用好教材习题开展探究活动——以一道习题教学为例
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(3) 巧妙设计教学环节，突出教师的主导作用. 数学探究活动的开展在老师的指导下进行，就能够 避免学生盲目的行动浪费宝贵的时间.当然教师也 不能牵得太紧,应该根据学生的接受能力设计合适 的问题，引导学生进行充分的思考.涂荣豹先生说 过,教学的根本任务就是教学生“学会思考” •学生
在深度思考中才能提升数学核心素养. 总之，数学育人的根本途径在于培养学生的理
“惊喜”• (2) 开展数学探究活动,尊重学生的主体地位.
在课程目标中指出要培养学生“树立敢于质疑、善 于思考、严谨求实的科学精神；”这样的目标需要采 取能够激发学生的学习智慧的方法.如果采用“平 铺直叙”的方式进行教学，则教学效果可能就不太 好,教学目标就难以达成•而采用从一个基本问题的 研究中“引出疑问、进行活动(观察(、大胆猜想、严 谨论证、再拓展探究”，这样的方式则就能够促进学 生深度思考，学会“从数学角度发现和提出问题” 学生的主体地位得到尊重，学生的学习积极性就会 高涨.
21 -20 22 -20
） 设m（20,20 期衍,21）班衍小）,
则22
- -1,
0p 2p 2， 2， 即有上2 •” =-1,
21 +20 20 + 20 A（21 +20）•（22 +20）= -4P2,
整理得：龙 +20（21 +22）+y = -4P2,
A _2pt +2^20 + 22 = _4P2. A 2 - （20 +2p） =m（y +20）. a直线与抛物线y2 =2,交于A,B两点, M（2o,2o）为抛物线上任意一点，则直线必过（2o +
2021年第1期
用好教材习题 开展探究活动
---- 以一道习题教学为例
考淑娜，徐永忠
（山东省烟台第二中学,264003 ；江苏省兴化中学,225700）
《普通高中数学课程标准（2010年版）》指出： 数学教育承载着落实立德树人根本任务、发展素质
教育的功能•要落实这样的目标，必须依靠教师在教 育教学中逐步实施，其中习题课也是不可忽视的重 要形式•习题教学在高中数学教学中有着较大的份 量,如何利用教材中的习题进行教学,达成数学育人 的教学目标？我们以一道习题的教学为例，加以诠
-8。•
2020年第12期
章建跃先生指出，教材的结构体系、内容顺序是反复 考量的，语言是字斟句酌的，例题是反复打磨的，习 题是精挑细选的•有些老师教学往往将教材搁置一 遍，另起炉灶，认为教材中的例习题比较容易，学生 可以自习完成•实际上,教学要低起点，这样能够照 顾绝大多数同学进入学习状态，为课堂研究的推进 奠定基础•然后再充分挖掘习题其中的内涵，引导学 生开展研究，拾级而上，使学生在探究中不断得到
题呢？
生4:如果将命题的条件与结论交换一下，也就 是命题1的逆命题成立吗？
所以就得到下面的命题. 命题2：若一条直线与抛物线2 =22交于A,B 两点，且OA丄OB,则这条直线恒过定点（0 , 2）.
师:这个命题是不是正确呢？还需要证明一下. 请大家自己证明一下.
（老师巡视,投影一位学生的证明）
证明:设直线方程为2 = my +t（H0）,
师:好主意,说出来看看. 生5猜想:将抛物线方程一般化:y2 - 2,结论 成立吗？即有如下命题．
命题3 :若一条直线与抛物线y2 =2p2交于A,B
两点，且0A丄OB,则这条直线恒过（2p,0）.
证明:设直线方程为2 = my +t（H0）,
{2 - my + ty ,一 0
0
得 y2 - 0pmy - 2p 二 0 ,
题，而且还顺利地证明了.真所谓“大胆猜想，小心 求证”！
师:能否再胆大一点呢？（经过讨论得到如下 的猜想）
猜想:若点M（20 22）为抛物线上任意一点，一 条直线与抛物线y2 =2p2交于A,B两点，且MA丄 MB,则这条直线恒过哪个定点？
解：.M4 丄MB,则 2a • 2b - -1,
a
•匕^如--1,代入抛物线可得：
（丁 1 + 1）二0,... 0A 丄 0B.
