四川省棠湖中学20172018学年高二数学下学期第一次月考试题文

四川省棠湖中学2017-2018学年高二数学下学期第一次月考试题 文
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。

第I 卷（选择题 共60分）
一.选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的. 1．函数1
ln 3x y x
-=
的定义域为 A ．()0+∞， B ．()1+∞， C ．()()11-∞+∞，，
D ．()()011+∞，， 2．同时满足下列三个条件的函数为
①在π0,2⎛⎫ ⎪⎝
⎭上是增函数；②为R 上的奇函数；③最小正周期为π．
A ．tan y x =
B ．cos y x =
C ．tan 2
x
y = D ．sin y x = 3.实轴长为4，虚轴长为2的双曲线的标准方程是
A.22
14y x -=或1422=-x y B.2214x y -=或22
1
4y x -=
C.1422=-y x 或1422=-x y
D.2214y x -=，或22
14
x y -= 4.i 为虚数单位，则2
)2(i +-的虚部是（ ）
A.i 4-
B.i 4
C.4-
D.3 5.抛物线x y 162
=的焦点到准线的距离为( )
A.
64
1 B.1
32 C.4 D.8
6.如表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨标
准煤）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为
0.70.35y x =+，则表中m 的值为（ ）
x
3 4
5 6 y
2.5
m
4
4.5
A ．3
B ．3.5
C ．4.5
D ．2.5
7.已知双曲线122
22=-b
y a x （a ＞0，b ＞0）的离心率为4，则双曲线的渐近线方程为
A ．x y 1515±
= B ．x y 15±= C ．x y 4±= D ．x y 4
1±= 8．“a
b
e e >”是“22log log a b >”的
A. 充分不必要条件
B. 充要条件
C. 必要不充分条件
D. 既不充分也不必要条件
9.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就．书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”，若某“阳马”的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为1），则该“阳马”外接球的体积为 A.
π32125 B. π50 C. π3
225 D. 252π 10.已知,,l m n 为三条不同直线,,,αβγ为三个不同平面,则下列判断正确的是 A.若//,//m n αα,则//m n B.若,//,m n αβαβ⊥⊥,则m n ⊥ C.若,//,//l m m α
βαβ=,则//m l D.若,,,m n l m l n αβαγ==⊥⊥,则
l α⊥
11．若函数3
221()32,(0)3
f x x mx m x m =-++-≥在(),-∞+∞只有一个零点，则m 的取值范围是（ ）
A ．[]0,1
B ．60,3⎡⎤
⎢⎥⎣⎦ C ．2650,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
D ．2650,
2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 12．已知椭圆22
221x y a b
+=(a >b >0)的半焦距为c (c >0)，左焦点为F ，右顶点为A ，抛物线
215
()8
y a c x =
+与椭圆交于B 、C 两点，若四边形ABFC 是菱形，则椭圆的离心率是（ ） A ．
815 B ．415 C ．23 D ．12
第II 卷(90分)
二．填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分. 将答案填写在答题卡中横线上
13.直线012:=+-x x l 与圆：0322
2
=--+x y x 交于B A ,两点，则=AB . 14．过抛物线x y 162
=的焦点作直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的横坐标为10， 则AB 等于 .
15.已知函数x x x f sin )(-=，对于任意R x ∈都有0)2()3(2
≤-++-k x f x x f 恒成立，则
k 的取值范围是 .
16．设函数x m x x f +
=ln )(，m ∈R ，若对任意b ＞a ＞0，2)
()(<--a
b a f b f 恒成立，则m 的取值范围为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

） 17．（本大题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，圆C 的方程为为参数）θθθ(,
sin 21,
cos 21⎩⎨⎧+=+=y x .以坐标原点O 为极点，x
轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的单位长度，直线l 的极坐标方程
)(sin cos R m m ∈=+θρθρ.
(Ⅰ)当3=m 时，判断直线l 与C 的关系；
(Ⅱ)当C 上有且只有一点到直线l 的距离等于2时，求C 上到直线l 距离为22的点的坐标.
