高考数学人教版浙江专用新精准大一轮复习课件：第2章第8讲 函数与方程
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第二章 函数概念与基本初等函数
2．(2019·杭州市严州中学高三模拟)若 a<b<c，则函数 f(x)＝(x －a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于 区间( ) A．(a，b)和(b，c)内 B．(－∞，a)和(a，b)内 C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内
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第二章 函数概念与基本初等函数
函数零点个数的问题
(1)函数 f(x)＝x－2＋1＋x－ln2x，，xx≤>00，的零点个数为(
)
A．3
B．2
C．1
D．0
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第二章 函数概念与基本初等函数
(2)已知函数 f(x)满足 f(x)＝f(3x)，且当 x∈[1，3)时，f(x)＝ln x，
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第二章 函数概念与基本初等函数
法二：函数 f(x)的图象如图所示， 由图象知函数 f(x)共有 2 个零点．
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第二章 函数概念与基本初等函数
(2)因为 f(x)＝f(3x)⇒f(x)＝fx3，当 x∈[3，9)时，f(x)＝fx3＝lnx3， ln x，1≤x<3，
所以 f(x)＝lnx3，3≤x<9， 而 g(x)＝f(x)－ax 有三个不同零点 ⇔y＝f(x)与 y＝ax 的图象有三个不同交点，如图所示，可得直 线 y＝ax 应在图中两条虚线之间，所以可解得ln93<a<31e.故选 B.
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第二章 函数概念与基本初等函数
1．(2019·金华十校联考)函数 f(x)＝πx＋log2x 的零点所在区间 为( )
A．14，12
B．18，14
C．0，18
D．12，1
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第二章 函数概念与基本初等函数
解析：选 A.因为 f14＝π4＋log214<0， f12＝π2＋log212>0，所以 f14·f12<0，故函数 f(x)＝πx＋log2x 的 零点所在区间为14，12.
【答案】 (1)B (2)B
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第二章 函数概念与基本初等函数
判断函数零点个数的 3 种方法 (1)方程法：令 f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个 零点． (2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上 是连续不断的曲线，且 f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与 性质(如单调性、奇偶性、对称性)才能确定函数有多少个零点 或零点值所具有的性质．
C．2
D．3
答案：B
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第二章 函数概念与基本初等函数
若函数 f(x)＝ax＋b 有一个零点是 2，那么函数 g(x)＝bx2 －ax 的零点是________． 解析：因为 2a＋b＝0， 所以 g(x)＝－2ax2－ax＝－ax(2x＋1)． 所以零点为 0 和－12. 答案：0，－12
第二章 函数概念与基本初等函数
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数的零点就是函数的图象与 x 轴的交点．( × ) (2)函数 y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则 f(a)·f(b)<0.( × ) (3) 二 次 函 数 y＝ ax2＋ bx＋ c(a≠0)在 b2－ 4ac<0 时 没 有 零 点．( √ ) (4)若函数 f(x)在(a，b)上连续单调且 f(a)·f(b)<0，则函数 f(x) 在[a，b]上有且只有一个零点．(√ )
C．f(1)<f(a)<f(b)
D．f(b)<f(1)<f(a)
【解析】 由题意，知 f′(x)＝ex＋1>0 恒成立，所以函数 f(x)
在 R 上是单调递增的，而 f(0)＝e0＋0－2＝－1<0，f(1)＝e1＋1
－2＝e－1>0，所以函数 f(x)的零点 a∈(0，1)；
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第二章 函数概念与基本初等函数
A．0
B．1
C．2
D．3
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第二章 函数概念与基本初等函数
解析：选 C.由题意可知 f(x)的定义域为(0，＋∞)，在同一直角 坐标系中画出函数 y1＝|x－2|(x>0)，y2＝ln x(x>0)的图象，如 图所示．
由图可知函数 f(x)在定义域内的零点个数为 2.
