高中数学利用圆锥曲线的定义解决试题的应用课件
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圆锥曲线专题题型小结ppt课件
2、两条直线 l1 : y k1x b1,l2 : y k2x b2 垂直：则 k1k2 1
3、一元二次方程根与系数的关系：若一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) 有两
个根 x1, x2 ，
则
x1
x2
b a
, x1x2
c a
。
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
★ 变式1：过点P（8,1）的直线与双曲线 x2 y2 1
4
相交于A,B两点，且P为AB的中点，这样的直线 AB是否存在，如果存在，求出直线AB的直线方 程，若不存在，请说明理由。
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
设
E(xE ,
yE ), F (xF ,
yF ) ,则
xE
(3 2k)2 12 3 4k 2
,
yE
k xE
3 2
k
以 - k代k得：xF
(3 2k)2 12 3 4k 2
,
yF
-k xF
3 2
k
KEF
yF xF
yE xE
k(xF xE ) 2k xF xE
1 2
即直线 EF 的斜率为定值，其值为 1 2
直线与圆锥曲线的位置关系
1.有关位置关系的问题：
例 1:已知直线 l : y kx 1与椭圆 C : x2 y2 1 4m
始终有交点，求 m 的取值范围
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
利用圆锥曲线的定义解题
= z - 5 . 又依题意可得 | z + 5| + | z - 5| = 6 . 由椭圆的定义知 , 复数 z 对应的点的轨迹是一 个椭圆 , 其直角坐标方程为 = 1. 6 2 6 9 4 ) ( ) 2 - ( 5) 2 2 2 θ, y = 2sinθ ( 0 ≤ θ< 2 π ) ,则 设 x = 3cos θ- sinθ- 2| | 2 x - 3 y - 12| = 6| cos π = 6| 2cos (θ+ ) - 2| , 4
( A) ( C)
x2
25
x
2
+
y2
9
y
2
= 1 . (B)
x2
9
x
2
+
y2
25
y
2
= 1.
( D) + = 1. + = 1. 16 25 25 16 2 2 过抛物线 y = 4 x 的焦点作直线 交 抛 物 线 于 A ( x 1 , y1 ) , B ( x 2 , y2 ) 两 点 , 若 x 1 + x 2 = 6 , 则
( ) | AB| = ( A) 10 . (B) 8 . ( C) 6 . ( D) 4 . 3 △A B C 中底边 B C = 12 , 其它两边 A B 和 A C 上 中线的和为 30 , 求此三角形重心 G 的轨迹方程 . 答案
1 ( D) . 2 ( B ) . 3 + = 1. 以 B C 100 64 所在直线为 x 轴 , B C 中垂线为 y 轴建立坐标系 .
n
n →∞
2 - 3
n
(
2 n ) - 3 3
n
= -
( A) ( C)
x2
25
x
2
+
y2
9
y
2
= 1 . (B)
x2
9
x
2
+
y2
25
y
2
= 1.
( D) + = 1. + = 1. 16 25 25 16 2 2 过抛物线 y = 4 x 的焦点作直线 交 抛 物 线 于 A ( x 1 , y1 ) , B ( x 2 , y2 ) 两 点 , 若 x 1 + x 2 = 6 , 则
( ) | AB| = ( A) 10 . (B) 8 . ( C) 6 . ( D) 4 . 3 △A B C 中底边 B C = 12 , 其它两边 A B 和 A C 上 中线的和为 30 , 求此三角形重心 G 的轨迹方程 . 答案
1 ( D) . 2 ( B ) . 3 + = 1. 以 B C 100 64 所在直线为 x 轴 , B C 中垂线为 y 轴建立坐标系 .
n
n →∞
2 - 3
n
(
2 n ) - 3 3
n
= -
湘教版高中数学选修1-1文科课件 2.4 圆锥曲线的应用课件
(2)参数法：根据条件，将所求动点的坐标用恰当的参数 (如角度、直线斜率等)解析式表示出来，再利用某些关系式消 去参数得到轨迹方程．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
3．长度为1的线段AB在x轴上移动，点P(0,1)与点A连成直线 PA，点Q(1,2)与点B连成直线QB，求直线PA与直线QB交点的轨迹 方程．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
典例剖析 题型一 圆锥曲线在实际中的应用
【例1】 某工程要挖一个横截面为半圆的柱形隧道，挖出的 土只能沿道路AP、BP运到P处(如图)，PA＝100 m，PB＝150 m， ∠APB＝60°，试说明怎样运土才能最省工．
课前探究学习
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活页规范训练
解 以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立直角
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
(3)数学求解．根据所建立数学关系的知识系统，解出结果， 从而得到实际问题的解答．
解题的一般思想是：
课前探究学习
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活页规范训练2．圆锥曲线的应问题 解答圆锥曲线的应用问题时，要善于抓住问题的实质，通 过建立数学模型，实现实际问题向数学问题的顺利转化．要注 意认真分析数量间的关系，紧扣圆锥曲线的概念，充分利用圆 锥曲线的几何性质，确定正确的问题解决途径，灵活运用解析 几何的常用数学方法，求得最终完整的解答． 3．注意数学建模的方法，理解函数与方程、等价转化、 分类讨论等数学思想．
的解，
消去参数a，得点M的轨迹方程为(2－x)y＝2.