师:很好！问一个问题，为什么过点（2,0）的直 线方程设成2二my+2?
生3：为了避免讨论，用直线方程y=0（3-2）就 需要讨论斜率0不存在的情况，因为当直线与2轴 垂直时，斜率0不存在.而用方程2=my+2就不需 要讨论了
师:说得不错•实际上，在解析几何的运算中常
生1:（恍然大悟）可以直接用韦达定理来处理. 由①知4>0,且｛ r, 1， +）， 5 =6: ,
・）0=4,
^所 以，1，2 + y2y2 =，1，2 + （21 _2） • （ 22 _ 2 ）= 221，2 — 2（21 +，2） +4 二 12—2x6 二0.
所以 0A • 0B =22 + y』2 二 0,即 0A 丄 0B. 师:题目不难，生1的板演步骤完整、条理清晰、 书写工整，很漂亮.特别是韦达定理的运用很值得 关注 设计意图:从教材中选取合适的材料，学生能够
释,就教于同仁. 【问题呈现】直线y =）- 2与抛物线y2 = 2,相
交于A,B两点，求证：0A丄0B. 解决过程】
师:这是人教版选择性必修一第133页第6题, 同学们应该不会有什么困难吧？先请同学们思考 一下
师：（巡视学生完成的情况）请一位同学将他的 做法写到黑板上.
生1 :将直线与抛物线方程联立［［二:一2， y =2,,
= 0ma ,0ma +0ma =，，将学习引导到课外，使学生带
着思考做题，使学习随时发生. 【巩固练习】 练习7课本146页7题 如图,直线与抛物线y2 =
2p)(p >0)交于A, A两点，且 0A丄OA,OD丄4A交AA于点 D,点D的坐标为(2,1),求 P值.
(投影学生练习) 解法7易求AA：2= -2)+5,
所求直线方程为2 - my +2,即直线恒过定点 （2,0）.
设计意图:将抛物线确定，直线一般化，分别从 条件与结论两个方面加以探究，得到两个互逆命题．
这样的做法有利于培养学生发现与提出问题的能 力.同时，一般化之后，逻辑推理、数学运算的要求也 提高了．
【进一步探究】 师:对于上述解决的问题还有什么想法吗？ 生5 ：可以将抛物线方程一般化试试.
2
y2 - 0pmy - —pa - 0 ,
2 二 2,, y + y2 =2 ，m
设 a(2 ,2i), B(52,y2)则{ lyi • 20 = 一2,.
a O) • O- 2122 +2122 1 • 2a+yy2
( 丿 --2p« 4；21 + 1 =a(a _2p).
当ZAOB 为锐角时,-• OB >0,A a >0 或 a <0;
基金项目：本文是江苏省教研室立项课题《发展高中生数学核心素养的深度学习教学策略研究》研究成果（201JK13 -L063）.
・78 •
《数学之友》
2021年第12期
常会遇到这两种直线形式用哪一个的问题，这就需 要同学们根据题目要求，结合自己的解题经验来选
择合适的一种. 师:对于上述命题,我们还能够提出什么样的问
师:请大家思考一下，如何证明
生3 ：证明:设直线方程为2 = my +2,
2 = my + 2, , 5
联立得｛ 2 c
则 y -2my-4 二 0,
y =22 2
设 A（ 2 ,y1 ） , B（ 2 ,y2 ）,
{y yy
+ y5
= 2m；,
y • y2 = -4，
0 • 0 = 22 + yiy2 = yy • y + yiy2 = yiy2
y =2p2，
设肚衍,21)B(52,y2),
则 4>02 y+y2 =—m， 1.21 • — = —pt,
.OA_LOB,.-. O-_LOB,2o) • OB =0 ,
y2 y2 O) • 2 • 22 =0 或 2 • 22 = -4P2, a -2pt=0（舍）或-2pt - -4p2, a t =2p. A所求直线方程为2 = my + 2p,即直线恒过 （2p,0）. 师:刚才大家很漂亮地猜想了 一个一般性的命
比较顺利地完成,为课堂教学进一步展开奠定基础. 同时对该同学的表扬就是树立学习的榜样！
探究之旅】
师:现在这道题解完之后,大家有什么想法吗? 或者说能否根据题目的条件与结论提出问题吗？
（教室里安静了几分钟，有几位同学举手示意
要发言）
生2：我的问题是,抛物线只有这一条弦所对的 抛物线张角ZA0B为直角吗？
"「2 - my + ty , 0
则]2 1
则 2 -2m2 -20 二0，
ly =22，
设肚衍,21）B（52 ,22）,
{21 + 2。- 0 m,
2
0
2[・ 20 = _2ty .0A丄0B,二 丄O-,OA - OB =0,
OA・OB = ¥ yy •号+2龙=0,
八 21 • 22 = 0 或 2 • 20 = _4. — 0ty = 0 （舍），或—0ty = — 4, a ty - 0.
