高中数学第2章圆锥曲线与方程章末复习提升课课件湘教版选修2
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复习课件
高中数学第2章圆锥曲线与方程章末复习提升课课件湘教版选修2
2021/4/17
高中数学第2章圆锥曲线与方程章末复习提升课课件湘教版 选修2
第2章 圆锥曲线与方程
章末复习提升课
1．椭圆的焦点三角形 设 P 为椭圆xa22＋by22＝1(a>b>0)上任意一点(不 在 x 轴上)，F1，F2 为焦点且∠F1PF2＝α，则 △PF1F2 为焦点三角形(如图)． (1)焦点三角形的面积 S＝b2tanα2. (2)焦点三角形的周长 L＝2a＋2c.
2．双曲线及渐近线的设法技巧
(1)由双曲线标准方程求其渐近线方程时，最简单实用的办法
是：把标准方程中的 1 换成 0，即可得到两条渐近线的方程．如
双
曲线
xa22－
y2 b2
＝
1(a>0，
b>0)
的渐
近
线
方程
为
x2 a2
－
y2 b2
＝
0(a>0
，
b>0)，即 y＝±bax；双曲线ay22－xb22＝1(a>0，b&求曲线的方程是解析几何的基本问题之一，其求解的基本方法 有： (1)直接法：当动点与已知条件发生联系时，在设曲线上的动点 坐标为(x，y)后，可根据题设条件将普通语言运用基本公式(如 两点间距离公式、点到直线距离公式，斜率公式、面积公式等) 和向量坐标运算，变换成 x，y 间的关系式(等式)，从而得到轨 迹方程，这种求轨迹方程的方法称为直接法(又称直译法)．直 接法求轨迹经常要联系平面图形的性质．
法四：(代入法) 设 A(x1，y1)，B(x，y)， 由中点坐标公式得xy＝＝yx2211.，即xy11＝＝22yx.， 又因为(x1－1)2＋y21＝1， 所以(2x－1)2＋(2y)2＝1， 即 B 点的轨迹方程是x－122＋y2＝14(x≠0)．
法五：(参数法)
设 B(x，y)，A 点坐标为(1＋cos θ，sin θ)(θ∈R)，
e 双＝22ac双＝|PF1|－2c|PF2|＝102－c2c ＝5－c c∈(1，2)⇒32<5c<2； 对于椭圆，e 椭＝22ac椭 ＝|PF1|＋2c|PF2|＝102＋c2c＝5＋c c＝5c＋1 1∈13，25. 【答案】 13，25
直线与圆锥曲线的位置关系 在讨论直线和圆锥曲线的位置关系时，先联立方程组，再消去 x(或 y)，得到关于 y(或 x)的方程．方程解的个数即为直线与圆 锥曲线的交点个数．
圆锥曲线的定义 (1)平面内满足|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)的点 P 的轨迹叫作椭 圆，定义可实现椭圆上的点到两焦点的距离的相互转化． (2)平面内满足||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)的点 P 的轨迹叫作 双曲线，|PF1|－|PF2|＝2a(2a<|F1F2|)表示焦点 F2 对应的一支， 定义可实现双曲线上的点到两焦点的距离的相互转化． (3)平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(不经过点 F)距离相等的 点的轨迹叫作抛物线，定义可实现抛物线上的点到焦点与到准 线距离的相互转化．
ay22－xb22＝0(a>0，b>0)，即 y＝±abx.
(2)如果双曲线的渐近线为xa±by＝0 时，它的双曲线方程可设为 xa22－by22＝λ(λ≠0)．
3．抛物线方程的设法 对顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线方程，一般可设为 y2 ＝ax(a≠0)或 x2＝ay(a≠0)． 4．抛物线的焦点弦问题 抛物线过焦点 F 的弦长|AB|的一个重要结论． (1)y2＝2px(p>0)中，|AB|＝x1＋x2＋p. (2)y2＝－2px(p>0)中，|AB|＝－x1－x2＋p. (3)x2＝2py(p>0)中，|AB|＝y1＋y2＋p (4)x2＝－2py(p>0)中，|AB|＝－y1－y2＋p.