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
题型四 直线与圆锥曲线的位置关系问题
【例4】 (1)当k＝________时，曲线y＝k(x＋1)与y2＝4x恰有
课前探究学习
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活页规范训练
3．长度为1的线段AB在x轴上移动，点P(0,1)与点A连成直线 PA，点Q(1,2)与点B连成直线QB，求直线PA与直线QB交点的轨迹 方程．
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活页规范训练
典例剖析 题型一 圆锥曲线在实际中的应用
【例1】 某工程要挖一个横截面为半圆的柱形隧道，挖出的 土只能沿道路AP、BP运到P处(如图)，PA＝100 m，PB＝150 m， ∠APB＝60°，试说明怎样运土才能最省工．
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解 以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立直角
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(3)数学求解．根据所建立数学关系的知识系统，解出结果， 从而得到实际问题的解答．
解题的一般思想是：
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活页规范训练2．圆锥曲线的应问题 解答圆锥曲线的应用问题时，要善于抓住问题的实质，通 过建立数学模型，实现实际问题向数学问题的顺利转化．要注 意认真分析数量间的关系，紧扣圆锥曲线的概念，充分利用圆 锥曲线的几何性质，确定正确的问题解决途径，灵活运用解析 几何的常用数学方法，求得最终完整的解答． 3．注意数学建模的方法，理解函数与方程、等价转化、 分类讨论等数学思想．
的解，
消去参数a，得点M的轨迹方程为(2－x)y＝2.
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
题型四 直线与圆锥曲线的位置关系问题
【例4】 (1)当k＝________时，曲线y＝k(x＋1)与y2＝4x恰有
高三第二轮专题复习课案例分析——圆锥曲线定义的应用
２ 通过问题探究 ，掌握解决与圆锥曲线定义相 ． ２ 关问题的基本方法 求动 点 轨迹 ，如 果 出现 两 定点 或一 条 定直 线 ，
可 以通 过 图形 的几何 性 质 ，如线 段 中垂 线 、 角平 分 线 、 切线 长 等性 质 ，应 用平 面 几何 思 想 ，把 问题 转 化 为应 用 圆锥 曲线 的定义 来 求 轨迹 ，也是 解 决此 类 问题 的通 法 ．
切 线 方程为 Ｙ＝２ 一２ ｔ ． ｐ
Ｍ （ Ｙ） 因为 ９＝Ａ Ａ，由定 比分 点 坐标公 式 得 ｘ， 则 Ｑ
高三第二轮专题复 习课案例分析
— —
圆锥 曲线 定义 的应 用
肖
骁
福建 省 厦 门外 国语 学校 （６０ ２ ３ １１ ） 构 ， 重应 试训 练 ，导致 我省 基础教 育 大大 落后 ． 注 ”
一
３。 Ｙ ）＋ ＝４ 外切 的动 圆 圆心 Ｐ轨迹 方程 ．
段 为直 径 的圆 ，与 以双 曲线 实 轴 为 直径 的 圆相
２１ ０２年第 ３ 期
福建 中学数 学
１ ７
切 ．（ 证法 与例 ２相 似 ） （）连结 抛物 线 上任一 点与 其 中一个 焦点 的线 ２ 段 为 直径 的 圆 ，与 Ｙ轴相 切 ．
ａ— Ｄ
Ｐ作
方程 ．
的平分线上的垂线于 Ｇ，求点 Ｇ的轨迹
探 究 ３ 已知 Ａ Ｂ Ａ Ｃ的内切 圆边 Ｂ Ｃ于 Ｄ ，且
Ｂ Ｄ＝８， Ｃ ＝２，求点 的轨迹 方程 ． Ｄ
探 究 ４ 中心在 原点 ，焦 点在 Ｘ 的双 曲线 的两 轴
焦点 ，ｃ， 是双曲线右支上任意一点 ， 则
关的通性 问题 ．这样不仅可以提高综合解题能力 ， 同 时可 以激 发 学 生 的兴 趣 和热 情 ，从而 提 升学 生的 数学素养 ． 例 ３求证连结椭圆上任一点与其中一个焦点的
圆锥曲线中的定点、定值问题-高中数学总复习课件
故 m ＝3 k ，代入 y ＝ kx ＋ m ，得 y ＝ k （ x ＋3），过定点（－
3，0）.
综上，直线 PQ 过定点（－3，0）.
高中总复习·数学
参数法求定值
【例3】 已知 O 为坐标原点，过点 M （1，0）的直线 l 与抛物线 C ：
y 2＝2 px （ p ＞0）交于 A ， B 两点，且 · ＝－3.
程为 y ＝±（ x －1），
2
联立 x 2－ ＝1求解可得 x ＝－3，直线 PQ 过点（－3，0）.
2
当直线 PQ 斜率存在时，设直线 PQ 的方程为 y ＝ kx ＋ m ， P （ x
1， y 1）， Q （ x 2， y 2），
高中总复习·数学
2
代入 x 2－ ＝1，整理得（ k 2－2） x 2＋2 kmx ＋ m 2＋2＝0，易知Δ
2
2
2
3
2
2
代入 ＋ ＝1，得（3＋4 k ） x ＋4 k （3－2 k ） x ＋4（ －
4
3
2
k ）2－12＝0.
3
设 E （ xE ， yE ）， F （ xF ， yF ），∵点 A （1， ）在椭圆上，
2
∴ xE ＝
3
−
2
4（
）2 −12
3+4 2
，
高中总复习·数学
3
yE ＝ kxE ＋ － k .
圆锥曲线中的定点、定值问题
处理圆锥曲线中定点问题的方法：（1）探索直线过定点时，可
设出直线方程为 y ＝ kx ＋ m ，然后利用条件建立关于 k ， m 的等量关
系进行消元，借助于直线系的思想找出定点；（2）从特殊情况入
3，0）.
综上，直线 PQ 过定点（－3，0）.
高中总复习·数学
参数法求定值
【例3】 已知 O 为坐标原点，过点 M （1，0）的直线 l 与抛物线 C ：
y 2＝2 px （ p ＞0）交于 A ， B 两点，且 · ＝－3.
程为 y ＝±（ x －1），
2
联立 x 2－ ＝1求解可得 x ＝－3，直线 PQ 过点（－3，0）.
2
当直线 PQ 斜率存在时，设直线 PQ 的方程为 y ＝ kx ＋ m ， P （ x
1， y 1）， Q （ x 2， y 2），
高中总复习·数学
2
代入 x 2－ ＝1，整理得（ k 2－2） x 2＋2 kmx ＋ m 2＋2＝0，易知Δ
2
2
2
3
2
2
代入 ＋ ＝1，得（3＋4 k ） x ＋4 k （3－2 k ） x ＋4（ －
4
3
2
k ）2－12＝0.
