2015年高考新课标全国二卷数学理科

2015年普通高等学校招生全国统
一考试
理科数学
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

写在本试卷上无效。

3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小
题，每小题5分，在每小题给出的
四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。

（1）已知集合{}
21012
A=--
，，，，，{}
|(1)(2)0
B x x x
=-+<，则A B=
I
（A）{-1，0} （B）{0，1} （C）{-1，0，1} （D）{0，1，2}
（2）若a为实数，且(2+ai)(a-2i)=-4i，则a=
（A）-1 （B）0 （C）1 （D）2
（3）根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是
（A）逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显着
（B）2007年我国治理二氧化硫排放量显现成效
（C）2006年以来我国二氧化硫排放量呈减少趋势
（D）2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关
（4）已知等比数列{}n a 满足13a =，
12321a a a ++=，则357a a a ++=
（A ）21 （B ）42 （C ）63 （D ）84
（5）设函数211log (2),1,
()2,1x x x f x x -+-<⎧=⎨≥⎩
则
2(2)(log 12)f f -+=
（A ）3 （B ）6 （C ）9 （D ）12
（6）一个正方体被一个平面截去一部
分之后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为
（A ）18（B ）17（C ）16（D ）1
5
（7）过三点A （1，3），B （4，2），C （1，-7）的圆交y 轴于M ，N 两点，则|MN|=
（A ）26 （B ）8 （C ）46 （D ）
10
（8）右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名着《九章算法》中德“更相减损术”，
执行该程序框图，若输入的a ，b ，分别
为14，18，则输出的a= （A ）0 （B ）2 （C ）4
（D ）14
（9）已知A ，B 是O 的球面上两点，
90AOB ∠=o ，C 为该球面上的动点，若三
棱锥O-ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为
（A ）36π （B ）64π （C ）144π （D ）256π
（10）如图，长方形ABCD 的边AB=2，BC=1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记BOP x ∠=。

将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f(x)，则y=f(x)的图像大致为
（11）已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，ABM
∆为等腰三角形，且顶角为120o，则E的离心率为
（A
（B）2 （C
（D
）
（12）设函数f’(x)是奇函数f(x) ()
R
x∈的导函数，f(-1)=0，当x>0时，xf’(x)-f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是
（A）(1)(01)
-∞-U
，，（B）(-10)(1)
+∞
U
，，（C）(1)(-10)
-∞-U
，，（D）(01)(1)
+∞
U
，，
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和旋考题两部分。

第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。

第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。

二、填空题：本大题共4小题。

每小题5分
（13）设向量a，b不平行，向量λa+b 与a+2b平行，则实数λ=________.（14）若x，y满足约束条件
10,
20,
220,
x y
x y
x y
-+≥
⎧
⎪
-≤
⎨
⎪+-≤
⎩
则z=x+y的最大值为_________.
（15）4
()(1)
a x x
++的展开式中x的奇数
次幂项的系数之和为32，则a=_______.
（16）设
n
S的数列{}n a的前n项和，且1+1
n n n
a S S
+
=，则n S=_________.
三、解答题：解答应写出文字部分解题
过程和演算步骤。

（17）（本小题满分12分）
ABC
∆中，D是BC上的点，AD平分BAC
∠，ABD
∆面积是ADC
∆面积的2倍，
（Ⅰ）求sin
sin
B
C
∠
∠
；（Ⅱ）若AD=1，
DC=
2
，求BD和AC的长。

（18）（本小题满分12分）
某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A地区：62 73 81 92 95 85
74 64 53 76
78 86 95 66 97 78 88 82 76 89
B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82
93 48 65 81 74 56 54 76 65 79
（Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满
意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较
两地区满意度评分的平绝值机分散成
都（不要求计算出具体值，给出结论即可）；（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级;
记事件C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”，假设两地区用户的评价结果相互独立，根据
所给的数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C 的概率。

（19）（本小题满分12分）
如图，长方体ABCD-1111A B C D 中，AB=16，BC=10，AA 1=8，点E ，F 分别在11A B ，11D C 上，11A E D F ==4，过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方体。

（Ⅰ）在途中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；
（Ⅱ）求直线AF 与平面α所成角的正弦值。

20．（本小题满分12分） 已知椭圆C ：2
229(0)x
y m m +=>，直线
l
不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M 。

（1）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；
（2）若l 过点(,)
3m
m ，延长线段
OM 与C
交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边
形？若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由。

（21）（本小题满分12分） 设函数2()mx f x e x mx =+-
（Ⅰ）证明：f(x)在(0)-∞，单调递减，在(0)+∞，单调递增；
（Ⅱ）若对于任意12[11]
x x ∈-，，，都有12(()1f x f x e ≤-)-，求m 的取值范围。

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时请写清题号。

（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，O 为等腰三角形ABC 内一点，O e 与ABC ∆的底边BC 交与点M ，N 两点，
与底边上的高AD 交与点G ，且与AB ，AC 分别相切于点E ，F 两点。

（Ⅰ）证明：EF//BC ；
（Ⅱ）若AG 等于O e 的半径，且
23AE MN ==，求四边形EBCF 的面积。

（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系x0y 中，曲线C 1：
cos sin x t y t αα=⎧⎨
=⎩，
，
（t 为参数，0t ≠），其中0απ≤<.在意O 为极点，x 轴正半轴为
极轴的极坐标系中，设曲线2:2sin C ρθ=，
3:23cos C ρθ=。

