九年级奥数练习题目答案

九年级奥数练习题答案
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
13． 13x <-或1
2x > ； 14． 22a b c
； 15．
6
2
5- ；
16． ()0,1 ； 17． 1681 ； 18． 72 ； 三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19.（本题满分10分）已知1x ≥，1y ≥，求证：111
x y xy xy x y
++
≤++ 证明：原不等式等价于
()()()1110x y xy xy
---≥
20.（本题满分14分）如图，已知双曲线11
:C y x
=
，抛物线22:12C y x =-和直线:l y kx m =+.设直线l 与双曲线1C 的两个交点为A B 、，与抛物线2C 的两个交点为C D 、. （Ⅰ）若线段AB 与线段CD 的中点重合，求证：2
m k =-； （Ⅱ）是否存在直线l ，使得A B 、为线段CD 的三等分点？
若存在，求出直线l 的解析式，若不存在，请说明理由。

解：（Ⅰ） 设11223344(,)(,)(,)(,)A x y B x y C x y D x y 、、、，显然0k ≠
联立
1y k x
m
y x =+
⎧⎪
⎨=⎪⎩
，
得
210
kx mx +-=，
12121,m x x x x k k
∴+=-
=- 联
立
2
12
y kx m y x =+⎧⎨=-⎩，
得
2120x k x m -
--=，
O
3434,12x x k x x m ∴+==--
若线段AB 与CD 的中点重合, 则m
k k
-
=，即2m k =- （Ⅱ）若A B 、为线段CD 的三等分点，则线段AB 与CD 的中点重合，且||3||CD AB =， 从而m
k k
-
=，即2m k =-， 且3412||3||x x x x -=-，即22
2
44489m k
k m k +++=⋅，
将2m k =-代入上式并化简得3430k k -+=，
解得1k =，对应的1m =-，经检验均符合题意，
∴直线l 的解析式为1y x =-或y x =
y x =21.（本题满分18分）如图，AB 为半圆O 的直径，M 为半圆内的一点，直线AM 交半圆
O 于点C ，直线BM 交半圆O 于点D ，直线DC 与直线AB 交于点P ，N 为直径AB 上的一点，且满足2OB OP ON =⋅，求证：AB MN ⊥
证明：连接DA NC ND OC OD ,,,,
由2
2OD OP ON OB =⋅=
可证得ODN ∆∽OPD ∆
从而OCD ODC DNO ∠=∠=∠ 所以N C D O ,,,四点共圆；
故CDB CAB CON CDN ∠=∠=∠=∠22 所以BD 平分角CDN ∠
又因为DCA DBA DOA DCN ∠=∠=∠=∠22 所以AC 平分角DCN ∠ 所以M 为DCN ∆的内心 所以DAC DOC DNC MND ∠=∠=∠=
∠2
1
21 所以D A N M ,,,四点共圆
所以
90=∠=∠ADM MNA ，证毕
22.（本题满分18分）在一个无限大的方格棋盘上有若干枚棋子，规定一次操作如下：将某枚棋子a 跳过邻格（有公共边）中的棋子b 而进入随后的空格c 中，同时将被其跳过的棋子
b 从棋盘上拿走（图1）.
（I ）当棋盘上最初只有摆放成“7”字型（如图2）的4枚棋子时，经过若干次操作，最终最少能剩下几枚棋子？
（II ）当棋盘上最初仅2012×2012方格中放置有棋子时（如图3），经过若干次操作，最终最少能剩下几枚棋子？
解：（1）如下图1所示，当棋盘上只有“7”字型的A,B,C,D 4枚棋子时，经过3次操作，最终至少能剩下1枚棋子。

即通过若干次操作将排成一排的三个棋子拿走，并使A 棋子回到原位。

（2）由（1）知，如图2所示，对于任意m n ⨯矩阵，可以通过操作，将其变为()3m n -⨯矩阵。

3
2
1
d
c b a O O O
O
图2
图1 a b c a 共2012行，2012列有棋子
图3
图2 图3
故可对2012×2012棋子矩阵进行操作，将其变为2×2012矩阵。

对图3所示2×4矩阵，可进行如下操作
→；31
c c
d b
b d
→。

→；11
→；11
a c
13
→；13
a a
b b
→；33
d d两枚棋子。

故可对2×2012矩阵进行上述操作，将其变使得图3经过操作后剩下位于1,2
为2×2的矩阵。

显然，最终最少可以只剩一枚棋子。