北师版高中数学必修第二册课后习题第2章 §6 6.1 第2课时 正弦定理

第2课时正弦定理
课后训练巩固提升
1.已知△ABC的三个内角之比为A∶B∶C=3∶2∶1,则对应的三边之比a∶b∶c等于( ).
A.3∶2∶1
B.√3∶2∶1
C.√3∶√2∶1
D.2∶√3∶1
2.在△ABC中,若√3a=2bsin A,则B=( ).
A.π
3B.π
6
C.π
3或2π
3
D.π
6
或5π
6
3.在△ABC中,a=3,b=5,sin A=1
3
,则sin B=( ).
A.1
5B.5
9
C.√5
3
D.1
4.(多选题)在△ABC中,下列式子与sinA
a
的值相等的有( ).
A.b
c
B.sinB
sinA
C.sinC
c
D.1
2R
(R为△ABC的外接圆半径)
5.设△ABC 的内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,若a=3,b=3√22,A=π
4
,则B=( ). A.π6
B.π6或
5π6 C.π
3 D.π
3
或
2π
3
6.在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知b=6,A=π6
,若该三角形有两解,则a 的取值范围是( ). A.(3,6) B.(0,3) C.(3√2,6)
D.(3√2,+∞)
7.已知一个三角形的两个内角分别是45°,60°,它们所夹的边的长为1,那么这个三角形最小的边长为 .
8.在单位圆上有三点A,B,C,设△ABC 的三边长分别为a,b,c,则
a sinA
+
b 2sinB
+
2c sinC
= .
9.在△ABC 中,已知a=2√2,A=30°,B=45°,解此三角形.
10.在△ABC 中,已知a=10,B=75°,C=60°,试求c 及△ABC 的外接圆半径R. 答案：
1.D 因为A ∶B ∶C=3∶2∶1,A+B+C=180°,所以A=90°,B=60°,C=30°,所以a ∶b ∶c=sin 90°∶sin 60°∶sin 30°=1∶
√32
∶1
2
=2∶√3∶1.
2.C 由正弦定理,得√3sin A=2sin BsinA,所以sin A(2sin B-√3)=0. 因为0<A<π,0<B<π,所以sin A≠0,sin B=√32
,所以B=π
3
或
2π3
.
3.B 在△ABC 中,由正弦定理a
sinA
=
b sinB
,
得sin B=
bsinA a
=
5×13
3
=5
9
.
4.CD 设R 为△ABC 的外接圆半径,则由正弦定理,得a sinA
=
b sinB
=
c sinC
=2R,
∴
sinA a
=
sinC c
=
1
2R
,故C,D 正确.
5.A 由题意知a=3,b=
3√22,A=π4,由正弦定理a
sinA
=
b sinB
,可得sin B=
bsinA a
=
3√22×√2
2
3
=1
2
,
又因为b<a,可得B 为锐角,所以B=π6
. 6.A ∵在△ABC 中,b=6,A=π
6,
∴由正弦定理得sin B=
b ·sinA
a
=
6×1
2
a
=3
a
.
∵A=π6
,∴0<B<5π6
,要使三角形有两解,得到π6
<B<5π6
,且B≠π2
,即12
<sin B<1,∴1
2
<3
a <1,
解得3<a<6.
7.√3-1 不妨设A=45°,B=60°,则AB=1,C=180°-45°-60°=75°. ∵A<B<C,∴BC<AC<AB.
由正弦定理AB
sinC =BC
sinA
得BC=AB·sinA
sinC
=1×sin45°
sin75°
=√3-1.
∴这个三角形最小的边长为√3-1.
8.7 由正弦定理,得a
sinA
=2R=2,
b 2sinB =R=1,2c
sinC
=4R=4,
故a
sinA +b
2sinB
+2c
sinC
=2+1+4=7.
9.解∵a
sinA =b
sinB
=c
sinC
,
∴b=asinB
sinA =2√2sin45°
sin30°
=2√2×
√2
2
1
2
=4.
∴C=180°-(A+B)=180°-(30°+45°)=105°,
∴c=asinC
sinA =2√2sin105°
sin30°
=2√2sin75°
1
2
=2+2√3.
10.解∵A+B+C=180°,∴A=180°-75°-60°=45°.
由正弦定理,得a
sinA =c
sinC
=2R,∴c=a·sinC
sinA
=10×
√3
2
√2
2
=5√6,∴2R=a
sinA
=
√2
2
=10√2,∴R=5√2.。