【真卷】2017年天津市普通高中学业水平考试数学试卷

2017年天津市普通高中学业水平考试数学试卷一、选择题（共25小题，每小题3分，满分75分）1．（3分）已知集合A={a，b，d}，B={c，d}，则A∪B等于（）A．{d}B．{a，c}C．{a，b，c}D．{a，b，c，d}2．（3分）函数y=cos2x，x∈R的最小正周期为（）A．B．πC．2πD．13．（3分）i是虚数单位，复数（1+2i）i等于（）A．﹣2﹣i B．2+i C．﹣2+i D．2﹣i4．（3分）已知向量=（1，2），=（﹣1，1），则2+的坐标为（）A．（1，5） B．（﹣1，4）C．（0，3） D．（2，1）5．（3分）命题p：“∃x0∈R“，x02﹣1≤0的否定￢p为（）A．∀x∈R，x2﹣1≤0 B．∀x∈R，x2﹣1＞0C．∃x0∈R，x02﹣1＞0 D．∃x0∈R，x02﹣1＜06．（3分）下列函数中是奇函数的为（）A．y=2x B．y=﹣x2C．y=（）x D．y=log3x7．（3分）在等差数列{a n}中，若a2=2，a1+a5=16，则公差d等于（）A．4 B．C．6 D．148．（3分）在等比数列{a n}中，若a1=2，a4=16，则{a n}的前5项和S5等于（）A．30 B．31 C．62 D．649．（3分）抛物线y2=2x的准线方程为（）A．x=﹣1 B．x=﹣C．x=﹣D．x=10．（3分）椭圆+=1的离心率为（）A．B．C．D．11．（3分）双曲线﹣y2=1的渐近线方程为（）A．y=±3x B．y=±x C．y=±x D．y=±x12．（3分）若直线l1：mx+2y+1=0与直线l2：x+y﹣2=0互相垂直，则实数m的值为（）A．2 B．﹣2 C．D．﹣13．（3分）如图，点E是边长为2的正方形ABCD的CD边中点，若向正方形ABCD 内随机投掷一点，则所投点落在△ABE内的概率为（）A．B．C．D．14．（3分）同时掷两个质地均匀的骰子，向上点数之积为12的概率是（）A．B．C．D．15．（3分）为了得到函数y=sin（2x﹣），x∈R的图象，只需将函数y=sin2x，x∈R的图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度D．向右平行移动个单位长度16．（3分）已知一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为半圆面，则该几何体的体积为（）A．4πB．2πC．πD．17．（3分）若a=log20.3，b=20.3，c=0.32，则a，b，c三者的大小关系为（）A．b＞c＞a B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．b＞a＞c18．（3分）若变量x，y满足约束条件，则目标函数z=﹣2x+y的最大值为（）A．1 B．﹣1 C．﹣ D．﹣319．（3分）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（）A．17 B．10 C．9 D．520．（3分）一支田径队有男运动员56人，女运动员42人，用分层抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，则从中抽取的男运动员的人数为（）A．8 B．12 C．16 D．3221．（3分）已知m，n是空间两条不同的直线，α，β是空间两个不同的平面，下列命题为真命题的是（）A．若m∥α，m∥β，则α∥βB．若α∥β，m⊂α，n⊥β，则m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若α⊥β，m⊂α，n⊥β，则m∥n22．（3分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB=2BC=2，则异面直线A1B 与AD1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．23．（3分）若向量，满足||=，=（﹣2，1），•=5，则与的夹角为（）A．90°B．60°C．45°D．30°24．（3分）平行于直线l：x+2y﹣3=0，且与l的距离为2的直线的方程为（）A．x+2y+7=0 B．x+2y﹣13=0或x+2y+7=0C．x+2y+13=0 D．x+2y+13=0或x+2y﹣7=025．（3分）已知二次函数f（x）=ax2+bx（a，b∈R），满足f（1﹣x）=f（1+x），且在区间[﹣1，0]上的最大值为3，若函数g（x）=|f（x）|﹣mx有唯一零点，则实数m的取值范围是（）A．[﹣2，0]B．[﹣2，0）∪[2，+∞）C．[﹣2，0）D．