3
设 E （ xE ， yE ）， F （ xF ， yF ），∵点 A （1， ）在椭圆上，
2
∴ xE ＝
3
−
2
4（
）2 −12
3+4 2
，
高中总复习·数学
3
yE ＝ kxE ＋ － k .
圆锥曲线中的定点、定值问题
处理圆锥曲线中定点问题的方法：（1）探索直线过定点时，可
设出直线方程为 y ＝ kx ＋ m ，然后利用条件建立关于 k ， m 的等量关
系进行消元，借助于直线系的思想找出定点；（2）从特殊情况入
圆锥曲线定义在解题中的应用
圆锥曲线中有大量的最值问题 其中有一部分最值间题需用圆
焦 A和B是以 为 心, 以I } 点, 圆 鱿
为半径的圆与该双曲线左支的两个 交点 , 且 ! 凡妞 是等边三角形, 则 双曲线的离心率为 (
A C
锥 曲线的定义转化后才能较好解决 , 因此, 巧用定义将问题进行转 化是解决这类最值问题的关键
例3: 已 知A (4 , o )
关键词 : 圆锥 曲线; 离心率; 最值 ; 轨迹 中图分类号 : 0 187 .1 文献标识码 : A
最
文章编号 : 10 8 一 75 7 0 6
20 10 ) 0 1一 9 3一 0 02
现行高中教材中的圆锥曲线包括椭圆 双曲线和抛物线 , 三种 圆锥曲线 的定义既是教材的重要的基本 内容 , 也是解决许多问题的
(a > b > 0 ) 的左焦点F 的直线 交椭 圆于P Q 两点 , 在椭圆
入 浑
的 左准 线上 存在 一点 R , 使 !P Q R 为正三角形 , 求椭圆离
心率的取值范围
& 析 l: 如 图所 示 , 取 P Q 解
的中点M , 作P P I M M . Q Q : 垂直于左 准线 , 垂 足分别 为
.} ∀ A引一 引一 即( l 一 } 注 2 a 万一 2 )
答案 : D
#! AI} BJ M + M 的最大值为12 点评 : 此题的解法很多, 以上解法最为简捷
可见, 熟悉 圆锥
点评 : 求离心率的值关键是得出a与c的关系, 这里只需用双曲 线 的第一定义便可得出a与c 的关系, 进而求出双曲线的离J 曲线的离心率
C H E N G S e n 一w a n g
( W uyuan T i anyou H i Sohool, W uyuan Ji gh an罗i 33320 , China ) , 0
焦 A和B是以 为 心, 以I } 点, 圆 鱿
为半径的圆与该双曲线左支的两个 交点 , 且 ! 凡妞 是等边三角形, 则 双曲线的离心率为 (
A C
锥 曲线的定义转化后才能较好解决 , 因此, 巧用定义将问题进行转 化是解决这类最值问题的关键
例3: 已 知A (4 , o )
关键词 : 圆锥 曲线; 离心率; 最值 ; 轨迹 中图分类号 : 0 187 .1 文献标识码 : A
最
文章编号 : 10 8 一 75 7 0 6
20 10 ) 0 1一 9 3一 0 02
现行高中教材中的圆锥曲线包括椭圆 双曲线和抛物线 , 三种 圆锥曲线 的定义既是教材的重要的基本 内容 , 也是解决许多问题的
(a > b > 0 ) 的左焦点F 的直线 交椭 圆于P Q 两点 , 在椭圆
入 浑
的 左准 线上 存在 一点 R , 使 !P Q R 为正三角形 , 求椭圆离
心率的取值范围
& 析 l: 如 图所 示 , 取 P Q 解
的中点M , 作P P I M M . Q Q : 垂直于左 准线 , 垂 足分别 为
.} ∀ A引一 引一 即( l 一 } 注 2 a 万一 2 )
答案 : D
#! AI} BJ M + M 的最大值为12 点评 : 此题的解法很多, 以上解法最为简捷
可见, 熟悉 圆锥
点评 : 求离心率的值关键是得出a与c的关系, 这里只需用双曲 线 的第一定义便可得出a与c 的关系, 进而求出双曲线的离J 曲线的离心率
C H E N G S e n 一w a n g
( W uyuan T i anyou H i Sohool, W uyuan Ji gh an罗i 33320 , China ) , 0
北师版高中数学选择性必修第一册精品课件 第2章 圆锥曲线 本章总结提升
综上可知,t=2.
4 2
f(x)min=1,∴- t +4=1,
5
规律方法 1.应用定义解题时注意圆锥曲线定义中的限制条件.
2.涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时,常用定义结
合解三角形的知识来解决.
3.在求有关抛物线的最值问题时,常利用定义把到焦点的距离转化为到准
线的距离,结合几何图形,利用几何意义去解决.
∴直线 m:y=-kx,与直线 l:y=k(x-1)的交点为 P
1 1
,
2 2
1
,即点 P 在定直线 x=2上.
规律方法
圆锥曲线中的定点(值)问题的计算方法
(1)直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定点(值).探
索直线过定点时,可设直线方程为y=kx+b,然后利用条件建立关于b,k的等
变式训练 3 已知 P
2
为椭圆 2
点,|PF1|+|PF2|=4,离心率为
+
2
=1(a>b>0)上任一点,F
1,F2 为椭圆的焦
2
2
.
2
(1)求椭圆的方程;
(2)若直线l:y=kx+m(m≠0)与椭圆的两交点为A,B,线段AB的中点C在直线
1
y= 2 x上,O为坐标原点,当△OAB的面积等于 2 时,求直线l的方程.
量关系进行消元,借助直线系方程找出定点.
(2)从特殊情况入手,先探求定点(值),再证明此定点(值)与变量无关.
①有关斜率的定值问题,包含证明动直线的斜率为定值,不同直线斜率的
关系(比如说:k1+k2,k1k2,
1
1
1
, +
4 2
f(x)min=1,∴- t +4=1,
5
规律方法 1.应用定义解题时注意圆锥曲线定义中的限制条件.