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第二章 函数概念与基本初等函数
栏目 导引
第二章 函数概念与基本初等函数
点个数，观察图象可知，当 x>0 时，有 5 个交点，根据对称性 可得当 x<0 时，也有 5 个交点，共计 10 个交点，故选 D.
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第二章 函数概念与基本初等函数
函数零点的应用
(高频考点)
高考对函数零点的考查多以选择题或填空题的形式出现．主要 命题角度有： (1)利用函数零点比较大小； (2)已知函数的零点(或方程的根)求参数的值或范围； (3)利用函数零点的性质求参数的范围．
由题意，知 g′(x)＝1x＋1>0，所以函数 g(x)在(0，＋∞)上是单 调递增的，又 g(1)＝ln 1＋1－2＝－1<0，g(2)＝ln 2＋2－2＝ln 2>0，所以函数 g(x)的零点 b∈(1，2)． 综上，可得 0<a<1<b<2.因为 f(x)在 R 上是单调递增的，所以 f(a)<f(1)<f(b)．故选 A. 【答案】 A
若在区间[1，9)内，函数 g(x)＝f(x)－ax 有三个不同的零点，
则实数 a 的取值范围是( )
A．ln33，1e
B．ln93，31e
C．ln93，21e
D．ln93，ln33
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第二章 函数概念与基本初等函数
【解析】 (1)法一：由 f(x)＝0 得xx≤ 2＋0x，－2＝0 或x－>10＋，ln x＝0，解得 x＝－2 或 x＝e. 因此函数 f(x)共有 2 个零点．
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第二章 函数概念与基本初等函数
角度一 利用函数零点比较大小
(2019·台州模拟)已知 e 是自然对数的底数，函数 f(x)＝
ex＋x－2 的零点为 a，函数 g(x)＝ln x＋x－2 的零点为 b，则
下列不等式中成立的是( )
A．f(a)<f(1)<f(b)
B．f(a)<f(b)<f(1)
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第二章 函数概念与基本初等函数
判断函数零点所在区间的 3 种方法 (1)解方程法：当对应方程 f(x)＝0 易解时，可先解方程，然后 再看求得的根是否落在给定区间上． (2)定理法：利用函数零点的存在性定理，首先看函数 y＝f(x) 在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有 f(a)·f(b)<0.若有， 则函数 y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点． (3)图象法：通过画函数图象，观察图象与 x 轴在给定区间上是 否有交点来判断．
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第二章 函数概念与基本初等函数
角度二 已知函数的零点(或方程的根)求参数的值或范围 (1)设函数 f(x)＝log2(2x＋1)，g(x)＝log2(2x－1)，若关于
x 的函数 F(x)＝g(x)－f(x)－m 在[1，2]上有零点，则 m 的取值 范围为________． (2)(2018·高考浙江卷)已知 λ∈R，函数 f(x)＝xx－ 2－44，x＋x≥3，λ，x<λ， 当 λ＝2 时，不等式 f(x)<0 的解集是________．若函数 f(x)恰 有 2 个零点，则 λ 的取值范围是________．
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第二章 函数概念与基本初等函数
A．(0，1)
B．(1，2)
C．(2，e)
D．(e，3)
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第二章 函数概念与基本初等函数
【解析】 (1)因为 f′(x)＝1x＋x22>0(x>0)，所以 f(x)在(0，＋∞) 上单调递增，又 f(3)＝ln 3－23>0，f(2)＝ln 2－1<0，所以 f(2)·f(3)<0，所以 f(x)唯一的零点在区间(2，3)内．故选 B.
