2021学年-有答案-北京市东城区八年级(下)期末数学试卷

2021学年北京市东城区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的
1. 下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）
A.1，√2，√3
B.2，3，4
C.1，2，3
D.4，5，6
2. 某地需要开辟一条隧道，隧道AB的长度无法直接测量．如图所示，在地面上取一点C，使点C均可直接到达A，B两点，测量找到AC和BC的中点D，E，测得DE的长为1100m，则隧道AB的长度为（）
A.3300m
B.2200m
C.1100m
D.550m
3. 平行四边形ABCD中，有两个内角的比为1:2，则这个平行四边形中较小的内角是（）
A.45∘
B.60∘
C.90∘
D.120∘
4. 在“我的中国梦”演讲比赛中，有5名学生参加决赛，他们决赛的最终成绩各不相同．其中一名学生想要知道自己能否进入前3名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这5名学生成绩的( )
A.中位数
B.众数
C.平均数
D.方差
x+1的图象不经过的象限是()
5. 一次函数y=−1
2
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
6. 已知一元二次方程x2−6x+c=0有一个根为2，则另一个根为()
A.2
B.3
C.4
D.−8
7. 已知菱形的两条对角线的长分别是6和8，则菱形的周长是（）
A.36
B.30
C.24
D.20
8. 关于x的一元二次方程(a−5)x2−4x−1=0有实数根，则a满足()
A.a≥1
B.a>1且a≠5
C.a≥1且a≠5
D.a≠5
9. 如图，函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A(m, 3)，则不等式2x≥ax+4的解集为( )
A.x≥3
2B.x≤3 C.x≤3
2
D.x≥3
10. 如图，大小两个正方形在同一水平线上，小正方形从图①的位置开始，匀速向右
平移，到图③的位置停止运动．如果设运动时间为x，大小正方形重叠部分的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）
B．
A. C.
D.
二、填空题：（本题共24分，每小题3分）
写出一个图象经过一，三象限的正比例函数y=kx(k≠0)的解析式（关系式）
________．
甲乙两人8次射击的成绩如图所示（单位：环）根据图中的信息判断，这8次射击中成
绩比较稳定的是________（填“甲”或“乙”）
方程x2−2x=0的根是________．
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，若CD= 6cm，则EF=________cm．
在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的数学问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”这个数学问题的意思是说：“有一个水池，水面是一个边长为1丈（1丈＝10尺）的正方形，在水池正中央长有一根芦苇，芦苇露出水面1尺．如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？”设这个水池的深度是x尺，根据题意，可列方程为________．
如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为(−3, 0)，(2, 0)，点D在y轴上，则点C的坐标是________．
如图，沿折痕AE折叠矩形ABCD的一边，使点D落在BC边上一点F处．若AB=8，且
△ABF的面积为24，则EC的长为________．
在数学课上，老师提出如下问题：
如图1，将锐角三角形纸片ABC(BC>AC)经过两次折叠，得到边AB，BC，CA上的点D，E，F．使得四边形DECF恰好为菱形．
小明的折叠方法如下：
如图2，（1）AC边向BC边折叠，使AC边落在BC边上，得到折痕交AB于D；（2）C点向AB边折叠，使C点与D点重合，得到折痕交BC边于E，交AC边于F．
老师说：“小明的作法正确．”
请回答：小明这样折叠的依据是________．
三、解方程：（本题共8分，每小题8分）
解方程：
（1）2x2−3x+1=0．
（2）x2−8x+1=0．（用配方法）
四、解答题：（本题共18分，21-22每小题4分，23-24每小题4分）
某乡镇企业生产部有技术工人15人，生产部为了合理制定产品的每月生产定额，统计了这15人某月的加工零件个数．（如下表）
（1）写出这15人该月加工零件数的平均数、中位数和众数；
（2）假设生产部负责人把每位工人的月加工零件数定为24件，你认为是否合理？为什么？如果不合理，请你设计一个较为合理的生产定额，并说明理由．