18．（本小题满分12分）
已知函数f (x )＝e x
(ax ＋b )－x 2
－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4．
(Ⅰ)求a ，b 的值； (Ⅱ)讨论f (x )的单调性．
19.（本小题满分12分）
为了解春季昼夜温差大小与某种子发芽多少之间的关系,现在从4月份的30天中随机挑选了5天进行研究,且分别记录了每天昼夜温差与每100颗种子浸泡后的发芽数,得到如下表格: 日期 4月1日 4月7日 4月15日 4月21日 4月30日 温差x/o
C 10
11
13
12
8
发芽数y/
颗
23
25
30
26
16
(Ⅰ)从这5天中任选2天,若选取的是4月1日与4月30日的两组数据,请根据这5天中的另3天的数据,求出y 关于x 的线性回归方程a bx y
+=
(Ⅱ)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的两组检验数据的误差均不超过2颗,则认为得到的线性回归方程是可靠的,试问(2)中所得的线性回归方程是否可靠.
(参考公式,)
20.（本小题满分12分） 如
图
，
四
棱
锥
ABCD
P -中，
⊥
PA 平面
ABCD
，
M BC PA AC AD AB BC AD ,4,3,//=====为线段AD 上一点，MD AM 2=，N 为
PC 的中点.
（1）证明：;//PAB MN 平面 （2）求四面体BCM N -的体积.
21.（本小题满分12分）
已知椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，左顶点为A ，上顶点为
(0,1)B ，1ABF ∆的面积为
21
2
. (Ⅰ)求椭圆C 的方程；
(Ⅱ)设直线l ：(1)y k x =+与椭圆C 相交于不同的两点M ，N ，P 是线段MN 的中点.若经过点2F 的直线m 与直线l 垂直于点Q ，求1PQ FQ ⋅的取值范围.
22（本小题满分12分）
已知函数()22cos f x x x =+，()()cos sin 22x g x e x x x =-+-，其中 2.71828e =是自然对数
的底数.
（Ⅰ）求曲线()y f x =在点()(),f ππ处的切线方程；
（Ⅱ）令()()()()h x g x af x a R =-∈，讨论()h x 的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.
2018年春四川省棠湖中学高二年级4月月考
数学（文科）试题参考答案
一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 选项 D A C C D A 题号 7 8 9 10 11 12 选项 B
C
A
C
B
D
二．填空题 13.
364 14.28 15.[)+∞,2 16.⎪⎭
⎫
⎢⎣⎡+∞,81 17．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 解：(Ⅰ)圆C 的普通方程为：(x -1)2+(y -1) 2=2， 直线l 的直角坐标方程为：x +y -3=0, 圆心(1,1)到直线l 的距离为23 2.2
2
d -==
< 所以直线l 与C 相交.
(Ⅱ)C 上有且只有一点到直线l 的距离等于2，即圆心到直线l 的距离为2 2. 过圆心与l 平行的直线方程式为：x+y-2=0
联立方程组⎩
⎨⎧=-+-=-+2)1()1(022
2y x y x 解得⎩⎨⎧==02y x ⎩⎨⎧==20
y x 故所求点为(2,0)和(0,2).
18.解：(1)f ′(x )＝e x
(ax ＋a ＋b )－2x －4，
由已知得f (0)＝4，f ′(0)＝4，故b ＝4，a ＋b ＝8． 从而a ＝4，b ＝4．
（2）由(1)知，f (x )＝4e x
(x ＋1)－x 2
－4x ，
f ′(x )＝4e x (x ＋2)－2x －4＝4(x ＋2)·1e 2x ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
． 令f ′(x )＝0得，x ＝－ln 2或x ＝－2．
当x ∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f ′(x )＞0；当x ∈(－2，－ln 2)时，f ′(x )
＜0．
故f (x )在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减． 19.(1)由已知中表格得, 4月7日, 4月15日, 4月21日这3天的数据的平均数为
,所以
,所以y 关于x 的线性回归方程为
, (2)依题意得,当
时,
;当
时,
,所以(2)中
所得的线性回归方程是可靠的. 20.解（1）由已知得23
2
==
AD AM ，取RP 的中点T ，连接TN AT ,，由N 为PC 中点知,22
1
,//==
BC TN BC TN ，即,AM TN =又BC AD //，即,//AM TN 故四边形AMNT 为平行四边形，于是,//AT MN 因为,,PAB MN PAB AT 平面平面⊄⊂所以,//PAB MN 平面 （2）因为⊥PA 平面ABCD ，N 为PC 的中点，所以N 到平面ABCD 的距离为,2
1
PA 取BC 得中点E ，连接AE ，由3==AC AB 得,5,22=-=⊥BE AB AE BC AE 由BC
AM //得M 到BC 的距离为5，故542
1
⨯⨯=
∆BCM S ，所以四面体BCM N -的体积为.3
5
4231=⨯⨯=∆-PA S V BCM BCM N
21.解：（1）由已知，有1b =.又1121
()22
ABF S a c b ∆-=
-=，∴21a c -=-. ∵2
2
2
a b c =+，∴2a =.∴椭圆C 的方程为2
212
x y +=.
