广东省届高三数学一轮复习-专题突破训练-导数及其应用-文

广东省2016届高三数学文一轮复习专题突破训练
导数及其应用
2016年广东省高考将采用全国卷，下面是近三年全国卷的高考试题及2015届广东省部分地区的模拟试题，供同学们在复习时参考。

一、选择、填空题
1、（2015年全国I 卷）已知函数()3
1f x ax x =++的图像在点()()
1,1f 的处的切线过点()2,7，
则 a = .
2、（2014年全国I 卷）已知函数3
2
()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则
a 的取值 范围是
（A ）()2,+∞ （B ）()1,+∞ （C ）(),2-∞- （D ）(),1-∞- 3、（佛山市2015届高三二模）不可能以直线1
2
y x b =
+作为切线的曲线是（ ） \
A ．sin y x =
B ．1y x
=
C ．ln y x =
D ． x y e = 4、（广州市2015届高三一模）已知e 为自然对数的底数，则曲线2y =e x 在点()1,2e 处的切线斜率为
5、（华南师大附中2015届高三三模）函数2
ln 2)(x x x f +=在1=x 处的切线方程是 *** 6、（惠州市2015届高三4月模拟）函数3
2
()34f x x x =-+在x = 处取得极小值. 7、（茂名市2015届高三二模）函数2ln 1y x =+在点（1,1）处的切线方程为
8、（珠海市2015届高三二模）已知函数32
()1f x ax x =-+在(01)，
上有增区间，则a 的取值范围是 .
9、（深圳市2015届高三上期末）函数ax
x x f 1
)(+=在)1,(--∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）
A.),1[+∞ B 。

]1,0()0,(U -∞ C 。

]1,0( D 。

),1[)0,(+∞-∞U
，
10、（韶关市2015届高三上期末）设曲线ln y x x =在点(,)e e 处的切线与直线10ax y ++=垂直， 则=a
11、（珠海市2015届高三上期末）函数()ln x
f x e x =⋅在点()1,0处的切线方程为
二、解答题
1、（2015年全国I 卷）设函数()2ln x
f x e
a x =-.
…
（I ）讨论()f x 的导函数()f x '的零点的个数； （II ）证明：当0a >时()22ln f x a a a
≥+.
2、（2014年全国I 卷）设函数()()2
1ln 12
a f x a x x bx a -=+-≠，曲线()()()11y f x f =在点，处的切线斜率为0 （I ）求b;
（II ）若存在01,x ≥使得()01
a
f x a <
-，求a 的取值范围。

3、（2013年全国I 卷）已知函数f(x)＝e x (ax ＋b)－x 2－4x ，曲线y ＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y ＝4x ＋4.
(
(1)求a ，b 的值；
(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．
4、（佛山市2015届高三二模）设常数a ＞0，R ∈λ，函数3
2)()()(a x a x x x f +--=λ. (1)若函数)(x f 恰有两个零点，求λ的值；
(2)若)(λg 是函数)(x f 的极大值点，求)(λg 的取值范围.
5、（广州市2015届高三一模）已知t 为常数，且01t <<，函数()()1102t g x x x x -⎛⎫=+> ⎪⎝⎭
的最小值和函数
；
()h x =()32f x x ax bx =-++(,a b ∈R )的零点.
（1）用含a 的式子表示b ，并求出a 的取值范围； （2）求函数()f x 在区间[]1,2上的最大值和最小值.
6、（华南师大附中2015届高三三模）已知a b ，是实数，1和1-是函数32()f x x ax bx =++的两个
极值点．
（1）求a 和b 的值；
（2）设函数()g x 的导函数()()2g x f x '=+，求()g x 的极值点；
（3）设()(())h x f f x c =-，其中[22]c ∈-，，求函数()y h x =的零点个数．
|
7、（惠州市2015届高三4月模拟）已知a R ∈，函数3
()42f x x ax a =-+．
(1)求()f x 的单调区间；
(2)证明：当01x ≤≤时，()20f x a +->．
8、（茂名市2015届高三二模）设函数()()()()()ln ,
212.f x x g x a x f x ==---
（1）当1a =时，求函数()g x 的单调区间； （2）若对任意()10,
,02x g x ⎛
⎫
∈> ⎪⎝⎭
恒成立，求实数a 的最小值； （3）设()()1122,,,A x y B x y 是函数()y f x =图象上任意不同的两点，线段AB 的中点为
()00,C x y ，直线AB 的斜率为k . 证明：()0k f x '>.
)
9、（梅州市2015届高三一模）已知函数()(,,)x
x
f x ae be
cx a b c R -=--∈的导函数'()f x 为偶函数，
且曲线()y f x =在点(0,(0))f 年的切线的斜率为2－c 。