某地区2014年投入教育经费2500万元，2016年投入教育经费3025万元，求2014年至2016年该地区投入教育经费的年平均增长率．
如图，已知E、F分别是▱ABCD的边BC、AD上的点，且BE＝DF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若BC＝10，∠BAC＝90∘，且四边形AECF是菱形，求BE的长．
如图，直线AB与x轴交于点A(1, 0)，与y轴交于点B(0, −2)．
(1)求直线AB的表达式；
(2)若直线AB上的点C在第一象限，且S△BOC=2，求点C的坐标．
五、解答题：（本大题共20分，25-26题每题6分，27题8分）
在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动．将边长为2的正方形ABCD与边长为
3的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一条直线上，AB与AG在同一条直线上．（1）小明发现DG=BE且DG⊥BE，请你给出证明．
（2）如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，请
你帮他求出此时△ADG的面积．
已知：关于x的一元二次方程ax2−2(a−1)x+a−2=0(a>
0)．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1>x2）．若y是关于a的函数，且y= ax2⋅x1，求这个函数的表达式；
（3）将（2）中所得的函数的图象在直线a=2的左侧部分沿直线a=2翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象直接写出：当关于a的函数y=2a+b的图象与此图象有两个公共点时，b的取值范围是________．
如图，将矩形ABCD置于平面直角坐标系中，其中AD边在x轴上，AB=2，直线MN:y=x−4沿x轴的负方向以每秒1个单位的长度平移，设在平移过程中该直线被矩形ABCD的边截得的线段长度为m，平移时间为t，m与t的函数图象如图2所示．
（1）点A的坐标为________，矩形ABCD的面积为________；
（2）求a，b的值；
（3）在平移过程中，求直线MN扫过矩形ABCD的面积S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．
参考答案与试题解析
2021学年北京市东城区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的
1.
【答案】
A
【考点】
勾股定理的逆定理
【解析】
求出两小边的平方和、最长边的平方，看看是否相等即可．
【解答】
A、∵12+(√2)2＝(√3)2，
∴以1、√2、√3为边组成的三角形是直角三角形，故本选项正确；
B、∵22+32≠42，
∴以2、3、4为边组成的三角形不是直角三角形，故本选项错误；
C、∵12+22≠32，
∴以1、2、3为边组成的三角形不是直角三角形，故本选项错误；
D、∵42+52≠62，
∴以4、5、6为边组成的三角形不是直角三角形，故本选项错误；
2.
【答案】
B
【考点】
三角形中位线定理
【解析】
根据三角形中位线定理得到AB＝2DE，计算即可．
【解答】
∵D，E为AC和BC的中点，
∴AB＝2DE＝2200m，
3.
【答案】
B
【考点】
平行四边形的性质
【解析】
根据平行四边形的性质可知，平行四边形的对角相等，邻角互补，故该平行四边形的四个角的比值为1:2:1:2，所以可以计算出平行四边形的各个角的度数．
【解答】
根据平行四边形的相邻的两个内角互补知，设较小的内角的度数为X，
则有：x+2x＝180∘
∴x＝60∘，
即较小的内角是60∘
4.
【答案】
A
【考点】
统计量的选择
【解析】
由于比赛取前3名进入决赛，共有5名选手参加，故应根据中位数的意义分析．【解答】
解：因为5位进入决赛者的分数肯定是5名参赛选手中最高的，
而且5个不同的分数按从小到大排序后，中位数及中位数之前的共有3个数，故只要知道自己的分数和中位数就可以知道是否进入决赛了.
故选A.
5.
【答案】
C
【考点】
一次函数图象与系数的关系
【解析】
根据一次函数y=−1
2x+1中k=−1
2
<0，b=1>0，判断出函数图象经过的象限，
即可判断出一次函数y=−1
2
x+1的图象不经过的象限是哪个．【解答】
解：∵一次函数y=−1
2x+1中k=−1
2
<0，b=1>0，
∴此函数的图象经过第一、二、四象限，
∴一次函数y=−1
2
x+1的图象不经过的象限是第三象限．
故选C．
6.
【答案】
C
【考点】
根与系数的关系
【解析】
利用根与系数的关系来求方程的另一根．
【解答】
解：设方程的另一个根为a，则a+2=6，
解得a=4．故另一个根为4.
