高中数学 课时跟踪检测(七)函数的表示法 新人教A版必

课时跟踪检测（七）函数的表示法
层级一 学业水平达标
1．已知函数y ＝f (x )的对应关系如下表，函数y ＝g (x )的图象是如图的曲线ABC ，其中
A (1,3)，
B (2,1)，
C (3,2)，则f (g (2))的值为(
)
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
解析：选B 由函数g (x )的图象知，g (2)＝1，则f (g (2))＝f (1)＝2.
2．如果f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 1－x
，则当x ≠0,1时，f (x )等于( )
A.1x
B.
1x －1
C.
1
1－x
D.1x
－1
解析：选B 令1x ＝t ，则x ＝1t ，代入f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 1－x
，则有f (t )＝1
t 1－
1t
＝1t －1，故选B.
3．若f (x )是一次函数，2f (2)－3f (1)＝5,2f (0)－f (－1)＝1，则f (x )＝( ) A ．3x ＋2 B ．3x －2 C ．2x ＋3
D ．2x －3
解析：选B 设f (x )＝ax ＋b ，由题设有
⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＋
b －a ＋b ＝5，
a ＋
b －－a ＋b ＝1.
解得⎩⎪⎨
⎪
⎧
a ＝3，
b ＝－2.
所以选B.
4．设f (x )＝2x ＋3，g (x )＝f (x －2)，则g (x )＝( ) A ．2x ＋1 B ．2x －1 C ．2x －3
D ．2x ＋7
解析：选B ∵f (x )＝2x ＋3，∴f (x －2)＝2(x －2)＋3＝2x －1，即g (x )＝2x －1，故选B.
5．若f (1－2x )＝1－x 2
x 2(x ≠0)，那么f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12等于( )
A ．1
B ．3
C ．15
D ．30
解析：选C 令1－2x ＝t ， 则x ＝1－t 2(t ≠1)，
∴f (t )＝4t －2
－1(t ≠1)， 即f (x )＝
4x －
2
－1(x ≠1)，
∴f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12＝16－1＝15. 6．已知函数f (x )由下表给出，则f ( f (3))＝________.
＝1. 答案：1
7．已知函数f (x )＝x －m
x
，且此函数图象过点(5,4)，则实数m 的值为________． 解析：将点(5,4)代入f (x )＝x －m x
，得m ＝5. 答案：5
8．已知f (x )是一次函数，满足3f (x ＋1)＝6x ＋4，则f (x )＝________. 解析：设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)， 则f (x ＋1)＝a (x ＋1)＋b ＝ax ＋a ＋b ， 依题设，3ax ＋3a ＋3b ＝6x ＋4，
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
3a ＝6，3a ＋3b ＝4，∴⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＝2，
b ＝－2
3，
则f (x )＝2x －2
3.
答案：2x －2
3
9．(1)已知函数f (x )＝x 2
，求f (x －1)； (2)已知函数f (x －1)＝x 2，求f (x )． 解：(1)f ( x －1)＝(x －1)2
＝x 2
－2x ＋1.
(2)法一(配凑法)：因为f (x －1)＝x 2
＝(x －1)2
＋2(x －1)＋1，所以f (x )＝x 2
＋2x ＋
1.
法二(换元法)：令t ＝x －1，则x ＝t ＋1，可得f (t )＝(t ＋1)2
＝t 2
＋2t ＋1，即f (x )＝x 2
＋2x ＋1.
10．已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )的解析式．
解：设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，
则3 f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋5a ＋b ， 即ax ＋5a ＋b ＝2x ＋17不论x 为何值都成立，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝2，
b ＋5a ＝17，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＝2，
b ＝7，
∴f (x )＝2x ＋7.
层级二 应试能力达标
1．已知函数f (x ＋1)＝x 2
－x ＋3，那么f (x －1)的表达式是( ) A ．f (x －1)＝x 2
＋5x －9 B ．f (x －1)＝x 2
－x －3 C ．f (x －1)＝x 2
－5x ＋9
D ．f (x －1)＝x 2
－x ＋1
解析：选C f (x ＋1)＝(x ＋1)2
－3(x ＋1)＋5， 所以f (x )＝x 2
－3x ＋5，
f (x －1)＝(x －1)2－3(x －1)＋5＝x 2－5x ＋9，故选C.