（1）确定,a b 的值；
（2）当c ＝1时，判断f （x ）的单调性； （3）若f （x ）有极值，求c 的取值范围。

10、（深圳市2015届高三二模）已知函数()ln (,)R b
f x x ax a b x
=-+
∈，且对任意0x >，都有0)1
()(=+x
f x f .
/
（1）求a ，b 的关系式；
（2）若)(x f 存在两个极值点1x ，2x ，且12x x <，求出a 的取值范围并证明0)2
(2>a
f ；
（3）在（2）的条件下，判断()y f x =零点的个数，并说明理由．
11、（湛江市2015届高三二模）已知函数()x f x e =，()ln ln g x x a =-（a 为常数， 2.718e =⋅⋅⋅），且函数()y f x =在0x =处的切线和()y g x =在x a =处的切线互相平行．
()1求常数a 的值；
()2若存在x 使不等式()x m x f x ->⋅成立，求实数m 的取值范围；
()3对于函数()y f x =和()y g x =公共定义域内的任意实数0x ，把()()00f x g x -的值称为两函数在0x 处的偏差．求证：函数()y f x =和()y g x =在其公共定义域内的所有偏差都大于2．
；
12、（珠海市2015届高三二模）已知1,0≠>a a ，ak x x f -=)(，2
2)(a x x g -=.
(1）若方程()
log log ()f x a
a g x = 有解，求k 的取值范围；
(2）若函数)(x h 满足：)()()(x kf x g x h -='，求当2=a 时函数)(x h 的单调区间.
13、（潮州市2015届高三上期末）已知函数()ln a
f x x x
=-
，其中R a ∈． ()1当2a =时，求函数()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线方程；
()2如果对于任意()1,x ∈+∞，都有()2f x x >--，求a 的取值范围．
$
14、（东莞市2015届高三上期末）设函数
（1）当a ＝1时，求 f (x )的极小值； （2）讨论函数零点的个数；
（3）若对任意恒成立，求实数a 的取值范围.
15、（佛山市2015届高三上期末）设函数()e x f x x a
=-的导函数为()f x '(a 为常数,e 2.71828=⋅⋅⋅
是自然对数的底数).
(Ⅰ) 讨论函数()f x 的单调性； 。

(Ⅱ) 求实数a ,使曲线()y f x =在点()()2,2a f a ++处的切线斜率为326127
4
a a a +++-；
(Ⅲ) 当x a ≠时,若不等式
()
()
1f x k x a f x '+-≥恒成立,求实数k 的取值范围.
参考答案
一、选择、填空题 1、【答案】1 【解析】
试题分析：∵2
()31f x ax '=+，∴(1)31f a '=+，即切线斜率31k a =+，
*
又∵(1)2f a =+，∴切点为（1，2a +），∵切线过（2,7），∴27
3112
a a +-=+-，解得a =1.
考点：利用导数的几何意义求函数的切线；常见函数的导数； 2、【答案】：C
【解析】：由已知0a ≠，2
()36f x ax x '=-，令()0f x '=，得0x =或2x a
=
， 当0a >时，()22,0,()0;0,
,()0;,,()0x f x x f x x f x a a ⎛⎫⎛⎫'''∈-∞>∈<∈+∞> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
； 且(0)10f =>，()f x 有小于零的零点，不符合题意。

