2018-2019学年江西省名校联考高二(上)数学试卷

2018-2019学年江西省名校联考高二（上）数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.某市教委为了了解全市初三学生的身体状况，从中抽取了500名学生的体重进行分析.
在这个问题中，下列说法正确的是（）
A. 全市初三学生的身体是总体
B. 从中抽取的500名学生是总体的一个样本
C. 其中每一名学生的体重是个体
D. 500名学生的体重是样本容量
2.设函数，a＝f（4），b＝f（5.3），c＝f（6.2），则（）
A. a＜b＜c
B. c＜b＜a
C. c＜a＜b
D. b＜a＜c
3.已知=2（a＞0，b＞0），则ab的最小值是（）
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
4.设一组数据31，37，33，a，35的平均数是34，则这组数据的方差是（）
A. 2.5
B. 3
C. 3.5
D. 4
5.一元二次不等式x2-3x+ab＜0（a＞b）的解集为{x|1＜x＜c}，则的最小值为（）
A. B. 4 C. 2 D. 2
6.已知等比数列，若，则的最小值等于
A. 1
B.
C.
D.
7.某变量满足约束条件则的最大值为
A.
B. 10
C. 3
D. 9
8.某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩（均为整数）
的频率分布直方图如图，估计这次测试中数学成绩的平均分、众数、中位数分别是（）
A. 73.3，75，72
B. 72，75，73.3
C. 75，72，73.3
D. 75，73.3，72
9.已知变量x，y满足约束条件，则的最小值为（）
A. 0
B.
C.
D. 3
10.为了让大家更好地了解我市的天气变化情况，我市气象局公布了近年来我市每月的日平
均最高气温与日平均最低气温，现绘成雷达图如图所示，下列叙述不正确的是( ).
A. 各月的平均最高气温都不高于25度
B. 七月的平均温差比一月的平均温差小
C. 平均最高气温低于20度的月份有5个
D. 六月、七月、八月、九月的平均温差都不高于10度
11.对于任意的两个实数对（a，b）和（c，d），规定：（a，b）=（c，d），当且仅当a=c，
b=d；运算“⊗”为：（a，b）⊗（c，d）=（ac-bd，bc+ad）；运算“⊕”为：（a，b）⊕（c，d）=（a+c，b+d），设p，q∈R，若（1，2）⊗（p，q）=（5，0），则（1，2）⊕（p，q）=（）
A. （4，0）
B. （2，0）
C. （0，2）
D. （0，-4）
12.若实数a，b，c满足a2+b2+c2=8，则a+b+c的最大值为（）
A. 9
B. 2
C. 3
D. 2
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.已知函数f（x）=ax+ln x，若f（x）≤1在区间（0，+∞）内恒成立，实数a的取值范围
为______．
14.x，y）满足约束条件则实数m的取值范围是
________．
15.在数列{a n}中，a1=-2，=，则= ______ ．
16.如图，点D是△ABC的边BC上一点，AB=，AD=2，
BD=1，∠ACB=45°，那么∠ADB=______，AC=______
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17.某企业共有3 200名职工，其中青、中、老年职工的比例为3：5：2．若从所有职工中
抽取一个容量为400的样本，则采用哪种抽样方法更合理？青、中、老年职工应分别抽取多少人？每人被抽取的可能性相同吗？
18.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）求sin B sin C的最大值．
19.某地方政府准备在一块面积足够大的荒地上建一如图所示的一个矩形综合性休闲广场，
其总面积为3000平方米，其中场地四周（阴影部分）为通道，通道宽度均为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地（其中两个小场地形状相同），塑胶运动场地占地面积为S平方米．
（1）分别写出用x表示y和S的函数关系式（写出函数定义域）；
（2）怎样设计能使S取得最大值，最大值为多少？
20.数列{a n}满足：a n+1-a n=2，a1=1，等比数列{b n}满足：b1=a1，b4=a14．
（1）求a n，b n；
（2）设C n=a n b n，求{c n}的前n项和T n．
21.教育部记录了某省2008到2017年十年间每年自主招生录取的人数．为方便计算，2008
年编号为1，2009年编号为2，…，2017年编号为10，以此类推．数据如下：
（Ⅰ）根据前5年的数据，利用最小二乘法求出y关于x的回归方程，并计
算第8年的估计值和实际值之间的差的绝对值；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）所得到的回归方程预测2018年该省自主招生录取的人数．
其中==，=-
22.已知函数f（x）=x-a，g（x）=a|x|，a∈R．
（1）设F（x）=f（x）-g（x）．
①若a=，求函数y=F（x）的零点；
②若函数y=F（x）存在零点，求a的取值范围．
（2）设h（x）=f（x）+g（x），x∈[-2，2]，若对任意x1，x2∈[-2，2]，|h（x1）-h（x2）|≤6恒成立，试求a的取值范围．
参考答案
1. C
2. B
3. C
4. D
5. B
6. C
7. B
8. B
9. B
10. C
11. B
12. D
13.（-∞，-]
14.
15. 3
16.
