区间删失数据下参数估计的比较

区间删失数据下参数估计的比较
杨军
【摘要】This paper discusses is the parameter estimation of interval censored data when the life distribution is exponential distribution.Mainly discusses the estimates for type Ⅰ censored cases data,and calculated display solution.%主要讨论了寿命分布为指数分布时区间删失数据的参数估计。

在I型删失情况下得到了参数的Bayes估计和矩估计。

进而,利用数值模拟的方法比较了Bayes估计和矩估计的优劣。

【期刊名称】《江西科学》
【年(卷),期】2012(030)001
【总页数】3页(P18-20)
【关键词】I型区间删失;指数分布;Bayes估计;矩估计
【作者】杨军
【作者单位】江西师范大学数学与信息学院,江西南昌330022
【正文语种】中文
【中图分类】O211.9
在生存分析和可靠性研究中，常常因为客观条件的限制无法得到失效时间的准确观测值，只能观测到它所处的区间，在统计学中一般将这类数据称为区间删失数据(Interval censored data)，简称区间数据。

Huang与 Wellner［1］，郑祖康和丁邦俊［2］就区间数据问题的出现和统计研究有一个比较全面地介绍。

为了统计
处理上的方便，常常将区间数据分为以下2类(用Y表示目标随机变量):
(1)区间截断情况1(“Case 1”Interval censoring)。

在试验中，只观测到了(V，δ)，V表示“检查”或“观测”的时间，δ=I(Y≤V)，其中I(·)是示性函数，这类模型被简记为类型Ⅰ。

(2)区间截断情况2(“Case 2”Interval censoring)。

在实验中只知道Y相对于某个区间(U，V)的位置，可能在区间内，也可能在区间的左边或在区间的右边，因
此观测值包括(U，V，δ1，δ2)=(U，V，I(Y≤U)，I(U＜Y＜V))。

这类模型被简记
为类型Ⅱ。

目前已有大量有关区间数据的文献。

这些研究中，较为典型的一类是采用非参数极大似然(NPMLE)的思想来解决区间数据的分布函数估计问题和回归模型中的问题，得到了一些有价值的理论结果。

Turbull［3］得到了区间数据的自相合方程，这为分布函数的非参数极大似然估计的计算提供了一种EM算法。

Groeneboom 与Wellner［4］运用了ICM(Iterative Convex Minorant)算法来求解似然方程，并且证实了当样本很大时，由ICM算法得到的估计的收敛速度远大于EM算法所得
到估计的收敛速度。

在区间数据的回归分析中，加速失效时间回归模型(Accelerated failure time regression model)的研究得到了广泛的重视。

回归分析问题最终还是转化成了对似然函数求极值的问题。

利用极大似然方法进行区间数据的研究存在着一些不足，求解非参数似然方程的过程非常繁琐，常常只能通过迭代计算的方法得到似然方程的近似解，实际操作难度较大。

邓文丽［5］使用无偏转换的思想对该问题做了处理。

本文主要解决区间删失数据下指数分布的参数估计问题，使用Bayes估计的方法
以及矩估计的方法在指数分布下进行参数估计，并利用随机模拟的方法比较这2
个估计的优劣。

假设随机变量Y服从参数为λ(λ＞0)的指数分布，记为Y～Exp(λ)，其分布函数和
密度函数分别为:
由于某些原因，在实际中不能观测到Y的完全样本，而只能观测到样本值落入某
个区间内。

对指数分布的总体Y，假设观测到n个区间Ⅰ型情况下的样本观测值。

用vi表示第i个观测时间。

实际上能得到的样本为(vi，δi)，i=1，2，…，其中分
别是V和Y的独立同分布样本。

因此，似然函数可以写为:其中δi=1表示在检测
或观测时间之内寿命终止，假设总共有N个样本观测时已经寿命终止，适当调整
顺序可以把在这N个样本放到最前面，即δ1=δ2=…δn=1，δN+1=…δn=0。