2.涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时,常用定义结
合解三角形的知识来解决.
3.在求有关抛物线的最值问题时,常利用定义把到焦点的距离转化为到准
线的距离,结合几何图形,利用几何意义去解决.
∴直线 m:y=-kx,与直线 l:y=k(x-1)的交点为 P
1 1
,
2 2
1
,即点 P 在定直线 x=2上.
规律方法
圆锥曲线中的定点(值)问题的计算方法
(1)直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定点(值).探
索直线过定点时,可设直线方程为y=kx+b,然后利用条件建立关于b,k的等
变式训练 3 已知 P
2
为椭圆 2
点,|PF1|+|PF2|=4,离心率为
+
2
=1(a>b>0)上任一点,F
1,F2 为椭圆的焦
2
2
.
2
(1)求椭圆的方程;
(2)若直线l:y=kx+m(m≠0)与椭圆的两交点为A,B,线段AB的中点C在直线
1
y= 2 x上,O为坐标原点,当△OAB的面积等于 2 时,求直线l的方程.
量关系进行消元,借助直线系方程找出定点.
(2)从特殊情况入手,先探求定点(值),再证明此定点(值)与变量无关.
①有关斜率的定值问题,包含证明动直线的斜率为定值,不同直线斜率的
关系(比如说:k1+k2,k1k2,
1
1
1
, +
《高中数学课件：圆锥曲线》
双曲线：标准方程
学习双曲线的标准方程形式，了解如何将一个双曲线的方程转换为标准形式。标准方程可以反映双曲线的几何 特征。
双曲线：图像和实例
通过图像和实例来观察双曲线的形状和性质。了解双曲线在数学和物理学中 的应用，培养对双曲线的直观理解。
抛物线：定义和性质
深入研究抛物线的定义、特点和数学性质。抛物线是圆锥曲线中的一种特殊 类型，具有独特的对称性和几何特征。
《高中数学课件：圆锥曲 线》
探索圆锥曲线的奥秘，从一元二次方程到椭圆、双曲线、抛物线。学习定义、 性质、标准方程和图像，提供实例加深理解。
什么是圆锥曲线？
圆锥曲线是由切割一个圆锥而得到的曲线，包括椭圆、双曲线和抛物线。它们在数学和自然界中广泛存在，具 有丰富的几何性质。
一元二次方程：从二次方程到 圆锥曲线
椭圆：长短轴与半径
学习如何确定椭圆的长短轴以及如何计算椭圆的半径。这些量可以帮助我们对椭圆的大小和形状有一个直观的 了解。
椭圆：标准方程
探索椭圆的标准方程形式，了解如何将一个椭圆的方程转换为标准形式。标 准方程提供了对椭圆的几何特征更清晰的描述。
Hale Waihona Puke 椭圆：图像和实例通过图像和实例来观察椭圆的形状和性质。了解椭圆在现实生活和科学领域 中的应用，培养对椭圆的直观理解。
抛物线：焦点和直线方程
揭示抛物线的焦点和直线方程。理解焦点在抛物线上的重要性，并掌握如何 通过直线方程与抛物线进行联系。
抛物线：标准方程
学习抛物线的标准方程形式，了解如何将一个抛物线的方程转换为标准形式。 标准方程提供了对抛物线的基本特征更清晰的描述。
抛物线：图像和实例
通过图像和实例来观察抛物线的形状和性质。了解抛物线在物理学、工程学 和天文学中的应用，加深对抛物线的认识。
湘教版高中数学选修高考理科一轮复习第单元圆锥曲线性质的探讨与几何证明的简单应用课件
A．射影为线段时，其长度为8 B．射影为椭圆时，其短轴长小于8 C．射影为椭圆时，其长轴长为8 D．射影为圆时，其直径为10
解析： 利用射影的概念推理可知， A、B、C均正确，而D选项，射影为圆时， 其直径为8，故选D.
2.如果一个三角形的平行投影还是一个
三角形，则下列结论正确的是
A．内心的平行投影还是内心 B．重心的平行投影还是重心 C．垂心的平行投影还是垂心 D．外心的平行投影还是外心
PQ1
cos，所以
PQ1 PA
cos cos
.
又因为PQ1
PF1，
，PF1
PA
1，
即PF1 PA，动点P到定点F1的距离等于它到
直线m的距离，
故当 时，平面与圆锥的交线为抛物线．
评析：定理中的三个结论的证明思路如出 一辙，证明时应考虑到他们各自的特征， 比如此例中只能作出一个Dandelin球， 而证明结论3(截线为双曲线)的双球一个在 圆锥面顶点的上面，另一个在顶点的下面．
题型四 几何证明简单应用
例4.在一个底面半径为3，高为4的圆锥 内有一半径为1的球，求球上的点与底 面的距离的最大值．
分析： 由于圆锥与球都是旋转体，所以 它们的关系可以用它们的轴截面来分析．
解析： 要使球上的点到底面 的距离最大，则应使球与圆 锥面相切．如图是轴截面， 则EF的长即为所求的最长 距离．设球心为O，则设圆与母线的切点为C， OC SB.所以SOC∽SBF，则 OC OC ，
所以 O1E O1F1 ， EO2 O2 F2
即 O1E 1， 8 O1E 5
所以O1E
4 3
.
解析：所以EF1
7 3
解析： 利用射影的概念推理可知， A、B、C均正确，而D选项，射影为圆时， 其直径为8，故选D.
2.如果一个三角形的平行投影还是一个
三角形，则下列结论正确的是
A．内心的平行投影还是内心 B．重心的平行投影还是重心 C．垂心的平行投影还是垂心 D．外心的平行投影还是外心
PQ1
cos，所以
PQ1 PA
cos cos
.
