高中数学课时跟踪检测十二数列求和新人教B版必修59

an n＋ 1 (2)bn＝ 2n－ 1＝ 2n－1 ，
34
n＋1
Tn＝ b1＋ b2＋…＋ bn＝ 2＋ 2＋22＋…＋ 2n－1 .
①
马鸣风萧萧整理
》》》》》》》》》积一时之跬步 臻千里之遥程《 《《《《《《《《《《《
1 23
n n＋ 1
2Tn＝2＋22＋…＋ 2n－1＋ 2n ，
②
1
11
1 n＋ 1
1．已知数列 { an} 的前 n 项和为 Sn， a1＝ 1， Sn＝2an＋1，则 Sn＝ ( )
A． 2n －1
3 B. n－ 1
2
2 C. 3 n－ 1
1 D. 2 n－ 1
解析：选 B 因为 an＋ 1＝ Sn＋ 1－Sn，所以由 Sn＝2an＋1，得 Sn＝ 2(Sn＋ 1－ Sn)，整理得 3Sn＝ 2Sn
＝
＋
2
1－ 4
4n＋ 1－ 4 ＝n(n＋ 1)＋ 3 .
10．在等差数列 { an} 中， a3＝ 4， a7＝ 8.
(1)求数列 { an} 的通项公式 an；
an (2)令 bn＝ 2n－1，求数列 { bn} 的前 n 项和 Tn.
a7－ a3 解： (1)因为 d＝ 7－3 ＝ 1，所以 an＝ a3＋ (n－ 3)d＝ n＋ 1.
和为 ( )
1 A． 4 1－ n＋1
11
B． 4
－ 2
n
＋1
1 C． 1－ n＋ 1
11 D.2－n＋ 1
解析：选 A
n n＋ 1
1＋ 2＋3＋…＋ n
2
∵ an＝
n＋ 1
＝ n＋ 1
n ＝ 2，
1
4
11
∴
b
n＝
anan＋
＝
1
n
n＋ 1
＝ 4 n－ n＋ 1 .
马鸣风萧萧整理
》》》》》》》》》积一时之跬步 臻千里之遥程《 《《《《《《《《《《《
∴S15＋ S22－ S31＝ 29－ 44－ 61＝－ 76. 5．数列 1,1＋2,1＋2＋22，…， 1＋ 2＋ 22＋…＋ 2n－1，…的前 99 项和为 ( )
A． 2100－ 101
B． 299－101
C． 2100－ 99
D ． 299－ 99
1－ 2n
解析：选 A
由数列可知
an＝ 1＋ 2＋ 22＋…＋
于是 abn＝bn＋ 1，
因此 ab1＋ ab2＋…＋ ab10＝ (b1＋ 1)＋ (b2＋ 1)＋…＋ (b10＋ 1)＝ b1＋ b2＋…＋ b10＋ 10＝ 20＋ 21 1－ 210
＋…＋ 29＋ 10＝ 1－2 ＋ 10＝ 1 033.
1
11
111
11
1
5．求和： Sn＝ 1＋
1＋ 2 ＋
1＋ 2＋ 4
＋1＋ ＋ ＋ ＋…＋ 248
1＋2＋ 4＋…＋ 2n －1 ＝ ________.
解析：被求和式的第 k 项为：
1
11
1 1－ 2 k
1
ak＝1＋ 2＋4＋…＋ 2k－ 1＝
1 ＝ 2 1－2k .
1－ 2
1
1
1
所以 Sn＝ 2 1－ 2 ＋ 1－ 22 ＋…＋ 1－ 2n
11 1
1
1＋ 2d＋ q4＝ 21，d＝ 2，1＋ 4d＋ q2＝ 13， 解得 q＝ 2.
所以 an＝ 1＋ (n－ 1)d＝ 2n－ 1， bn＝ qn－ 1＝2n－ 1.
an 2n－ 1
(2) ＝ bn
2n－ 1
，
35
2n－ 3 2n－ 1
Sn＝ 1＋ 2＋22＋…＋ 2n－ 2 ＋ 2n－ 1 ，
①
＝2 n－ 2＋ 22＋23＋…＋ 2n
马鸣风萧萧整理
》》》》》》》》》积一时之跬步 臻千里之遥程《 《《《《《《《《《《《
11
2 1－ 2n
＝2 n－
1
1－ 2
1 ＝2 n－ 1－ 2n
1 ＝2n＋ 2n－ 1－ 2.
1 答案： 2n＋ 2n－1－ 2
6．已知等比数列 { an} 及等差数列 { bn} ，其中 b1＝ 0，公差 d≠0.将这两个数列的对应项相加， 得一新数列 1,1,2，…，则这个新数列的前 10 项和为 ________．
的前 4 项和为 anan ＋1
1 ＝128.
1－4
85 答案： 128
S6
S9
7．等比数列
{ an} 的前
n 项和为
Sn，若
＝ S3
3，则
＝________. S6
S6 解析： S3＝ 3，故 q≠ 1，
a1 1－ q6 ∴ 1－ q
1－ q × a1 1－ q3
＝ 1＋ q3＝ 3，
即 q3＝ 2.
