第八章_原根与离散对数

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8.1
指数和原根
定义8.1.1 设m是大于1的正整数，如果(a， m)=1，则使同余式 ad 1 (mod m) 成立的最小正整数d称为a对模m的指数（或 阶），记为ordm(a)． 如果a对模m的指数是(m)，则a称为模m的 一个原根．
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指数的性质
性质9． ordm(ab) = ordm(a)ordm(b) 的充分必要条件是 (ordm(a)，ordm(b)) = 1．
性质9证明 充分条件证明：首先我们有
(ab) (a
得
ordm (a)ordm (b)
=
ordm (b) ordm (a)
ordm (a) ordm (b)
性质6．ad ak (mod m)，则d k (mod ordm(a))．
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指数的性质
性质7 设k为非负整数，则
ord m (a ) ord m (a ) (ord m (a )，k )
k
而且在模m的简化剩余系中，至少有(ordm(a))个数 对模m的指数等于ordm(a)． 特别地，如果a是一个模m的原根，则ak也是模m的 原根的充分必要条件是 ((m)，k) = 1． 性质8 如果模m存在一个原根，则模m共有((m)) 个不同的原根．
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UEHale Waihona Puke TC Press指数和原根
例8.1.1 n=10，取模10的简化剩余系1，3，7， 9，因为 11≡1（mod10）； 32 ≡ 9（mod10），33 ≡7 （mod10）， 34 ≡1 （mod10）； 72 ≡ 9（mod10），73 ≡3 （mod10）， 74 ≡1 （mod10）； 92≡1（mod10）；
指数的性质
ord m1m2 (a ) [ord m1 (a1 )，ord m2 (a2 )]
性质11证明 考虑同余式组 x a1 (mod m1)， x a2 (mod m2)， 由于(m2，m1) = 1，则由中国剩余定理有 x a (mod m1m2)． 由性质1有： ord m1 (a) ord m1 (a1 ), ord m2 (a) ord m2 (a2 ) 再由性质10得证．
所以
qi
(m )
ord m ( g )
(m )
qi
ord m ( g ) s
g
(m ) qi
g
ord m ( g ) s
1 (mod m )
得到矛盾结果．故g是模m的原根．
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原根的存在性
例8.2.2 设m = 41，则(41) = 40 = 235，q1 = 2，q2 (m) (m ) = 5，于是 = 20 8
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原根的存在性
定理8.2.3
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设(m)的不同素因子为 q1，q2，…，qk， 则g（(g，m) = 1）是模m的一个原根的充分必要条件是 (m) ， i = 1 ， 2 ， …， k ． qi
g
1 (mod m )
电子科技大学计算机科学与工程学院uestcpress第八章原根与离散对数电子科技大学计算机科学与工程学院uestcpress第八章原根与离散对数81指数和原根掌握82原根的存在性理解83离散对数熟练电子科技大学计算机科学与工程学院uestcpress第八章原根与离散对数81定义811设m是大于1的正整数如果a成立的最小正整数d称为a对模m的指数或阶记为ord如果a对模m的指数是m则a称为模m的一个原根
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8.2 原根的存在性
从前面例8.1.2知道，并不是所有的模m都 例8.1.2 有原根的。 我们已经知道，当p是素数时，模p剩余类 构成有限域GF(p)，域中存在本原元，显然 这个本原元是GF(p)中非零元构成的循环群 的生成元，也就是模p的原根．于是我们有 下面的定理并给予直接证明．定理只涉及 奇素数．容易验证，唯一的偶素数2的情形 下1是原根．
[ ord m1 ( a )，ord m2 ( a )]
1(mod m1 )
1 (mod m2 )
1 (mod m1 m2 )
a 因(m 1 , m 2 )= 1
有a
[ ord m1 ( a )，ord m2 ( a )]
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指数的性质
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指数的性质
性质4．设a1是a模m的逆元，即a1a 1 (mod m)，则 ordm(a1) = ordm(a)． 性质5．下列ordm(a)个数： ordm ( a ) 1 0 1 = a ，a，…， 模m两两不同余．特别地，当 a a是模m原根时，即ordm(a) = (m)时，这(m)个数构成 模m简化剩余系．
如果存在i使得
则 于是 因此 故
性质10．(2) (m2，m1) = 1，则
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ord m1m2 (a ) [ord m1 (a )，ord m2 (a )]
a 1 (mod m1m2 )
i
a 1 (mod m1 ) a 1 (mod m2 )
i
i
ordm1 (a) i
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原根的存在性
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定理8.2.1 如果p是奇素数，则存在模p的原根． 证明 模p的简化剩余系是 {1，2，…，p1}， 设它们的所有不同指数为： d1，d2，…，dr． 令D是它们的最小公倍数， D = [d1，d2，…，dr]．设D的标准分解式为
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指数的性质
性质10证明
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性质10．(1) 如果nm，则 ordn(a)ordm(a))
1）我们有
na
ordn ( a )
1
ma
ordm ( a )
1
由于nm，则 ord m ( a ) ordm ( a ) 于是 na 1, a 故 ordn(a)ordm(a)．
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第八章 原根与离散对数
8.1 指数和原根（掌握） 8.2 原根的存在性（理解） 8.3 离散对数（熟练）
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)
(b
)
=1 (mod m).