（﹣∞，0）∪[2，+∞）二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）26．（5分）已知x＞﹣1，则x+的最小值为．27．（5分）在△ABC中，若AC=5，BC=6，sinA=，则角B的大小为．28．（5分）已知cosα=﹣，α∈（，π），则sinα的值为，cos（α+）的值为．29．（5分）圆心坐标是（﹣1，2），半径长是的圆的方程为．设直线y=2x与该圆相交于A，B两点，则弦AB的长为．30．（5分）已知函数f（x）=x3﹣kx2+2x，x∈R，k∈R．①若f′（﹣1）=1，则k的值为．②若函数f（x）在区间（1，2）内存在2个极值点，则k的取值范围是．2017年天津市普通高中学业水平考试数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共25小题，每小题3分，满分75分）1．（3分）已知集合A={a，b，d}，B={c，d}，则A∪B等于（）A．{d}B．{a，c}C．{a，b，c}D．{a，b，c，d}【解答】解：∵A={a，b，d}，B={c，d}，∴A∪B={a，b，c，d}．故选：D．2．（3分）函数y=cos2x，x∈R的最小正周期为（）A．B．πC．2πD．1【解答】解：y=cos2x，由周期公式可得：T=．故选：B．3．（3分）i是虚数单位，复数（1+2i）i等于（）A．﹣2﹣i B．2+i C．﹣2+i D．2﹣i【解答】解：（1+2i）i=2i2+i=﹣2+i，故选：C．4．（3分）已知向量=（1，2），=（﹣1，1），则2+的坐标为（）A．（1，5） B．（﹣1，4）C．（0，3） D．（2，1）【解答】解：∵=（1，2），=（﹣1，1），∴2+=（2，4）+（﹣1，1）=（1，5）．故选：A．5．（3分）命题p：“∃x0∈R“，x02﹣1≤0的否定￢p为（）A．∀x∈R，x2﹣1≤0 B．∀x∈R，x2﹣1＞0C．∃x0∈R，x02﹣1＞0 D．∃x0∈R，x02﹣1＜0【解答】解：命题p：“∃x0∈R“，x0﹣1≤0为特称命题，其否定为全称命题，∴￢p为∀x∈R，x2﹣1＞0．故选：B．6．（3分）下列函数中是奇函数的为（）A．y=2x B．y=﹣x2C．y=（）x D．y=log3x【解答】解：函数y=2x的定义域为R，且f（﹣x）=﹣2x=﹣f（x），∴f（x）为奇函数；函数y=﹣x2的定义域为R，且f（﹣x）=﹣（﹣x）2=﹣x2=f（x），∴f（x）为偶函数；由函数y=（）x的图象既不关于原点对称，也不关于y轴对称，∴函数y=（）x是非奇非偶函数；由函数y=log3x的图象既不关于原点对称，也不关于y轴对称，∴函数y=log3x是非奇非偶函数．故选：A．7．（3分）在等差数列{a n}中，若a2=2，a1+a5=16，则公差d等于（）A．4 B．C．6 D．14【解答】解：∵a2=2，a1+a5=16，∴，解得a1=﹣4，d=6．故选C．8．（3分）在等比数列{a n}中，若a1=2，a4=16，则{a n}的前5项和S5等于（）A．30 B．31 C．62 D．64【解答】解：等比数列{a n}中，a1=2，a4=16，设公比为q，=q3=8，解得q=2，则此数列的前5项的和S5===62．故选：C．9．（3分）抛物线y2=2x的准线方程为（）A．x=﹣1 B．x=﹣C．x=﹣D．x=【解答】解：抛物线y2=2x的焦点在x轴上，且开口向右，2p=2，∴=，∴抛物线y2=2x的准线方程为x=﹣．故选：B．10．（3分）椭圆+=1的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：由+=1，得a2=16，b2=9，∴a=4，，则e=．故选：A．11．（3分）双曲线﹣y2=1的渐近线方程为（）A．y=±3x B．y=±x C．y=±x D．y=±x【解答】解：∵双曲线的方程为﹣y2=1，∴将右边的“1”换为“0”可得：双曲线﹣y2=1的渐近线方程为﹣y2=0，即y=±x．故选：D．12．（3分）若直线l1：mx+2y+1=0与直线l2：x+y﹣2=0互相垂直，则实数m的值为（）A．2 B．﹣2 C．D．﹣【解答】解：∵直线l1：mx+2y+1=0与直线l2：x+y﹣2=0互相垂直，∴m×1+2×1=0，解得m=﹣2．故选：B．13．（3分）如图，点E是边长为2的正方形ABCD的CD边中点，若向正方形ABCD 内随机投掷一点，则所投点落在△ABE内的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，正方形ABCD的面积为4，∵E是CD的中点，∴△ABE的面积为．∴所投点落在△ABE内的概率为P=．故选：D．14．