故选C.
7.
【答案】
D
【考点】
菱形的性质
【解析】
根据菱形的对角线互相垂直平分的性质，利用对角线的一半，根据勾股定理求出菱形
的边长，再根据菱形的四条边相等求出周长即可．【解答】
解：如图所示，
根据题意得AO=1
2×8=4，BO=1
2
×6=3，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=DA，AC⊥BD，
∴△AOB是直角三角形，
∴AB=√AO2+BO2=5，
∴此菱形的周长为：5×4=20．
故选：D．
8.
【答案】
C
【考点】
根的判别式
【解析】
由方程有实数根可知根的判别式b2−4ac≥0，结合二次项的系数非零，可得出关于a 一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．
【解答】
解：由已知得：{a−5≠0，
(−4)2−4×(a−5)×(−1)≥0，
解得：a≥1且a≠5．
故选C．
9.
【答案】
A
【考点】
一次函数与一元一次不等式
【解析】
将点A(m, 3)代入y＝2x得到A的坐标，再根据图形得到不等式的解集．【解答】
解：将点A(m, 3)代入y=2x得，2m=3，
解得：m=3
2
，
∴点A的坐标为(3
2
, 3)，
∴由图可知，不等式2x≥ax+4的解集为x≥3
2
．
故选A.
10.
【答案】
C
【考点】
动点问题
【解析】
小正方形运动过程中，y 与x 的函数关系为分段函数，即当0≤x <完全重叠前，函数为为增函数；当完全重叠时，函数为平行于x 轴的线段；当不再完全重叠时，函数为为减函数．即按照自变量x 分为三段．
【解答】
依题意，阴影部分的面积函数关系式是分段函数，
面积由“增加→不变→减少”变化．
二、填空题：（本题共24分，每小题3分）
【答案】
y =2x
【考点】
正比例函数的性质
【解析】
根据正比例函数y =kx 的图象经过一，三象限，可得k >0，写一个符合条件的数即可．
【解答】
解：∵ 正比例函数y =kx 的图象经过一，三象限，
∴ k >0，
取k =2可得函数关系式y =2x ．
故答案为：y =2x ．
【答案】
甲
【考点】
折线统计图
方差
【解析】
根据方差的意义：方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．观察图中的信息可知小华的方差较小，故甲的成绩更加稳定．
【解答】
由图表明乙这8次成绩偏离平均数大，即波动大，而甲这8次成绩，分布比较集中，各数据偏离平均小，方差小，
则S 甲2<S 乙2，即两人的成绩更加稳定的是甲．
【答案】
x 1=0，x 2=2
【考点】
解一元二次方程-因式分解法
【解析】
因为x 2−2x 可提取公因式，故用因式分解法解较简便．
【解答】
解：因式分解得x(x −2)=0，
解得x 1=0，x 2=2．
故答案为：x 1=0，x 2=2.