又因为PQ1
PF1，
，PF1
PA
1，
即PF1 PA，动点P到定点F1的距离等于它到
直线m的距离，
故当 时，平面与圆锥的交线为抛物线．
评析：定理中的三个结论的证明思路如出 一辙，证明时应考虑到他们各自的特征， 比如此例中只能作出一个Dandelin球， 而证明结论3(截线为双曲线)的双球一个在 圆锥面顶点的上面，另一个在顶点的下面．
题型四 几何证明简单应用
例4.在一个底面半径为3，高为4的圆锥 内有一半径为1的球，求球上的点与底 面的距离的最大值．
分析： 由于圆锥与球都是旋转体，所以 它们的关系可以用它们的轴截面来分析．
解析： 要使球上的点到底面 的距离最大，则应使球与圆 锥面相切．如图是轴截面， 则EF的长即为所求的最长 距离．设球心为O，则设圆与母线的切点为C， OC SB.所以SOC∽SBF，则 OC OC ，
所以 O1E O1F1 ， EO2 O2 F2
即 O1E 1， 8 O1E 5
所以O1E
4 3
.
解析：所以EF1
7 3
人教A版高中数学选择性必修第一册第3章探究课3圆锥曲线的光学性质及其应用课件
将点A的坐标代入方程y2＝2px(p>0)，解得p≈70， 此时焦点F的坐标约为(35，0)． 因此，灯泡应安装在对称轴上距顶点约35 mm 处．
第三章ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ圆锥曲线的方程
探究课3 圆锥曲线的光学性质及其 应用
1．抛物线的光学性质 (1)焦点：光线的聚集点． (2) 抛 物 面 ： 由 抛 物 线 绕 它 的 对 称 轴 旋 转 所 得 到 的 曲 面 ， 叫 做 抛 物 面． (3)抛物线的性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后， 反射光线平行于抛物线的轴． (4)抛物线性质的实际应用： 一束平行于抛物线的轴的光线，经过抛物面的反射集中于它的焦 点．人们应用这个原理，设计了太阳灶等生活用具．
A．0.72 m √B．1.44 m C．2.44 m D．2.88 m
2．汽车前灯的反光曲面与轴截面的交线为抛物线，灯口直径为197 mm，反光曲面的顶点到灯口的距离是69 mm．由抛物线的性质可知， 当灯泡安装在抛物线的焦点处时，经反光曲面反射后的光线是平行 光线．为了获得平行光线，应怎样安装灯泡？(精确到1 mm)
[解] 如图，在反光镜的轴截面内建立平面直角坐标系，使反光镜 的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合，x轴垂直于镜口圆的直径．
1．(2022·河南省开封市模拟)一种卫星接收天线如图1所示，其曲 面与轴截面的交线为抛物线．在轴截面内的卫星波束呈近似平行状 态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点F处，如图2所 示．已知接收天线的口径AB为4.8 m，深度为1 m．若P为接收天线 上一点，则点P与焦点F间的最短距离为( )
2．椭圆的光学性质 从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线交于椭 圆的另一个焦点上．胶片放映机的聚光灯反射镜的形状是旋转椭圆 面． 3．双曲线的光学性质 从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线是 散开的，它们好像是从另一个焦点射出的．
高中三年级数学 圆锥曲线的统一定义及其应用
问题1 请建立适当的直角坐标系，并求抛物线的方程；
问题2 刘洋同学身高1.7 m, 若在这次跳投中，球在 头顶上方0.25 m处出手， 问：球出手时，他跳离 地面的高度是多少？
3.5m 2.5m
4m
3.05 m
三 归纳小结
1、圆锥曲线的统一定义 2、利用统一定义解决求轨迹，求最值等问题 3、圆锥曲线在生活中的作用
一 创设情境 问题1:圆锥曲线形成的方法： 问题2：抛物线的定义是什么？ 问题3：当距离不相等，动点的轨迹又是什么呢？
一 创设情境
问题3：根据这个常数的变化，你能总结出椭圆、 双曲线、抛物线与这个常数有什么关系？
问题4：你能根据椭圆、双曲线、抛物线的联系给它们 下一个统一的定义吗？ 圆锥曲线的统一定义：
A y 8x2( x 0) B y2 8x( x 0) C x2 8 y( x 0) D x 8 y2( x 0)
练习一
1.动点P到点F（2，0）的距离比到x=-3的距离小1， 则点P的轨迹为（ ）
A.抛物线 B.双曲线 C.椭圆 D.双曲线的一支
2.动点P(x,y)满足 ( x 1)2 ( y ， 2则)2点P1的
如下图,花坛水池中央有一喷泉,水管OP=1 m,水从 喷头P喷出后呈抛物线状先向上至最高点后落下,若最 高点距水面2m,P距抛物线对称轴1m,则在水池直径 的下列可选值中,最合适的是( )
A 2.5m B 4m
C 5m
D 6m
P O
练习三
如图，有一次,我班刘洋同学在距篮下4m处跳 起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水 平距离2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确 落入篮圈。已知篮圈中心到地面的距离为3.05m.
平面上到一个定点F的距离和它到定直线L的距 离之比是一个常数e的点的轨迹是圆锥曲线。
问题2 刘洋同学身高1.7 m, 若在这次跳投中，球在 头顶上方0.25 m处出手， 问：球出手时，他跳离 地面的高度是多少？
3.5m 2.5m
4m
3.05 m
三 归纳小结
1、圆锥曲线的统一定义 2、利用统一定义解决求轨迹，求最值等问题 3、圆锥曲线在生活中的作用
一 创设情境 问题1:圆锥曲线形成的方法： 问题2：抛物线的定义是什么？ 问题3：当距离不相等，动点的轨迹又是什么呢？
一 创设情境
问题3：根据这个常数的变化，你能总结出椭圆、 双曲线、抛物线与这个常数有什么关系？
问题4：你能根据椭圆、双曲线、抛物线的联系给它们 下一个统一的定义吗？ 圆锥曲线的统一定义：
A y 8x2( x 0) B y2 8x( x 0) C x2 8 y( x 0) D x 8 y2( x 0)
练习一
1.动点P到点F（2，0）的距离比到x=-3的距离小1， 则点P的轨迹为（ ）
A.抛物线 B.双曲线 C.椭圆 D.双曲线的一支
2.动点P(x,y)满足 ( x 1)2 ( y ， 2则)2点P1的
如下图,花坛水池中央有一喷泉,水管OP=1 m,水从 喷头P喷出后呈抛物线状先向上至最高点后落下,若最 高点距水面2m,P距抛物线对称轴1m,则在水池直径 的下列可选值中,最合适的是( )
A 2.5m B 4m
C 5m
D 6m
P O
练习三
如图，有一次,我班刘洋同学在距篮下4m处跳 起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水 平距离2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确 落入篮圈。已知篮圈中心到地面的距离为3.05m.