(2)定义法：若动点运动的几何条件满足某种已知曲线的定义， 可以设出其标准方程，然后用待定系数法求解．这种求轨迹方 程的方法称为定义法，利用定义法求轨迹方程要善于抓住曲线 的定义特征． (3)代入法：若求轨迹上的动点 P(x，y)与另一个已知曲线 C：F(x，y)＝0 上的动点 Q(x，y)存在某种关系，可把点 Q 的坐 标用点 P 的坐标表示出来，然后代入已知曲线 C 的方程 F(x，y)＝0，化简即得所求轨迹方程，这就叫代入法． (4)参数法：如果轨迹的动点 P(x，y)的坐标之间的关系不易找 到，也没有相关信息可用，可先考虑将 x，y 用一个或几个参数 来表示，消去参数来求轨迹方程．
(5)设而不求法：求弦中点的轨迹方程，常常运用“设而不求” 的技巧．通过中点坐标及斜率的代换达到求出轨迹方程的目的． (6)几何法：根据曲线的某种几何性质和特征，通过推理列出等 式求出轨迹方程，这种求轨迹的方法叫作几何法． (7)交轨法：在求动点轨迹方程时，经常遇到求两动曲线的交点 轨迹方程问题，我们列出两动曲线的方程再设法消去曲线中的 参数即可得到交点的轨迹方程．
设抛物线 y2＝4x 截直线 y＝2x＋k 所得弦长|AB|＝3 5. (1)求 k 的值； (2)以弦 AB 为底边，x 轴上的 P 点为顶点组成的三角形面积为 39 时，求点 P 的坐标．
【解】 (1)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)． 由yy＝ 2＝24xx＋k，得 4x2＋4(k－1)x＋k2＝0，
圆锥曲线的性质 (1)圆锥曲线的范围往往作为解题的隐含条件． (2)椭圆、双曲线有两条对称轴和一个对称中心，抛物线只有一 条对称轴． (3)椭圆有四个顶点，双曲线有两个顶点，抛物线只有一个顶点． (4)双曲线焦点位置不同，渐近线方程不同． (5)圆锥曲线中基本量 a，b，c，e，p 的几何意义及相互转化．
1．椭圆的定义|PF1|＋|PF2|＝2a 中，应有 2a>|F1F2|，双曲线定 义||PF1|－|PF2||＝2a 中，应有 2a<|F1F2|，抛物线定义中，定点 F 不在定直线 l 上． 2．椭圆中几何量 a，b，c 满足 a2＝b2＋c2，双曲线中几何量 a， b，c 满足 a2＋b2＝c2. 3．椭圆离心率 e∈(0，1)，双曲线离心率 e∈(1，＋∞)，抛物 线离心率 e＝1. 4．求圆锥曲线的标准方程时，一定要先区别焦点在哪个轴上， 选取合适的形式．
则由中点坐标公式得x＝1＋c2os θ，
y＝sin2
θ .
消去参数得 B 点的轨迹方程是x－122＋y2＝14(x≠0)．
法六：(交轨法) 设直线 OA 的方程 y＝kx， 当 k＝0 时，B 为(1，0)； 当 k≠0 时，直线 BC 的方程为 y＝－1k(x－1)． 由直线 OA、BC 的方程联立消去 k， 得其交点轨迹为 y2＋x2－x＝0， 即x－122＋y2＝14(x≠0，1)． 显然 B(1，0)满足x－122＋y2＝14， 故 B 点的轨迹方程是x－122＋y2＝14(x≠0)．
本部分内容讲解结束
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设抛物线 y2＝8x 的焦点为 F，准线为 l，P 为抛物线上
一点，PA⊥l，A 为垂足，如果直线 AF 的斜率为－ 3，那么
|PF|＝( )
A．4 3
B．8
C．8 3
D．16
【解析】 如图所示，直线 AF 的方程为 y＝－ 3(x－2)，与准线方程 x＝－2 联立得 A(－2，4 3)． 设 P(x0，4 3)， 代入抛物线方程 y2＝8x， 得 8x0＝48， 所以 x0＝6， 所以|PF|＝x0＋2＝8， 故选 B. 【答案】 B
Δ＝16(k－1)2－16k2>0，所以 k<12.