（3分）同时掷两个质地均匀的骰子，向上点数之积为12的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：同时掷两个质地均匀的骰子，共有6×6=36种不同的结果，其中向上点数之积为12的基本事件有（2，6），（3，4），（4，3），（6，2）共4个，∴P==．故选B．15．（3分）为了得到函数y=sin（2x﹣），x∈R的图象，只需将函数y=sin2x，x∈R的图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度D．向右平行移动个单位长度【解答】解：∵y=sin（2x﹣）=sin2（x﹣），∴为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，只需将函数y=sin2x的图象上所有的点向右平行移动个单位长度．故选：D．16．（3分）已知一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为半圆面，则该几何体的体积为（）A．4πB．2πC．πD．【解答】解：由三视图可知几何体为半圆柱，半圆柱的底面半径r=1，高h=2，∴半圆柱的体积V==π．故选C．17．（3分）若a=log20.3，b=20.3，c=0.32，则a，b，c三者的大小关系为（）A．b＞c＞a B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．b＞a＞c【解答】解：∵y=log2x是增函数，∴a=log20.3＜log21=0，∵y=2x是增函数，∴b=20.3＞20=1，又c=0.32=0.09，∴0＜c＜1，∴b＞c＞a，故选A．18．（3分）若变量x，y满足约束条件，则目标函数z=﹣2x+y的最大值为（）A．1 B．﹣1 C．﹣ D．﹣3【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，1），化目标函数z=﹣2x+y为y=2x+z，由图可知，当直线y=2x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，为﹣1．故选：B．19．（3分）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（）A．17 B．10 C．9 D．5【解答】解：循环1，S=0+2=2，a=2×2﹣1=3，循环2，S=2+3=5，a=2×3﹣1=5，循环3，S=5+5=10，a=2×5﹣1=9，退出循环，∴最后输出的a为9，故选C．20．（3分）一支田径队有男运动员56人，女运动员42人，用分层抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，则从中抽取的男运动员的人数为（）A．8 B．12 C．16 D．32【解答】解：设抽取的男运动员的人数为x，则抽取的女运动员的人数为28﹣x，∴，解得x=16．故选C．21．（3分）已知m，n是空间两条不同的直线，α，β是空间两个不同的平面，下列命题为真命题的是（）A．若m∥α，m∥β，则α∥βB．若α∥β，m⊂α，n⊥β，则m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若α⊥β，m⊂α，n⊥β，则m∥n【解答】解：由m∥α，m∥β，得α∥β或α与β相交，故A错误；由α∥β，n⊥β，得n⊥α，由m⊂α，则m⊥n，故B正确；若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故C错误；若α⊥β，m⊂α，n⊥β，则m∥n或m与n相交或m与n异面，故D错误．∴正确的命题是B．故选：B．22．（3分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB=2BC=2，则异面直线A1B 与AD1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：连接BC1，A1C1，则AD1∥BC1，∴∠A1BC1为异面直线A1B与AD1所成角或其补角，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，∵AA1=2AB=2BC=2，∴A1B=BC1=，A1C1=，在△A1BC1中，由余弦定理得cos∠A1BC1==．故选D．23．（3分）若向量，满足||=，=（﹣2，1），•=5，则与的夹角为（）A．90°B．60°C．45°D．30°【解答】解：∵=（﹣2，1），∴，又||=，•=5，两向量的夹角θ的取值范围是，θ∈[0，π]，∴cos＜＞===．