・79 •
《数学之友》
当厶AOA 为直角时,04 • OB=0,.-. a=0p； 当厶AOA 为钝角时,0)• 0B<0,.-. 0<a<0p. 设计意图:进一步一般化，一个是抛物线方程 的一般化，接着是点的一般化，将数学探究引向深 入.最后还从角度的变化进行探究,真的是探究无 止境！ 【进一步拓展】 师追问：若0MA 0MA = c , 0MA + 0MA = c会如何” 有定点吗？将之推广到椭圆、双曲线成立吗？有兴 趣的同学可以继续探索. 设计意图：对于互相垂直的条件改写成0ma • 0ma = - 7进而引导学生探究更一般的形式:3mA •
师:这个问题问得好，该同学的问题即:有没有
其它弦也可以满足ZA0B二90。？ 如果有，这样的弦4B有什么共性？下面我们
将这样的问题抽象提炼出一个命题. （教师用三角板示意，一条边绕点（2,0）旋转,
要求同学们观察弦所对的抛物线张角ZA0B的大 小情况）
命题2过点（2,0）的一条直线与抛物线y2 =2x 交于A ,B两点，则0A丄0B,即乙A0B = 90?.
性精神•要充分关注课堂的三要素：教材、学生、教 师•要深化课堂教学改革,积极探索基于情境、问题 导向的互动式、启发式、探究式、体验式等课堂教学, 激发学生的学习兴趣.使学生在探究中夯实“四 基”、培养“四能”、提升“六核”，逐步达到“三会”的 育人目标．
参考文献： [7中华人民共和国教育部•普通高中数学课 程标准(2017年版)[M].北京：人民教育出版 社,207. [2]章建跃.章建跃数学教育随想录(下)：M]. 杭州：浙江教育出版社,2017. [3 ]国务院办公厅关于新时代推进普通高中育 人方式改革的指导意见[].人民教育,2019,(22)： 10-13.
2p, -2o）. 师:经过大家的努力，这样的一个一般性问题也
解决,为大家的敢想敢做鼓掌！
师追问:将ZAOB改为锐角或钝角三角形呢？ 即设抛物线C：2 =2p2（p >0），过2轴上点（a, 0）作一直线交抛物线于A,B两点，当ZAOB为钝
角、锐角或直角时，实数a的取值范围是什么？
{2 - my + a, _
得，2 - 6, + 4 二 0,①
解得2 = 3 +槡5,, = 3 -槡槡.
所以 y1 二 1 +槡2,y2 = 1 -槡0 所以 0A • 0B =22 +yiy2
= （3+V7）（3-槡2 +（1 +75）（1 -槡5） =4 -4 二0. 所以0L0B即0A丄0B. 师:很好,能否不具体解方程,解决这个问题吗?
二-0( + 5,
｛2 c y =2p(, 消元可得：4)- (20 +2；)+25 =0,利用韦达 定理,代入)1)2 +yiy2 = 2,求得p = #•
解法2：利用本节课所学内容,4A过定点(2p, 2),设4A与)轴交于M点，则M(2p,0),则0OD • 0DM = _ 1 ,代入得;• 0 _ 2p = _ 7 可得 P =].
练习2:(2017年全国高考皿卷)已知抛物线C： y0=2),过点(2,0)的直线/交C于A, A两点，圆M 是以线段AA为直径的圆.
