保险精算学期末复习题目

1．李华1990年1月1日在银行帐户上有5000元存款，（1）在每年10%的单利下，求1994年1月1日的存款额。

（2）在年利率8%的复利下，求1994年5月1日的存款额。

解：（1）5000×（1+4×10%）=7000（元）
（2）5000×（1+10%）4.33=7556.8（元）
2．把5000元存入银行，前5年的银行利率为8%，后5年年利率为11%，求10年末的存款累计额。

解：5000（1+8%）
5
×（1+11%）5=12385（元）
3．李美1994年1月1日在银行帐户上有10000元存款。

（1）求在复利11%下1990年1月1日的现值。

（2）在11%的折现率下计算1990年1月1日的现值。

解：（1）10000×（1+11%）
-4
=5934.51（元）
（2）10000×（1-11%）4=6274.22（元）
4．假设1000元在半年后成为1200元，求
⑴ )2(i ，⑵ i, ⑶ )
3(d 。

解：⑴ 1200)2
1(1000)
2(=+⨯i ；所以4.0)2(==i ⑵2
)2()2
1(1i i +=+；所以44.0=i ⑶n n m m n
d d i m i ---=-=+=+)1()1(1)1()
(1)(；
所以， 13)3()1()3
1(-+=-i d ；34335.0)3(=d
5．当1>n 时，证明：
i i
d
d n n <<<<)
()
(δ。

证明：①)
(n d d <
因
为
，
+⋅-⋅+⋅-⋅=-=-3)
(3
2)(2)(10)()()(1)1(1n
d C n d C n d C C n d d n n n n n n n n n
)
(1n d
->
所以得到，
)
(n d
d <；
②
δ<)
(n d
)1()
(m
n e
m d
δ
-
-=；m
m C m C m C m e
n
n
n
m
δ
δ
δ
δ
δ
δ
->-⋅+⋅-⋅+-
=-
1)()()(14
43
32
2
所以，δ
δ
=-
-<)]1(1[)
(m
m d
n
③
)(n i <δ
i n i
n n +=+1]1[)
(， 即，δ
=+=+⋅)1ln()1ln()(i n
i
n n
所以，
)1()(-⋅=n n e n i δ
m m C m C m C m e n
n
n
n
δ
δ
δ
δ
δ
δ
+>+⋅+⋅+⋅++
=1)()()(14
43
32
2
δδ
=-+>]1)1[()
(n
n i
n
④
i i
n <)
(
i n
i n
n +=+1]1[)
(，)(2)(2)(10)(1)(1]1[n n n n n n n n i n i C n i C C n i +>+⋅+⋅+⋅=+
所以，
i i
n <)
(
6．证明下列等式成立，并进行直观解释：
⑴n
m
m n m a v a a +=+；
解：i
v a n
m n m ++-=
1，i
v a m
m -=
1，
i
v
v i v v a v n
m m n m
n m +-=-=1
所以，n m n
m m m n m
m
a i
v v v a v a ++=-+-=+1
⑵
n m
m n m s v a a -=-；
解：i
v
a n
m n
m ---=
1，
i
v a m
m
-=
1，
i
v v s v n m m n m
--=-
所以，n m n
m m m n m
m
a i
v v v s v a --=-+-=-1
⑶
n
m
m n m a i s s )1(++=+；
解：i i s m m 1)1(-+=，i
i i i i i s i m n m n m
n
m )1()1(1)1()1()1(+-+=-++=++
所以，n m m
n
m m n
m
m s i
i i i a i s ++=+-++-+=++)
1()
1(1)1()1(
⑷
n
m
m n m a i s s )1(+-=-。

解：（同上题）略。

7．某人今年30岁， 其计划每年初存300元，共存30年建立个人存款能从60岁退休开始每年年末得到固定金额，共能领取20年。

假设存款利率在前十年为6%，后20年为12%，求每年能取的养老金额。

解：2
10
220211012020
210
301)1()1(1)1()1(i i i i i s i s s -+++⋅-+=++⋅=
所以60岁时存款有5.5975930030
=⋅s （元） 由此知，
20
20s a X =⋅，可得X=7774.12（元）
8．某单位在20年内每年存入银行5000元建立职工奖励基金。

