2020-2021学年数学北师大版必修4学案：1.9 三角函数的简单应用 Word版含解析

§9三角函数的简单应用
知识点建立三角函数模型
[填一填]
建立三角函数模型的步骤如下：
[答一答]
怎样解答三角函数应用题？
提示：(1)审清题意，读懂题．
三角函数应用题的语言形式多为文字语言和图形语言并用，阅读材料时要读懂题目所反映的实际问题的背景，领悟其中的数学本质，在此基础上分析出已知什么、求什么，从中提炼出相应的数学问题．
(2)搜集整理数据，建立数学模型．
根据搜集到的数据，找出变化规律，运用已掌握的三角知识、物理知识及其他相关知识建立关系式，在此基础上将实际问题转化为一个三角函数问题，实现问题的数学化，即建立三角函数模型．其中要充分利用数形结合的思想以及图形语言和符号语言并用的思维方式．
(3)讨论变量关系．
根据上一步中建立起来的变量关系，结合题目的要求，与已知数学模型的性质对照，讨论考查的有关性质，从而得到所求问题的理论参考值．
(4)作出结论．
根据上一步得出的理论参考数值按题目要求作出相应的结论．
(1)实际问题的背景往往比较复杂，而且需要综合应用多门学科的知识才能完成，因此，在应用数学知识解决实际问题时，应当注意从复杂的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关学科知识来帮助解决问题．
(2)实际问题通常涉及复杂的数据，因此往往需要用到计算器或计算机．
类型一已知实际问题的模拟曲线求解析式
【例1】已知如图表示电流强度I与时间t的关系I＝A sin(ωt＋φ)在一个周期内的现象．
(1)试根据图像写出I＝A sin(ωt＋φ)的解析式；
(2)为了使I ＝A sin(ωt ＋φ)中t 在任意一段1100秒的时间内电流强度I 能
同时取得最大值|A |与最小值－|A |，那么正整数ω的最小值是多少？
【思路探究】 由图像确定振幅A ，ω，初相φ.
【解】 (1)由图像可知A ＝300，
又T ＝160－(－1300)＝150，∴ω＝2πT ＝100π.
又∵t ＝－1300时，ωt ＋φ＝0，
∴100π·(－1300)＋φ＝0，即φ＝π3，
∴I ＝300sin(100πt ＋π3)．(★答案★不唯一)
(2)问题(2)等价于T ≤1100，即2πω≤1100，ω≥200π.所以最小正整数ω＝
629.
规律方法 这类问题的特点是三角函数的解析式结构已知，要求根据图像或性质首先求出待定的A ，ω，φ的值，然后再利用解析式解决有关问题，其中准确确定待定字母的值是解题的关键．
如图，某市拟在长为8 km 的道路OP 的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM ，该曲线段为函数y ＝A sin ωx (A >0，ω>0)，x ∈[0,4]的图像，且图像的最高点为S (3，23)；赛道的后一部分为折线段MNP .为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP ＝120°.求A ，ω的值和M ，P 两点间的距离．
解：依题意，有A ＝2 3.T 4＝3，∴T ＝12，
又T ＝2πω，∴ω＝π6，∴y ＝23sin π6x .
∴当x ＝4时，y ＝23sin 2π3＝3，∴M (4,3)．又P (8,0)，
∴|MP |＝(4－8)2＋(3－0)2＝5.
类型二 建立三角函数模型解决实际问题
【例2】 某港口水深y (m)是时间t (0≤t ≤24，单位：h)的函数，下面是该港口的水深表：
t (h)
0 3 6 9 12 15 18 21 24 y (m) 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0
经拟合，由上述数据描成的曲线如图，该曲线可近似看成正弦函数y ＝A sin ωt ＋b 的图像．
(1)试根据数据表和曲线，求出y ＝A sin ωt ＋b 的解析式；
(2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5 m 是安全的，如果某船的吃水深度(船底与水面的距离)为7 m ，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间(忽略离港所用的时间)?
【思路探究】 (1)选择t ＝0,3时的函数值，即可求得待定系数A ，b ，结合函数的周期性，求得ω，即得解析式．
(2)根据(1)中所求函数解析式，把求函数值不少于4.5＋7＝11.5(m)的时间段，转化为解不等式．
【解】 (1)从拟合的曲线可知，函数y ＝A sin ωt ＋b 在一个周期内由最大变为最小需要9－3＝6(h)，此为半个周期，所以函数的最小正周期为12
h ，因此2πω＝12，得ω＝π6.
