第2讲 平行四边形的判定

第2讲 平行四边形的判定一、【基础知识精讲】1、平行四边形的定义：定义：两组对边___________的四边形是平行四边形。

作用：判断一个四边形是平行的四边形。

2、平行四边形的性质（从六个方面入手） 平行四边形的对边_______； 平行四边形的对边_______；平行四边形的对角_______； 平行四边形的邻角_______；（3）、对角线 平行四边形的对角线_______ （4）、周长：四边相加，或邻边相加的和乘以2 （5）、面积：底乘以高，或与对角线分成的三角形有关 （6）、对称性：一般不是轴对称图形3、平行线的距离：平行线之间的距离处处相等，因此在做平行四边形的高时可以根据需要灵活选择位置。

4.平行四边形的判定方法： ① 两组对边分别平行②两组对边分别相等③ 一组对边平行且相等 ④ 两组对角分别相等⑤ 对角线互相平分5.平行四边形性质的运用： ① 直接运用平行四边形性质解决某些问题，如求角的度数，线段的长度,证明角相等或互补,证明线段相等或倍分等．② 判别一个四边形为平行四边形，从而得到两直线平行．③ 先判别—个四边形是平行四边形，然后再用平行四边形的特征去解决某些问题．二、【例题精讲】例1．（1）根据下列条件，不能判别四边形是平行四边形的是( )A ．一组对边平行且相等的四边形B ．两组对角分别相等的四边形C ．对角线相等的四边形D ．对角线互相平分的四边形 (2)下列条件中不能确定四边形ABCD 是平行四边形的是（ ）A ．AB=CD ，AD ∥BCB ．AB=CD ，AB ∥CDC ．AB ∥CD ，AD ∥BC D ．AB=CD ，AD=BC例2．已知：如图，□ABCD 中，点E 、F 在对角线上，且AE ＝CF ．求证：四边形BEDF 是平行四边形．的四边形是平行四边形 （1）、边（2）、角A B CD E F例3．如图，□ABCD 的对角线AC 、BD 交于O ，EF 过点O 交AD 于E ，交BC 于F ，G 是OA 的中点，H 是OC的中点，求证：四边形EGFH 是平行四边形．例4.已知平行四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，AC=10，BD=8． （1）若AC ⊥BD ，试求四边形ABCD 的面积 ；（2）若AC 与BD 的夹角∠AOD=60，求四边形ABCD 的面积；例5、如图，已知在平行四边形ABCD 中，AB=21BC,延长AB 至F ，使BF=AB ，再延长BA 至E ，使AE=BA ，请你判断EC 与FD 的位置关系，并说明理由。