当0a <时，()22,
,()0;,0,()0;0,,()0x f x x f x x f x a a ⎛
⎫⎛⎫'''∈-∞<∈>∈+∞< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
要使()f x 有唯一的零点0x 且0x ＞0，只需2
()0f a
>，即2
4a >，2a <-．选C 《
3、B
4、2e
5、4x －y －3＝0
6、2 【解析】 由2()360f x x x '=-=得：02x x ==或，列表得：
所以在=2x 处取得极小值.
7、210x y --=
>
8、2()3
+∞，
9、B
10、
12
11、0ex y e --=
二、解答题 1、【答案】（I ）当0a 时，()f x 没有零点；当0a 时，()f x 存在唯一零点.（II ）见解析
【解析】
…
试题分析：（I ）先求出导函数，分0a
与0a 考虑()f x '的单调性及性质，即可判断出零点个数；
（II ）由（I ）可设()f x 在0+，
的唯一零点为0x ，根据()f x '的正负，即可判定函数的图像与
性质，求出函数的最小值，即可证明其最小值不小于2
2ln
a a a
，即证明了所证不等式. 试题解析：（I ）()f x 的定义域为0+，
，2()=20x
a
f x e x x
. 当0a 时,()0f x ，()f x 没有零点； 当0a
时，因为2x e 单调递增，
a
x
单调递增，所以()f x 在0+，
单调递增.又()
0f a ,
当b 满足0
4
a b
且1
4
b 时，(b)0f ,故当0a 时，()f x 存在唯一零点. （II ）由（I ），可设()f x 在0+，
的唯一零点为0x ，当00x
x ，时，()0f x ;
当()0+x x ∈∞，　时，()
0f x .
故()f x 在00x ，单调递减，在0+x ，
单调递增，所以当0x
x 时，()f x 取得最小值，最
小值为0()f x . 由于0
202=0x a e x ，所以000
2
2()=2ln
2ln
2a
f x ax a a a x a
a
.[
故当0a
时，2
()2ln f x a a a
.
考点：常见函数导数及导数运算法则；函数的零点；利用导数研究函数图像与性质；利用导数证明不等式；运算求解能力. 2、【解析】：（I ）()(1)a
f x a x b x
'=
+--，由题设知 (1)0f '=,解得b 1. ……………4 分
(Ⅱ) f (x )的定义域为(0,
),由(Ⅰ)知, 2
1()ln 2
a f x a x x x -=+
-， ()1()(1)111a a a f x a x x x x x a -⎛⎫'=
+--=-- ⎪-⎝⎭
(i)若12a ≤
，则11a a
≤-，故当x (1,)时, f '(x ) 0 , f (x )在(1,)上单调递增. 所以,存在0x 1, 使得 0()1a f x a ≤-的充要条件为(1)1a f a ≤-，即1121a a
a
--<
- 所以
2
1 a
2
1;
【
(ii)若
112a <<，则11a a >-，故当x (1, 1a a -)时, f '(x ) <0 , x (,1a
a
+∞-)时,()0f x '>,f (x )在(1, 1a a -)上单调递减，f (x )在,1a a
+∞-单调递增.
所以,存在0x 1, 使得 0()1a f x a ≤-的充要条件为()11a a
f a a
≤
--，而 ()2()ln 112111a a a a a
f a a a a a a
=++>
-----，所以不和题意. (ⅲ) 若1a >，则11(1)1221
a a a
f a ---=
-=<
-。