（2）①当0k =时，点P 即为坐标原点O ，点Q 即为点2F ，则1PQ =，
12FQ =.∴1
2PQ FQ ⋅=. ②当0k ≠时，直线l 的方程为(1)y k x =+. 则直线m 的方程为1
(1)y x k
=-
-，即10x ky +-=.设11(,)M x y ，22(,)N x y . 联立方程22
(1)12
y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得222(12)4k x k x ++2
220k +-=.此时28(1)0k ∆=+>.
∴2122412k x x k -+=+，1212(2)y y k x x +=++2
212k
k =+. ∴222
2(
,)1212k k P k k -++. ∵PQ 即点P 到直线m 的距离，∴22
22
2
2112121
k k k k
PQ k -+-++=
+22
2
(12)1
k k =
++又1
FQ 即点1F 到直线m 的距离，∴121
F Q k =+.∴21222(13)
(12)(1)k PQ F Q k k +⋅=++. 令2
13(1)k t t +=>，则21
3
t k -=
. ∴1
18(12)(2)t PQ FQ t t ⋅=++18
12()5t t
=
++182225
<=⨯+.即0k ≠时，有1
02PQ FQ <⋅<. 综上，可知1
PQ FQ ⋅的取值范围为(0,2]. 22.解：（Ⅰ）由题意()22
f ππ=-
又()22sin f x x x '=-，
所以()2f ππ'=，曲线()y f x =在点()(),f ππ处的切线方程为
()()222y x πππ--=-，即222y x ππ=--.
（Ⅱ）由题意得 2
()(cos sin 22)(2cos )x
h x e x x x a x x =-+--+，
因为()()()()cos sin 22sin cos 222sin x x h x e x x x e x x a x x '=-+-+--+--
()()2sin 2sin x e x x a x x =---()
()2sin x e a x x =--，
令()sin m x x x
=-，
则()1cos 0m x x '=-≥ 所以()m x 在R 上单调递增. 因为(0)0,m =
所以 当0x >时，()0,m x > 当0x <时，()0m x < (1)当0a ≤时，x e a -0>
当0x <时，()0h x '<，()h x 单调递减，当0x >时，()0h x '>，()h x 单调递增， 所以 当0x =时()h x 取得极小值，极小值是 ()021h a =--； (2)当0a >时，()(
)()ln 2sin x a h x e e x x '=--；由 ()0h x '=得 1
ln x
a =，2=0x
①当01a <<时，ln 0a <，
当(),ln x a ∈-∞时，()ln 0,0x a e e h x '-<>，()h x 单调递增； 当()ln ,0x a ∈时，()ln 0,0x a e e h x '-><，()h x 单调递减； 当()0,x ∈+∞时，()ln 0,0x a e e h x '->>，()h x 单调递增. 所以当ln x a =时()h x 取得极大值.
极大值为()()()2
ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦，
当0x =时()h x 取到极小值，极小值是 ()021h a =--； ②当1a =时，ln 0a =，
所以 当(),x ∈-∞+∞时，()0h x '≥，函数()h x 在(),-∞+∞上单调递增，无极值； ③当1a >时，ln 0a >
所以 当(),0x ∈-∞时，ln 0x a e e -<，()()0,h x h x '>单调递增；
当()0,ln x a ∈时，ln 0x a e e -<，()()0,h x h x '<单调递减； 当()ln ,x a ∈+∞时，ln 0x a e e ->，()()0,h x h x '>单调递增； 所以 当0x =时()h x 取得极大值，极大值是()021h a =--； 当ln x a =时()h x 取得极小值.
极小值是()()()2
ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦.
综上所述：
当0a ≤时，()h x 在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增， 函数()h x 有极小值，极小值是()021h a =--；
当01a <<时，函数()h x 在(),ln a -∞和()0,ln a 和()0,+∞上单调递增，在()ln ,0a 上单调递减，函数()h x 有极大值，也有极小值，
极大值是()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦
极小值是()021h a =--；
当1a =时，函数()h x 在(),-∞+∞上单调递增，无极值； 当1a >时，函数()h x 在(),0-∞和()ln ,a +∞上单调递增， 在()0,ln a 上单调递减，函数()h x 有极大值，也有极小值，
极大值是()021h a =--； 极小值是()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦.。