尧都区第二中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案

尧都区第二中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
一、选择题
1． 已知函数f （x ）=2ax 3﹣3x 2+1，若 f （x ）存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，则a 的取值范围是（ ） A ．（1，+∞） B ．（0，1） C ．（﹣1，0） D ．（﹣∞，﹣1）
2． 已知d 为常数，p ：对于任意n ∈N *，a n+2﹣a n+1=d ；q ：数列 {a n }是公差为d 的等差数列，则￢p 是￢q 的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
3． 直角梯形OABC 中,,1,2AB OC AB OC BC ===,直线:l x t =截该梯形所得位于左边图 形面积为，则函数()S f t =的图像大致为（ ）
4． 直线2x+y+7=0的倾斜角为（ ） A ．锐角 B ．直角 C ．钝角 D ．不存在
5． 某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高中生中抽取70人，则n 为（ ） A ．100 B ．150 C ．200 D ．250
6． 与函数 y=x 有相同的图象的函数是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
7． 从5名男生、1名女生中，随机抽取3人，检查他们的英语口语水平，在整个抽样过程中，若这名女生第一次、第二次均未被抽到，那么她第三次被抽到的概率是（ ） A
．
B
．
C
．
D
．
8． 等比数列{a n }中，a 4=2，a 5=5，则数列{lga n }的前8项和等于（ ）
A ．6
B ．5
C ．3
D ．4
9． 一个几何体的三视图如图所示，如果该几何体的侧面面积为12π，则该几何体的体积是（
）
A ．4π
B ．12π
C ．16π
D ．48π 10．若a ＞b ，则下列不等式正确的是（ ）
班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________
___________________________________________________________________________________________________
A
．
B ．a 3＞b 3
C ．a 2＞b 2
D ．a ＞|b|
11．某棵果树前n 年的总产量S n 与n 之间的关系如图所示．从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高，则m 的值为（ ）
A ．5
B ．7
C ．9
D ．11
12．若f （x ）=x 2﹣2x ﹣4lnx ，则f ′（x ）＞0的解集为（ ） A ．（0，+∞） B ．（﹣1，0）∪（2，+∞）
C ．（2，+∞）
D ．（﹣1，0）
二、填空题
13．在ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，若1cos 2c B a b ⋅=+，ABC ∆
的面积12
S =， 则边c 的最小值为_______．
【命题意图】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、基本不等式等基础知识，意在考查基本运算能力．
14．下列结论正确的是
①在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N （1，σ2）（σ＞0）．若ξ在（0，1）内取值的概率为0.35，则ξ在（0，2）内取值的概率为0.7；
②以模型y=ce kx 去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z=lny ，其变换后得到线性回归方程z=0.3x+4，则c=e 4；
③已知命题“若函数f （x ）=e x ﹣mx 在（0，+∞）上是增函数，则m ≤1”的逆否命题是“若m ＞1，则函数f （x ）=e x ﹣mx 在（0，+∞）上是减函数”是真命题；
④设常数a ，b ∈R ，则不等式ax 2﹣（a+b ﹣1）x+b ＞0对∀x ＞1恒成立的充要条件是a ≥b ﹣1．
15．已知f （x ），g （x ）都是定义在R 上的函数，g （x ）≠0，f ′（x ）g （x ）＞f （x ）g ′（x ），且f （x ）=a x g （x ）（a ＞0且a ≠1
），
+
=．若数列
{}的前n 项和大于62，则n 的最小值
为 ．
16．曲线y=x 2与直线y=x 所围成图形的面积为 ．
17．【盐城中学2018届高三上第一次阶段性考试】已知函数f （x ）=()
210{ 21(0)
x
x
x e x x x +≥++<，若函数y=f （f （x ）﹣a ）﹣1有三个零点，则a 的取值范围是_____．
18．已知各项都不相等的等差数列{}n a ，满足223n n a a =-，且2
6121a a a =∙，则数列12n n S -⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
项中 的最大值为_________.
三、解答题
19．(本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程．
在直角坐标系中，曲线C 1：⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3cos α
y ＝2＋3sin α（α为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐
标系，C 2的极坐标方程为ρ＝
2sin （θ＋π4
）
.