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第二章 函数概念与基本初等函数
(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画 出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几 个不同的值，就有几个不同的零点．
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第二章 函数概念与基本初等函数
1．函数 f(x)＝|x－2|－ln x 在定义域内的零点的个数为( )
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第二章 函数概念与基本初等函数
(教材习题改编)函数 f(x)＝3x－7＋ln x 的零点位于区间(n， n＋1)(n∈N)内，则 n＝________． 解析：因为 f(2)＝6－7＋ln 2＝ln 2－1<0， f(3)＝9－7＋ln 3＝2＋ln 3>0， 又 f(x)＝3x－7＋ln x 为增函数，所以函数 f(x)的零点位于区间 (2，3)内，故 n＝2. 答案：2
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第二章 函数概念与基本初等函数
2．函数零点的判定 如果函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲 线，并且有__f_(a_)_·f_(_b_)＜__0________，那么函数 y＝f(x)在区间 _(_a_，__b_) ___内有零点，即存在 c∈(a，b)，使得__f(_c_)_＝__0___，这 个 c 也就是 f(x)＝0 的根．我们把这一结论称为函数零点存在 性定理．
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第二章 函数概念与基本初等函数
(2)h(x)＝f(x)－g(x)的零点等价于方程 f(x)－g(x)＝0 的根， 即为函数 y＝f(x)与 y＝g(x)图象的交点的横坐标，其大致图象 如图，从图象可知它们仅有一个交点 A，横坐标的范围为(0， 1)，故选 A.
【答案】 (1)B (2)A
第二章 函数概念与基本初等函数
第8讲 函数与方程
第二章 函数概念与基本初等函数
1．函数的零点 (1)函数零点的定义：对于函数 y＝f(x)，把使_f_(_x_)＝__0____的实 数 x 叫做函数 y＝f(x)的零点． (2)三个等价关系：方程 f(x)＝0 有实数根⇔函数 y＝f(x)的图象 与_x_轴__有交点⇔函数 y＝f(x)有_零__点__．
2．已知函数 f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，
2|x－1|－1，0<x≤2， 当 x>0 时，f(x)＝12f（x－2），x>2， 则函数 g(x)＝4f(x)－1
的零点个数为( )
A．4
B．6
C．8
D．10
栏目 导引
第二章 函数概念与基本初等函数
解析：选 D. 由 f(x)为偶函数可得，只需作出 x∈(0，＋∞)上 的图象，再利用对称性作另一半图象即可．当 x∈(0，2]时， 可以通过 y＝2x 的图象进行变换作出 f(x)的图象，当 x>2 时， f(x)＝12f(x－2)，即自变量差 2 个单位，函数值折半，进而可作 出 f(x)在(2，4]，(4，6]，…的图象，如图所示．g(x)的零点个 数即 f(x)＝14的根的个数，也即 f(x)的图象与 y＝14的图象的交
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第二章 函数概念与基本初等函数
3．二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数 y＝
ax2＋bx＋c(a
＞0)的图象
_(_x_1_，__0_) ___， 与 x 轴的交点 _(_x_2_，__0_)___
(x1，0)
无交点零点个数两个来自一个零个栏目 导引
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第二章 函数概念与基本初等函数
(教材习题改编)函数 f(x)＝ln x＋2x－6 的零点在下列哪个
区间内( )
A．(0，1)
B．(1，2)
C．(2，3)
D．(3，4)
答案：C
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第二章 函数概念与基本初等函数
(教材习题改编)函数 f(x)＝x12－12x的零点个数为 (
)
A．0
B．1
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第二章 函数概念与基本初等函数
解析：选 A.因为 f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x －a)， 所以 f(a)＝(a－b)(a－c)， f(b)＝(b－c)(b－a)， f(c)＝(c－a)(c－b)， 因为 a<b<c，所以 f(a)>0，f(b)<0，f(c)>0， 所以 f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内．
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第二章 函数概念与基本初等函数
函数零点所在区间的判断
(1)函数 f(x)＝ln x－2x的零点所在的大致区间是( )