综上，a 的取值范围为：()
()21,211,---⋃+∞ 3、解：(1)f′(x)＝e x (ax ＋a ＋b)－2x －4.
由已知得f(0)＝4，f ′(0)＝4，故b ＝4，a ＋b ＝8. 从而a ＝4，b ＝4.
]
(2)由(1)知，f(x)＝4e x (x ＋1)－x 2－4x.
f ′(x)＝4e x (x ＋2)－2x －4＝4(x ＋2)⎝⎛⎭
⎫e x －12.
令f′(x)＝0，得x ＝－ln 2或x ＝－2.
从而当x ∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f ′(x)>0；当x ∈(－2，－ln 2)时，f ′(x)<0. 故f(x)在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减．
当x ＝－2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(－2)＝4(1－e －
2)． 4、
；
5、（1）解: 由于01t <<，0x >，则()11112122t t g x x x t x x
--⎛⎫=+≥⨯⋅=- ⎪⎝⎭ 当且仅当1t
x x
-=，即1x t =-时，()min 1g x t =-⎡⎤⎣⎦ …………………1分 ()222h x x x t =
-++()
2
11x t =
-++1x =时，()min 1h x t =+⎡⎤⎣⎦
………………………2分
∵01t <<，
—
∴112t <+011t <-<.
由于()3
2
f x x ax bx =-++()
2x x ax b =-++，结合题意，可知，
方程2
0x ax b -++=1t +1t - ………………………3分
11t t a +-=11t t b +-=-. ………………………4分 ∴2
221122a t t b =++-=-. ∴2
112
b a =-
. ………………………5分 而方程2
0x ax b -++=的一个根在区间(2上，另一个根在区间()0,1上. 令()2
x x ax b ϕ=-++，
|
则()(
)
00,110,20.b a b b ϕϕϕ⎧
=<⎪⎪
=-++>⎨⎪
=-++<⎪⎩
………………………6分
即2
22110,
21110,21210.2a a a a ⎧-<⎪⎪
⎪
-++->⎨⎪⎪
-+-<⎪⎩
解得02,a a a a ⎧<>⎪<<⎨⎪
≠⎩ ………………………7分
∴
2a <<. ………………………8分
∴2
112
b a =-
2a <<. 求a 的取值范围的其它解法：
另法1：
由a =
，得22a =+ ………………………6分 ∵01t <<，
∴2
24a <<． ………………………７分
【
∵a =0>，
∴
2a <<． ………………………8分
另法2：设(
)t ϕ=01t <<， 则(
)0t ϕ'=
=<， ………………………6分
故函数()t ϕ在区间()0,1上单调递减． ∴(
))
t ϕ∈． ………………………７分
∴
2a <<． ………………………8分
（2）解：由（1）得()3
2
2112f x x ax a x ⎛
⎫
=-++-
⎪⎝⎭
， 》
则()2
2
13212
f x x ax a '=-++-
. ………………………9分
∵
2a <<，
∴二次函数()2
213212f x x ax a '=-++-
的开口向下，对称轴233
a x =<. 故函数()f x '在区间[]1,2上单调递减. ………………………10分 又()()2
21113212022
f a a a '=-++-
=--<， ………………………11分 ∴当[]1,2x ∈时，()()10f x f ''≤<.
∴函数()f x 在区间[]1,2上单调递减. ………………………12分 ∴函数()f x 的最大值为()2
112
f a a =-
，最小值为()2246f a a =-+-. ]
………………………14分
6、
7、解：（1）由题意得2
()122f x x a
'=-
…………1分
当0a ≤时，()0f x '≥恒成立，此时()f x 的单调递增区间为()+-∞∞， ………………2分 当0a >时，()12()(66
a a
f x x x '=+， …………4分 此时函数()f x 的单调递增区间为 (－∞，6
a
6a ∞)． ………5分
()f x 的单调递减区间为 ［6
a
6a (6)
分
（
(2)证明：由于0≤x ≤1，故
当a ≤2时，f (x )＋|a －2|＝4x 3－2ax ＋2≥4x 3－4x ＋2． (8)
分
当a ＞2时，f (x )＋|a －2|＝4x 3＋2a (1－x )－2≥4x 3＋4(1－x )－2＝4x 3－4x ＋2．…10分 设g (x )＝2x 3－2x ＋1， 01x ≤≤， 则g ′(x )＝6x 2－2＝6(x
x
， …………11分 于
是
$
………………12分
所以，g (x )min ＝g
＝1
＞0
∴ 当01x ≤≤时，3
2210x x -+>
………………13分
故3
()24420f x a x x +-≥-+>．
\
∴ 当01x ≤≤时，()20
f x a +->
………………14分
（注：此问还可以按分类讨论的思想，令2)()(-+=a x f x h ，
证明当10≤≤x 时，0)(min >x h 成立，请参照给分）
8、解（1）()g x 的定义域为(0,)+∞
当1a =时，()12ln g x x x =--， ()22
1x g x x x
-'=-=
………………………1分 当()0,2x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减 当()2,x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增，
综上，()g x 的单调递增区间为()2,+∞，单调递减区间为()0,2 ………………3分
%
（2）由题意知：()()212ln 0a x x --->，在10,
2x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
上恒成立， 即()()212ln a x x -->在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
上恒成立，
又10x ->，∴2ln 21x a x >+
-在区间10,2⎛⎫
⎪⎝⎭
上恒成立 …………………………4分
设()2ln 21x h x x =+-，10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()()()()
22
2212ln 22ln 11x x x x x h x x x -+-+'==-- …5分 又令()2122ln ,0,2m x x x x ⎛⎫
=
-+∈ ⎪⎝⎭
，则()222222x m x x x x -+'=-+= ……6分 当10,
2x ⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0m x '<，()m x 单调递减，∴()1422ln 202m x m ⎛⎫
>=--> ⎪⎝⎭
， 即()0h x '>在10,2⎛
⎫ ⎪⎝⎭
恒成立 ………………………………………………………7分
所以()h x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，∴()1
2ln 12224ln 2122
h x h ⎛⎫
<=+=-
⎪⎝⎭
，
(
故24ln 2a ≥-，所以实数a 的最小值24ln 2-. …………………………………8分
（3）2121
2121
ln ln y y x x k x x x x --=
=--， …………………………………………………………9分
又12
02x x x +=
，所以()()0
001212ln x x f x x x x x =''===+ ……………………10分 要证()0k f x '>. 即证
212112ln ln 2
x x x x x x ->-+，不妨设120x x <<，即证()212112
2ln ln x x x x x x -->+，
即证21221
1
21ln 1x x x x x x ⎛⎫
- ⎪⎝⎭>
+………………………………………………………………11分
设2
11x t x =
>，即证：()214ln 211
t t t t ->=-++，
也就是要证：4
ln 201
t t +
->+，其中()1,t ∈+∞， ……………………………12分 }
事实上：设()()()4
ln 21,1
k t t t t =+
-∈+∞+，
则()()()()()()
2
2
222
141140111t t t k t t t t t t t +--'=-==>+++，……………………………13分
所以()k t 在()1,+∞上单调递增，因此()()10k t k >=。