又当t ＝0时，y ＝10；当t ＝3时，y max ＝13，所以b ＝10，A ＝13－10＝3.
于是所求函数解析式为y ＝3sin π6t ＋10.
(2)由于船的吃水深度为7 m ，船底与海底的距离不少于4.5 m ，故在船舶航行时水深y 应大于或等于7＋4.5＝11.5(m)．
令y ＝3sin π6t ＋10≥11.5，可得sin π6t ≥12.
所以2k π＋π6≤π6t ≤2k π＋5π6(k ∈Z )，
所以12k ＋1≤t ≤12k ＋5(k ∈Z )．
取k ＝0，则1≤t ≤5；
取k ＝1，则13≤t ≤17；
取k ＝2，则25≤t ≤29(不合题意)．
所以该船可以完全进港的时间为1点至5点和13点至17点；船舶要在一天之内在港口停留的时间最长，就应从凌晨1点(1点至5点都可以)进港，下午17点(即13点至17点之间)前离港，在港内停留的时间最长为16 h.
规律方法 数据拟合问题，实质是根据题目中提供的数据画出简图，求出相关三角函数的解析式，进而研究实际问题．在求解具体问题时需明确A ，ω，φ的含义，明白了这三个参数的含义，就可以实现符号语言(解析式)与图像语言(函数图像)之间的相互转化．
下图是一半径为3 m 的水轮，水轮截面圆的圆心O ′距离水面2 m ．已知水轮上一点P 自点P 0开始旋转，15 s 旋转一圈，点P 的纵坐标y (单位：m)与时间t (单位：s)满足函数关系式y ＝A sin(ωt ＋φ)＋2，则有( A )
A ．ω＝2π15，A ＝3
B ．ω＝152π，A ＝3
C ．ω＝2π15，A ＝5
D ．ω＝152π，A ＝5
解析：因为T ＝15，所以ω＝2πT ＝2π15，显然y max －y min ＝6，故A ＝y max －y min 2
＝62＝3.
类型三 读图能力和基本的运算技能
【例3】 如图所示，某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似地满足y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b .
(1)求这段时间的最大温差；
(2)写出这段曲线的函数解析式．
【思路探究】 注意分析图像，如图像经过(6,10)这个点．
(1)由图可知，这段时间的最大温差是30－10＝20(℃)．
(2)图中从6时至14时的图像是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的半个周期的图像．
【解】 (1)这段时间的最大温差是30－10＝20(℃)，
(2)∵T 2＝14－6，T ＝16，∴ω＝2πT ＝2π16＝π8， 这时y ＝10sin(π8x ＋φ)＋20，
将x ＝6，y ＝10代入上式，可得φ＝3π4，
∴所求的解析式为y ＝10sin(π8x ＋3π4)＋20，x ∈[6,14]．(★答案★不唯
一)
某地夏天一天的用电量变化曲线近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0，ω>0,0<φ<π)，部分图像如图所示．
(1)求这一天的最大用电量及最小用电量；
(2)写出该函数的解析式．
解：(1)由题图可知，这一天的最大用电量为50万千瓦时，最小用电量为30万千瓦时．
(2)由题图可知，8时到14时的图像是y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的半个周期
的图像，∴A ＝12×(50－30)＝10，b ＝12×(50＋30)＝40.
∵12×2πω＝14－8，∴ω＝π6.
∴y ＝10sin(π6x ＋φ)＋40.
将x ＝8，y ＝30代入上式，解得φ＝π6.