（1）求C 1，C 2的普通方程；
（2）若直线C 3的极坐标方程为θ＝3π
4（ρ∈R ），设C 3与C 1交于点M ，N ，P 是C 2上一点，求△PMN 的面
积．
20．已知f （x ）=|﹣x|﹣|+x|
（Ⅰ）关于x 的不等式f （x ）≥a 2
﹣3a 恒成立，求实数a 的取值范围；
（Ⅱ）若f （m ）+f （n ）=4，且m ＜n ，求m+n 的取值范围．
21．将射线y=x （x ≥0）绕着原点逆时针旋转后所得的射线经过点A=（cos θ，sin θ）．
（Ⅰ）求点A 的坐标；
（Ⅱ）若向量=（sin2x ，2cos θ），=（3sin θ，2cos2x ），求函数f （x ）=•，x ∈[0，]的值域．
22．已知函数
，（其中常数m ＞0）
（1）当m=2时，求f （x ）的极大值；
（2）试讨论f （x ）在区间（0，1）上的单调性；
（3）当m ∈[3，+∞）时，曲线y=f （x ）上总存在相异两点P （x 1，f （x 1））、Q （x 2，f （x 2）），使得曲线y=f （x ）在点P 、Q 处的切线互相平行，求x 1+x 2的取值范围．
23．已知函数x
x x f --
-=713)(的定义域为集合A ，{x |210}B x =<<，{x |21}C a x a =<<+
（1）求A B ，B A C R ⋂)(；
（2）若B C B =，求实数a 的取值范围.
24．已知函数f （x ）=2x 2﹣4x+a ，g （x ）=log a x （a ＞0且a ≠1）． （1）若函数f （x ）在[﹣1，3m]上不具有单调性，求实数m 的取值范围； （2）若f （1）=g （1） ①求实数a 的值；
②设t 1=f （x ），t 2=g （x ），t 3=2x ，当x ∈（0，1）时，试比较t 1，t 2，t 3的大小．
尧都区第二中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案）一、选择题
1．【答案】D
【解析】解：若a=0，则函数f（x）=﹣3x2+1，有两个零点，不满足条件．
若a≠0，函数的f（x）的导数f′（x）=6ax2﹣6x=6ax（x﹣），
若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，
若a＞0，由f′（x）＞0得x＞或x＜0，此时函数单调递增，
由f′（x）＜0得0＜x＜，此时函数单调递减，
故函数在x=0处取得极大值f（0）=1＞0，在x=处取得极小值f（），若x0＞0，此时还存在一个小于0的零点，此时函数有两个零点，不满足条件．
若a＜0，由f′（x）＞0得＜x＜0，此时函数递增，
由f′（x）＜0得x＜或x＞0，此时函数单调递减，
即函数在x=0处取得极大值f（0）=1＞0，在x=处取得极小值f（），
若存在唯一的零点x0，且x0＞0，
则f（）＞0，即2a（）3﹣3（）2+1＞0，
（）2＜1，即﹣1＜＜0，
解得a＜﹣1，
故选：D
【点评】本题主要考查函数零点的应用，求函数的导数，利用导数和极值之间的关系是解决本题的关键．注意分类讨论．
2．【答案】A
【解析】解：p：对于任意n∈N*，a n+2﹣a n+1=d；q：数列{a n}是公差为d的等差数列，
则￢p：∃n∈N*，a n+2﹣a n+1≠d；￢q：数列{a n}不是公差为d的等差数列，
由￢p⇒￢q，即a n+2﹣a n+1不是常数，则数列{a n}就不是等差数列，
若数列 {a n }不是公差为d 的等差数列，则不存在n ∈N *
，使得a n+2﹣a n+1≠d ，
即前者可以推出后者，前者是后者的充分条件， 即后者可以推不出前者， 故选：A ．
【点评】本题考查等差数列的定义，是以条件问题为载体的，这种问题注意要从两个方面入手，看是不是都能够成立．
3． 【答案】C 【解析】
试题分析：由题意得，当01t <≤时，()21
22
f t t t t =
⋅⋅=，当12t <≤时， ()1
12(1)2212f t t t =⨯⨯+-⋅=-，所以()2,0121,12
t t f t t t ⎧<≤=⎨-<≤⎩，结合不同段上函数的性质，可知选项C 符
合，故选C.