【答案】
6
【考点】
直角三角形斜边上的中线
三角形中位线定理
【解析】
首先根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半可得AB=2CD=12cm，再
AB=6cm．
根据中位线的性质可得EF=1
2
【解答】
解：∵∠ACB=90∘，D为AB中点，
∴AB=2CD，
∵CD=6cm，
∴AB=12cm，
∵E，F分别是BC，CA的中点，
∴EF=1
AB=6cm，
2
故答案为：6．
【答案】
x2+52＝(x+1)2
【考点】
勾股定理的应用
【解析】
首先设水池的深度为x尺，则这根芦苇的长度为(x+1)尺，根据勾股定理可得方程
x2+52＝(x+1)2，再解即可．
【解答】
设水池的深度为x尺，由题意得：
x2+52＝(x+1)2，
解得：x＝12，
则x+1＝13，
答：水深12尺，芦苇长13尺，
故答案为：x2+52＝(x+1)2．
【答案】
(5, 4)
【考点】
菱形的性质
坐标与图形性质
【解析】
利用菱形的性质以及勾股定理得出DO的长，进而求出C点坐标．
【解答】
解：∵菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为(−3, 0)，(2, 0)，点D在y轴上，
∴AB=5，
∴DO=4，
∴点C的坐标是：(5, 4)．
故答案为：(5, 4)．
【答案】
3
【考点】
翻折变换（折叠问题）
矩形的性质
【解析】
先依据△ABF的面积为24，求出BF的长，再根据勾股定理求出AF，也就是BC的长，接下来，求得CF的长，设EC=x，则FE=DE=8−x，在△EFC中，依据勾股定理列出关于x的方程，从而可求得EC的长．
【解答】
解：∵AB=8，S△ABF=24
∴BF=6．
∵在Rt△ABF中，AF=√AB2+AF2=10，
∴AD=AF=BC=10
∴CF=10−6=4
设EC=x，则EF=DE=8−x．
在Rt△ECF中，EF2=CF2+CE2，即(8−x)2=x2+42，解得，x=3．
∴CE=3．
故答案为：3．
【答案】
CD和EF是四边形DECF对角线，而CD和EF互相垂直且平分（答案不唯一）
【考点】
菱形的判定
翻折变换（折叠问题）
【解析】
根据折叠的性质得到CD和EF互相垂直且平分，结合菱形的判定定理“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”证得结论．
【解答】
如图，连接DF、DE．
根据折叠的性质知，CD⊥EF，且OD＝OC，OE＝OF．
则四边形DECF恰为菱形．
三、解方程：（本题共8分，每小题8分）
【答案】
解：（1）2x2−3x+1=0，
(2x−1)(x−1)=0，
2x−1=0，x−1=0，
x1=1
，x2=1；
2
（2）x2−8x+1=0，
x2−8x=−1，
x2−8x+16=−1+16，
(x−4)2=15，
x−4=±√15，
x1=4+√15，x2=4−√15．
【考点】
解一元二次方程-因式分解法
解一元二次方程-配方法
【解析】
（1）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）移项，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】
解：（1）2x2−3x+1=0，
(2x−1)(x−1)=0，
2x−1=0，x−1=0，
x1=1
2
，x2=1；
（2）x2−8x+1=0，
x2−8x=−1，
x2−8x+16=−1+16，
(x−4)2=15，
x−4=±√15，
x1=4+√15，x2=4−√15．
四、解答题：（本题共18分，21-22每小题4分，23-24每小题4分）
【答案】
这15人该月加工零件数的平均数为26件，中位数为24件，众数为24件．
（2）24件较为合理，24既是众数，也是中位数，且24小于人均零件加工数，是大多数人能达到的定额．
【考点】
众数
统计表
加权平均数
中位数
【解析】
（1）先根据加权平均数公式即可求得平均数，再将表中的数据按照从大到小的顺序排列，根据中位数和众数的概念求解即可；
（2）应根据（1）中求出的中位数和众数综合考虑．
【解答】
解：（1）平均数=总加工零件数
总人数=54+45+30×2+24×6+21×3+12×2
15
=26（件），
将表中的数据按照从大到小的顺序排列，可得出第8名工人的加工零件数为24件，且零件加工数为24的工人最多，
故中位数为：24件，众数为：24件．
答：这15人该月加工零件数的平均数为26件，中位数为24件，众数为24件．
（2）24件较为合理，24既是众数，也是中位数，且24小于人均零件加工数，是大多
数人能达到的定额．
【答案】
解：设增长率为x，根据题意2015年为2500(1+x)万元，2016年为2500(1+x)2万元．则2500(1+x)2=3025，
解得x=0.1=10%，或x=−2.1（不合题意舍去）．
所以该地区投入教育经费的年平均增长率为10%.
【考点】
一元二次方程的应用——增长率问题
【解析】
一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），2015年要投入教育经费是2500(1+ x)万元，在2015年的基础上再增长x，就是2016年的教育经费数额，即可列出方程求解．
【解答】
解：设增长率为x，根据题意2015年为2500(1+x)万元，2016年为2500(1+x)2万元．则2500(1+x)2=3025，
解得x=0.1=10%，或x=−2.1（不合题意舍去）．
所以该地区投入教育经费的年平均增长率为10%.
