2018年高考数学(理)一轮复习第三章第5讲分层演练直击高考

C．π6，0为其图象的一个对称中心
D．最小正周期为 π
C [解析] 函数 y＝tan2x－π3是非奇非偶函数，A 错；在区 间0，π3上单调递增，B 错；最小正周期为π2，D 错；由 2x－ π3＝k2π，k∈Z 得 x＝k4π＋π6，当 k＝0 时，x＝π6，所以它的图 象关于π6，0对称，故选 C．
9 ． (2017·湖 南 省 东 部 六 校 联 考 ) 函 数 y ＝ 3sin x ＋ 3 cos xx∈0，π2的单调递增区间是________． [解析] 化简可得 y＝2 3sinx＋π6，由 2kπ－π2≤x＋π6≤2kπ＋ π2(k∈Z)，得－23π＋2kπ≤x≤π3＋2kπ(k∈Z)，又 x∈0，π2， 所以函数的单调递增区间是0，π3. [答案] 0，π3
(2)由(1)知 f(x)＝ 2sin(2x＋π4)． 函数 y＝sin x 的单调递增区间为[2kπ－π2，2kπ＋π2](k∈Z)． 由 2kπ－π2≤2x＋π4≤2kπ＋π2(k∈Z)， 得 kπ－38π≤x≤kπ＋π8(k∈Z)． 所以 f(x)的单调递增区间为[kπ－38π，kπ＋π8](k∈Z)．
5．(2017·河南中原名校模拟)已知函数 f(x)＝sin(2x＋φ)，其
中 0<φ<2π，若 f(x)≤fπ6对 x∈R 恒成立，且 fπ2>f(π)，则
φ 等于( )
A．π6
B．56π
C．76π
D．116π
C [解析] 若 f(x)≤fπ6对 x∈R 恒成立， 则 fπ6等于函数的最大值或最小值， 即 2×π6＋φ＝kπ＋π2，k∈Z，则 φ＝kπ＋π6，k∈Z， 又 fπ2>f(π)，即 sin φ<0，又 0<φ<2π， 所以 π<φ<2π. 所以当 k＝1 时，此时 φ＝76π，满足条件．
14 ． (2016·高 考 全 国 卷 乙 ) 已 知 函 数 f(x) ＝ sin(ωx ＋
φ)ω＞0，φ≤π2，x＝－π4为 f(x)的零点，x＝π4为 y＝f(x)图像
的对称轴，且 f(x)在1π8，53π6单调，则 ω 的最大值为(
)
A．11
B．9
C．7
D．5
10．已知 f(x)＝sin 2x－ 3cos 2x，若对任意实数 x∈0，π4， 都有|f(x)|<m，则实数 m 的取值范围是________． [解析] 因为 f(x)＝sin 2x－ 3cos 2x＝2sin2x－π3，x∈0，π4， 所以2x－π3∈－π3，π6，所以 2sin2x－π3∈(－ 3，1]，所以 |f(x)|＝2sin2x－π3< 3，所以 m≥ 3. [答案] [ 3，＋∞)
2x＋
3 2 sin
2x－12cos
2x
＝ 43sin 2x－14cos 2x＝12sin2x－π6.
所以 f(x)的最小正周期 T＝22π＝π.
(2)因为 f(x)在区间－π3，－π6上是减函数，在区间－π6，π4上 是增函数， 且 f－π3＝－14，f－π6＝－12，fπ4＝ 43， 所以 f(x)在区间－π3，π4上的最大值为 43，最小值为－12.
12．(2015·高考天津卷)已知函数 f(x)＝sin2x－sin2(x－π6)， x∈R. (1)求 f(x)的最小正周期； (2)求 f(x)在区间－π3，π4上的最大值和最小值．
[解] (1)由已知，
有 f(x)＝1－c2os 2x－1－cos22x－π3
＝1212cos
所以2ωπ＝π，ω＝2，所以 f(x)＝sin2x＋π4.当 x＝π4时，2x＋π4＝
34π，所以 A，C 错误；当 x＝π8时，2x＋π4＝π2，所以 B 正确，
D 错误．
4．关于函数 y＝tan2x－π3，下列说法正确的是(
)
A．是奇函数
B．在区间0，π3上单调递减
3．已知函数 f(x)＝sinωx＋π4(ω>0)的最小正周期为 π，则函 数 f(x)的图象( )
A．关于直线 x＝π4对称
B．关于直线 x＝π8对称
C．关于点π4，0对称
D．关于点π8，0对称
B [解析] 因为 f(x)＝sinωx＋π4的最小正周期为 π，
11．(2016·高考北京卷)已知函数 f(x)＝2sin ωxcos ωx＋
cos 2ωx(ω＞0)的最小正周期为 π.
(1)求 ω 的值；
(2)求 f(x)的单调递增区间． [解] (1)因为 f(x)＝2sin ωxcos ωx＋cos 2ωx ＝sin 2ωx＋cos 2ωx ＝ 2sin(2ωx＋π4)， 所以 f(x)的最小正周期 T＝22ωπ＝ωπ. 依题意，得ωπ ＝π， 解得 ω＝1.
7．若函数 f(x)＝2cosωx＋π6的最小正周期为 T，T∈(1，3)， 则正整数 ω 的最大值为________． [解析] 因为 T＝2ωπ，T∈(1，3)，
所以 1<2ωπ<3，即23π<ω<2π. 所以正整数 ω 的最大值为 6. [答案] 6
8．比较大小：sin－1π8________sin－1π0. [解析] 因为 y＝sin x 在－π2，0上为增函数且－1π8＞－1π0， 故 sin－1π8＞sin－1π0. [答案] ＞
