梯形的四棱锥P —ABCD 中，AD ∥BC ，∠DAB=90º，PA ⊥
平面ABCD ，PA=AB=BC=1，AD=2，M 是PD 的中点。

(1）求证：MC ∥平面PAB ；
(2）在棱PD 上求一点Q ，使二面角Q —AC —D 的正切值为2
2。

【答案】（1）过M 作MN ∥PA 交AD 于N ，连接CN ，
∵PA ⊥平面ABCD 且MP=MD ，∴MN ⊥平面ABCD 且NA=ND ，
∴AB=BC=AN=CN=1，
又∠NAB=90º，DA ∥BC ，∴四边形ABCN 为正方形，
∴AB ∥NC ，∴平面PAB ∥平面MNC 。

∴MC ∥平面PAB 。

(2）在（1）中连接NB 交AC 于O ，则NO ⊥AC ，连接MO ，∵MN ∥平面ABCD ，
MO⊥AC，∴∠MON就是二面角M—AC—D的平面角，∵tan∠MON=
2
2，
∴点M就是所求的Q点。

20．在如图所示的空间几何体中，平面ACD⊥平面ABC，AB＝BC＝CA＝DA＝DC＝BE＝2，BE和平面ABC所成的角为60°，且点E在平面ABC上的射影落在∠ABC的平分线上．
(1)求证：DE∥平面ABC；
(2)求多面体ABCDE的体积．
【答案】(1)证明：由题意知，△ABC，△ACD都是边长为2的等边三角形，
取AC中点O，连接BO，DO，
则BO⊥AC，DO⊥AC.
∵平面ACD⊥平面ABC，
∴DO⊥平面ABC，作EF⊥平面ABC，
那么EF∥DO，根据题意，点F落在BO上，
∴∠EBF＝60°，易求得EF＝DO＝3，
所以四边形DEFO是平行四形，DE∥OF.
∵DE⊄平面ABC，OF⊂平面ABC，
∴DE∥平面ABC.
(2)∵平面ACD⊥平面ABC，OB⊥AC，
∴OB⊥平面ACD.
又∵DE∥OB，
∴DE⊥平面DAC.
∴三棱锥E－DAC的体积
V 1＝
1
3
S
△DAC
·DE＝
1
3
·3·(3－1)＝
3－3
3
．
又三棱锥E－ABC的体积
V 2＝
1
3
S
△ABC
·EF＝
1
3
·3·3＝1，
∴多面体ABCDE的体积为V＝V1＋V2＝6－3
3
．
21．棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截
面如图所示，求图中三角形(正四面体的截面)的面积．
【答案】如图所示，△ABE 为题中的三角形，
由已知得AB ＝2，BE ＝2×
32
＝3， BF ＝23BE ＝233， AF ＝AB 2－BF 2＝
4－43＝ 83， ∴△ABE 的面积为
S ＝12
×BE ×AF ＝12×3× 83＝2． ∴所求的三角形的面积为2．
22．已知一四棱锥P －ABCD 的三视图如下，E 是侧棱PC 上的动点。

(1）求四棱锥P －ABCD 的体积；
(2）是否不论点E 在何位置，都有BD ⊥AE ？证明你的结论;
(3）求四棱锥P －ABCD 的侧面积.
【答案】由该四棱锥的三视图可知，该四棱锥P －ABCD 的底面是边长为1的正方形，
侧棱PC ⊥底面ABCD ，且PC=2. ∴1233
P ABCD ABCD V S PC -=⋅= (2) 不论点E 在何位置，都有BD ⊥AE 。

证明如下：连结AC ，∵ABCD 是正方形 ∴BD ⊥AC ∵PC ⊥底面ABCD 且BD ⊂平面ABCD ∴BD ⊥PC-
又∵AC PC C = ∴BD ⊥平面PAC ∵不论点E 在何位置，都有AE ⊂平面PAC ∴不论点E 在何位置，都有BD ⊥AE
(3) 由（１）知PC ⊥CD,PC ⊥BC,CD=CB, ∴R ｔ△PCD ≌R ｔ△PCB
∵AB ⊥BC,AB ⊥PC, BC PC C = ∴AB ⊥平面PCB ∵PB ⊂平面PBC ，∴AB ⊥PB
同理AD ⊥PD ，∴四棱锥P －ABCD 的侧面积
2PCD PAD PAB S S S S ∆∆∆=++=111
2222CD PC AB PB AD PD ⨯⋅+⋅+⋅=2+5。