9、解：（1）对()f x 求导得, c be ae x f x
x -+='-)(， …………1分
由()f x '为偶函数，知()()f x f x ''-=， …………2分 即成立对R x e e
b a x x
∈∀=---,0))((,所以a b =. …………3分
又,2)0(c c b a f -=-+='
解得1,1a b ==. …………4分
\
（2）当1=c 时，x e e x f x
x --=-)(，那么
.01121)(>=-⋅≥-+='--x x x x e e e e x f …………6分
故
()f x 在R 上为增函数. …………7分
（3）由（1）知c e e x f x
x -+='-)(，
而,22=⋅≥+--x x x x e e e e 当0x =时,等号成立. …………8分
下面分三种情况进行讨论.
当2<c 时，对任意0)(,>-+='∈-c e e x f R x x
x ，此时()f x 无极值； ……9分 当2=c 时，对任意0,x ≠02)(>-+='-x
x e e x f ，此时()f x 无极值； …10分
；
当2>c 时，令,t e x
=方程01,012=+-=-+ct t c t
t 即有两根，
,2
4
242221-+=<--=
c c t c c t …………11分 所以()0f x '=有两个根.ln ,ln 2211t x t x == 当12x x x <<时，()0f x '<；当2x x >时，()0
f x '>,
从而()f x 在2x x =处取得极小值. …………13分 综上，若()f x 有极值，则c 的取值范围为),2(+∞. …………14分
10、解：（1）法一：根据题意：令1x =，可得0)1
1
()1(=+f f ， ∴(1)0f a b =-+=，…………………………………………………………………………1分。