(1) 证明:坐标原点。在圆M上. (2) 设圆M过点P(4, -2),求直线2与圆M的 方程. (略) 设计意图：通过当堂练习，观察学生对所学知 识、方法掌握的情况，以便在以后的教学中加以 修正. 【教学思考】 (1)重视使用教材资源,放大典例的蘑菇效应.
在深度思考中才能提升数学核心素养. 总之，数学育人的根本途径在于培养学生的理
“惊喜”• (2) 开展数学探究活动,尊重学生的主体地位.
在课程目标中指出要培养学生“树立敢于质疑、善 于思考、严谨求实的科学精神；”这样的目标需要采 取能够激发学生的学习智慧的方法.如果采用“平 铺直叙”的方式进行教学，则教学效果可能就不太 好,教学目标就难以达成•而采用从一个基本问题的 研究中“引出疑问、进行活动(观察(、大胆猜想、严 谨论证、再拓展探究”，这样的方式则就能够促进学 生深度思考，学会“从数学角度发现和提出问题” 学生的主体地位得到尊重，学生的学习积极性就会 高涨.
21 -20 22 -20
） 设m（20,20 期衍,21）班衍小）,
则22
- -1,
0p 2p 2， 2， 即有上2 •” =-1,
21 +20 20 + 20 A（21 +20）•（22 +20）= -4P2,
整理得：龙 +20（21 +22）+y = -4P2,
A _2pt +2^20 + 22 = _4P2. A 2 - （20 +2p） =m（y +20）. a直线与抛物线y2 =2,交于A,B两点, M（2o,2o）为抛物线上任意一点，则直线必过（2o +
2021年第1期
用好教材习题 开展探究活动
---- 以一道习题教学为例
考淑娜，徐永忠
（山东省烟台第二中学,264003 ；江苏省兴化中学,225700）
《普通高中数学课程标准（2010年版）》指出： 数学教育承载着落实立德树人根本任务、发展素质
教育的功能•要落实这样的目标，必须依靠教师在教 育教学中逐步实施，其中习题课也是不可忽视的重 要形式•习题教学在高中数学教学中有着较大的份 量,如何利用教材中的习题进行教学,达成数学育人 的教学目标？我们以一道习题的教学为例，加以诠
-8。•
2020年第12期
章建跃先生指出，教材的结构体系、内容顺序是反复 考量的，语言是字斟句酌的，例题是反复打磨的，习 题是精挑细选的•有些老师教学往往将教材搁置一 遍，另起炉灶，认为教材中的例习题比较容易，学生 可以自习完成•实际上,教学要低起点，这样能够照 顾绝大多数同学进入学习状态，为课堂研究的推进 奠定基础•然后再充分挖掘习题其中的内涵，引导学 生开展研究，拾级而上，使学生在探究中不断得到
题呢？
生4:如果将命题的条件与结论交换一下，也就 是命题1的逆命题成立吗？
所以就得到下面的命题. 命题2：若一条直线与抛物线2 =22交于A,B 两点，且OA丄OB,则这条直线恒过定点（0 , 2）.
师:这个命题是不是正确呢？还需要证明一下. 请大家自己证明一下.
（老师巡视,投影一位学生的证明）
证明:设直线方程为2 = my +t（H0）,
师:好主意,说出来看看. 生5猜想:将抛物线方程一般化:y2 - 2,结论 成立吗？即有如下命题．
命题3 :若一条直线与抛物线y2 =2p2交于A,B
两点，且0A丄OB,则这条直线恒过（2p,0）.
证明:设直线方程为2 = my +t（H0）,
{2 - my + ty ,一 0
0
得 y2 - 0pmy - 2p 二 0 ,
题，而且还顺利地证明了.真所谓“大胆猜想，小心 求证”！
师:能否再胆大一点呢？（经过讨论得到如下 的猜想）
猜想:若点M（20 22）为抛物线上任意一点，一 条直线与抛物线y2 =2p2交于A,B两点，且MA丄 MB,则这条直线恒过哪个定点？
解：.M4 丄MB,则 2a • 2b - -1,
a
•匕^如--1,代入抛物线可得：
（丁 1 + 1）二0,... 0A 丄 0B.
师:很好！问一个问题，为什么过点（2,0）的直 线方程设成2二my+2?