故所求函数解析式为y ＝10sin(π6x ＋π6)＋40，x ∈[0,24)．
——规范解答——
三角函数模型的建立
【例4】 如图，摩天轮上一点P 在t 时刻距离地面高度满足y ＝A sin(ωt ＋φ)＋b ，φ∈[－π，π]，已知某摩天轮的半径为50米，点O 距地面的高度为60米，摩天轮做匀速转动，每3分钟转一圈，点P 的起始位置在摩天轮的最低点处．
(1)根据条件写出y (米)关于t (分钟)的解析式；
(2)在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点P 距离地面超过85米？
【审题】 (1)由题意，A ＝50，b ＝60，T ＝3；从而可得y ＝50sin(2π3t
＋φ)＋60；再代入初相即可；
(2)在第一个3分钟内求即可，令50sin(2π3t －π2)＋60>85解得．
【解题】 (1)由题意，A ＝50，b ＝60，T ＝3；
故ω＝2π3，故y ＝50sin(2π3t ＋φ)＋60；
则由50sin φ＋60＝10及φ∈[－π，π]得，
φ＝－π2；故y ＝50sin(2π3t －π2)＋60；
(2)在第一个3分钟内求即可，
令50sin(2π3t －π2)＋60>85；则sin(2π3t －π2)>12； 故π6<2π3t －π2<5π6，解得，1<t <2；
故在摩天轮转动的一圈内，有 1分钟时间点P 距离地面超过85米．
【小结】 三角函数模型的解答思路
(1)审清题意，读懂题意；
(2)搜集整理数据，建立数学模型；
(3)讨论变量关系；
(4)作出结论．
如图，某游乐园的摩天轮最高点距离地面108米，直径是98米，匀速旋转一圈需要18分钟，如果某人从摩天轮的最低处登上摩天轮并开始计时．
(1)当此人第四次距离地面692米时用了多少分钟？
(2)当此人距离地面不低于59＋4923米时可以看到游乐园的全貌，求
摩天轮旋转一圈中有多少分钟可以看到游乐园的全貌？
解：(1)如图建立平面直角坐标系，
设此人登上摩天轮t 分钟时距地面y m ；
则α＝2π18t ＝π9t ；
由y ＝108－982－49cos π9t ＝－49cos π9t ＋59(t ≥0)；
令－49cos π9t ＋59＝692得，cos π
9t ＝12，
故π9t ＝2k π±π3；
故t ＝18k ±3，k ∈Z ；故t ＝3,15,21,33；
故当此人第四次距离地面692米时用了33分钟；
(2)由题意，－49cos π9t ＋59≥59＋4923，即cos π9t ≤－32；
故不妨在第一个周期内求即可，故5π6≤π9t ≤7π6；故152≤t ≤212；故212－
15
2＝3；
故摩天轮旋转一圈中有3分钟可以看到游乐园的全貌．
一、选择题
1．电流I (A)随时间t (s)变化的关系式是I ＝5sin(100πt ＋π3)，则当t ＝1200
时，电流I 为( B )
A ．5
B.52 C ．2 D ．－5
解析：将t ＝1200代入I ＝5sin(100πt ＋π3)得I ＝5sin(π2＋π3)＝5cos π3＝52.
2．某人的血压满足函数式f (t )＝24sin160πt ＋110.其中f (t )为血压，t 为时间，则此人每分钟心跳的次数为( C )
A ．60
B ．70
C ．80
D ．90
解析：∵T ＝2π160π＝180，∴f ＝1180
＝80.
3．如图所示为一简谐振动的图像，则下列判断正确的是( B )
A ．该质点的振动周期为0.7 s
B ．该质点的振幅为5 cm
C ．该质点在0.1 s 和0.5 s 时振动速度最大
D ．该质点在0.3 s 和0.7 s 时的速度相同
解析：显然振动周期为0.8s ，振幅为5cm ，在0.1s 和0.5s 时振动速度为0.在0.3s 和0.7s 时的速度方向不同．故只能选B.
二、填空题
4．动点A (x ，y )在圆x 2＋y 2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，
12秒旋转一周．已知时间t ＝0时，点A 的坐标是(12，32)，则当0≤t ≤12
时，动点A 的纵坐标y 关于t (单位：秒)的函数的单调递增区间是[0,1]和[7,12]．
解析：设点A 的纵坐标y 关于t 的函数关系式为y ＝sin(t 12×2π＋π3)＝
sin(πt 6＋π3)．
令2k π－π2≤π6t ＋π3≤π2＋2k π(k ∈Z )，
故12k －5≤t ≤12k ＋1(k ∈Z )，
又由0≤t ≤12，故k 取0,1，
可知t ∈[0,1]和[7,12]．
5．振动y ＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)的初相和频率分别为－π和32，则它的
相位为3πx －π.
解析：初相φ＝－π，频率是32，∴周期为23，∴2πω＝23.
即ω＝3π，∴其相位是3πx －π.
三、解答题
6．如图，点P是半径为r cm的砂轮边沿上的一个质点，它从初始位置P0开始，按逆时针方向以角速度ω rad/s做圆周运动，∠P0Ox＝φ，求点P的纵坐标y关于时间t的函数解析式，并求点P的运动周期和频率．
解：当质点P从点P0转到点P位置时，点P转过的角度为ωt.则∠POx ＝ωt＋φ.由任意角的三角函数得点P的纵坐标为y＝r sin(ωt＋φ)．此即为所
求的函数解析式．点P的运动周期为T＝2π
ω，频率为f＝
1
T＝
ω
2π.
感谢您的下载!
快乐分享，知识无限！。