又由根与系数的关系有 x1＋x2＝1－k，x1x2＝k42， 所以|AB|＝ （x1－x2）2＋（y1－y2）2 ＝ 1＋22· （x1＋x2）2－4x1x2 ＝ 5· 1－2k， 即 5（1－2k）＝3 5， 所以 k＝－4.
(2)设 x 轴上点 P(x，0)，P 到 AB 的距离为 d， 则 d＝|2x－05－4|＝|2x－5 4|， S△PAB＝12·3 5·|2x－5 4|＝39， 所以|2x－4|＝26， 所以 x＝15 或 x＝－11. 所以 P 点坐标为(15，0)或(－11，0)．
已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为原点，焦点在 x 轴上，左、右焦点分别为 F1、F2，且它们在第一象限的交点 为 P，△PF1F2 是以 PF1 为底边的等腰三角形．若|PF1|＝10， 双曲线的离心率的取值范围为(1，2)，则该椭圆的离心率的取 值范围是________．
【解析】 如图，由题意知|PF1|＝10， |PF2|＝2c，且|PF1|>|PF2|. 对于双曲线，
休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时间 休息一下眼睛，
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动 对身体不好哦~
圆锥曲线中的定点、定值、最值问题 圆锥曲线中的定点、定值问题往往与圆锥曲线中的“常数”有 关，如椭圆的长、短轴，双曲线的虚、实轴；抛物线的焦点等．可 以通过直接计算而得到，另外还可以用“特例法”和“相关曲 线系法”求得． 圆锥曲线中的最值问题，通常有两类：一类是有关长度、面积 等的最值问题；一类是圆锥曲线中有关几何元素的最值问题．这 两类问题的解决往往要通过回归定义，结合几何知识，建立目 标函数，利用函数的性质或不等式知识，三角函数有界性，以 及数形结合、设参、转化代换等途径来解决．特别注意函数思 想，观察分析图形特征，利用数形结合等思想方法．
如图所示，过抛物线 y2＝2px 的顶点 O 作两条互相垂直的弦交抛物线于 A、B 两点．求 △AOB 面积的最小值．
【解】 设直线 AB 的方程为 y＝k(x－a)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．联 立方程yy2＝＝k2（pxx，－a）， 消去 x 得 ky2－2py－2pak＝0， 则 y1y2＝－2pa.
又 OA⊥OB. 所以 y1y2＝－x1x2. 由方程组消去 y， 得 k2x2－(2k2a＋2p)x＋k2a2＝0， 则 x1x2＝a2. 因此，a2＝2pa. 所以 a＝2p. 故直线 AB 过定点 M(2p，0)．
所以 S△AOB＝S△AOM＋SBOM ＝12|OM|(|y1|＋|y2|) ≥p(2 |y1y2|)． 又 y21＝2px1，y22＝2px2， 所以(y1y2)2＝4p2x1x2. 又因为 y1y2＝－x1x2， 于是|y1y2|＝4p2. 故 S△AOB 的最小值为 4p2.
设圆 C：(x－1)2＋y2＝1，过原点作圆的弦 OA，求 OA 中点 B 的轨迹方程．
【解】 法一：(直接法) 如图，设 B(x，y)，由题得|OB|2＋|BC|2＝|OC|2， 即 x2＋y2＋[(x－1)2＋y2]＝1， 即 OA 中点 B 的轨迹方程为 x－122＋y2＝14(x≠0)．
法二：(几何法) 设 B(x，y)，由条件知 CB⊥OA，OC 的中点记为 M12，0，如 图，则|MB|＝12|OC|＝12， 故 B 点的轨迹方程为x－122＋y2＝14(x≠0)． 法三：(定义法) 设 B(x，y)，如图，因为 B 是 OA 中点， 所以∠OBC＝90°，则 B 在以 OC 为直径的圆上， 故 B 点的轨迹方程是x－12＋y2＝14(x≠0)．
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2021/4/17
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第2章 圆锥曲线与方程
章末复习提升课
1．椭圆的焦点三角形 设 P 为椭圆xa22＋by22＝1(a>b>0)上任意一点(不 在 x 轴上)，F1，F2 为焦点且∠F1PF2＝α，则 △PF1F2 为焦点三角形(如图)． (1)焦点三角形的面积 S＝b2tanα2. (2)焦点三角形的周长 L＝2a＋2c.