∴与的夹角为45°．故选：C．24．（3分）平行于直线l：x+2y﹣3=0，且与l的距离为2的直线的方程为（）A．x+2y+7=0 B．x+2y﹣13=0或x+2y+7=0C．x+2y+13=0 D．x+2y+13=0或x+2y﹣7=0【解答】解：设与直线l：x+2y﹣3=0平行的直线方程为x+2y+m=0，由，解得：m=﹣13或m=7．∴所求直线方程为x+2y﹣13=0或x+2y+7=0．故选：B．25．（3分）已知二次函数f（x）=ax2+bx（a，b∈R），满足f（1﹣x）=f（1+x），且在区间[﹣1，0]上的最大值为3，若函数g（x）=|f（x）|﹣mx有唯一零点，则实数m的取值范围是（）A．[﹣2，0]B．[﹣2，0）∪[2，+∞）C．[﹣2，0）D．（﹣∞，0）∪[2，+∞）【解答】解：二次函数f（x）=ax2+bx（a，b∈R），满足f（1﹣x）=f（1+x），可得直线x=1为函数f（x）的对称轴，即有﹣=1①由f（x）在区间[﹣1，0]上的最大值为3，若a＞0时，则f（x）在[﹣1，0]递减，f（﹣1）取得最大值，且为a﹣b=3②若a＜0时，f（x）在[﹣1，0]递增，f（0）取得最大值，且为0，不成立．由①②解得a=1，b=﹣2．则f（x）=x2﹣2x，若函数g（x）=|f（x）|﹣mx有唯一零点，即为方程|f（x）|=mx有唯一实根，作出y=|f（x）|的图象和直线y=mx的图象，当m=0，有y=0与y=|f（x）|有两个交点；当m＞0时，由mx=2x﹣x2，即有x2+（m﹣2）x=0，由判别式（m﹣2）2﹣4×0=0，解得m=2．由图象可得m≥2时，y=|f（x）|的图象和直线y=mx的图象有两个交点；当0＜m＜2，y=|f（x）|的图象和直线y=mx的图象有，三个交点；当m＜0时，且y=mx为曲线y=|f（x）|的切线时，只有一个交点，即为原点为切点，y=|f（x）|=x2﹣2x（x＜0），可得mx=x2﹣2x即x2﹣（2+m）x=0只有相等的两实根，可得判别式（2+m）2﹣4×0=0，解得m=﹣2．由图象可得﹣2≤m＜0时，y=|f（x）|的图象和直线y=mx的图象只有一个交点，即为原点．综上可得，所求m的范围为[﹣2，0）．故选：C．二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）26．（5分）已知x＞﹣1，则x+的最小值为3．【解答】解：∵x＞﹣1，∴x+1＞0，∴x+=（x+1）+﹣1≥2﹣1=3，当且仅当x+1=，即x=1（﹣3舍去）时取等号，∴x+的最小值为3，故答案为：3．27．（5分）在△ABC中，若AC=5，BC=6，sinA=，则角B的大小为30°．【解答】解：在△ABC中，若AC=5，BC=6，sinA=，由正弦定理可得，=，即为sinB===，由AC＜BC，可得B＜A，则B=30°（150°舍去），故答案为：30°．28．（5分）已知cosα=﹣，α∈（，π），则sinα的值为，cos（α+）的值为．【解答】解：∵cosα=﹣，α∈（，π），∴sinα=；cos（α+）=cosαcos﹣sinαsin==．故答案为：；．29．（5分）圆心坐标是（﹣1，2），半径长是的圆的方程为（x+1）2+（y﹣2）2=5．设直线y=2x与该圆相交于A，B两点，则弦AB的长为．【解答】解：圆心坐标是（﹣1，2），半径长是，则圆的方程为（x+1）2+（y﹣2）2=5；圆心（﹣1，2）到直线2x﹣y=0的距离d=，半径r=，∴弦AB的长为2=．故答案为：（x+1）2+（y﹣2）2=5；．30．（5分）已知函数f（x）=x3﹣kx2+2x，x∈R，k∈R．①若f′（﹣1）=1，则k的值为﹣1．②若函数f（x）在区间（1，2）内存在2个极值点，则k的取值范围是．【解答】解：①∵f（x）=x3﹣kx2+2x，∴f′（x）=x2﹣2kx+2，由f′（﹣1）=（﹣1）2+2k+2=1，得k=﹣1；②∵函数f（x）在区间（1，2）内存在2个极值点，∴函数f′（x）=x2﹣2kx+2在区间（1，2）内存在2个零点，即方程x2﹣2kx+2=0在区间（1，2）内有两个不同根．∴，解得：．故答案为：①﹣1；②．赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：60°运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC.（1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=APBC的面积是36，求△ACB的周长.P2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。