例6、如图，分别以Rt △ABC 的直角边AC 及斜边AB 向外作等边△ACD 、等边△ABE 。

已知∠BAC =30º，EF ⊥AB ，垂足为F ，连结DF 。

（1）试说明AC =EF ；（2）求证：四边形ADFE 是平行四边形。

例7、如图，在平行四边形ABCD 中，E 在AC 上，AE=2EC,F 在AB 上， DF=2AF 如果△DEF 的面积为2，求平行四边形ABCD 的面积。

ME F DCA B DA CBFEOC DB A例8、如图，已知等边△ABC 的边长为8，P 是△ABC 内一点，P D ∥AD,PF ∥BC, 点D,E,F 分别在AB,BC,AC ，则PD+PE+PF=________三、【同步练习】 A 组1．如图，四边形ABCD ，AC 、BD 相交于点O ，若OA=OC,OB=OD, 则四边形ABCD 是 ,根据是 . 2．一个四边形的三个内角的度数依次如下选项，其中是平行四边形的是（ ）A ．88°，108°，88°B ．88°，104°，108°C ．88°，92°，92°D ．88°，92°，88°3.如图，过□ABCD 的对角线BD 上一点M 分别作平行四边形两边的平行线EF 与GH ，那么图中的□AEMG 的面积1S 与□HCFM 的面积2S 的大小关系是（ ） A.1S ＞2S B..1S ＜2S C.1S =2S D.21S =2S 4．如图，四边形ABCD 中，AD=BC ，DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，垂足分别是E 、F ，AF=CE ．求证：四边形ABCD 是平行四边形．5.已知如图：在□ABCD 中，延长AB 到E ，延长CD 到F ，使BE=DF ，则线段AC 与EF 是否互相平分？说明理由.6.如图，在□ABCD 的各边AB 、BC 、CD 、DA 上，分别取点K 、L 、M 、N ，使AK=CM 、BL=DN ，求证：四边形KLMN 为平行四边形.1S2SCABP DFEEFADCB7.如图，在□ABCD 中，点E 、F 在对角线AC 上，并且OE=OF ． （1）OA 与OC ，OB 与OD 相等吗？ （2）四边形BFDE 是平行四边形吗？（3）若点E ，F 在OA ，OC 的中点上，你能解决上述问题吗？B组1.在□ABCD 中,∠ABC=750，AF ⊥BC 于F ，AF 交BD 于E ，若DE=2AB ，则∠AED 等于（ ）A 、600B 、650C 、700D 、7502.(2012南宁)如图，在□ABCD 中，AB=3，BC=5，对角线AC ，BD 相交于点O ，则OA 的取值范围是（ ） A.3＜OA ＜5 B.2＜OA ＜8 C.1＜OA ＜4 D.3＜OA ＜83.（2013年四川宜宾）如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，BD 为AC 的中线，过点C 作CE ⊥BD 于点E ，过点A 作BD 的平行线，交CE 的延长线于点F ，在AF 的延长线上截取FG=BD ，连接BG 、DF ．若AG=13，CF=6，则四边形BDFG 的周长为 ．4.如图，在△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是线段BC 延长线上一点，过点A 做BE 的 平行线与线段ED 的延长线交于点F ，连接AE ，CF. （1）求证：AF=CE（2）若AC=EF ，证明AF ⊥AE4.如图，□ABCD 中，M 、N 分别为AD 、BC 的中点，连结AN 、DN 、BM 、CM ，且AN 、BM 交于点P ，CM 、DN 交于点Q ，.四边形MQNP 是平行四边形吗？为什么？5.(2012广东)已知:如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC，BD相交于点O，BO=DO.求证：四边形ABCD是平行四边形.6.(2012沈阳)已知，如图，在□ABCD中，延长DA到点E，延长BC到点F，使得AE=CF，连接EF，分别交AB，CD于点M，N,连接DM，BN.（1）求证：△AEM≌△CFN；（2）求证：四边形BMDN是平行四边形.7.(2013宁夏)在□ABCD中，P是AB边上的任意一点，过P点作PE⊥AB，交AD于E，连接CE，CP，已知∠A=60°.（1）若BC=8，AB=6，当AP的长为多少时，△CPE的面积最大，并求出面积的最大值；（2）是探究当△CPE≌△CPB时，□ABCD的两边AB与BC应满足什么关系?8.在□ABCD 中，∠BAD 的角平分线交直线BC 于点E ，交直线DC 的延长线于点F. (1)在图①中证明CE=CF ；(2)若∠ABC=90°，G 是EF 的中点(如图②)，直接写出∠BDG 的度数；(3)若∠ABC=120°，FG ∥CE ，FG=CE,分别连接DB ，DG(如图③)，求∠BDG 的度数.图① 图② 图③家庭作业1、 如图，平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，直线EF 经过点O,分别与AB,CD 的延长线交于点E,F.求证：四边形AECF 是平行四边形.2、 如图，已知： ABCD中，BCD ∠的平分线CE 交边AD 于E ，ABC ∠的平分线BG 交CE 于F ，交AD 于G ．求证：AE DG =．A B CDE FG3.如图，已知在四边形ABFC 中ACB ∠=90BC ,︒的垂直平分线EF 交BC 于点D,交AB 于点E,且CF=AE. （1）试探究,四边形BECF 是什么特殊的四边形并证明之; （2）若四边形BECF 的面积是62cm 且BC+AC=105cm 时,求AB.4.已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD=24cm ，BC=30cm ，点P 自点A 向D 以1cm/s 的速度运动，到D 点即停止．点Q 自点C 向B 以2cm/s 的速度运动，到B 点即停止，直线PQ 截梯形为两个四边形．问当P ，Q 同时出发，几秒后其中一个四边形为平行四边形？☆5.(2013培优)如图,已知□ABCD ，AD=a,BE ∥AC ，DE 交AC 的延长线于F 点，交BE 于E 点.（1）求证：DF=FE ；（2）若AC=2CF ，∠ADC=60°，AC ⊥DC ，求BE 的长； （3）在(2)的条件下，求四边形ABED 的面积.8.在□ABCD中，∠BAD的角平分线交直线BC于点E，交直线DC的延长线于点F.(4)在图①中证明CE=CF；(5)若∠ABC=90°，G是EF的中点(如图②)，直接写出∠BDG的度数；(6)若∠ABC=120°，FG∥CE，FG=CE,分别连接DB，DG(如图③)，求∠BDG的度数.图①图②(1) 证明：如图1.∵ AF 平分∠BAD ，∴∠BAF=∠DAF ， ∵ 四边形ABCD 是平行四边形， ∴ AD//BC ，AB//CD 。

∴ ∠DAF=∠CEF ，∠BAF=∠F ， ∴ ∠CEF=∠F ，∴ CE=CF 。

(2) ∠BDG=45︒.(3) [解] 分别连结GB 、GE 、GC(如图2).∵ AB//DC ，∠ABC=120︒， ∴ ∠ECF=∠ABC=120︒， ∵ FG //CE 且FG=CE, ∴ 四边形CEGF 是平行四边形. 由(1)得CE=CF, ∴□CEGF 是菱形, ∴ EG=EC ，∠GCF=∠GCE=21∠ECF=60︒. ∴ △ ECG 是等边三角形. ∴ EG=CG… , ∠GEC=∠EGC=60︒, ∴∠GEC=∠GCF,∴∠BEG=∠DCG… , 由AD//BC 及AF 平分∠BAD 可得∠BAE=∠AEB ，∴AB=BE. 在□ ABCD 中，AB=DC. ∴BE=DC…●,由 ●得△BEG ≅ △DCG. ∴ BG=DG ，∠1=∠2, ∴ ∠BGD=∠1+∠3=∠2+∠3=∠EGC=60︒. ∴ ∠BDG=21(180︒-∠BGD)=60︒.。