平面上到一个定点F的距离和它到定直线L的距 离之比是一个常数e的点的轨迹是圆锥曲线。
高中数学(理)一轮复习课件：第9章 第56讲 圆锥曲线的综合应用
解析：抛物线y 2 8x的焦点为 2, 0 ，所以椭圆焦点 2 1 在x轴上且半焦距为2，所以 m 4，所以 m 2 2 2 x y 2 2 2 n 4 2 12，所以椭圆的方程为 2 2 1. 16 12
最值与范围
【例1】 在直线l：x－y＋9＝0上任取一点P，过点P x2 y 2 且以椭圆 ＋ ＝1的焦点为焦点作椭圆． 12 3 1 P点在何处时，所求椭圆的长轴最短？
1 若三角形F0 F1F2是边长为1的等边三角形，求 "果圆"
2 2 2 2 【解析】 1 因为 F c , 0 ， F (0 ， b c ) ， F (0 ，－ b c )， 1 0 2
所以 F0 F1 ＝ (b 2 c 2 ) c 2＝b＝1， F1 F2 ＝2 b 2 c 2＝1， 3 7 2 2 2 于是c ＝ ，a ＝b ＋c ＝ . 4 4 4 2 2 4 2 2 故所求“果圆”的方程为 x ＋y ＝1( x 0)，y ＋ x ＝1( x 0)． 7 3
x y 3.设椭圆C： 2 2 1 a b 0 相应于焦点 a b F 2,0 的准线方程为x 4，则椭圆C的方程 是
x2 y 2 2 1 2 8 4
2
2
.
c 2 2 2 a 8 a 解析:由题意得： ，所以 2 ， 4 b 4 c 2 2 2 a b c 2 2 x y 所以椭圆C的方程为 2 2 1 8 4
得点P的坐标．
【变式练习1】 x2 y 2 我们把由半椭圆 2 2 ＝1( x 0)与 a b y 2 x2 半椭圆 2 2 ＝1( x 0)合成的曲线 b c 称为"果圆"，其中a 2＝b 2＋c 2，a 0， b c 0.F0、F1、F2是相应椭圆的焦点，A1、A2 和B1、B2分别是“果圆”与x、y轴的交点． 的方程； b 2 若 A1 A2 B1B2 ，求 的取值范围； a
最值与范围
【例1】 在直线l：x－y＋9＝0上任取一点P，过点P x2 y 2 且以椭圆 ＋ ＝1的焦点为焦点作椭圆． 12 3 1 P点在何处时，所求椭圆的长轴最短？
1 若三角形F0 F1F2是边长为1的等边三角形，求 "果圆"
2 2 2 2 【解析】 1 因为 F c , 0 ， F (0 ， b c ) ， F (0 ，－ b c )， 1 0 2
所以 F0 F1 ＝ (b 2 c 2 ) c 2＝b＝1， F1 F2 ＝2 b 2 c 2＝1， 3 7 2 2 2 于是c ＝ ，a ＝b ＋c ＝ . 4 4 4 2 2 4 2 2 故所求“果圆”的方程为 x ＋y ＝1( x 0)，y ＋ x ＝1( x 0)． 7 3
x y 3.设椭圆C： 2 2 1 a b 0 相应于焦点 a b F 2,0 的准线方程为x 4，则椭圆C的方程 是
x2 y 2 2 1 2 8 4
2
2
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c 2 2 2 a 8 a 解析:由题意得： ，所以 2 ， 4 b 4 c 2 2 2 a b c 2 2 x y 所以椭圆C的方程为 2 2 1 8 4
得点P的坐标．
【变式练习1】 x2 y 2 我们把由半椭圆 2 2 ＝1( x 0)与 a b y 2 x2 半椭圆 2 2 ＝1( x 0)合成的曲线 b c 称为"果圆"，其中a 2＝b 2＋c 2，a 0， b c 0.F0、F1、F2是相应椭圆的焦点，A1、A2 和B1、B2分别是“果圆”与x、y轴的交点． 的方程； b 2 若 A1 A2 B1B2 ，求 的取值范围； a
高中数学_圆锥曲线的方程与性质教学课件设计
因为 cos 2θ＝1－2sin2θ，所以13＝1－21a2，得 a2＝3. 又 c2＝1，所以 b2＝a2－c2＝2，椭圆 C 的方程为x32＋y22＝1，故选 B.
2.(2018·全国Ⅱ，文，11)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点.若PF1⊥PF2， 且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为
值范围是
√A.[ 5， 6]
C.54，32
B.
25，
6
2
D.52，3
x＋y＝1， 解析 联立ax22＋by22＝1， 得(a2＋b2)x2－2a2x＋a2－a2b2＝0， 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)， Δ＝4a4－4(a2＋b2)(a2－a2b2)>0，化为a2＋b2>1. x1＋x2＝a22＋a2b2，x1x2＝aa2－2＋ab2b2 2. ∵OP⊥OQ， ∴O→P·O→Q＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(x1－1)(x2－1)＝2x1x2－(x1＋x2)＋1＝0，
∴椭圆长轴的取值范围是[ 5， 6].