考点：分段函数的解析式与图象. 4． 【答案】C
【解析】【分析】设直线2x+y+7=0的倾斜角为θ，则tan θ=﹣2，即可判断出结论．
【解答】解：设直线2x+y+7=0的倾斜角为θ， 则tan θ=﹣2， 则θ为钝角． 故选：C ．
5． 【答案】A
【解析】解：分层抽样的抽取比例为=
，
总体个数为3500+1500=5000，
∴样本容量n=5000×=100．
故选：A ．
6． 【答案】D
【解析】解：A ：y=的定义域[0，+∞），与y=x 的定义域R 不同，故A 错误
B ：与y=x 的对应法则不一样，故B 错误
C ：=x ，（x ≠0）与y=x 的定义域R 不同，故C 错误
D ：，与y=x 是同一个函数，则函数的图象相同，故D 正确
故选D
【点评】本题主要考查了函数的三要素：函数的定义域，函数的值域及函数的对应法则的判断，属于基础试题
7． 【答案】B
【解析】解：由题意知，女生第一次、第二次均未被抽到，她第三次被抽到，
这三个事件是相互独立的，
第一次不被抽到的概率为，
第二次不被抽到的概率为，
第三次被抽到的概率是，
∴女生第一次、第二次均未被抽到，那么她第三次被抽到的概率是=，
故选B ．
8． 【答案】D
【解析】解：∵等比数列{a n }中a 4=2，a 5=5， ∴a 4•a 5=2×5=10，
∴数列{lga n }的前8项和S=lga 1+lga 2+…+lga 8 =lg （a 1•a 2…a 8）=lg （a 4•a 5）4 =4lg （a 4•a 5）=4lg10=4 故选：D ．
【点评】本题考查等比数列的性质，涉及对数的运算，基本知识的考查．
9． 【答案】B 【解析】解：由三视图可知几何体是底面半径为2的圆柱，
∴几何体的侧面积为2π×2×h=12π，解得h=3，
∴几何体的体积V=π×22
×3=12π．
故选B ．
【点评】本题考查了圆柱的三视图，结构特征，体积，表面积计算，属于基础题．
10．【答案】B
【解析】解：∵a ＞b ，令 a=﹣1，b=﹣2，代入各个选项检验可得：
=﹣1， =﹣，显然A 不正确． a 3=﹣1，b 3=﹣6，显然 B 正确． a 2 =1，b 2=4，显然C 不正确． a=﹣1，|b|=2，显然D 不正确．
故选 B ．
【点评】通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法．
11．【答案】C
【解析】解：若果树前n 年的总产量S 与n 在图中对应P （S ，n ）点 则前n 年的年平均产量即为直线OP 的斜率
由图易得当n=9时，直线OP的斜率最大
即前9年的年平均产量最高，
故选C
12．【答案】C
【解析】解：由题，f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=2x﹣2﹣，
令2x﹣2﹣＞0，整理得x2﹣x﹣2＞0，解得x＞2或x＜﹣1，
结合函数的定义域知，f′（x）＞0的解集为（2，+∞）．
故选：C．
二、填空题
13．【答案】1
14．【答案】①②④
【解析】解：①在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（1，σ2）（σ＞0）则正态曲线关于x=1对称．若ξ在（0，1）内取值的概率为0.35，则ξ在（0，2）内取值的概率P=2×0.35=0.7；故①正确，
②∵y=ce kx，
∴两边取对数，可得lny=ln（ce kx）=lnc+lne kx=lnc+kx，
令z=lny，可得z=lnc+kx，
∵z=0.3x+4，
∴lnc=4，
∴c=e4．故②正确，
③已知命题“若函数f（x）=e x﹣mx在（0，+∞）上是增函数，
则m≤1”的逆否命题是“若m＞1，则函数f（x）=e x﹣mx在（0，+∞）上不是增函数”，
若函数f（x）=e x﹣mx在（0，+∞）上是增函数，则f′（x）≥0恒成立，
即f′（x）=e x﹣m≥0在（0，+∞）上恒成立，
即m≤e x，
∵x＞0，∴e x＞1，
则m≤1．故原命题是真命题，则命题的逆否命题也是真命题，故③错误，
④设f（x）=ax2﹣（a+b﹣1）x+b，
则f（0）=b＞0，f（1）=a﹣（a+b﹣1）+b=1＞0，
∴要使∀x＞1恒成立，
则对称轴x=，
即a+b﹣1≤2a，即a≥b﹣1，