经验证，可得当a b =时，对任意0x >，都有0)1()(=+x
f x f ， ∴b a =．………………………………………………………………………………………2分 法二：
1()()ln ln b a
f x f x ax x bx x x x
+=-+--+
b a
ax bx x x
=-+
-+， 1
()()0b a x x
=-+=，………………………………………………1分
∴要使上式对任意0x >恒成立，则须有0b a -=，即b a =.……………………………2分 （2）由（1）可知()ln a
f x x ax x
=-+
，且0x >， 222
1'()a ax x a
f x a x x x -+-∴=--=
，………………………………………………………3分 >
令2
()g x ax x a =-+-，
要使)(x f 存在两个极值点1x ，2x ，则须有()y g x =有两个不相等的正数根，
20102140(0)0a a
a g a >⎧⎪⎪>⎪∴⎨⎪∆=->⎪=-<⎪⎩或20
102140
(0)0
a a a g a <⎧⎪⎪>⎪⎨⎪∆=->⎪=->⎪⎩，解得102a <<或无解，………………………5分 a ∴的取值范围102a <<,可得2
1028
a <<， 由题意知2ln 2
2ln 2222ln )2(3
322--+=+-=a a a a a a a f ，
令32()2ln ln 22x h x x x =+--，则2422
223344
'()22x x x h x x x x
-+-=--=， 而当1
(0,
)2
x ∈时，4434434(1)0x x x x -+-=---<，即'()0h x <， ()h x ∴在1
(0,
)2
上单调递减，
—
∴1163
()()2ln 24ln 23ln e 021616
h x h >=-+-
->->， 即102a <<时，0)2
(2
>a f ．……………………………………………………………7分
（3）∵222
1'()a ax x a f x a x x x
-+-=--=，2
()g x ax x a =-+-， 令0)('=x f
得：1x =
2x =，由（2）知210<<a 时，()y g x =的对
称轴1
(1,)2x a
=
∈+∞，2140a ∆=->，(0)0g a =-<， ∴21x >，又121x x =，可得11x <，
此时，)(x f 在),0(1x 上单调递减，),(21x x 上单调递增，),(2∞+x 上单调递减， 所以()y f x =最多只有三个不同的零点,…………………………………………………10分 又∵(1)0f =，
…
∴()f x 在)1,(1x 上递增，即1[,1)x x ∈时，()0f x <恒成立，
根据（2）可知0)2(2>a f 且21028a <<所以21(,1)2a x ∉，即2
1(0,)2a x ∈
∴2
01(,)2
a x x ∃∈，使得0)(0=x f ，……………………………………………………12分
由0101x x <<<，得011x >，又0)1(,0)()1(00
==-=f x f x f ， ∴()f x 恰有三个不同的零点：0
01
,
1,x x . 综上所述，()y f x =恰有三个不同的零点．………………………………………………14分
【说明】本小题主要考查函数、导数、不等式证明等知识,包括函数的极值、零点，二次方程根的分布等知识，考查考生综合运用数学知识解决问题的能力，同时也考查函数与方程思想、化归与转化思想. 11、
"
12、解：（1）由题意得：[][][]⎪⎩
⎪⎨⎧-=->->-3......)(2......01. (02222)
2a x ak x a x ak x ......2分（全对2分，不全对最多1分）
易知[1][3]成立时，[2]显然成立，所以只需解[1][3]。