＝ n＋ 1－ 1，
令 n＋ 1－ 1＝ 10，得 n＝ 120.
3．已知数列 { an} ， a1＝ 2， an＋ 1－2an＝ 0， bn＝ log2an，则数列 { bn} 的前 10 项和等于 ( )
A． 130
B． 120
C． 55
D ． 50
an＋ 1 解析： 选 C 在数列 { an} 中，a1＝2，an＋1－ 2an＝ 0，即 an ＝ 2，所以数列 { an} 是以 2 为首项，
亿元，故选 A.
4．设数列 { an} 是以 2 为首项， 1 为公差的等差数列， { bn} 是以 1 为首项， 2 为公比的等比
数列，则 ab1＋ ab2＋…＋ ab10 等于 ( )
A． 1 033
B． 1 034
C． 2 057
D ． 2 058
解析：选 A 由已知可得 an＝ n＋ 1， bn＝ 2n－ 1，
________． 解析：∵等比数列 { an} 中， a1＝ 1,3a3＝ 2a2＋ a4，∴ 3q2＝ 2q＋ q3.又∵ q≠ 1，∴ q＝ 2，∴ an＝ 2n
1
1
1
1
1
－ 1，∴
anan＋
＝
1
2 2n－1，即
anan＋1 是首项为 2，公比为 4的等比数列，
∴数列
1
1
1
2 1－ 4 4
85
S10＝ S9＋ a10＝－ 1＋ 1＝0.
1
2．数列 { an} 的通项公式是 an＝
，若前 n 项和为 10，则项数为 ( )
n＋ n＋ 1
A． 11
B． 99
C． 120
D ． 121
1
解析：选 C ∵ an＝
＝ n＋ 1－ n，
n＋ n＋ 1
∴Sn＝ a1＋ a2＋…＋ an
＝( 2－1)＋ ( 3－ 2)＋…＋ ( n＋ 1－ n)
》》》》》》》》》积一时之跬步 臻千里之遥程《 《《《《《《《《《《《
课时跟踪检测（十二） 数列求和
层级一 学业水平达标 1．已知 an＝ (－ 1)n，数列 { an} 的前 n 项和为 Sn，则 S9 与 S10 的值分别是 ( )
A． 1,1
B．－ 1，－ 1
C． 1,0
D ．－ 1,0
解析：选 D S9＝－ 1＋ 1－ 1＋ 1－ 1＋ 1－ 1＋ 1－ 1＝－ 1，
S9 a1 1－ q9
1－ q
1－ 23 7
所以 S6＝ 1－ q × a1 1－ q6 ＝1－ 22＝3.
7 答案：
3
马鸣风萧萧整理
》》》》》》》》》积一时之跬步 臻千里之遥程《 《《《《《《《《《《《
8．对于数列 { an} ，定义数列 { an＋ 1－an} 为数列 { an} 的“差数列”，若 a1＝ 2，{ an} 的“差数列” 的通项公式为 2n，则数列 { an} 的前 n 项和 Sn＝ ________.
由①－②得 2Tn＝ 2＋2＋ 22＋…＋ 2n－ 1－ 2n
11
1
n＋ 1
＝ 1＋ 2＋ 22＋…＋ 2n－ 1 ＋1－ 2n
1
1－ 2n
n＋ 1
1
n＋ 1
＝ 1 ＋ 1－ 2n ＝ 2 1－ 2n ＋ 1－ 2n
1－ 2
n＋ 3
n＋3
＝3－ 2n ，所以 Tn＝6－ 2n－ 1 .
层级二 应试能力达标
Sn＋ 1 3
3
＋1，所以 Sn ＝ 2，所以数列 { Sn} 是以 S1＝ a1＝ 1 为首项， 2为公比的等比数列，故
Sn＝
3
n－
2
1.
11 21 2 31 2 3 4
1
2．已知数列 { an} ：2，3＋ 3，4＋ 4＋ 4，5＋ 5＋ 5＋ 5，…，那么数列 { bn} ＝ anan＋ 1 前 n 项的
10× 10－ 1
2
× (－1)＝ 978.
答案： 978 7．设 { an} 是等差数列， { bn} 是各项都为正数的等比数列， 且 a1＝ b1＝ 1， a3＋b5＝ 21， a5＋ b3＝13. (1)求 { an} ，{ bn} 的通项公式；
an (2)求数列 bn 的前 n 项和 Sn. 解： (1)设 { an} 的公差为 d， { bn} 的公比为 q，则依题意有 q>0 且
解析：∵ an＋ 1－ an＝2n，
∴an＝ (an－an－ 1)＋(an－ 1－an－2)＋…＋ (a2－a1)＋ a1
2－ 2n
＝2n－ 1＋ 2n－ 2＋…＋ 22＋ 2＋ 2＝
＋ 2＝2n－ 2＋ 2＝ 2n.