即不等式ax2﹣（a+b﹣1）x+b＞0对∀x＞1恒成立的充要条件是a≥b﹣1．故④正确，
故答案为：①②④
15．【答案】1．
【解析】解：∵x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，
∴如图，当x∈[0，1）时，画出函数f（x）=x﹣[x]的图象，
再左右扩展知f（x）为周期函数．
结合图象得到函数f（x）=x﹣[x]的最小正周期是1．
故答案为：1．
【点评】本题考查函数的最小正周期的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．
16．【答案】．
【解析】解：先根据题意画出图形，得到积分上限为1，积分下限为0
直线y=x与曲线y=x2所围图形的面积S=∫01（x﹣x2）dx
而∫01（x﹣x2）dx=（﹣）|01=﹣=
∴曲边梯形的面积是
故答案为：．
17．【答案】1
1[133e
e ⎧⎫+⋃+⎨⎬⎩⎭
，）
【解析】当x ＜0时，由f （x ）﹣1=0得x 2+2x+1=1，得x=﹣2或x=0，
当x ≥0时，由f （x ）﹣1=0得
110x x
e
+-=，得x=0， 由，y=f （f （x ）﹣a ）﹣1=0得f （x ）﹣a=0或f （x ）﹣a=﹣2， 即f （x ）=a ，f （x ）=a ﹣2， 作出函数f （x ）的图象如图：
y=
1x x
e +≥1（x ≥0）， y ′=1x
x e
-，当x ∈（0，1）时，y ′＞0，函数是增函数，x ∈（1，+∞）时，y ′＜0，函数是减函数，
x=1时，函数取得最大值：1
1e
+，
当1＜a ﹣211e <+时，即a ∈（3，3+1
e ）时，y=
f （f （x ）﹣a ）﹣1有4个零点，
当a ﹣2=1+1e 时，即a=3+1
e 时则y=
f （f （x ）﹣a ）﹣1有三个零点，
当a ＞3+1
e 时，y=
f （f （x ）﹣a ）﹣1有1个零点
当a=1+1
e 时，则y=
f （f （x ）﹣a ）﹣1有三个零点，
当11{ 21
a e a >+-≤时，即a ∈（1+1e
，3）时，y=f （f （x ）﹣a ）﹣1有三个零点．
综上a ∈1
1[133e
e ⎧⎫+⋃+⎨⎬⎩⎭
，），函数有3个零点． 故答案为：11[133e
e ⎧⎫+⋃+⎨⎬⎩⎭
，）．
点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路
（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 18．【答案】 【解析】
考
点：1.等差数列的通项公式；2.等差数列的前项和．
【方法点睛】本题主要考查等差数列的通项公式和前项和公式.等差数列的通项公式及前项和公式,共涉及
1,,,,n n a a d n S 五个量,知其中三个就能求另外两个,体现了用方程的思想解决问题.数列的通项公式和前项和公
式在解题中起到变量代换作用,而1,a d 是等差数列的两个基本量,用它们表示已知和未知是常用方法.
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）由C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3cos α
y ＝2＋3sin α
（α为参数）
得（x －1）2＋（y －2）2＝9（cos 2α＋sin 2α）＝9. 即C 1的普通方程为（x －1）2＋（y －2）2＝9， 由C 2：ρ＝
2sin （θ＋π
4
）
得
ρ（sin θ＋cos θ）＝2， 即x ＋y －2＝0，
即C 2的普通方程为x ＋y －2＝0.
（2）由C 1：（x －1）2＋（y －2）2＝9得 x 2＋y 2－2x －4y －4＝0，
其极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ－4＝0， 将θ＝3π
4代入上式得
ρ2－2ρ－4＝0， ρ1＋ρ2＝2，ρ1ρ2＝－4， ∴|MN |＝|ρ1－ρ2|＝
（ρ1＋ρ2）2－4ρ1ρ2＝3 2.
C 3：θ＝3
4
π（ρ∈R ）的直角坐标方程为x ＋y ＝0，
∴C 2与C 3是两平行直线，其距离d ＝2
2
＝ 2.
∴△PMN 的面积为S ＝12|MN |×d ＝1
2×32×2＝3.