2．若一次函数的图象经过点A (1,6)和B (2,8)，则该函数的图象还可能经过的点的坐标为( )
A.⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，5
B.⎝ ⎛⎭
⎪⎫14，4 C ．(－1,3)
D ．(－2,1)
解析：选A 设一次函数的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，由该函数的图象经过点A (1,6)
和B (2,8)，得⎩
⎪⎨
⎪⎧
k ＋b ＝6，
2k ＋b ＝8，解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
k ＝2，
b ＝4，，所以此函数的解析式为y ＝2x ＋4，只有A
选项的坐标符合此函数的解析式．故选A.
3．设f (x )＝2x ＋a ，g (x )＝14(x 2＋3)，且g (f (x ))＝x 2
－x ＋1，则a 的值为( )
A ．1
B ．－1
C ．1或－1
D ．1或－2
解析：选B 因为g (x )＝14(x 2＋3)，所以g (f (x ))＝14[(2x ＋a )2＋3]＝14(4x 2＋4ax ＋a
2
＋3)＝x 2
－x ＋1，求得a ＝－1.故选B.
4．函数y ＝f (x )(f (x )≠0)的图象与x ＝1的交点个数是( )
A ．1
B ．2
C ．0或1
D ．1或2
解析：选C 结合函数的定义可知，如果f ：A →B 成立，则任意x ∈A ，则有唯一确定的
B 与之对应，由于x ＝1不一定是定义域中的数，故x ＝1可能与函数y ＝f (x )没有交点，故
函数f (x )的图象与直线x ＝1至多有一个交点．
5．已知x ≠0，函数f (x )满足f ⎝
⎛⎭
⎪⎫x －1x ＝x 2＋1
x
2，则f (x )＝________.
解析：f ⎝
⎛⎭
⎪⎫x －1x ＝x 2＋1x
2＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －1x 2＋2，所以f (x )＝x 2
＋2.
答案：x 2
＋2
6．已知函数f (2x ＋1)＝3x ＋2，且f (a )＝4，则a ＝________.
解析：因为f (2x ＋1)＝32(2x ＋1)＋12，所以f (a )＝32a ＋12.又f (a )＝4，所以32a ＋1
2
＝4，
a ＝73
.
答案：7
3
7．已知函数f (x )＝
x
ax ＋b
(a ，b 为常数，且a ≠0)满足f (2)＝1，且f (x )＝x 有唯一解，求函数y ＝f (x )的解析式和f (f (－3))的值．
解：因为f (2)＝1，所以2
2a ＋b ＝1，即2a ＋b ＝2，①
又因为f (x )＝x 有唯一解，即
x ax ＋b
＝x 有唯一解，所以ax 2
＋(b －1)x ＝0有两个相等的实数根，所以Δ＝(b －1)2
＝0，即b ＝1.
代入①得a ＝1
2
.
所以f (x )＝x 12
x ＋1＝2x
x ＋2.
所以f (f (－3))＝f ⎝
⎛⎭
⎪⎫－6－1＝f (6)＝2×66＋2＝32.
8．某企业生产某种产品时的能耗y 与产品件数x 之间的关系式为：y ＝ax ＋b
x
.且当x ＝2时，y ＝100；当x ＝7时，y ＝35.且此产品生产件数不超过20件．
(1)写出函数y 关于x 的解析式； (2)用列表法表示此函数，并画出图象．
解：(1)将⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝2，
y ＝100，
与⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝7，
y ＝35，
代入y ＝ax ＋b
x
中，
得⎩⎪⎨⎪⎧
2a ＋b
2
＝100，
7a ＋b
7
＝35⇒⎩⎪⎨⎪⎧
4a ＋b ＝200，49a ＋b ＝245
⇒⎩⎪⎨
⎪
⎧
a ＝1，
b ＝196.
所以所求函数解析式为y ＝x ＋196
x
(x ∈N,0<x ≤20)．
(2)当x ∈{1,2,3,4,5，…，20}时，列表：
依据上表，画出函数y 的图象如图所示，是由20个点构成的点列．。