2．双曲线及渐近线的设法技巧
(1)由双曲线标准方程求其渐近线方程时，最简单实用的办法
是：把标准方程中的 1 换成 0，即可得到两条渐近线的方程．如
双
曲线
xa22－
y2 b2
＝
1(a>0，
b>0)
的渐
近
线
方程
为
x2 a2
－
y2 b2
＝
0(a>0
，
b>0)，即 y＝±bax；双曲线ay22－xb22＝1(a>0，b&求曲线的方程是解析几何的基本问题之一，其求解的基本方法 有： (1)直接法：当动点与已知条件发生联系时，在设曲线上的动点 坐标为(x，y)后，可根据题设条件将普通语言运用基本公式(如 两点间距离公式、点到直线距离公式，斜率公式、面积公式等) 和向量坐标运算，变换成 x，y 间的关系式(等式)，从而得到轨 迹方程，这种求轨迹方程的方法称为直接法(又称直译法)．直 接法求轨迹经常要联系平面图形的性质．
法四：(代入法) 设 A(x1，y1)，B(x，y)， 由中点坐标公式得xy＝＝yx2211.，即xy11＝＝22yx.， 又因为(x1－1)2＋y21＝1， 所以(2x－1)2＋(2y)2＝1， 即 B 点的轨迹方程是x－122＋y2＝14(x≠0)．
法五：(参数法)
设 B(x，y)，A 点坐标为(1＋cos θ，sin θ)(θ∈R)，
e 双＝22ac双＝|PF1|－2c|PF2|＝102－c2c ＝5－c c∈(1，2)⇒32<5c<2； 对于椭圆，e 椭＝22ac椭 ＝|PF1|＋2c|PF2|＝102＋c2c＝5＋c c＝5c＋1 1∈13，25. 【答案】 13，25
直线与圆锥曲线的位置关系 在讨论直线和圆锥曲线的位置关系时，先联立方程组，再消去 x(或 y)，得到关于 y(或 x)的方程．方程解的个数即为直线与圆 锥曲线的交点个数．
圆锥曲线的定义 (1)平面内满足|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)的点 P 的轨迹叫作椭 圆，定义可实现椭圆上的点到两焦点的距离的相互转化． (2)平面内满足||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)的点 P 的轨迹叫作 双曲线，|PF1|－|PF2|＝2a(2a<|F1F2|)表示焦点 F2 对应的一支， 定义可实现双曲线上的点到两焦点的距离的相互转化． (3)平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(不经过点 F)距离相等的 点的轨迹叫作抛物线，定义可实现抛物线上的点到焦点与到准 线距离的相互转化．
ay22－xb22＝0(a>0，b>0)，即 y＝±abx.
(2)如果双曲线的渐近线为xa±by＝0 时，它的双曲线方程可设为 xa22－by22＝λ(λ≠0)．
3．抛物线方程的设法 对顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线方程，一般可设为 y2 ＝ax(a≠0)或 x2＝ay(a≠0)． 4．抛物线的焦点弦问题 抛物线过焦点 F 的弦长|AB|的一个重要结论． (1)y2＝2px(p>0)中，|AB|＝x1＋x2＋p. (2)y2＝－2px(p>0)中，|AB|＝－x1－x2＋p. (3)x2＝2py(p>0)中，|AB|＝y1＋y2＋p (4)x2＝－2py(p>0)中，|AB|＝－y1－y2＋p.