A．(1，2)
B．(2，3)
C．(1，e)和(3，4)
D．(e，＋∞)
(2)设 f(x)＝0.8x－1，g(x)＝ln x，则函数 h(x)＝f(x)－g(x)存在
的零点一定位于下列哪个区间( )
第二章 函数概念与基本初等函数
2．(2019·杭州市严州中学高三模拟)若 a<b<c，则函数 f(x)＝(x －a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于 区间( ) A．(a，b)和(b，c)内 B．(－∞，a)和(a，b)内 C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内
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第二章 函数概念与基本初等函数
函数零点个数的问题
(1)函数 f(x)＝x－2＋1＋x－ln2x，，xx≤>00，的零点个数为(
)
A．3
B．2
C．1
D．0
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第二章 函数概念与基本初等函数
(2)已知函数 f(x)满足 f(x)＝f(3x)，且当 x∈[1，3)时，f(x)＝ln x，
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第二章 函数概念与基本初等函数
法二：函数 f(x)的图象如图所示， 由图象知函数 f(x)共有 2 个零点．
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第二章 函数概念与基本初等函数
(2)因为 f(x)＝f(3x)⇒f(x)＝fx3，当 x∈[3，9)时，f(x)＝fx3＝lnx3， ln x，1≤x<3，
所以 f(x)＝lnx3，3≤x<9， 而 g(x)＝f(x)－ax 有三个不同零点 ⇔y＝f(x)与 y＝ax 的图象有三个不同交点，如图所示，可得直 线 y＝ax 应在图中两条虚线之间，所以可解得ln93<a<31e.故选 B.
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第二章 函数概念与基本初等函数
1．(2019·金华十校联考)函数 f(x)＝πx＋log2x 的零点所在区间 为( )
A．14，12
B．18，14
C．0，18
D．12，1
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第二章 函数概念与基本初等函数
解析：选 A.因为 f14＝π4＋log214<0， f12＝π2＋log212>0，所以 f14·f12<0，故函数 f(x)＝πx＋log2x 的 零点所在区间为14，12.
【答案】 (1)B (2)B
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第二章 函数概念与基本初等函数
判断函数零点个数的 3 种方法 (1)方程法：令 f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个 零点． (2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上 是连续不断的曲线，且 f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与 性质(如单调性、奇偶性、对称性)才能确定函数有多少个零点 或零点值所具有的性质．
C．2
D．3
答案：B
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第二章 函数概念与基本初等函数
若函数 f(x)＝ax＋b 有一个零点是 2，那么函数 g(x)＝bx2 －ax 的零点是________． 解析：因为 2a＋b＝0， 所以 g(x)＝－2ax2－ax＝－ax(2x＋1)． 所以零点为 0 和－12. 答案：0，－12
第二章 函数概念与基本初等函数
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数的零点就是函数的图象与 x 轴的交点．( × ) (2)函数 y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则 f(a)·f(b)<0.( × ) (3) 二 次 函 数 y＝ ax2＋ bx＋ c(a≠0)在 b2－ 4ac<0 时 没 有 零 点．( √ ) (4)若函数 f(x)在(a，b)上连续单调且 f(a)·f(b)<0，则函数 f(x) 在[a，b]上有且只有一个零点．(√ )
C．f(1)<f(a)<f(b)
D．f(b)<f(1)<f(a)
【解析】 由题意，知 f′(x)＝ex＋1>0 恒成立，所以函数 f(x)
在 R 上是单调递增的，而 f(0)＝e0＋0－2＝－1<0，f(1)＝e1＋1
－2＝e－1>0，所以函数 f(x)的零点 a∈(0，1)；
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第二章 函数概念与基本初等函数
A．0
B．1
C．2
D．3
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第二章 函数概念与基本初等函数
解析：选 C.由题意可知 f(x)的定义域为(0，＋∞)，在同一直角 坐标系中画出函数 y1＝|x－2|(x>0)，y2＝ln x(x>0)的图象，如 图所示．
由图可知函数 f(x)在定义域内的零点个数为 2.