生3：为了避免讨论，用直线方程y=0（3-2）就 需要讨论斜率0不存在的情况，因为当直线与2轴 垂直时，斜率0不存在.而用方程2=my+2就不需 要讨论了
师:说得不错•实际上，在解析几何的运算中常
生1:（恍然大悟）可以直接用韦达定理来处理. 由①知4>0,且｛ r, 1， +）， 5 =6: ,
・）0=4,
^所 以，1，2 + y2y2 =，1，2 + （21 _2） • （ 22 _ 2 ）= 221，2 — 2（21 +，2） +4 二 12—2x6 二0.
所以 0A • 0B =22 + y』2 二 0,即 0A 丄 0B. 师:题目不难，生1的板演步骤完整、条理清晰、 书写工整，很漂亮.特别是韦达定理的运用很值得 关注 设计意图:从教材中选取合适的材料，学生能够
释,就教于同仁. 【问题呈现】直线y =）- 2与抛物线y2 = 2,相
交于A,B两点，求证：0A丄0B. 解决过程】
师:这是人教版选择性必修一第133页第6题, 同学们应该不会有什么困难吧？先请同学们思考 一下
师：（巡视学生完成的情况）请一位同学将他的 做法写到黑板上.
生1 :将直线与抛物线方程联立［［二:一2， y =2,,
= 0ma ,0ma +0ma =，，将学习引导到课外，使学生带
着思考做题，使学习随时发生. 【巩固练习】 练习7课本146页7题 如图,直线与抛物线y2 =
2p)(p >0)交于A, A两点，且 0A丄OA,OD丄4A交AA于点 D,点D的坐标为(2,1),求 P值.
(投影学生练习) 解法7易求AA：2= -2)+5,
所求直线方程为2 - my +2,即直线恒过定点 （2,0）.
设计意图:将抛物线确定，直线一般化，分别从 条件与结论两个方面加以探究，得到两个互逆命题．
这样的做法有利于培养学生发现与提出问题的能 力.同时，一般化之后，逻辑推理、数学运算的要求也 提高了．
【进一步探究】 师:对于上述解决的问题还有什么想法吗？ 生5 ：可以将抛物线方程一般化试试.
2
y2 - 0pmy - —pa - 0 ,
2 二 2,, y + y2 =2 ，m
设 a(2 ,2i), B(52,y2)则{ lyi • 20 = 一2,.
a O) • O- 2122 +2122 1 • 2a+yy2
( 丿 --2p« 4；21 + 1 =a(a _2p).
当ZAOB 为锐角时,-• OB >0,A a >0 或 a <0;
基金项目：本文是江苏省教研室立项课题《发展高中生数学核心素养的深度学习教学策略研究》研究成果（201JK13 -L063）.
・78 •
《数学之友》
2021年第12期
常会遇到这两种直线形式用哪一个的问题，这就需 要同学们根据题目要求，结合自己的解题经验来选
择合适的一种. 师:对于上述命题,我们还能够提出什么样的问
师:请大家思考一下，如何证明
生3 ：证明:设直线方程为2 = my +2,
2 = my + 2, , 5
联立得｛ 2 c
则 y -2my-4 二 0,
y =22 2
设 A（ 2 ,y1 ） , B（ 2 ,y2 ）,
{y yy
+ y5
= 2m；,
y • y2 = -4，
0 • 0 = 22 + yiy2 = yy • y + yiy2 = yiy2
y =2p2，
设肚衍,21)B(52,y2),
则 4>02 y+y2 =—m， 1.21 • — = —pt,
.OA_LOB,.-. O-_LOB,2o) • OB =0 ,
y2 y2 O) • 2 • 22 =0 或 2 • 22 = -4P2, a -2pt=0（舍）或-2pt - -4p2, a t =2p. A所求直线方程为2 = my + 2p,即直线恒过 （2p,0）. 师:刚才大家很漂亮地猜想了 一个一般性的命
比较顺利地完成,为课堂教学进一步展开奠定基础. 同时对该同学的表扬就是树立学习的榜样！
探究之旅】
师:现在这道题解完之后,大家有什么想法吗? 或者说能否根据题目的条件与结论提出问题吗？
（教室里安静了几分钟，有几位同学举手示意
要发言）
生2：我的问题是,抛物线只有这一条弦所对的 抛物线张角ZA0B为直角吗？
"「2 - my + ty , 0
则]2 1
则 2 -2m2 -20 二0，
ly =22，
设肚衍,21）B（52 ,22）,
{21 + 2。- 0 m,
2
0
2[・ 20 = _2ty .0A丄0B,二 丄O-,OA - OB =0,
OA・OB = ¥ yy •号+2龙=0,
八 21 • 22 = 0 或 2 • 20 = _4. — 0ty = 0 （舍），或—0ty = — 4, a ty - 0.