(2)定义法：若动点运动的几何条件满足某种已知曲线的定义， 可以设出其标准方程，然后用待定系数法求解．这种求轨迹方 程的方法称为定义法，利用定义法求轨迹方程要善于抓住曲线 的定义特征． (3)代入法：若求轨迹上的动点 P(x，y)与另一个已知曲线 C：F(x，y)＝0 上的动点 Q(x，y)存在某种关系，可把点 Q 的坐 标用点 P 的坐标表示出来，然后代入已知曲线 C 的方程 F(x，y)＝0，化简即得所求轨迹方程，这就叫代入法． (4)参数法：如果轨迹的动点 P(x，y)的坐标之间的关系不易找 到，也没有相关信息可用，可先考虑将 x，y 用一个或几个参数 来表示，消去参数来求轨迹方程．
(5)设而不求法：求弦中点的轨迹方程，常常运用“设而不求” 的技巧．通过中点坐标及斜率的代换达到求出轨迹方程的目的． (6)几何法：根据曲线的某种几何性质和特征，通过推理列出等 式求出轨迹方程，这种求轨迹的方法叫作几何法． (7)交轨法：在求动点轨迹方程时，经常遇到求两动曲线的交点 轨迹方程问题，我们列出两动曲线的方程再设法消去曲线中的 参数即可得到交点的轨迹方程．
设抛物线 y2＝4x 截直线 y＝2x＋k 所得弦长|AB|＝3 5. (1)求 k 的值； (2)以弦 AB 为底边，x 轴上的 P 点为顶点组成的三角形面积为 39 时，求点 P 的坐标．
【解】 (1)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)． 由yy＝ 2＝24xx＋k，得 4x2＋4(k－1)x＋k2＝0，
圆锥曲线的性质 (1)圆锥曲线的范围往往作为解题的隐含条件． (2)椭圆、双曲线有两条对称轴和一个对称中心，抛物线只有一 条对称轴． (3)椭圆有四个顶点，双曲线有两个顶点，抛物线只有一个顶点． (4)双曲线焦点位置不同，渐近线方程不同． (5)圆锥曲线中基本量 a，b，c，e，p 的几何意义及相互转化．
1．椭圆的定义|PF1|＋|PF2|＝2a 中，应有 2a>|F1F2|，双曲线定 义||PF1|－|PF2||＝2a 中，应有 2a<|F1F2|，抛物线定义中，定点 F 不在定直线 l 上． 2．椭圆中几何量 a，b，c 满足 a2＝b2＋c2，双曲线中几何量 a， b，c 满足 a2＋b2＝c2. 3．椭圆离心率 e∈(0，1)，双曲线离心率 e∈(1，＋∞)，抛物 线离心率 e＝1. 4．求圆锥曲线的标准方程时，一定要先区别焦点在哪个轴上， 选取合适的形式．
则由中点坐标公式得x＝1＋c2os θ，
y＝sin2
θ .
消去参数得 B 点的轨迹方程是x－122＋y2＝14(x≠0)．
法六：(交轨法) 设直线 OA 的方程 y＝kx， 当 k＝0 时，B 为(1，0)； 当 k≠0 时，直线 BC 的方程为 y＝－1k(x－1)． 由直线 OA、BC 的方程联立消去 k， 得其交点轨迹为 y2＋x2－x＝0， 即x－122＋y2＝14(x≠0，1)． 显然 B(1，0)满足x－122＋y2＝14， 故 B 点的轨迹方程是x－122＋y2＝14(x≠0)．
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设抛物线 y2＝8x 的焦点为 F，准线为 l，P 为抛物线上
一点，PA⊥l，A 为垂足，如果直线 AF 的斜率为－ 3，那么
|PF|＝( )
A．4 3
B．8
C．8 3
D．16
【解析】 如图所示，直线 AF 的方程为 y＝－ 3(x－2)，与准线方程 x＝－2 联立得 A(－2，4 3)． 设 P(x0，4 3)， 代入抛物线方程 y2＝8x， 得 8x0＝48， 所以 x0＝6， 所以|PF|＝x0＋2＝8， 故选 B. 【答案】 B
Δ＝16(k－1)2－16k2>0，所以 k<12.