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第二章 函数概念与基本初等函数
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第二章 函数概念与基本初等函数
点个数，观察图象可知，当 x>0 时，有 5 个交点，根据对称性 可得当 x<0 时，也有 5 个交点，共计 10 个交点，故选 D.
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第二章 函数概念与基本初等函数
函数零点的应用
(高频考点)
高考对函数零点的考查多以选择题或填空题的形式出现．主要 命题角度有： (1)利用函数零点比较大小； (2)已知函数的零点(或方程的根)求参数的值或范围； (3)利用函数零点的性质求参数的范围．
由题意，知 g′(x)＝1x＋1>0，所以函数 g(x)在(0，＋∞)上是单 调递增的，又 g(1)＝ln 1＋1－2＝－1<0，g(2)＝ln 2＋2－2＝ln 2>0，所以函数 g(x)的零点 b∈(1，2)． 综上，可得 0<a<1<b<2.因为 f(x)在 R 上是单调递增的，所以 f(a)<f(1)<f(b)．故选 A. 【答案】 A
若在区间[1，9)内，函数 g(x)＝f(x)－ax 有三个不同的零点，
则实数 a 的取值范围是( )
A．ln33，1e
B．ln93，31e
C．ln93，21e
D．ln93，ln33
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第二章 函数概念与基本初等函数
【解析】 (1)法一：由 f(x)＝0 得xx≤ 2＋0x，－2＝0 或x－>10＋，ln x＝0，解得 x＝－2 或 x＝e. 因此函数 f(x)共有 2 个零点．
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第二章 函数概念与基本初等函数
角度一 利用函数零点比较大小
(2019·台州模拟)已知 e 是自然对数的底数，函数 f(x)＝
ex＋x－2 的零点为 a，函数 g(x)＝ln x＋x－2 的零点为 b，则
下列不等式中成立的是( )
A．f(a)<f(1)<f(b)
B．f(a)<f(b)<f(1)
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第二章 函数概念与基本初等函数
判断函数零点所在区间的 3 种方法 (1)解方程法：当对应方程 f(x)＝0 易解时，可先解方程，然后 再看求得的根是否落在给定区间上． (2)定理法：利用函数零点的存在性定理，首先看函数 y＝f(x) 在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有 f(a)·f(b)<0.若有， 则函数 y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点． (3)图象法：通过画函数图象，观察图象与 x 轴在给定区间上是 否有交点来判断．
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第二章 函数概念与基本初等函数
角度二 已知函数的零点(或方程的根)求参数的值或范围 (1)设函数 f(x)＝log2(2x＋1)，g(x)＝log2(2x－1)，若关于
x 的函数 F(x)＝g(x)－f(x)－m 在[1，2]上有零点，则 m 的取值 范围为________． (2)(2018·高考浙江卷)已知 λ∈R，函数 f(x)＝xx－ 2－44，x＋x≥3，λ，x<λ， 当 λ＝2 时，不等式 f(x)<0 的解集是________．若函数 f(x)恰 有 2 个零点，则 λ 的取值范围是________．
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第二章 函数概念与基本初等函数
A．(0，1)
B．(1，2)
C．(2，e)
D．(e，3)
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第二章 函数概念与基本初等函数
【解析】 (1)因为 f′(x)＝1x＋x22>0(x>0)，所以 f(x)在(0，＋∞) 上单调递增，又 f(3)＝ln 3－23>0，f(2)＝ln 2－1<0，所以 f(2)·f(3)<0，所以 f(x)唯一的零点在区间(2，3)内．故选 B.