・79 •
《数学之友》
当厶AOA 为直角时,04 • OB=0,.-. a=0p； 当厶AOA 为钝角时,0)• 0B<0,.-. 0<a<0p. 设计意图:进一步一般化，一个是抛物线方程 的一般化，接着是点的一般化，将数学探究引向深 入.最后还从角度的变化进行探究,真的是探究无 止境！ 【进一步拓展】 师追问：若0MA 0MA = c , 0MA + 0MA = c会如何” 有定点吗？将之推广到椭圆、双曲线成立吗？有兴 趣的同学可以继续探索. 设计意图：对于互相垂直的条件改写成0ma • 0ma = - 7进而引导学生探究更一般的形式:3mA •
师:这个问题问得好，该同学的问题即:有没有
其它弦也可以满足ZA0B二90。？ 如果有，这样的弦4B有什么共性？下面我们
将这样的问题抽象提炼出一个命题. （教师用三角板示意，一条边绕点（2,0）旋转,
要求同学们观察弦所对的抛物线张角ZA0B的大 小情况）
命题2过点（2,0）的一条直线与抛物线y2 =2x 交于A ,B两点，则0A丄0B,即乙A0B = 90?.
性精神•要充分关注课堂的三要素：教材、学生、教 师•要深化课堂教学改革,积极探索基于情境、问题 导向的互动式、启发式、探究式、体验式等课堂教学, 激发学生的学习兴趣.使学生在探究中夯实“四 基”、培养“四能”、提升“六核”，逐步达到“三会”的 育人目标．
参考文献： [7中华人民共和国教育部•普通高中数学课 程标准(2017年版)[M].北京：人民教育出版 社,207. [2]章建跃.章建跃数学教育随想录(下)：M]. 杭州：浙江教育出版社,2017. [3 ]国务院办公厅关于新时代推进普通高中育 人方式改革的指导意见[].人民教育,2019,(22)： 10-13.
2p, -2o）. 师:经过大家的努力，这样的一个一般性问题也
解决,为大家的敢想敢做鼓掌！
师追问:将ZAOB改为锐角或钝角三角形呢？ 即设抛物线C：2 =2p2（p >0），过2轴上点（a, 0）作一直线交抛物线于A,B两点，当ZAOB为钝
角、锐角或直角时，实数a的取值范围是什么？
{2 - my + a, _
得，2 - 6, + 4 二 0,①
解得2 = 3 +槡5,, = 3 -槡槡.
所以 y1 二 1 +槡2,y2 = 1 -槡0 所以 0A • 0B =22 +yiy2
= （3+V7）（3-槡2 +（1 +75）（1 -槡5） =4 -4 二0. 所以0L0B即0A丄0B. 师:很好,能否不具体解方程,解决这个问题吗?
二-0( + 5,
｛2 c y =2p(, 消元可得：4)- (20 +2；)+25 =0,利用韦达 定理,代入)1)2 +yiy2 = 2,求得p = #•
解法2：利用本节课所学内容,4A过定点(2p, 2),设4A与)轴交于M点，则M(2p,0),则0OD • 0DM = _ 1 ,代入得;• 0 _ 2p = _ 7 可得 P =].
练习2:(2017年全国高考皿卷)已知抛物线C： y0=2),过点(2,0)的直线/交C于A, A两点，圆M 是以线段AA为直径的圆.
(1) 证明:坐标原点。在圆M上. (2) 设圆M过点P(4, -2),求直线2与圆M的 方程. (略) 设计意图：通过当堂练习，观察学生对所学知 识、方法掌握的情况，以便在以后的教学中加以 修正. 【教学思考】 (1)重视使用教材资源,放大典例的蘑菇效应.