（Ⅰ）求C 1与C 2交点的直角坐标； （Ⅱ）若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB|的最大值。

（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
设a ，b ，c ，d 均为正数，且a+b=c+d ，证明：
（Ⅰ）若ab>cd ，则a b c d +>+； （Ⅱ）a b c d +>+是|a-b|<|c-d|的充要条件。

参考答案
一、选择题 1——
5ABDBC,6-----10DCBCB,11D,12A
二、填空题13：12 14：32
15：3 16：1
n
-
三、解答题 17.
(Ⅱ)因为::ABD ADC S S BD DC ∆∆=，所以
2BD =．在ABD ∆和ADC ∆中，由余弦
定理得
2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠，
2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-⋅∠．
222222326AB AC AD BD DC +=++=．由(Ⅰ)知2AB AC =，所以1AC =．
18.（Ⅰ）两地区用户满意度评分的茎叶图如下
2B C 表示事件：“B 地区用户满意度等级
为满意”．
则1A C 与1B C 独立，
2A C 与2B C 独立，1B C 与2B C 互斥，1122B A B A C C C C C =U ．
1122()()B A B A P C P C C C C =U 1122()()
B A B A P
C C P C C =+1122()()()()B A B A P C P C P C P C =+．
由所给数据得1A C ，2A C ，1B C ，2B C 发生的概率分别为
1620，420，1020，8
20
．故1()A P C 16
=
20
， 2()=
A P C 4
20，1()=B P C 1020，2()B P C 8
=20，故101684
()=+0.4820202020
P C ⨯⨯=．
19. （Ⅰ）交线围成的正方形EHGF 如图：
（Ⅱ）作EM AB ⊥，垂足为M ，则
14AM A E ==，18EM AA ==，因为EHGF
为正方形，所以10EH EF BC ===．于是
226MH EH EM =-=，所以10AH =．以D
为坐标原点，DA u u u r
的方向为x 轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，则(10,0,0)A ，(10,10,0)H ，(10,4,8)E ，
(0,4,8)F ，(10,0,0)FE =u u u r
，
(0,6,8)HE =-u u u r ．设(,,)n x y z =r
是平面
EHGF
6 8 8 6 4
的法向量，则0,
0,
n FE n HE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u r
即100,
680,x y z =⎧⎨
-+=⎩
所以可取
(0,4,3)
n =r
．又
(10,4,8)AF =-u u u r
，
故cos ,n AF n AF n AF
⋅<>==
⋅r u u u r r u u u r r u u u r 所以直线AF 与平面α所成角的正
20. (Ⅰ)设直线:l y kx b =+(0,0)k b ≠≠，
11(,)A x y ，22(,)B x y ，(,)M M M x y ．
将
y kx b
=+代入222
9x y m +=得2
2
2
2
(9)20k x kbx b m +++-=，
故
122
29M x x kb
x k +==-+， 299
M M b
y kx b k =+=
+．于是直线OM 的斜率9
M OM
M y k x k
==-，即9OM k k ⋅=-．所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值． （Ⅱ）四边形OAPB 能为平行四边形． 因为直线l 过点(,)3
m
m ，所以l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是0k >，
3k ≠．
由(Ⅰ)得OM 的方程为9y x k
=-．设点P
的横坐标为P x ．由2229,
9,y x k
x y m ⎧
=-⎪⎨⎪+=⎩得222
2981P
k m x k =+，
即P x =．将点(
,)3
m
m 的坐标代入直线l 的方程得(3)
3
m k b -=
，因此2
(3)3(9)M mk k x k -=+．四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与
线段OP 互相平分，即2P M x x =
．于是
=
2(3)
23(9)
mk k k -⨯
+．解
得14k =
，
24k =．因为0,3i i k k >≠，1i =，2，
所以当l
的斜率为4
或4边形OAPB 为平行四边形．
22. （Ⅰ）由于ABC ∆是等腰三角形，AD BC ⊥，
所以AD 是CAB ∠的平分线．又因为O e 分别与AB 、AC 相切于E 、F 两点，所以AE AF =，故AD EF ⊥．从而
//EF BC ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，AE AF =,AD EF ⊥，
故AD 是EF 的垂直平分线，又EF 是O e 的弦，所以O 在AD 上．连接OE ，OM ，
则OE AE ⊥．由AG 等于O e 的半径得
2AO OE =，所以030OAE ∠=．所以ABC
∆和AEF ∆都是等边三角形．因为23AE =所以4AO =，2OE =．
因为2OM OE ==，132
DM MN ==，所以1OD =．于是5AD =，103
3
AB =．所以
四
边
形
EBCF
的面积
221103313163((23)232223
⨯⨯-⨯⨯=． 21.
23. （Ⅰ）曲线2C 的直角坐标方程为
2220x y y +-=，曲线3C 的直角坐标方程
为
2230x y x +-=．联立
2
2
2
2
20,230,
x y y x y x ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩解得0,0,x y =⎧⎨=⎩或3
,23,2
x y ⎧=⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩
所以2C 与1C 交点的直角坐标为(0,0)和
33
(
)22
．（Ⅱ）曲线1C 的极坐标方程为(,0)R θαρρ=∈≠，
其中0απ≤<．因此A 得到极坐标为(2sin ,)αα，B 的极坐标为
(23,)αα．所以2sin 23AB αα
=-4in()3s πα=-，当56
π
α=时，AB 取得最
大值，最大值为4．
2020-2-8。