【答案】
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD // BC，且AD＝BC，
∴AF // EC，
∵BE＝DF，
∴AF＝EC，
∴四边形AECF是平行四边形．
∵四边形AECF是菱形，
∴AE＝EC，
∴∠1＝∠2，
∵∠3＝90∘−∠2，∠4＝90∘−∠1，
∴∠3＝∠4，
∴AE＝BE，
∴BE＝AE＝CE=1
BC＝5．
2
【考点】
菱形的性质
平行四边形的性质与判定
【解析】
（1）首先由已知证明AF // EC，BE＝DF，推出四边形AECF是平行四边形．（2）由已
知先证明AE＝BE，即BE＝AE＝CE，从而求出BE的长．
【解答】
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD // BC，且AD＝BC，
∴AF // EC，
∵BE＝DF，
∴AF＝EC，
∴四边形AECF是平行四边形．
∵四边形AECF是菱形，
∴AE＝EC，
∴∠1＝∠2，
∵∠3＝90∘−∠2，∠4＝90∘−∠1，
∴∠3＝∠4，
∴AE＝BE，
∴BE＝AE＝CE=1
2
BC＝5．
【答案】
解：(1)设直线AB的表达式为y=kx+b(k≠0)，∵直线AB过点A(1, 0)、点B(0, −2)，
∴{k+b=0
b=−2，
解得{k=2
b=−2，
∴直线AB的表达式为y=2x−2．
(2)设点C的坐标为(x, y)，
∵S△BOC=2，
∴1
2
⋅2⋅x=2，
解得x=2，
∴y=2×2−2=2，
∴点C的坐标是(2, 2)．
【考点】
一次函数图象上点的坐标特点
待定系数法求一次函数解析式
三角形的面积
【解析】
(1)设直线AB的解析式为y=kx+b，将点A(1, 0)、点B(0, −2)分别代入解析式即可组成方程组，从而得到AB的解析式；
(2)设点C的坐标为(x, y)，根据三角形面积公式以及S△BOC=2求出C的横坐标，再代入直线即可求出y的值，从而得到其坐标．
【解答】
解：(1)设直线AB的表达式为y=kx+b(k≠0)，
∵直线AB过点A(1, 0)、点B(0, −2)，
∴{k+b=0
b=−2，
解得{k=2
b=−2，
∴直线AB的表达式为y=2x−2．(2)设点C的坐标为(x, y)，
∵S△BOC=2，
∴1
2
⋅2⋅x=2，
解得x=2，
∴y=2×2−2=2，
∴点C的坐标是(2, 2)．
五、解答题：（本大题共20分，25-26题每题6分，27题8分）【答案】
（1）如图1，延长EB交DG于点H，
∵四边形ABCD与四边形AEFG是正方形，
∴AD=AB，∠DAG=∠BAE=90∘，AG=AE
在△ADG与△ABE中，{
AD=AB
∠DAG=∠BAE
AG=AE
，
∴△ADG≅△ABE(SAS)，
∴∠AGD=∠AEB，
∵△ADG中∠AGD+∠ADG=90∘，
∴∠AEB+∠ADG=90∘，
∵△DEH中，∠AEB+∠ADG+∠DHE=180∘，∴∠DHE=90∘，
∴DG⊥BE；
（2）如图2，过点A作AM⊥DG交DG于点M，
∠AMD=∠AMG=90∘，
∵BD是正方形ABCD的对角，
∴∠MDA=45∘
在Rt△AMD中，
∵∠MDA=45∘，AD=2，
∴AM=DM=√2，
在Rt△AMG中，
∵AM2+GM2=AG2
∴GM=√7，
∵DG=DM+GM=√2+√7，
∴S△ADG=1
2DG⋅AM=1
2
(√2+√7)√2=1+1
2
√14．
【考点】
四边形综合题
【解析】
（1）利用正方形得到条件，判断出△ADG≅△ABE，根据全等三角形的性质即可得到
结论；