选择λ的先验分布为:
那么λ的后验分布为:
在平方损失下为λ的后验期望值:
由Bayes估计的性质得到下面定理。

定理:在给定的Bayes的决策问题中，对给定的先验分布Ga(λ)，λ的 Bayes估计
是唯一的，则它也是容许的。

矩估计被认为是最古老的求估计的方法之一，它是由K Pearson在20世纪初提出的。

本节采用矩估计的方法进行参数估计。

V是一个与Y独立的随机变量，有已知的正密度函数g(v)= λ1e-λ1v，v≥0，其中λ1是已知的正数。

那么很容易得到λ的一个矩估计:
本文使用MATLAB编程进行模拟计算。

(1)在指数分布λ下随机生成一组一行n列的数V(n是可变化)以及一组10 000行
n列的数Y;
(2)用V和Y中每一行一一比较，得出N(N表示V中数据比Y中数据大的个数)，把V≥Y的N个数交换顺序放到V的前面;
(3)把得到的N和V代入到的表达式中，分别计算出了10 000个
(4)计算出Bayes估计的均方误差AMSE，其中AMSE1表示先验分布取α=0．5，
β=5时的均方误差，AMSE2表示先验分布取α=2，β=0．55时的均方误差，表1、表2显示的是均方误差的平均值;
(5)变化λ和样本n的值，重复前面步骤得出结果分别记录如表1、表2。

(1)在指数分布λ下随机生成一组一行n列的数V(n是可变化)以及一组10 000行n列的数Y;
(2)用V和Y中每一行一一比较，得出一个矩阵N，计算出每一个δ;
(3)分别在给定λ1=1和λ1=0．5的情况下计算出矩估计的均方误差MSE，表1、表2中显示的是均方误差的平均值。

从模拟计算结果中可以看出:(1)随着样本容量n的增大，均方误差均逐渐减小;(2)
比较ASME1与AMSE2可以得到，选取不同的先验分布对结果有一定的影响;(3)V 分布和Y分布差异大小对结果也是有影响的;(4)使用Bayes估计的方法要比用矩估计方法得到的均方误差小，主要是Bayes估计使用了先验信息，显然在计算精度
上要优于矩估计。

【相关文献】
［1］Huang J，Wellner J A．Interval censored survival data:a review of recent progress，Proceeding of the First Seattle Symposium in Biostatistics:Survival Analysis［J］．Springer，1997，11(3):123-170．
［2］郑祖康，丁邦俊．关于区间数据的分布函数估计问题［J］．应用概率统计，2004，
20(2):119-125．
［3］Turnbull B W．The empirical distribution function with arbitrarily grouped，censored and truncated data［J］．J．Roy．Statist．Soc．，1976，B38:290-295．
［4］Groeneboom J P，Wellner J A．Information bounds and nonparametric maximum likelihoodestimation［J］．DMV Seminar Band 19，Birkha¨user，Basel，1992，25(2):117-119．
［5］邓文丽．区间数据若干问题的研究［D］．上海:复旦大学，2004:1-8．
［6］Sun Jian-guo．The Statistical Analysis of Interval-censored Failure Time Data ［M］．Statistics for Biology and Health．Springer，2006:10-13．
［7］邓文丽，付婷．区间数据的均值估计［J］．Chinese Journal of Applied Probabilityand Statistics，2010，26:419-421．
［8］茆诗松，王静龙，濮晓龙．高等数理统计(第2版)［M］．北京:高等教育出版社，2004:307-382．
［9］王晓芳．区间删失情况下参数估计的新方法［D］．上海:华东师范大学，2007．
［10］Huang Jian，Wellner Jon A．Interval Censored Survival Data:A Review of RecentProgress［M］．Springer，1997．
［11］Huang Jian，Wellner Jon A．Asymptotic Normality of the NPMLE of Linear functionals for interval censored data，case 1［J］．Statistica Neerlandica，1995，
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［12］邓文丽，刘显慧．区间数据参数估计的矩方法［J］．统计与决策，2007，(23):26-28．。