跟踪演练 3 (1)(2019·合肥质检)已知椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1，
F2，右顶点为 A，上顶点为 B，以线段 F1A 为直径的圆交线段 F1B 的延长线于点 P，
若 F2B∥AP，则该椭圆的离心率是
3 A. 3
2 B. 3
当直线AB的斜率不存在时，2t1＋2t2＝0，此时t1＝－t2， 则 AB 的方程为 x＝2，焦点 F 到直线 AB 的距离为 2－12＝32， ∵kAB＝22tt112－－22tt222＝t1＋1 t2，得直线 AB 的方程为 y－2t1＝t1＋1 t2(x－2t21). 即x－(t1＋t2)y－2＝0. 令y＝0，解得x＝2. ∴直线AB恒过定点D(2，0). ∴抛物线的焦点 F 到直线 AB 的距离小于32， 综上，焦点 F 到直线 AB 距离的最大值为32.
2.(2018·全国Ⅱ，文，11)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点.若PF1⊥PF2， 且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为
值范围是
√A.[ 5， 6]
C.54，32
B.
25，
6
2
D.52，3
x＋y＝1， 解析 联立ax22＋by22＝1， 得(a2＋b2)x2－2a2x＋a2－a2b2＝0， 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)， Δ＝4a4－4(a2＋b2)(a2－a2b2)>0，化为a2＋b2>1. x1＋x2＝a22＋a2b2，x1x2＝aa2－2＋ab2b2 2. ∵OP⊥OQ， ∴O→P·O→Q＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(x1－1)(x2－1)＝2x1x2－(x1＋x2)＋1＝0，
∴椭圆长轴的取值范围是[ 5， 6].
跟踪演练 3 (1)(2019·合肥质检)已知椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1，
F2，右顶点为 A，上顶点为 B，以线段 F1A 为直径的圆交线段 F1B 的延长线于点 P，
若 F2B∥AP，则该椭圆的离心率是
3 A. 3
2 B. 3
当直线AB的斜率不存在时，2t1＋2t2＝0，此时t1＝－t2， 则 AB 的方程为 x＝2，焦点 F 到直线 AB 的距离为 2－12＝32， ∵kAB＝22tt112－－22tt222＝t1＋1 t2，得直线 AB 的方程为 y－2t1＝t1＋1 t2(x－2t21). 即x－(t1＋t2)y－2＝0. 令y＝0，解得x＝2. ∴直线AB恒过定点D(2，0). ∴抛物线的焦点 F 到直线 AB 的距离小于32， 综上，焦点 F 到直线 AB 距离的最大值为32.
人教B版高中数学选择性必修第一册精品课件 第二章 平面解析几何 培优课 圆锥曲线的综合问题
4 5 2
8
∴-2(x1+x2) =x1·x2,即-2[] =,解得
2
2
5(1+2 )
5(1+2 )
2
∴满足条件的直线 l 存在,方程为 y=
2
5
x+ 5 或
2
2
k=± .
2
y=-
2
5
x+ 5 .
2
2
2
2
D: 2
2
的方程为 4 +y2=1.
②(ⅰ)如图,因为直线l:y=-x+m与C交于A,B两
点,且直线PA,PB的斜率都存在,所以m≠±1,
−
2
=1(t>0)的焦点相同,
2
4
+ 2 = 1,
联立
消去 x 化简,得 5y2-2my+m2-4=0,所以 Δ=4m2-20(m2-4)>0,解
2
①因为双曲线的方程为 4
−
2
=1,
2
所以 c2=4+2=6.
因为椭圆过点 A(0, 2),所以 b= 2,
所以 a2=b2+c2=8,所以椭圆 C
2
的方程为 8
2
+ 2 =1.
②当直线 MN 的斜率不存在时,设直线 MN 的方程为 x=t,联立
得 y=±
2
2- 4 ,
因为 kMA+kNA=-1,
2
的方程为 4
+
2
=1.
2
设 P(x,y),
2
则|PM|= (-1) +
1
2
(-2)
2
2
8
∴-2(x1+x2) =x1·x2,即-2[] =,解得
2
2
5(1+2 )
5(1+2 )
2
∴满足条件的直线 l 存在,方程为 y=
2
5
x+ 5 或
2
2
k=± .
2
y=-
2
5
x+ 5 .
2
2
2
2
D: 2
2
的方程为 4 +y2=1.
②(ⅰ)如图,因为直线l:y=-x+m与C交于A,B两
点,且直线PA,PB的斜率都存在,所以m≠±1,
−
2
=1(t>0)的焦点相同,
2
4
+ 2 = 1,
联立
消去 x 化简,得 5y2-2my+m2-4=0,所以 Δ=4m2-20(m2-4)>0,解
2
①因为双曲线的方程为 4
−
2
=1,
2
所以 c2=4+2=6.
因为椭圆过点 A(0, 2),所以 b= 2,
所以 a2=b2+c2=8,所以椭圆 C
2
的方程为 8
2
+ 2 =1.
②当直线 MN 的斜率不存在时,设直线 MN 的方程为 x=t,联立
得 y=±
2
2- 4 ,
因为 kMA+kNA=-1,
2
的方程为 4
+
2
=1.