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(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画 出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几 个不同的值，就有几个不同的零点．
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第二章 函数概念与基本初等函数
1．函数 f(x)＝|x－2|－ln x 在定义域内的零点的个数为( )
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第二章 函数概念与基本初等函数
(教材习题改编)函数 f(x)＝3x－7＋ln x 的零点位于区间(n， n＋1)(n∈N)内，则 n＝________． 解析：因为 f(2)＝6－7＋ln 2＝ln 2－1<0， f(3)＝9－7＋ln 3＝2＋ln 3>0， 又 f(x)＝3x－7＋ln x 为增函数，所以函数 f(x)的零点位于区间 (2，3)内，故 n＝2. 答案：2
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第二章 函数概念与基本初等函数
2．函数零点的判定 如果函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲 线，并且有__f_(a_)_·f_(_b_)＜__0________，那么函数 y＝f(x)在区间 _(_a_，__b_) ___内有零点，即存在 c∈(a，b)，使得__f(_c_)_＝__0___，这 个 c 也就是 f(x)＝0 的根．我们把这一结论称为函数零点存在 性定理．
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第二章 函数概念与基本初等函数
(2)h(x)＝f(x)－g(x)的零点等价于方程 f(x)－g(x)＝0 的根， 即为函数 y＝f(x)与 y＝g(x)图象的交点的横坐标，其大致图象 如图，从图象可知它们仅有一个交点 A，横坐标的范围为(0， 1)，故选 A.
【答案】 (1)B (2)A
第二章 函数概念与基本初等函数
第8讲 函数与方程
第二章 函数概念与基本初等函数
1．函数的零点 (1)函数零点的定义：对于函数 y＝f(x)，把使_f_(_x_)＝__0____的实 数 x 叫做函数 y＝f(x)的零点． (2)三个等价关系：方程 f(x)＝0 有实数根⇔函数 y＝f(x)的图象 与_x_轴__有交点⇔函数 y＝f(x)有_零__点__．
2．已知函数 f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，
2|x－1|－1，0<x≤2， 当 x>0 时，f(x)＝12f（x－2），x>2， 则函数 g(x)＝4f(x)－1
的零点个数为( )
A．4
B．6
C．8
D．10
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第二章 函数概念与基本初等函数
解析：选 D. 由 f(x)为偶函数可得，只需作出 x∈(0，＋∞)上 的图象，再利用对称性作另一半图象即可．当 x∈(0，2]时， 可以通过 y＝2x 的图象进行变换作出 f(x)的图象，当 x>2 时， f(x)＝12f(x－2)，即自变量差 2 个单位，函数值折半，进而可作 出 f(x)在(2，4]，(4，6]，…的图象，如图所示．g(x)的零点个 数即 f(x)＝14的根的个数，也即 f(x)的图象与 y＝14的图象的交
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第二章 函数概念与基本初等函数
3．二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数 y＝
ax2＋bx＋c(a
＞0)的图象
_(_x_1_，__0_) ___， 与 x 轴的交点 _(_x_2_，__0_)___
(x1，0)
无交点零点个数两个来自一个零个栏目 导引
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第二章 函数概念与基本初等函数
(教材习题改编)函数 f(x)＝ln x＋2x－6 的零点在下列哪个
区间内( )
A．(0，1)
B．(1，2)
C．(2，3)
D．(3，4)
答案：C
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第二章 函数概念与基本初等函数
(教材习题改编)函数 f(x)＝x12－12x的零点个数为 (
)
A．0
B．1
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第二章 函数概念与基本初等函数
解析：选 A.因为 f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x －a)， 所以 f(a)＝(a－b)(a－c)， f(b)＝(b－c)(b－a)， f(c)＝(c－a)(c－b)， 因为 a<b<c，所以 f(a)>0，f(b)<0，f(c)>0， 所以 f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内．
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第二章 函数概念与基本初等函数
函数零点所在区间的判断
(1)函数 f(x)＝ln x－2x的零点所在的大致区间是( )
A．(1，2)
B．(2，3)
C．(1，e)和(3，4)
D．(e，＋∞)
(2)设 f(x)＝0.8x－1，g(x)＝ln x，则函数 h(x)＝f(x)－g(x)存在
的零点一定位于下列哪个区间( )