2019数学新设计北师大选修2-3精练：第一章 计数原理 1.5 含答案

§5二项式定理
A组
1.(+2)n的展开式共有12项,则n等于()
A.9
B.10
C.11
D.8
解析;∵(a+b)n的展开式共有n+1项,而(+2)n的展开式共有12项,∴n=11.故选C.
答案;C
2.的展开式中2y3的系数是()
A.-20
B.-5
C.5
D.20
解析;由已知,得T r+1=(-2y)r=·(-2)r5-r y r(0≤r≤5,r∈),
令r=3,得T4=(-2)32y3=-202y3.
故选A.
答案;A
3.在(1+)6(1+y)4的展开式中,记m y n项的系数为f(m,n),则f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=()
A.45
B.60
C.120
D.210
解析;∵(1+)6展开式的通项公式为T r+1=r,(1+y)4展开式的通项公式为T h+1=y h, ∴(1+)6(1+y)4展开式的通项可以为r y h.
∴f(m,n)=.
∴f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)==20+60+36+4=120.故选C.答案;C
4.已知展开式的第4项等于5,则等于( )
A .
B .-
C .7
D .-7
解析;T 4=4=-=-35=5,所以=-. 答案;B
5.(2-
)8的展开式中不含4项的系数的和为( ) A .-1 B .0 C .1 D .2
解析;采用赋值法,令=1,得(2-
)8的展开式的系数和为1,4项系数为20(-1)8=1,所以(2-
)8的展开式中不含4项的系数和为0.
答案;B 6.设a=sin d,则二项式的展开式中的常数项等于 . 解析;a=sin d =(-cos )=2,二项式展开式的通项为
T r+1=(2=(-1)r ·26-r ·3-r ,令3-r=0得,r=3,
∴常数项为(-1)3·23·
=-160.
答案;-160 7.已知(2-3)7=a 0(-1)7+a 1(-1)6+…+a 6(-1)+a 7.
(1)求a 0+a 1+a 2+…+a 7;
(2)求a 0-a 7.
解(1)令=2,得a 0+a 1+a 2+…+a 7=(4-3)7=1.
(2)令=1,得a 7=(2×1-3)7=-1,
7的系数a 0=27(-3)0=128,
∴a 0-a 7=129.
8.(1)求(1+2)7的展开式中第四项的系数;
(2)求的展开式中3的系数及二项式系数.
解(1)(1+2)7的展开式的第4项为
T
=(2)3=2803,
3+1
∴(1+2)7的展开式中第四项的系数是280.
(2)∵的展开式的通项为
=9-r=(-1)r·9-2r.
T r+
1
令9-2r=3,r=3,
∴3的系数为(-1)3=-84.
3的二项式系数为=84.
9.在的展开式中,求;
(1)第5项的二项式系数及第5项的系数;
(2)倒数第3项.
解(1)二项式展开式的通项为T r+1=(22)8-r·,所以
=·(22)8-4··24·,
T
5
则第5项的二项式系数是=70,第5项的系数是·24=1 120.
(2)展开式中的倒数第3项即为第7项,T7=·(22)8-6·=1122.
B组
1.若(1+)5=a+b(a,b为有理数),则a+b等于()
A.45
B.55
C.70
D.80
解析;由二项式定理得
(1+)5=1+·()2+·()3+·()4+·()5=1+5+20+20+20+4=41 +29,
即a=41,b=29,所以a+b=70.
答案;C
2.(2016·江西临川一中等九校联考)二项式的展开式的第二项的系数为-,则2d的值为()
A. B.3
C.3或
D.3或-
解析;二项展开式的第二项T2=(a)5×,则由题意有a5=-,解得a=-1,所以
2d=3=-.
答案;A
3.(2016·河南郑州一中联考)若在的展开式中含有常数项,则正整数n取得最小值时的常数项为()
A.-
B.-135
C.
D.135
解析;的展开式的通项为T r+1=·(32)n-r3n-r2n-5r,展开式中含有常数项
需满足2n-5r=0,即n=,r∈N.所以当r=2时,正整数n取得最小值为n=5,此时常数项为,故选C.
答案;C
4.(2+2)的展开式中的常数项是()
A .2
B .3
C .-2
D .-3
解析;二项式的展开式的通项为T r+1=(-1)r =(-1)r 2r-10,易知(2+2)的展开式中的常数项为·(-1)4+2··(-1)5=3.
答案;B
5.若的展开式中3项的系数为20,则a 2+b 2的最小值为 . 解析;的展开式的通项为T r+1=(a 2)6-r ·a 6-r b r 12-3r ,
令12-3r=3,得r=3. 由a 6-r b r =a 3b 3=20,得ab=1.
所以a 2+b 2≥2ab=2×1=2.
答案;2
6.求的展开式中的有理项. 解的展开式的通项为T r+1=)8-r ·(r=0,1,2,…,8),为使为有理项,r 必须是4的倍数,所以r=0,4,8,故共有3个有理项,分别是
T 1=4=4,T 5==,T 9=-2=.
7.导学号43944018已知的展开式中偶数项的二项式系数的和比(a+b 展开式中奇数项的二项式系数的和小120,求第一个展开式的第三项. 解(a+b )2n 展开式中奇数项的二项式系数的和为22n-1,
展开式中偶数项的二项式系数的
和为2n-1.依题意,有2n-1=22n-1-120,
即(2n )2-2n -240=0.
解得2n =16,或2n =-15(舍).∴n=4.
于是,第一个展开式中第三项为
=)2=6. T
3。