从存入最后一笔款后的第2年起，每年提取固定金
额奖励一名有突出贡献的职工，这种奖励形式将永远持续下去。

假设存款的利率为8%，求每次能够提取的最大金额。

解：
82.22880950001
20=⋅=⋅=⋅∞s i
X A X 。

所以79.18304=X （元） 9．证明：
⑴
n
n n a s a i
a ⨯==
1δ
；
证明：
n
n
n
n a i i i v v
a ⋅=⋅-=-=
δ
δδ
11
δ
δi
i s =-+=
1
)1(1，所以
n
n a s a ⨯=1
⑵
δ
δ
n n
e
a --=1；
δ
δ
δ
δ
δ
δn n
n
n
n e
e i v
a ----=
-=
+-=
-=
1)
(1)
1(11
⑶
δ
δ
1
-=n n e
s 。

证明：
δ
δ
δ
δ
δ1
1
)(1
)1(-=
-=
-+=n n
n
n e
e i s
10．假设每年第一年收付200元，以后每隔一年增加收付100元，增加到一次收付1000元时不在增加，并一直保持每年1000元的水平连续收付。

假设年利率为12%，求这一年金的现值。

解：
94
.436211000)1(8100
)1(1001000)(1001009881
91=⋅⋅++-++=++=--∞
v i
i
i a
i a Ia a a
1．依据生命表的基础填充下表：
x
x l
x d
x p
x q
0 1000
100
0.9 0.1 1 900 150 5/6 1/6 2 750 150 0.8 0.2 3 600 300 0.5 0.5 4 300 180 0.4 0.6 5 120 120 0 1 6
3.已知)120
1(1000x
l x -=，计算： ⑴0l
，120l ，
33d ，3020p ，2030q ；
⑵25岁的人至少再活20，最多活25年的概率； ⑶三个25岁的人均存活到80岁的概率。

解：⑴1000)120
1(10000
=-=l ；0)1201201(1000120=-=l 325
1201100034
3333=
⋅=-=l l d
9
7
30503020==
l l p ；3.020
50202030=-=l l l q
⑵19
125504525
520=-=l l l q
⑶074646449.0)19
8()(3
325802555===l l p
4．若)(100000x
c x c l x
+-=，4400035=l ，求：
⑴c 的值；
⑵生命表中的最大年龄；
⑶从出生存活到50岁的概率；
⑷15岁的人在40～50岁之间死亡的概率。

解：⑴44000)35
35
(10000035
=+-=c c l。

所以，c=90
⑵0)9090(100000=+-=x
x
l x
，所以，90=ω ⑶13
40500
50==l l p
⑷
32155040151052=-=l l l q 。

5．证明并作直观解释： ⑴
x
m n x n x m
n p p q +-=；
证明：x m n x n x
m
n x x n x x m n x n x x
m n p p l l l l l l l q +++++++-=-=-=
⑵
n x x n x n
q p q +⨯=；
证明：n x x n n
x n x x n x x n x x n x n x x n
q p l l l l l l l l l q +++++++++⨯=⋅-=-=1
1
⑶
n
x m x n x m
n p p p ++⨯=。

证明：n x m x n n
x m
n x x n x x m n x x m n p p l l l l l l p ++++++++⨯=⋅== 6．证明：
⑴
⎰
-++=x
x
t x t x l dt l ωμ0
；
⑵
⎰
-+=x
t x x t
dt p ωμ0
1；
⑶)(t x x x t x t p p x
+-⨯=∂∂
μμ；
⑷t x x t x t p p t
+⨯=-∂∂
μ。

证明：⑴x x
x x x x t x t x l l l l l dt l =-=-=⎰
--++++ωωωμ0
⑵
⎰
⎰⎰
--+-+-++++=-⋅-=⋅-=-=x
x x x x
x
t
x x x
t x t x x t x t x x t
l l l dl l dl l l l dt p ωωωωμ0
1)(1
111；
⑶
)()()()(2
t x x x t x
x t x t x x t x x t x x t x x t x x x t x x t
x x t p l Dl l Dl l l l Dl l Dl l l Dl l Dl l l x p x +++++++++-⨯=-=-=⋅-⋅=∂∂=
∂∂μμ
⑷t x x t t
x t x x t x x t x x t
x x t p l Dl l l l Dl l l x p t ++++++⨯=-⋅==∂∂==∂∂μ)(。

7．分别在死亡均匀分布，死亡力恒定和鲍德希假设下，用课本附表1给出的生命表计算：
⑴
25
4
1
q ；⑵40
2
15
q ；⑶
3
150
μ。

解：⑴00030575.015.9565049802
.116411252525254
1=⋅=⋅=⋅=-=l d q t p q x t
略。

8．若774640=l ，768141=l ，计算4
140
μ
：
⑴死亡均匀分布假设；
⑵鲍德希假设；
⑶假设x l x
-=1001000。

解：⑴
008409068.0140
40
4
140
=⋅-=q t q
μ
；
⑵
008426834
.0,140
414
140
=∴=====-⋅-μμ
μ
μ
μe l l p t e p x
t
x t 可令
⑶
008444573
.0)1(14
140
=--=x
x
q t q μ。