B [解析] 因为 x＝－π4为函数 f(x)的零点，x＝π4为 y＝f(x)图 像的对称轴，所以π2＝k2T＋T4(k∈Z，T 为周期)，得 T＝2k2＋π 1 (k∈Z)．又 f(x)在1π8，53π6单调，所以 T≥π6，k≤121，又当 k＝5 时，ω＝11，φ＝－π4，f(x)在1π8，53π6不单调；当 k＝4 时， ω＝9，φ＝π4，f(x)在1π8，53π6单调，满足题意，故 ω＝9，即 ω 的最大值为 9.
其中当 2kπ＋π6<2x＋π6≤2kπ＋π2，k∈Z 时，g(x)单调递增，即 kπ<x≤kπ＋π6，k∈Z， 所以 g(x)的单调增区间为kπ，kπ＋π6，k∈Z. 又因为当 2kπ＋π2<2x＋π6<2kπ＋56π，k∈Z 时， g(x)单调递减，即 kπ＋π6<x<kπ＋π3，k∈Z. 所以 g(x)的单调减区间为kπ＋π6，kπ＋π3，k∈Z.
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(2)由(1)得， f(x)＝－4sin2x＋π6－1， g(x)＝fx＋π2＝－4sin2x＋76π－1 ＝4sin2x＋π6－1， 又由 lg g(x)>0，得 g(x)>1， 所以 4sin2x＋π6－1>1，所以 sin2x＋π6>12， 所以 2kπ＋π6<2x＋π6<2kπ＋56π，k∈Z，
[解] (1)因为 x∈0，π2，所以 2x＋π6∈π6，76π. 所以 sin2x＋π6∈－12，1， 所以－2asin2x＋π6∈[－2a，a]． 所以 f(x)∈[b，3a＋b]， 又因为－5≤f(x)≤1， 所以 b＝－5，3a＋b＝1，因此 a＝2，b＝－5.
2x－
3 2 (cos
2x＋1)＋
3 2
＝12sin
2x－
3 2 cos
2x
＝sin2x－π3， 所以 f(x)的最小正周期为 π.
令 sin2x－π3＝0，得 2x－π3＝kπ(k∈Z)，
所以 x＝k2π＋π6(k∈Z)．
故所求对称中心的坐标为k2π＋π6，0((x)＝sinωx＋π4在π2，π上单调递减，则 ω 的取值范围是( )
A．12，54
B．12，34
C．0，12
D．(0，2]
A [解析] 由π2<x<π，ω>0 得π2ω＋π4<ωx＋π4<πω＋π4，由题意 结合选项知π2ω＋π4，πω＋π4⊆π2，32π，所以ππ2ωω＋＋ππ44≥ ≤π322π，， 所以12≤ω≤54.
13．已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ 均为正的常数)的
最小正周期为 π，当 x＝23π时，函数 f(x)取得最小值，则下列
结论正确的是( )
A．f(2)<f(－2)<f(0)
B．f(0)<f(2)<f(－2)
C．f(－2)<f(0)<f(2)
D．f(2)<f(0)<f(－2)
1．函数 y＝ cos x－ 23的定义域为( ) A．－π6，π6 B．kπ－π6，kπ＋π6，k∈Z C．2kπ－π6，2kπ＋π6，k∈Z D．R C [解析] 由 cos x－ 23≥0，得 cos x≥ 23，所以 2kπ－π6≤x ≤2kπ＋π6，k∈Z.
15．已知 a＝(sin x，－cos x)，b＝(cos x， 3cos x)，函数 f(x) ＝a·b＋ 23. (1)求 f(x)的最小正周期，并求其图象对称中心的坐标； (2)当 0≤x≤π2时，求函数 f(x)的值域．
[解] (1)f(x)＝sin xcos x－
3cos2x＋
3 2
＝12sin
2．(2017·合肥质量检测)函数 y＝sinωx＋π6在 x＝2 处取得最
大值，则正数 ω 的最小值为( )
A．π2
B．π3
C．π4 D [解析]
由题意得，2ω＋π6＝π2＋2Dk．π(kπ6∈Z)，解得
ω＝π6＋
kπ(k∈Z)，因为 ω>0，所以当 k＝0 时，ωmin＝π6，故选 D．
(2)因为 0≤x≤π2，
所以－π3≤2x－π3≤23π，
所以－ 23≤sin2x－π3≤1，
即

f(x)的值域为－

23，1.
16．已知 a>0，函数 f(x)＝－2asin2x＋π6＋2a＋b，当 x∈0，π2 时，－5≤f(x)≤1. (1)求常数 a，b 的值； (2)设 g(x)＝fx＋π2且 lg g(x)>0，求 g(x)的单调区间．
A [解析] 因为 ω>0，所以 T＝2ωπ＝π，所以 ω＝2.又 A>0， 所以 f23π＝－A，即 sin43π＋φ＝－1，得 φ＋43π＝2kπ＋32π， k∈Z，即 φ＝2kπ＋π6，k∈Z，又因为 φ>0，所以可取 f(x)＝ Asin2x＋π6，所以 f(2)＝Asin4＋π6，f(－2)＝Asin－4＋π6， f(0)＝Asinπ6，因为 π<4＋π6<32π，所以 f(2)<0.因为－76π<－4＋π6 <－π，且 y＝sin x 在－76π，－π上为减函数，所以 sin－4＋π6 <sin－76π＝sinπ6，且 sin－4＋π6>sin(－π)＝0，从而有 0<f(－ 2)<f(0)．故有 f(2)<f(－2)<f(0)．