17.解：因为总体由差异明显的三部分（青、中、老年）组成，所以采用分层抽样的方法更合理．
由样本容量为400，总体容量为3200可知，抽样比是=，所以每人被抽到的可能性相同，
均为．
因为青、中、老年职工的比例是3：5：2，所以应分别抽取：
青年职工400×=120（人）；
中年职工400×=200（人）；
老年职工400×=80（人）．
18.解：（Ⅰ）∵=-，
∴由正弦定理可得：=-，
整理得：cos A sin B+2cos A sin C=-sin A cos B，即2cos A sin C=-sin（A+B），
∴2cos A sin C=-sin C，
∴cos A=-，
又A为三角形的内角，则A=；
（Ⅱ）由余弦定理得：a2=b2+c2-2bc cos A=b2+c2+bc，①
由正弦定理得：===，
∴sin B=，sin C=，
∴sin B•sin C=，②
①代入②，sin B•sin C=≤=，
当且仅当b=c时，sin B sin C取最大值．
19.解：（1）由已知xy=3000，2a+6=y，
则y=，（其中6≤x≤500）；
所以，运动场占地面积为S=（x-4）a+（x-6）a=（2x-10）a
=（2x-10）•=（x-5）（y-6）
=3030-6x-，（其中6≤x≤500）；
（2）占地面积S=3030-6x-=3030-（6x+）≤3030-2
=3030-2×300=2430；
当且仅当6x=，即x=50时，“=”成立，此时x=50，y=60，S max=2430．
即设计x=50米，y=60米时，运动场地面积最大，最大值为2430平方米．20.解：（1）∵数列{a n}满足：a n+1-a n=2，a1=1，
∴数列{a n}是首项为1，公差为2的等差数列，
∴a n=2n-1，
∵等比数列{b n}满足：b1=a1=1，b4=a14=2×14-1=27，
∴1×q3=27，解得q=3，
∴．
（2）C n=a n b n=（2n-1）•3n-1，
∴T n=1•30+3•3+5•32+…+（2n-1）•3n-1，①
3T n=1•3+3•32+5•33+…+（2n-1）•3n，②
①-②，得：-2T n=1+2（3+32+33+…+3n-1）-（2n-1）•3n
=1+2•-（2n-1）•3n
=-2-（2n-2）•3n，
∴．
21.解：（Ⅰ）由表中数据可得，
=×（1+2+3+4+5）=3，
=×（3+5+8+11+13）=8，
x i y i=3+10+24+44+65=146，
=12+22+32+42+52=55；
∴===2.6，
=-=8-2.6×3=0.2，
∴y关于x的回归方程为=2.6x+0.2
∴当x=8时，=2.6×8+0.2=21，
则第8年的估计值和实际值之间差的绝对值为|21-22|=1；
（Ⅱ）当x=11时，=2.6×11+0.2=28.8，
预测2018年该省自主招生录取的人数为28.8．
22. 解：（1）F（x）=f（x）-g（x）=x-a-a|x|，
①若a=，则由F（x）=x-|x|-=0得：|x|=x-
，
当x≥0时，解得：x=1；
当x＜0时，解得：x=（舍去）；
综上可知，a=时，函数y=F（x）的零点
为1；
②若函数y=F（x）存在零点，则x-a=a|x|，
当a＞0时，作图如下：
由图可知，当0＜a＜1时，折线y=a|x|与直线y=x-a有交点，即函数y=F（x）存在零点；同理可得，当-1＜a＜0时，求数y=F（x）存在零点；
又当a=0时，y=x与y=0有交点（0，0），函数y=F（x）存在零点；
综上所述，a的取值范围为（-1，1）．
（2）∵h（x）=f（x）+g（x）=x-a+a|x|，x∈[-2，2]，
∴当-2≤x＜0时，h（x）=（1-a）x-a；
当0≤x≤2时，h（x）=（1+a）x-a；
又对任意x1，x2∈[-2，2]，|h（x1）-h（x2）|≤6恒成立，
则h（x1）max-h（x2）min≤6，
①当a≤-1时，1-a＞0，1+a≤0，h（x）=（1-a）x-a在区间[-2，0）上单调递增；
h（x）=（1+a）x-a在区间[0，2]上单调递减（当a=-1时，h（x）=-a）；
∴h（x）max=h（0）=-a，又h（-2）=a-2，h（2）=2+a，
∴h（x2）min=h（-2）=a-2，
∴-a-（a-2）=2-2a≤6，解得a≥-2，
综上，-2≤a≤-1；
②当-1＜a＜1时，1-a＞0，1-a＞0，∴h（x）=（1-a）x-a在区间[-2，0）上单调递增，且h（x）=（1+a）x-a在区间[0，2]上也单调递增，
∴h（x）max=h（2）=2+a，h（x2）min=h（-2）=a-2，
由a+2-（a-2）=4≤6恒成立，即-1＜a＜1适合题意；
③当a≥1时，1-a≤0，1+a＞0，h（x）=（1-a）x-a在区间[-2，0）上单调递减
（当a=1时，h（x）=-a），h（x）=（1+a）x-a在区间[0，2]上单调递增；
∴h（x）min=h（0）=-a；
又h（2）=2+a＞a-2=h（-2），
∴h（x）max=h（2）=2+a，
∴2+a-（-a）=2+2a≤6，解得a≤2，又a≥1，
∴1≤a≤2；
综上所述，-2≤a≤2．。