又由根与系数的关系有 x1＋x2＝1－k，x1x2＝k42， 所以|AB|＝ （x1－x2）2＋（y1－y2）2 ＝ 1＋22· （x1＋x2）2－4x1x2 ＝ 5· 1－2k， 即 5（1－2k）＝3 5， 所以 k＝－4.
(2)设 x 轴上点 P(x，0)，P 到 AB 的距离为 d， 则 d＝|2x－05－4|＝|2x－5 4|， S△PAB＝12·3 5·|2x－5 4|＝39， 所以|2x－4|＝26， 所以 x＝15 或 x＝－11. 所以 P 点坐标为(15，0)或(－11，0)．
已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为原点，焦点在 x 轴上，左、右焦点分别为 F1、F2，且它们在第一象限的交点 为 P，△PF1F2 是以 PF1 为底边的等腰三角形．若|PF1|＝10， 双曲线的离心率的取值范围为(1，2)，则该椭圆的离心率的取 值范围是________．
【解析】 如图，由题意知|PF1|＝10， |PF2|＝2c，且|PF1|>|PF2|. 对于双曲线，
休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时间 休息一下眼睛，
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动 对身体不好哦~
圆锥曲线中的定点、定值、最值问题 圆锥曲线中的定点、定值问题往往与圆锥曲线中的“常数”有 关，如椭圆的长、短轴，双曲线的虚、实轴；抛物线的焦点等．可 以通过直接计算而得到，另外还可以用“特例法”和“相关曲 线系法”求得． 圆锥曲线中的最值问题，通常有两类：一类是有关长度、面积 等的最值问题；一类是圆锥曲线中有关几何元素的最值问题．这 两类问题的解决往往要通过回归定义，结合几何知识，建立目 标函数，利用函数的性质或不等式知识，三角函数有界性，以 及数形结合、设参、转化代换等途径来解决．特别注意函数思 想，观察分析图形特征，利用数形结合等思想方法．
如图所示，过抛物线 y2＝2px 的顶点 O 作两条互相垂直的弦交抛物线于 A、B 两点．求 △AOB 面积的最小值．
【解】 设直线 AB 的方程为 y＝k(x－a)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．联 立方程yy2＝＝k2（pxx，－a）， 消去 x 得 ky2－2py－2pak＝0， 则 y1y2＝－2pa.
又 OA⊥OB. 所以 y1y2＝－x1x2. 由方程组消去 y， 得 k2x2－(2k2a＋2p)x＋k2a2＝0， 则 x1x2＝a2. 因此，a2＝2pa. 所以 a＝2p. 故直线 AB 过定点 M(2p，0)．
所以 S△AOB＝S△AOM＋SBOM ＝12|OM|(|y1|＋|y2|) ≥p(2 |y1y2|)． 又 y21＝2px1，y22＝2px2， 所以(y1y2)2＝4p2x1x2. 又因为 y1y2＝－x1x2， 于是|y1y2|＝4p2. 故 S△AOB 的最小值为 4p2.
设圆 C：(x－1)2＋y2＝1，过原点作圆的弦 OA，求 OA 中点 B 的轨迹方程．
【解】 法一：(直接法) 如图，设 B(x，y)，由题得|OB|2＋|BC|2＝|OC|2， 即 x2＋y2＋[(x－1)2＋y2]＝1， 即 OA 中点 B 的轨迹方程为 x－122＋y2＝14(x≠0)．
法二：(几何法) 设 B(x，y)，由条件知 CB⊥OA，OC 的中点记为 M12，0，如 图，则|MB|＝12|OC|＝12， 故 B 点的轨迹方程为x－122＋y2＝14(x≠0)． 法三：(定义法) 设 B(x，y)，如图，因为 B 是 OA 中点， 所以∠OBC＝90°，则 B 在以 OC 为直径的圆上， 故 B 点的轨迹方程是x－12＋y2＝14(x≠0)．