ordm(ab) | ordm(a)ordm(b)
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故
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性质9． 电子科技大学 计算机科学与工程学院
指数的性质
ordm(ab) = ordm(a)ordm(b) 的充分必要条件是 UESTC Press (ordm(a)，ordm(b)) = 1．
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原根的存在性
面我们考察D与(p) = p1的关系．一方面我们有 D p1． 另一方面，简化剩余系中的每个数都是同余式 xD 1 (mod p) 的解，则该同余式有p1个解，因此 D p1． 于是我们最后有 D = p1． 这说明Y就是模p的原根．定理证毕．
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指数和原根
我们再次指出：与m互素的(m)个剩余类 构成一个乘法群Sm．于是显然一个数a对模 m的指数ordm(a)就是它所在剩余类在群中 的阶，如果模m存在原根，则Sm构成一个 乘法循环群，而原根就是Sm中的生成元．
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D q1 q2 qk
1 2
k
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原根的存在性
于是对于一个 q 存在一个di使 j
j
d i aq j
j
j j j j
j
设 则有
ord（ ） = d i = aq j p x
ord（ p x ）=
j
ord m1m2 (a ) [ord m1 (a )，ord m2 (a )]
性质11 如果(m2，m1) = 1，则对任意整数a1，a2， 必存在a使得
ord m1m2 (a ) [ord m1 (a1 )，ord m2 (a2 )]
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ordm2 (a) i
[ord m1 (a)，ord m2 (a)] i
ord m1m2 (a) [ord m1 (a)，ord m2 (a)]
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电子科技大学 计算机科学与工程学院 性质11
如果(m2，m1) = 1，则对任意整 数a1，a2，必存在 a使得 UESTC Press
1(mod n)
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指数的性质
2）我们有
性质10．(2) (m2，m1) = 1，则
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ord m1m2 (a ) [ord m1 (a )，ord m2 (a )]
a
[ ord m1 ( a )，ord m2 ( a )]
必要条件是显然的，因为(m)是使 gn 1 (mod m) 的最小正整数． 充分条件证明．用反证法． 假设g不是模m的原根，即它的指数ordm(g)(m)，那么 ordm(g)(m)， 证明
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原根的存在性
于是必有一个qi使 则 (m ) qi s, ord m ( g )
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指数的性质
假设m是大于1的正整数，(a，m)=1，a对模 m的阶为ordm(a)． 性质1．如果a b (mod m)，则 ordm(a) = ordm(b)． 性质2．ad 1 (mod m)的充分必要条件是： ordm(a)d． 性质3． ordm(a) (m)．
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指数的性质
性质9 是 性质10 ordm(ab) = ordm(a)ordm(b)的充分必要条件
(ordm(a)，ordm(b)) = 1． 1）如果nm，则 ordn(a)ordm(a))． 2）如果(m2，m1) = 1，则
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原根的存在性
定理8.2.2
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模m的原根存在的充分必要条件是 m = 2，4，p，2p， 其中p是奇素数， 1． 定理1是 =1时p的特例． 当m = 2时，1是原根． 当m = 4时，3是原根．
定理2的证明超出了本书的范围．定理2说明，只有 当m = 2，4，p，2p时，与模m的简化剩余系 才构成一个循环群并具有生成元
必要条件证明：我们有
(ab) a
[ ord m ( a )，ord m ( b )]
1 (mod m )
[ ord m ( a )，ord m ( b )] [ ord m ( a )，ord m ( b )]
b
于是由ordm(ab) = ordm(a)ordm(b)得 ordm(a)ordm(b)[ ordm(a)，ordm(b)]， 故 (ordm(a)，ordm(b)) = 1．
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指数和原根
所以 ord10（1）=1， ord10（3）=4， ord10（7）=4， ord10（9） =2， 他们都是 (10) 4 的因子，且3和7均是模10的原根。 例8.1.2 n=8取模8的一个简化剩余系1，3，5，7，因为 11≡1（mod8）； 32 ≡ 1（mod8）； 52 ≡1 （mod8）； 72 ≡1 （mod8）； 所以ord8（1）=1， ord8（3）=2， ord8（5）=2， ord8（7） (8) 4 8没有原根。 =2，而 ，故模 返回
a
aq
j j
j j
a (aq ，a ) 对于k个 q j ，存在k个xa（设它们为 y1，y2，…,yk）， j q j k个 它们的指数遍历这k个 ，由于这 两两互素， qj 由上节的性质9，我们有 Y = y 1 y 2 …y k 的指数等于D．
j

aq
q
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