9．证明在鲍德希规律下，x n q 与n 无关。

证明：
x
x s n x s n x s q x
x s x n
-=
++-+=-
=ωω
1)()1()(1)(
所以，x
n q
与n 无关。

1. 某人10岁买了定期生存保险，这一保险使其从18岁到25岁每年得到2000元生存保险金，以附表2转换函数
值计算这一年金现值。

解：
5.45522775.020002000200010
1
881018101088=⋅=-=⋅+++++N N N a （元） 2．证明下列等式成立，并解释其含义。

⑴
1+=x x x a
vp a ；
证明：111++=-=-==x x x x
x
x x x x a vp a
D D N D N a ⑵
11++=x x x a vp a
； 证明：
11+=-x x x a vp a
所以，
11++=x x x a vp a
⑶)1(::x n n x n x E a a -+= ；
证明：
n x x
n
x x x
n X n x x x x n X x n x x x n n
x a
D N N D D N D N D D D N N
E a :1111:)()1()1( =-=+-+=
-+-=-++++++++++
⑷
n x x n n
x n
a p v a +⋅⋅=；
证明：
n
x x n n
n x n x x n n x
n x n x x n x n x x n
a p v D N p v E D N E D N a ++++++++⋅⋅=⋅⋅=⋅==111 ⑸
n m x x m m
m x m n x a p v a a :::++⋅⋅+=；
证明：
m
n x x
n m x x x n m x m x x m x x n m x x m m m x x
n m x m x m x n m x m x x m n
m x x m m
x
m x x m x x
m n x x m n x a D N N D N N D N N a p v a D N N D N N E a p v D N N a D N N a ++++++++++++++++++++++++++++++++++=-=-+-=
⋅⋅+∴-=
-⋅=⋅⋅-=
-=:1
11111::1
111:1
1:1
1:
⑹
11)1(--+=⋅x x x a i a
p
证明：
11
11111111)1(---------+=⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅=⋅x x x x
x x x x x x x x x x a i D p v N p D E N p D N p a p
3．某人在50岁时以50000元的趸缴净保费购买了每月给付k 元的生存年金。

假设购买后次月开始给付，求k 值。

解：62
.33850000
)2411
26683.12(12)122112(121250)12(50
==+⋅=⨯-+⋅=⋅k k a k a k
4．给付50岁的人每月200元，第一次从60岁开始，共付10年的生存年金转换函数表达式。

解：
)24
13
(24002400240070605010)
12(10
:605010)12(50
1010a a E a E a
-+⋅⋅=⋅⋅=⋅
7．以转换函数表达下面变动年金的现值。

对（x ）第一年末给付1000元，以后每年比上年增加给付500元，，当年给付金额达到5000元时，又以每年1000元的幅度递减，直到1000元后保持不变，直到被保险人死亡为止。

解：1414
4
:998:1000)(1000)(500500++⋅⋅+⋅++x x x a v Da v Ia v 8．假设对所有x ，有x x p r p )1(+='，证明以利率i 和x p '为基础计算的终身年金现值与以
r
r i i +-='1和x p 为基础计算的终身年金现值相等。

解：以',x p i 为计算基础
t
x x x t
t t
x x x t t x
t
t x x p p p r i
p p p i tp v tE a ++++∞
=∞=⋅⋅+⋅+=⋅⋅+=⋅==∑∑∑∑ 1''1'1
'1)1()11()11( 以r
r
i i +-=
1'、x p 计算 t
x x x t t
x x x t
t x t
t x x p p p i
r p p p i tp v tE a ++++∞
=∞
=⋅⋅++=⋅⋅+=⋅==∑∑∑∑ 111
1)11()11(
1．假设10.0),115
1(1000=-=i x
l x
，求50岁的人投保元终身寿险的精算现值。

解：
)1(115
10001
+=-=++t l l d t x x x
∑=++⋅⋅=115
015050)]1([1100000100000t t t v l A 2．某保单规定，若被保险人在投保后20年内死亡，则在第20年末给付1单位保险金，若被保险人在投保20年以后死亡，则在死亡年年末给付1单位保险金。

写出对（x ）的保单精算现值的表达式。

解：
x
x t t x t t t x t t A q v q v q v
A 201902020119020)(
)()(+=+=∑∑∑=∞
=+= 3．某人在30岁时投保了10000元延期25年的定期寿险，求这一保单的精算现值。

解：x n m x m x x t n m m t t n x m D M M q v A ++++=+-=⋅=∑1:
所以。