即△PMN 的面积为3. 20．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）关于x 的不等式f （x ）≥a 2﹣3a 恒成立，即|﹣x|﹣|+x|≥a 2
﹣3a 恒成立．
由于f （x ）=|﹣x|﹣|+x|=，故f （x ）的最小值为﹣2，
∴﹣2≥a 2
﹣3a ，求得1≤a ≤2．
（Ⅱ）由于f （x ）的最大值为2，∴f （m ）≤2，f （n ）≤2，
若f （m ）+f （n ）=4，∴m ＜n ≤﹣，∴m+n ＜﹣5．
【点评】本题主要考查分段函数的应用，求函数的最值，函数的恒成立问题，属于中档题．
21．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）设射线y=x （x ≥0）的倾斜角为α，则tan α=，α∈（0，
）．
∴tan θ=tan （α+）==，
∴由解得，
∴点A 的坐标为（，）．
（Ⅱ）f （x ）=•=3sin θ•sin2x+2cos θ•2cos2x=sin2x+
cos2x
=
sin （2x+
）
由x ∈[0，]，可得2x+∈[
，
]，
∴sin （2x+
）∈[﹣
，1]，
∴函数f （x ）的值域为[﹣
，
]．
【点评】本题考查三角函数、平面向量等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程的思想，属于中档题．
22．【答案】
【解析】解：（1）当m=2时，
（x＞0）
令f′（x）＜0，可得或x＞2；
令f′（x）＞0，可得，
∴f（x）在和（2，+∞）上单调递减，在单调递增
故
（2）（x＞0，m＞0）
①当0＜m＜1时，则，故x∈（0，m），f′（x）＜0；
x∈（m，1）时，f′（x）＞0
此时f（x）在（0，m）上单调递减，在（m，1）单调递增；
②当m=1时，则，故x∈（0，1），有恒成立，
此时f（x）在（0，1）上单调递减；
③当m＞1时，则，
故时，f′（x）＜0；时，f′（x）＞0
此时f（x）在上单调递减，在单调递增
（3）由题意，可得f′（x1）=f′（x2）（x1，x2＞0，且x1≠x2）
即⇒
∵x1≠x2，由不等式性质可得恒成立，
又x1，x2，m＞0
∴⇒对m∈[3，+∞）恒成立
令，则
对m∈[3，+∞）恒成立
∴g（m）在[3，+∞）上单调递增，
∴
故
从而
“
对m ∈[3，+∞）恒成立”等价于
“
”
∴x 1+x 2
的取值范围为
【点评】运用导数，我们可解决曲线的切线问题，函数的单调性、极值与最值，正确求导是我们解题的关键
23．【答案】（1）{}210A B x =<<U ，(){}
2310R C A B x x x =<<≤<I 或7；（2）1a ≤-或9
22
a ≤≤。

【解析】
试题分析：（1）由题可知：30
70x x -≥⎧⎨->⎩
，所以37x ≤<，因此集合{}37A x x =≤<，画数轴表示出集合A ，
集合B ，观察图形可求，{}210A B x =<<U ，观察数轴，可以求出{}
37R C A x x x =<≥或，则
(){}2310R C A B x x x =<<≤<I
或7；（2）由B C B =U 可得：C B ⊆，分类讨论，当B φ=时，
21a a ≥+，解得：1a ≤-，当B φ≠时，若C B ⊆，则应满足21
22110a a a a <+⎧⎪
≥⎨⎪+≤⎩，即1292
a a a ⎧
⎪>-⎪≥⎨⎪⎪≤
⎩，所以922a ≤≤，因此满足
B C B =U 的实数a 的取值范围是：1a ≤-或9
22
a ≤≤。

试题解析：（1）：由3070
x x -≥⎧⎨->⎩得：
37x ≤<
A={x|3x<7}≤
A B {x |2x 10}=<<， B A C R
⋂)(={x|2<x<3x<10}
≤或7
（2）当B=φ时，21,a -1a a ≥+≤
当B φ≠时，21
22110
a a a a <+⎧⎪
≥⎨⎪+≤⎩
，922a ≤≤
即-1a ≤或922
a ≤≤。

考点：1.函数的定义域；2.集合的运算；3.集合间的关系。

24．【答案】
【解析】解：（1）因为抛物线y=2x 2﹣4x+a 开口向上，对称轴为x=1， 所以函数f （x ）在（﹣∞，1]上单调递减，在[1，+∞）上单调递增， 因为函数f （x ）在[﹣1，3m]上不单调，
所以3m＞1，…（2分）
得，…（3分）
（2）①因为f（1）=g（1），所以﹣2+a=0，…（4分）
所以实数a的值为2．…
②因为t1=f（x）=x2﹣2x+1=（x﹣1）2，
t2=g（x）=log2x，
t3=2x，
所以当x∈（0，1）时，t1∈（0，1），…（7分）
t2∈（﹣∞，0），…（9分）
t3∈（1，2），…（11分）
所以t2＜t1＜t3．…（12分）
【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．。