1－ 2
2－ 2n＋ 1 ∴Sn＝ 1－ 2 ＝2n＋ 1－ 2.
答案： 2n＋ 1－ 2
2 为公比的等比数列． 所以 an＝ 2× 2n－ 1＝ 2n. 所以 bn＝ log22n＝n.
则数列 { bn} 的前 10 项和为 1＋ 2＋…＋ 10＝ 55.故选 C. 4．在数列 { an} 中，已知 Sn＝1－ 5＋ 9－ 13＋ 17－ 21＋…＋ (－1)n－ 1(4n－ 3)，则 S15＋ S22－ S31
的值 ( )
A． 13
B．－ 76
C． 46
D ． 76
马鸣风萧萧整理
》》》》》》》》》积一时之跬步 臻千里之遥程《 《《《《《《《《《《《
解析：选 B ∵ S15＝(－ 4)× 7＋ (－ 1)14(4× 15－3)＝ 29.
S22＝ (－ 4)× 11＝－ 44. S31＝ (－ 4)× 15＋ (－ 1)30(4× 31－ 3)＝ 61.
故 an＝ a1＋ (n－ 1)·d＝ 2＋ (n－ 1)·2＝ 2n.
(2)∵ bn＝ an＋ 2an＝2n＋ 22n，
∴Sn＝ b1＋ b2＋…＋ bn ＝(2＋22)＋ (4＋ 24)＋…＋ (2n＋ 22n)
＝(2＋4＋…＋ 2n)＋ (22＋ 24＋…＋ 22n)
2＋ 2n ·n 4· 1－ 4n
1
1－ 2n－ 1 2n－ 1
2n＋ 3
＝2＋ 2×
1 － 2n－1 ＝ 6－ 2n－ 1 .
1－ 2
8．已知 { an} 是递增的等差数列， a2，a4 是方程 x2－ 5x＋ 6＝ 0 的根．
马鸣风萧萧整理
》》》》》》》》》积一时之跬步 臻千里之遥程《 《《《《《《《《《《《
5
2n－ 3 2n－ 1
2Sn＝2＋ 3＋ 2＋…＋ 2n－3 ＋ 2n－2 .
②
22
2 2n－ 1
②－①，得 Sn＝ 2＋ 2＋ 2＋ 22＋…＋ 2n－2－ 2n－ 1
11
1 2n－ 1
＝2＋ 2× 1＋ 2＋ 22＋…＋ 2n－2 － 2n－1
2n－ 1＝
＝ 2n－ 1，所以，前
1－ 2
99 项的和为
2 1－ 299 S99＝ (2－1)＋ (22－ 1)＋…＋ (299－ 1)＝ 2＋ 22＋…＋ 299－ 99＝ 1－ 2 － 99＝2100－ 101.
1 6．已知等比数列 { an} 的公比 q≠ 1，且 a1＝ 1,3a3＝ 2a2＋ a4，则数列 anan＋ 1 的前 4 项和为
111 11
11
∴Sn＝ 4 1－2＋2－3＋ 3－ 4＋…＋ n－n＋ 1
1 ＝4 1－ n＋ 1 .
3．某厂去年的总产值是 a 亿元，假设今后五年的年产值平均增长率是
10%，则从今年起
到第 5 年年末该厂的总产值是 ( )
A． 11× (1.15－ 1)a 亿元 C． 11× (1.14－ 1)a 亿元
B． 10× (1.15－ 1)a 亿元 D ． 10× (1.14－1)a 亿元
解析：选 A 由题意可知，今年年末的总产值为 1.1a，从今年起每年年末的总产值构成一
个等比数列，首项为
1.1a，公比为
1.1.所以其前
1.1a 1－ 1.15
5 项和为 S5＝
1－ 1.1
＝ 11× (1.15－ 1)a
解析：设数列 { an} 的公比为 q，则 { an} 的前三项分别为 1， q， q2，{ bn} 的前三项分别为 0，
q＋d＝ 1，
q＝ 0，
q＝ 2，
d,2d，于是 q2＋ 2d＝ 2， 解得 d＝ 1
(舍去 )或
于是新数列的前 10 项和为 (a1＋ b1)
d＝－ 1.
1 － 210 ＋ (a2 ＋ b2) ＋ … ＋ (a10 ＋ b10) ＝ (a1 ＋ a2 ＋ … ＋ a10) ＋ (b1 ＋ b2 ＋ … ＋ b10) ＝ 1－ 2 ＋ 10 × 0 ＋
9．已知 { an} 是递增的等差数列， a1＝ 2， a22＝ a4＋ 8.
(1)求数列 { an} 的通项公式；
(2)若 bn＝ an＋ 2an，求数列 { bn} 的前 n 项和 Sn.
解： (1)设数列 { an} 的公差为 d， d>0. 由题意得 (2＋ d)2＝ 2＋ 3d＋ 8，解得 d＝ 2.