（2）利用正方形的性质在Rt△AMD中，∠MDA=45∘，AD=2从而得出AM=DM=√2，在Rt△AMG中，AM2+GM2=AG2从而得出GM=√7即可．
【解答】
（1）如图1，延长EB交DG于点H，
∵四边形ABCD与四边形AEFG是正方形，
∴AD=AB，∠DAG=∠BAE=90∘，AG=AE
在△ADG与△ABE中，{
AD=AB
∠DAG=∠BAE
AG=AE
，
∴△ADG≅△ABE(SAS)，
∴∠AGD=∠AEB，
∵△ADG中∠AGD+∠ADG=90∘，
∴∠AEB+∠ADG=90∘，
∵△DEH中，∠AEB+∠ADG+∠DHE=180∘，∴∠DHE=90∘，
∴DG⊥BE；
（2）如图2，过点A作AM⊥DG交DG于点M，
∠AMD=∠AMG=90∘，
∵BD是正方形ABCD的对角，
∴∠MDA=45∘
在Rt△AMD中，
∵∠MDA=45∘，AD=2，
∴AM=DM=√2，
在Rt△AMG中，
∵AM2+GM2=AG2
∴GM=√7，
∵DG=DM+GM=√2+√7，
∴S△ADG=1
2DG⋅AM=1
2
(√2+√7)√2=1+1
2
√14．
【答案】
−11<b<−5．【考点】
翻折变换（折叠问题）
根的判别式
根与系数的关系
一次函数的性质
【解析】
（1）根据一元二次方程的根的判别式判断即可；
（2）先根据一元二次方程的求根公式得出x1，x2，即可得出函数函数关系式；
（3）画出新函数的图形和直线y=2a+b，利用图形和直线与y轴的交点坐标即可得出结论．
【解答】
（1）证明：∵ax2−2(a−1)x+a−2=0(a>0)是关于x的一元二次方程，
∴△=[−2(a−1)]2−4a(a−2)=4>0，
∴方程ax2−2(a−1)x+a−2=0(a>0)有两个不相等的实数根．
（2）解：由求根公式，得x=2(a−1)±√△
2a =2(a−1)±2
2a
．
∴x=1或x=1−2
a
．
∵a>0，x1>x2，
∴x1=1，x2=1−2
a
，
∴y=ax2⋅x1=a×(1−2
a
)−1=a−3．
即函数的表达式y=a−3(a>0)，
（3）解：如图，直线BD刚好和折线CBA只有一个公共点，再向下平移，就和这些CBA 有两个公共点，
继续向下平移到直线CE的位置和直线CBA刚好有1个公共点，再向下平移和这些CBA也只有一个公共点，
由（2）知，函数的表达式y=a−3(a>0)，
当a=2时，y=2−3=−1，
∴B(2, −1)，
由折叠得，C(4, −3)，
当函数y=2a+b的图象过点B时，
∴−1=2×2+b，
∴b=−5，
当函数y=2a+b的图象过点C时，
∴−3=2×4+b，
∴b=−11，
∴−11<b<−5．
【答案】
(1, 0),8
（2）如图1所示；当直线MN经过点B时，直线MN交DA于点E．
∵点A的坐标为(1, 0)，
∴点B的坐标为(1, 2)
设直线MN的解析式为y=x+c，
将点B的坐标代入得；1+c=2．
∴c=1．
∴直线MN的解析式为y=x+1．
将y=0代入得：x+1=0，解得x=−1，
∴点E的坐标为(−1, 0)．
∴BE=√AE2+AB2=√22+22=2√2．
∴a=2√2
如图2所示，当直线MN经过点C时，直线MN交x轴于点F．
∵点D的坐标为(−3, 0)，
∴点C的坐标为(−3, 2)．
设MN的解析式为y=x+d，将(−3, 2)代入得：−3+d=2，解得d=5．∴直线MN的解析式为y=x+5．
将y=0代入得x+5=0，解得x=−5．
∴点F的坐标为(−5, 0)．
∴b=4−(−5)=9．
（3）当0≤t<3时，直线MN与矩形没有交点．∴s=0．
当3≤t<5时，如图3所示；
S=S△AEF=1
2AE⋅AF=1
2
(t −3)2=1
2