2
设 P(x,y),
2
则|PM|= (-1) +
1
2
(-2)
2
2
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例5：已知等轴双曲线的两个焦点F1、F2在直线y=x 上，线段F1F2的中点是原点， F1F2 =2c，分别写出 等轴双曲线和两条渐近线的方程。
例6：椭圆的两个焦点为F1、F2，Q为椭圆上任 意一点，求证：从任一焦点向ΔF1QF2的顶点Q 的外角平分线引垂线，垂足为P，则点P的轨迹 为圆（除两点）
例7：双曲线的两个焦点为F1、F2，Q为椭圆上 任意一点，求证：从任一焦点向ΔF1QF2的顶点 Q的内角平分线引垂线，垂足为P，则点P的轨 迹为圆（除两点）
例8：定长为3的线段AB的两端点在抛物线y=x2 上移动，AB的中点为M，求M到y轴的最短距离， 并求点M的坐标。
y
A1AΒιβλιοθήκη M1MFx
B1
B
例9：抛物线y2=4mx(m>0)的焦点为F，以点 C(m+4,0)为圆心、 CF 为半径的圆在x轴上方与 抛物线交于A、B两点
双曲线第二定义可得 | PF2 | e
所以d=
1 e
|PF2|=24
d
例2：已知双曲线的渐近线方程是3x±2y=0， 两个顶点之间距离是6，求双曲线的方程。 例3：抛物线焦点在x轴上，A(m,-3)在抛物线上 且 AF =5，求抛物线的标准方程。
例4：求经过点M(5,-1)，且以F1(2,3)与F2(-1,7)为两 焦点的椭圆方程。
圆锥曲线定义在解题中 的应用
1、圆的定义
平面内到定点的距离等于定长（不为零）的点的轨迹叫圆
2、椭圆的定义
平面内到两个定点F1、F2的距离的和等于常数2a
（2a>|F1F2 |）的点的轨迹叫椭圆。 MF1 MF2 2a
3、双曲线的定义
平面内到两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于 常数2a（2a<|F1F2 |）的点的轨迹叫双曲线。 MF1 MF2 2a
∴M的轨迹是以O1（5，0）、 O2 （-5，0）为焦点的双 曲线的右支
c 5，a 1,b2 24
方程为x2 y2 1x 1
24
(1)求证：以A、B为焦点，并过点F的椭圆的顶点之一 是C。 (2)当m=1/2时，求此椭圆的短轴长。
y
B A
FC
x
例10：已知圆O1：(x-5)2 y2 4，圆O2：(x 5)2 y2 16， 求和这两个圆都外切的动圆圆心的轨迹方程。
解：设动圆圆心为M（x，y），半径为r
MO1 2 r，MO2 4 r MO2 MO1 2
例1, 已知 :双曲线 x2 y 2 1 上一点P 到左焦点的距离为146，4求P点36到右准线的距离
解:由已知可得a=8，b=6，c=10。
因为|PF1|=14〈2a 所以 P为双曲线左支 上一点，设双曲线左、2右焦点分别为F1、F2， P到右准线的距离为d，则由双曲线第一定义可
得|PF2|-|PF1|=16，所以|PF2|=30，又由
4、抛物线的定义
平面内到一定点的距离与到一定直线的距离 （定点不在定直线上）的点的轨迹叫抛物线。
两定点重合 两定点
圆 和
差
到
一定点和一定直线 距离的 （的绝对值） 为常数的
点的轨迹
积
两条定直线
商
圆锥曲线的定义描述的是其最本质的几何特征，因此利用定义解 题，实际上是进行了数形结合，从而使得代数运算得以简化。
例6：椭圆的两个焦点为F1、F2，Q为椭圆上任 意一点，求证：从任一焦点向ΔF1QF2的顶点Q 的外角平分线引垂线，垂足为P，则点P的轨迹 为圆（除两点）
例7：双曲线的两个焦点为F1、F2，Q为椭圆上 任意一点，求证：从任一焦点向ΔF1QF2的顶点 Q的内角平分线引垂线，垂足为P，则点P的轨 迹为圆（除两点）
例8：定长为3的线段AB的两端点在抛物线y=x2 上移动，AB的中点为M，求M到y轴的最短距离， 并求点M的坐标。
y
A1AΒιβλιοθήκη M1MFx
B1
B
例9：抛物线y2=4mx(m>0)的焦点为F，以点 C(m+4,0)为圆心、 CF 为半径的圆在x轴上方与 抛物线交于A、B两点
双曲线第二定义可得 | PF2 | e
所以d=
1 e
|PF2|=24
d
例2：已知双曲线的渐近线方程是3x±2y=0， 两个顶点之间距离是6，求双曲线的方程。 例3：抛物线焦点在x轴上，A(m,-3)在抛物线上 且 AF =5，求抛物线的标准方程。
例4：求经过点M(5,-1)，且以F1(2,3)与F2(-1,7)为两 焦点的椭圆方程。
圆锥曲线定义在解题中 的应用
1、圆的定义
平面内到定点的距离等于定长（不为零）的点的轨迹叫圆
2、椭圆的定义
平面内到两个定点F1、F2的距离的和等于常数2a
（2a>|F1F2 |）的点的轨迹叫椭圆。 MF1 MF2 2a
3、双曲线的定义
平面内到两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于 常数2a（2a<|F1F2 |）的点的轨迹叫双曲线。 MF1 MF2 2a
∴M的轨迹是以O1（5，0）、 O2 （-5，0）为焦点的双 曲线的右支
c 5，a 1,b2 24
方程为x2 y2 1x 1
24
(1)求证：以A、B为焦点，并过点F的椭圆的顶点之一 是C。 (2)当m=1/2时，求此椭圆的短轴长。
y
B A
FC
x
例10：已知圆O1：(x-5)2 y2 4，圆O2：(x 5)2 y2 16， 求和这两个圆都外切的动圆圆心的轨迹方程。
解：设动圆圆心为M（x，y），半径为r
MO1 2 r，MO2 4 r MO2 MO1 2
例1, 已知 :双曲线 x2 y 2 1 上一点P 到左焦点的距离为146，4求P点36到右准线的距离
解:由已知可得a=8，b=6，c=10。
因为|PF1|=14〈2a 所以 P为双曲线左支 上一点，设双曲线左、2右焦点分别为F1、F2， P到右准线的距离为d，则由双曲线第一定义可
得|PF2|-|PF1|=16，所以|PF2|=30，又由
4、抛物线的定义
平面内到一定点的距离与到一定直线的距离 （定点不在定直线上）的点的轨迹叫抛物线。
两定点重合 两定点
圆 和
差
到
一定点和一定直线 距离的 （的绝对值） 为常数的
点的轨迹
积
两条定直线
商
圆锥曲线的定义描述的是其最本质的几何特征，因此利用定义解 题，实际上是进行了数形结合，从而使得代数运算得以简化。