由[3]得：)1(22
k a kx +=......[4]......3分 当0=k 时，由0>a 知[4]无解；......4分
所以0≠k ，k
k a x 2)
1(2+=，代入[1]得：
0)
1(02)1(2)1(2)1(2222>-⇒>-+⇒>+⇒>+k
k k k k k k k ak k k a
0)1)(1(>+-k k k 即......6分
~
)1,0()1,(⋃--∞∈∴k ......7分
（2）42)()()(22-+-=-='k kx x x kf x g x h ......8分
2
716k -=∆......9分
121212120()077
()..........0()0()0,()(,)(,)()10111().........3k k h x h x R k h x x x x x x x h x h x x x h x x x '≤-≥∆≤≥∴-
<<∆>'==='<>>-∞+∞当或者，恒成立，在上单调递增；当，令，得当或者时，所以在和单调递增；同理，在，单调递减,分分
分
();()(,);7722(22
k k h x R k k k h x k k ∴≤≥+-<<-∞+∞+当的递增区间为当的递增区间为递减区间为分
13、（1）解：当2a =时，由已知得2
()ln f x x x
=-，故212()f x x x '=+，………...… 2分
所以'(1)123f =+=，又因为2
(1)ln121
f =-
=-， 所以函数()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为23(1)y x +=-，
&
即350x y --=；…………………………………………………………... 5分 （2）解：由()2f x x >-+，得ln 2a
x x x
-
>-+，又(1,)x ∈+∞， 故2ln 2a x x x x <+-． …………………………7分 设函数2
()ln 2g x x x x x =+-， 则1
'()ln 22ln 21g x x x x x x x
=+⋅
+-=+-． ………….…..……… 8分 因为(1,)x ∈+∞， 所以ln 0x >，210x ->，
所以当(1,)x ∈+∞时，'()ln 210g x x x =+->，…………………… 10分
（
故函数()g x 在(1,)+∞上单调递增．
所以当(1,)x ∈+∞时，()(1)1ln11211g x g >=⨯+-⨯=-．. …….… 12分
因为对于任意(1,)x ∈+∞，都有()2f x x >-+成立，
所以对于任意(1,)x ∈+∞，都有()a g x <成立．
所以1a ≤-． ………………………………..……… 14分
14、解：（本小题满分14分）
（1）当时1=a ，x
x x x f 2ln )(++
=，易得()f x 的定义域为(0,)+∞ …………1分 22221)('x
x x x x f -=-=∴ ……………2分 ∴当)2,0(∈x 时，()0f x '<，此时()f x 在)2,0(上单调递减；
当),2(+∞∈x 时，()0f x '>，此时()f x 在),2(+∞上单调递增； …………3分
∴当2=x 时，()f x 取得极小值22ln )2(+=f ∴()f x 的极小值为22ln )2(+=f …4分 (2)函数)0(6
216)(')(2>--=-=x x x a x x x f x g 令()0g x =，得)0(1223>-=x x x a ，设)0(12
2)(3
≥-=x x x x ϕ …………5分 )2)(2(4
1421)('∴2-+-=-=x x x x ϕ 当)2,0(∈x 时，()0x ϕ'>，此时()x ϕ在)2,0(上单调递增； 当),2(+∞∈x 时，()0x ϕ'<，此时()x ϕ在),
2(+∞上单调递减； 所以2=x 是()x ϕ的唯一极值点，且是极大值点，因此2=x 也是()x ϕ的最大值点，
∴()x ϕ的最大值为3
2)2(=ϕ，又(0)0ϕ=，结合
分 ① 当32>a 时，函数()g x ② 3
2=a 时，函数()g x ③当3
20<<a 时，函数()g x ④0≤a 时，函数()g x 综上所述，当32>a 时，函数()g x 3
有且仅有一个零点；当3
20<
<a 时，函数()g x 有两个零点. …………9分 （3）对任意1)()(,0<-->>n m n f m f n m 恒成立，等价于n n f m m f -<-)()(恒成立……10分
设)0()2(ln )()(>-++=-=x x x
x a x x x f x h 等价于)(x h 在(0,)+∞上单调递减 …11分 0121)('2≤--=
∴x
a x x h 在(0,)+∞恒成立 ………………12分 )0(8
1)21(21212122>+--=+-≥∴x x x x a 恒成立 ………………13分 8
1≥∴a （对81=a ，0)('=x h 仅在12x =时成立），a ∴的取值范围是),81[+∞ 14分 15、【解析】(Ⅰ)函数()f x 的定义域是()(),,a a -∞+∞,…………………………1分 对()f x 求导得:()()
()2e 1x x a f x x a --'=-,…………………2分
由()0f x '>得1x a >+；由()0f x '<得x a <或1a x a <<+,…………………4分
所以()f x 在(),a -∞,(),1a a +上单调递减,在()1,a ++∞上单调递增.…………………5分
(Ⅱ)由(Ⅰ)得()2
e 24
a f a +'+=……………………………………6分 令232641274
a a e a a ++++-=得 32261270a a a a e +++++=………① 令2a t +=,则有3
10t e t +-=,……………………………8分
令()31t h t e t =+-,则()203t h t e t '=+>,……………………………9分
故()h t 是R 上的增函数,又()00h =,因此0是()h t 的唯一零点,即2-是方程①的唯一实数解, 故存在唯一实数2a =-满足题设条件.…………………………………………………………10分 (Ⅲ)因为()()1f x x a f x x a '--=-,故不等式()()
1f x k x a f x '+-≥可化为11x a k x a x a --+-≥-, 令x a t -=,则0t ≠,……………………………11分 且有111k t t ≥--
………12分 ① 若0t <,则1
kt t -≥,即21k t
≥-,此时0k ≥； ② 若01t <≤,则12kt t ≥-,即2221111k t t t ⎛⎫≥-=--+ ⎪⎝⎭
,此时1k ≥； ③ 若1t >,则1kt t ≥,即21k t
≥,此时1k ≥. 故使不等式恒成立的k 的取值范围是[)1,+∞.………………………………………………14分。