t2−3t+9
2
；
当5≤t<7时，如图4所示：过点B作BG // MN．
由（2）可知点G的坐标为(−1, 0)．
∴FG=t−5．
∴S=S BEFG+S ABG=2(t−5)+1
2
×2×2=2t−8．当7≤t≤9时，如图5所示．
FD=t−7，CF=2−DF=2−(t−7)=9−t．
S=S ABCD−S CEF=8−1
2(9−t)2=−1
2
t2+9t−65
2
．
综上所述，S与t的函数关系式为S=
{
0(0≤t<3)
1
2
t2−3t+9
2
(3≤t<5) 2t−8(5≤t<7)
−1
2t2+9t−65
2
(7≤t≤9)
．
【考点】
一次函数的综合题
【解析】
（1）根据直线解析式求出点N的坐标，然后根据函数图象可知直线平移3个单位后经
过点A，从而求的点A的坐标，由点F的横坐标可求得点D的坐标，从而可求得AD的长，据此可求得ABCD的面积；
（2）如图1所示；当直线MN经过点B时，直线MN交DA于点E，首先求得点E的坐标，然后利用勾股定理可求得BE的长，从而得到a的值；如图2所示，当直线MN经过点C 时，直线MN交x轴于点F，求得直线MN与x轴交点F的坐标从而可求得b的值；
（3）当0≤t<3时，直线MN与矩形没有交点；当3≤t<5时，如图3所示S=△EFA 的面积；当5≤t<7时，如图4所示：S=S BEFG+S ABG；当7≤t≤9时，如图5所示．S=S ABCD−S CEF．
【解答】
解：（1）令直线y=x−4的y=0得：x−4=0，解得：x=4，
∴点M的坐标为(4, 0)．
由函数图象可知：当t=3时，直线MN经过点A，
∴点A的坐标为(1, 0)
沿x轴的负方向平移3个单位后与矩形ABCD相交于点A，
∵y=x−4沿x轴的负方向平移3个单位后直线的解析式是：y=x+3−4=x−1，∴点A的坐标为(1, 0)；
由函数图象可知：当t=7时，直线MN经过点D，
∴点D的坐标为(−3, 0)．
∴AD=4．
∴矩形ABCD的面积=AB⋅AD=4×2=8．
（2）如图1所示；当直线MN经过点B时，直线MN交DA于点E．
∵点A的坐标为(1, 0)，
∴点B的坐标为(1, 2)
设直线MN的解析式为y=x+c，
将点B的坐标代入得；1+c=2．
∴c=1．
∴直线MN的解析式为y=x+1．
将y=0代入得：x+1=0，解得x=−1，
∴点E的坐标为(−1, 0)．
∴BE=√AE2+AB2=√22+22=2√2．
∴a=2√2
如图2所示，当直线MN经过点C时，直线MN交x轴于点F．
∵点D的坐标为(−3, 0)，
∴点C的坐标为(−3, 2)．
设MN的解析式为y=x+d，将(−3, 2)代入得：−3+d=2，解得d=5．∴直线MN的解析式为y=x+5．
将y=0代入得x+5=0，解得x=−5．
∴点F的坐标为(−5, 0)．
∴b=4−(−5)=9．
（3）当0≤t<3时，直线MN与矩形没有交点．
∴s=0．
当3≤t<5时，如图3所示；
S=S△AEF=1
2AE⋅AF=1
2
(t−3)2=1
2
t2−3t+9
2
；
当5≤t<7时，如图4所示：过点B作BG // MN．
由（2）可知点G的坐标为(−1, 0)．
∴FG=t−5．
∴S=S BEFG+S ABG=2(t−5)+1
2
×2×2=2t−8．当7≤t≤9时，如图5所示．
FD=t−7，CF=2−DF=2−(t−7)=9−t．
S=S ABCD−S CEF=8−1
2(9−t)2=−1
2
t2+9t−65
2
．
综上所述，S与t的函数关系式为S=
{
0(0≤t<3)
1
2
t2−3t+9
2
(3≤t<5) 2t−8(5≤t<7)
−1
2t2+9t−65
2
(7≤t≤9)
．。